К теории извлечения корней в некоторых классах групп без кручения

Группа С называетсягруппой, полной группой, Ф-группой если в ней уравнение имеет соответственно не более одного, не менее одного и в точности одно решение.

28].

Изучение различных классовгрупп, пополнений групп, вложениегрупп вгруппы, а также изучениегрупп являются различными сторонами теории извлечения корнейважной части теории групп без кручения. Понятиегруппы было введено И. Г. Конторовичем [1,2]. Однако началом теории р?-гру1т следует, по-видимому, считать теорию нильпотентных групп без кручения, в которой центральное место занимает мальцевская теория извлечения корней. В классической работе А. И, Мальцева [3] важную роль сыграл тот факт, что произвольная локально нильпо-тентная группа без кручения является Р-группой, т. е. в ней извлечение корня натуральной степени является однозначной, хотя и не всегда определенной операцией. Следующая теорема Мальцева является основной во всей теории нильпотентных групп без кручения.

Всякая локально нильпотентная группа без кручения С? может быть вложена в полную локально нилъпотентную группу без кручения, любой элемент пополнения группы 6 г, возведенный в некоторую натуральную степень, попадает в 6 г. Если и.

Сгд — два пополнения группы бг, то между ними существует изоморфизм, притом единственный, продолжающий произвольный автоморфизм У группы Сг .

А.И.Мальцев доказал эту теорему при помощи аппарата теории групп и алгебр Ли. Попытки доказать эту теорему чисто алгебраическими методами привели к бурному развитию теории извлечения корней. Новые доказательства и различные обобщении теоремы Мальцева были даны в работах М. Лазара [4], А. Л. Шмелькина [5 7, Г. Баум-слага [б], Ф. Холла Г7] и других авторов. Теорема Мальцева была перенесена и на случай упорядоченных нильпотентных групп (см. С8}). В работах Б. И. Плоткина [9,10] многие результаты, доказанные ранее для локально нильпотентных групп без кручения были перенесены на более широкие классы Р-групп.

Позднее Ю. В. Кузьмин доказал Ги], что произвольная метабе-левагруппа вкладывается в мета б еле ву ?6 -группу. Пополнение в этом случае, вообще говоря, не однозначно. Проблема о том, вкладывается ли произвольная Я-группа в «б-группу в общей постановке, решается отрицательно. В той же работе Ю. В. Кузьмина построен пример трехступенно разрешимой Р?-группы, которая не вкладывается ни в какую 'зб-группу.

В связи с дальнейшим развитием теории возникла проблема исследования Ягрупп, в том или ином смысле близких к нильпо-тентным группам без кручения. Одними из наиболее интересных классов групп, близких к нильпотентным группам без кручения, являются класс полициклических Я-групп и более широкий класс разрешимых 14-групп конечного специального ранга (в смысле Мальцева). Группы конечного специального ранга исследовались в работах многих авторов. Характерной чертой многих работ в этом направлении является использование линейных групп для исследования абстрактных групп. Эта идея А. И. Мальцева наиболее выпукло проявилась в его работе Г127, где он, используя понятие ранга выделил пять классов разрешимых А^-групп и доказал для них ряд фундаментальных теорем. Результаты многих авторов можно отнести к стыку двух теорий: теории извлечения корней и теории групп конечного ранга, Кроме результатов А. И. Мальцева сюда можно отнести, например, результаты В.М.ГЛушкова, Б. И. Плоткина, В. С. Чарина (см. § 2). Основные результаты диссертации также относятся к стыку .этих двух теорий, а именно, к исследованию разрешимых /" ?-групп конечного специального ранга.

В диссертации важную роль играет понятие сильно изолированной подгруппы. Сильно изолированные нормальные подгруппы группы.

Сг — это в точности ядр гомоморфизмов из группы Сг в группу. Техника исследований основывается на работе с коммутаторами с использованием некоторых специальных квазитождеств, выполняющихся в произвольной Р-группе. Эта техника была развита автором в целях исследования разрешимых Р-групп конечного ранга. Та же техника используется для доказательства теорем о конечных расширениях Я-групп.

В первой главе диссертации приводятся основные определения и понятия, необходимые сведения, а также доказываются некоторые общие утверждения. В первом параграфе доказывается лемма об эквивалентности трех определенийгруппы через различные системы квазитождеств, которая дает нам основной технический инструмент диссертации. Во втором параграфе для удобства ссылок приводятся формулировки некоторых известных утверждений. В третьем параграфе мы доказываем основные теоремы первой главы о конечных расширениях Ц-групп. Через обозначим множество операторов вида 1+$ + + группы 6 г, рассматриваемой как £гоператорная группа, где элемент ^ 0 действует на Сг сопряжением.

Теорема I. Пусть G —группа без кручения, H — её нормальная подгруппа, фактор-группа G/H — периодическая локально разрешимая группа. Для того, чтобы группа GJбыла R-группой необходимо и достаточно, чтобы в подгруппе H не было R^кручения.

Группа G называется $*-группой С R*" *-rpyimoii), если каящая фактор-группа группы G является Rгруппой (соответственно каздая фактор-группа подгруппы группы G является R-группои.

Теорема 2. Пусть G — группа без кручения, H — её нормальная подгруппа, G/H — периодическая локально разрешимая группа. Тогда для того, чтобы группа G былагруппой достаточно, чтобы всякая изолированная в H нормальная в G подгруппа была R^{-изолирована} в H. Отметим, что теорема I примыкает к результатам Б. Неймана-Шепперда о конечных расширениях упорядоченных групп f13J.

Центральное место в диссертации занимает вторая глава, которая посвящена изучению разрешимых Rгрупп конечного ранга. В четвертом параграфе приводятся основные результаты главы.

В.С.Чарин [14] доказал, что произвольная разрешимая группа без кручения конечного ранга обладает рядом нормальных подгрупп G где.

Gr/G, — конечная группа, UJU — свободная абелева группа конечного ранга, N — нильпотентная группа конечного ранга. Для Rгруппы G мы доказываем следующую теорему.

Теорема 3. Произвольная разрешимая R-группа G конечного ранга является расширением нильпотентной группы конечного ранга с помощью свободной абелевой группы конечного ранга.

В.М.Глушковым доказано [19], что локально нильпотентная группа без кручения тогда и только тогда имеет конечный ранг Л, когда она нильпотентна и обладает рациональным рядом длины Л .

Из теоремы 3 вытекает.

Следствие I. Локально разрешимая ¡-3-группа тогда и только тогда будет иметь конечный ранг Л, когда она разрешила и обладает рациональным рядом длины Г* .

Важным подклассом класса 13-групп является класс групп со строго изолированной единицей [8] или, короче,^-групп. Проблема о том, совпадают ли классы упорядочиваемых групп игрупп (Г18], вопрос 1.47) в общей постановке решена отрицательно В.В.Блудов[17]). Из теоремы 3, а также результата В. М. Копытова об упорядочиваемости произвольной 5 -группы, имеющей нильпотент-ный коммутант (см. 8]) вытекает.

Следствие 2. Всякая 5-группа, обладающая локальной системой из разрешимых групп конечного ранга, упорядочиваема.

Теорема 4. Пусть (? — разрешимая $-группа, Н — её изолированная нормальная подгруппа конечного ранга. Тогда факторгруппа а/н являе т ся к-группой.

Отсюда получаем, что внутри класса разрешимых групп конечного ранга подклассы к-групп, 13* -групп, (-?**-групп (см. § 1) совпадают. В пятом параграфе приводятся необходимые и достаточные условия для того, чтобы разрешимая группа конечного ранга была Я-группой. Рассматривается произвольный центральный ряд нильпотентного радикала Л/ группы £г, состоящий из изолированных подгрупп: N = Мк ^ А/^.у^. > Л^ А/0. Секции этого ряда естественным образом становятся модулями над целочисленным групповым кольцом ыт. Группа и будет группой, тоща и только тогда, когда В = - абелева группа без кручения и в каждом Ж [В]- модуле М[ = N?-1, нет.

К^{-кручения,} где мультипликативная система кольца порожденная элементами вида (Предложение I или, несколько иначе, когда для каждой секции^с среди собственных значений действия произвольного элемента В на М^' нет нетривиальных корней из I (Предложение 2). В этом же параграфе в качестве иллюстрации приводятся несколько примеров. Существует неупо-рядочиваемая полициклическая К-группа (Пример 2), метабелева.

Кгруппа конечного ранга, не имеющая упорядочиваемой подгруппы конечного индекса (Пример 3). Пример 4 дает отрицательный ответ на вопрос А. Л. Шмелькина, определяет ли «метабелева часть» полициклической группы (х без кручения свойство быть /?-группой (N — нильпотентный радикал группы Сг).

В.С Лариным ?15] доказано, что полная группа конечного ранга нильпотентна. В частности, разрешимаягруппа конечного ранга нильпотентна. Более того, оставаясь в классе разрешимых групп конечного ранга, нельзя «пополнить» ни один элемент, не принадлежащий нильпотентному радикалу. Сам же нильпотентный радикал можно пополнить, оставаясь при этом в классе разрешимых К-групп того же ранга. В шестом параграфе доказывается.

Теорема 5. Пусть С — разрешимая /?-группа конечного ранга, N — её нильпотентный радикал. Тогда группа & вкладывается в такую К-группу Сг* «что нильпотентный радикал N*r группы Сг является пополнением подгруппы А/, и имеют место а) лС = л£* - б) Л/=уу*/1? — в) <?*=£ЛГ — Г) С/А/.

В этом же параграфе доказывается следующая.

Теорема 6. Пусть Сг* - локально разрешимая Д-группа, Сг — её подгруппа конечного ранга, и пусть всякий элемент группы Сг*, возведенный в некоторую натуральную степень, попадает в Сг. Тогда группа Сг имеет конечный ранг, причем а) г (Г= Г 6 — б) Л/= ЛЛ/1 & - в, ?*/Л/*^С/Л/. где А/* и А/ - нильпотентные радикалы групп £г и £г соответственно.

Согласно теореме В. М. Копытова (см. § 2) всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения вкладывается в группу невырожденных матриц степени И, над полем рациональных чисел, при этом нильпотентный радикал представляется унипотентными матрицами. Известно, что если матричная группа над полем характеристики 0 имеет нильпотентный коммутант, который состоит из унипотентных матриц, то группу можно одновременным сопряжением привести к треугольному виду.

Третья глава настоящей диссертации посвящена изучению матричных Р-групп. В седьмом параграфе доказывается.

Теорема 7. Пусть группа не тлеет кручения, Д/=.

— её унипотентный радикал. Тогда а) группа Сг будетгруппой в том и только в том случае, если в Д/ нет /^-кручения. б) группа Сг будет /^-группой в том и только в том случае, если всякая изолированная в А/ нормальная в Сг подгруппа.

А^А/ Я6- изолирована в N .

Ввиду сделанных выше замечаний класс разрешимыхгрупп конечного ранга содержится в классе треугольныхгрупп конечного ранга. Для описания последнего класса вводится понятие относительной чистой треугольной группы (см. § 7). Оказывается, что всякая относительно чистая треугольная группа является /?-группой (теорема 8). Основным результатом седьмого параграфа является описание разрешимыхгрупп конечного ранга в терминах треугольных групп:

Теорема 9. Пусть Сг треугольная группа конечного ранга без кручения. Группа С будетгруппой в том и только в том случае, если она относительно чиста.

Б восьмом параграфе доказывается, что если тпШ) -группа таких матриц из Т^(к), У которых диагональные элементы принадлежат некоторой полной подгруппе без кручения Т) мультипликативной группы к. поля А., то группа Т/г (О, /С) будет — -группой (теорема 10). Применив эту теорему, получаем следующие теоремы.

Теорема II. Конечно порожденная разрешимая матричная группа над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 содержит такую подгруппу Н конечного индекса, которая сопряжена в группе с подгруппой треугольной группы: X'1 Нх «?. Тп[0,к),.

Теорема 12. Всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения почти вся является К-группой, вложимой вгруппу с нильпотентным коммутантом.

Результаты диссертации докладывались на ХУ1 и ХУП Всесоюзных алгебраических конференциях в Ленинграде (1981г.) и в Минске (1983г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры и на семинаре по теории групп в МГУ. Основная.

часть результатов опубликована в работах автора [20 — 23].

Автор выражает глубокую признательность и благодарность профессору А. Л. Шмёлькину, под руководством которого выполнена данная работа, за постановку задач, многократные полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

1. П. Г. Конторович, Группы с базисом расщепления, 1. I, Матем.сб., 22, 1948, с.79−100.

2. П. Г. Конторович, Группы с базисом расщепления, 1У, Матем. сб., 26, 1950, с.311−320.

3. А. И. Мальцев, Нилъпотентные группы без кручения, Изв. АН СССР, т.13, М, с.201−212.

4. JK. Lazard, SurIca цгоир&ь nilpoten~U ei ¿-ел ашешзс. de tie, Ann. ZcjoL norm, iupe’r. 195.

5. А. Л. Шмелькин, Нилъпотентные произведения и нилъпотентные группы без кручения, Сиб.матем.ж., т. З, M, 1962, с.625−640.6. ?r. Raumblau) A (?mer-aii^odiorri о{ atheorem, of jUafa*?-, AKt.Maih., 11, № 1, p^OS-HS.

6. Ф. Холл, Нилъпотентные группы, Матем.сб.переводов, 1968, т.12, с.3−36.

7. А. И. Кокорин, В. М. Копытов, Линейно упорядоченные группы, M., 1972.

8. Б. И. Плоткин, К теории некоммутативных групп без кручения, Матем.сб., 30, 1952, с.197−212.

9. Б. И. Плоткин, К теории разрешимых групп без кручения, Матем.сб., 36, 1955, с.31−38.

10. Ю. В. Кузьмин, Многообразие метабелевыхгрупп, Изв. АН СССР, сер.матем., т.36, M, 1972, с.765−788.

11. А. И. Мальцев, 0 некоторых классах бесконечных разрешимых групп, Матем, сб., 28, 1951, с.567−588.

12. S.H.Neumcurn, }.А.Н. Shepperd} fmxh wten-Ьопл of ordered or-oupi, Pr-oc. Roy. Soc. undori, Ser. A, 239, /957, p. 320−327.

13. В. С. Чарин, 0 разрешимых группах типа, Матем.сб., 52,1960.

14. В. С. Чарин, К теории локально нильпотентных групп, Матем. сб., 29, 1951, с.809−811.

15. В. М. Копытов, 0 матричных группах, Алг. и лог., 1968, т.7, вып. З, с.51−59.

16. В. В. Еяудов, Пример неупорядочиваемой группы со строго изолированной единицей, Алг. и лог., 1972, т. II, вып.6,с.619−632.

17. Коуровская тетрадь, Нерешенные задачи теории групп, Новосибирск, 1980.

18. В. М. Глушков, 0 некоторых вопросах теории нильпотентныхи локально нильпотентных групп без кручения, Матем.сб., 30, 1952, с.79−104.

19. А. Р. Асасян, Разрешимые Ягруппы конечного ранга, Вестн. МГУ, 2, 1982, с.72−76.

20. А. Р. Асасян, 0 матричных § 6 -группах, в сб. «ХУТ Всес. алг.конф., тезисы, чЛ», Ленинград, 1981, с.8−9.

21. А. Р. Асасян, 0 некоторых Я-группах, в сб. «ХУП Всес. алг. конф., тезисы, ч.2», Минск, 1983, с.8−9.

22. А. Р. Асасян, Несколько замечаний о группах с однозначным извлечением корней, Деп. в ВИНИТИ, ^43^-^деп, 29с.

23. Д. И. Зайцев, 0 разрешимых группах конечного ранга, ДАН СССР, 1968, т.181, № 21, с.13−14.

24. В. Н. Ремесленников, Представление конечно порожденных ме-табелевых групп матрицами, Алг. и лог., 1969, т.8, вып. I, с.72−79.

25. Я. Б. Ливчак, Об упорядочиваемых группах, Уч.зап. Уральского ун-та, 23, 1959, с. II-12.

26. М. И. Каргополов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 3-е изд., М., 1982.

27. А. Г. Курош, Теория групп, 3-е изд., И., 1967.