Ненулевые периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных

t т>

Актуальность темы

В данной работе рассматриваются автономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с матрицей при производных. Матрица при производных предполагается постоянной. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевого периодического решения данной системы с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа.

Проблема нахождения периодического решения является одной из основных проблем в качественной теории дифференциальных уравнений. Системы дифференциальных уравнений моделируют различные процессы в физике, химии, экономике, биологии и других науках [1, 18, 23, 35, 44, 68]. В частности, системы дифференциальных уравнений с особенными матрицами при производных необходимо исследовать при анализе моделей в теории автоматического регулирования и линейных электрических цепей [47]. Такие системы возникают при использовании метода слабой аппроксимации [73] и метода сферических гармоник [36, 53]. Исследование таких моделей во многих случаях требует решение проблемы нахождения периодического решения в зависимости от значения параметра.

Изучению периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ. Однако общего подхода к решению проблемы не существует. Так, в случае неособенной матрицы при производных недостаточно изучены критические случаи, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы.

В случае систем с особенной матрицей при производных даже вопрос о существовании решения в смысле классического определения остается открытым.

Исходя из вышеперечисленного, можно сделать вывод, что определение условий существования ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа, является достаточно важной задачей. Все это подтверждает актуальность данной работы.

Цель работы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида.

А— + Вх + /(х, Л) = 0, (0.1) dr в которой xeR", А, В — постоянные матрицы, матрица, А в общем случае может быть особенной, ЛеЯ" 1, Л — параметр, функция /(х, Л) непрерывна по х, Л и /(0,Л) = 0 при любом значении Л. Предполагаем, что справедливо представление /(х, Л) = С (х, Л) + D (x, Л), где С (х, Л) — форма порядка s > 1 относительно переменных х, Л:

С ((х, а) = **С (х, Л), (0.2).

В (х, Л) — конечная сумма форм более высокого порядка, чем s, относительно тех же переменных, С (0, Л) = 0, ?)(0, Л) = 0. Ставится задача — определить условия существования ненулевого сопериодического решения системы (0.1) в окрестности нулевого решения, когда решение представи-мо в виде тригонометрического ряда. При этом величина периода со принадлежит окрестности некоторого известного числа.

Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

В случае неособенной матрицы при производных проблема существования периодических решений и их бифуркаций рассматривалась в обширной литературе. Отметим работы В. В. Немыцкого, В. В. Степанова [37], И. Г. Малкина [33, 34], В. А. Плисса, М. А. Красносельского [26], исследовавших общие вопросы существования периодических решений систем, А. А. Андронова [3, 4], изучавшего динамические системы на плоскоста, а также работы Е. Хопфа, А. Пуанкаре, Дж. Хейла [61], Н. А. Бобылева.

5, 6], С. А. Вавилова [14, 15], М. Т. Терехина [54−56] и других авторов [2, 13, 39, 40,45,46,81,82].

Рассмотрим подробнее некоторые работы, в которых период искомого решения является переменной величиной.

Так, в работе С. А. Вавилова, С. В. Юхневича [15] рассматривается система.

Предполагается, что невозмущенная система х = Ах имеет периодическое решение периода р и исследуется вопрос о существовании периодического решения системы (0.3) при всех достаточно малых значениях параметра е.

Система исследуется путем построения операторных уравнений и применением метода итерации при нахождении решения и периода p (s).

Аналогичная задача рассматривается в работе [16], причем предполагается аналитичность нелинейного возмущения по л: и е.

Система (0.3) при условии, что характеристическое уравнение невозмущенной системы х = Ах имеет кратные корни, исследуется в работе А. А. Бойчука [8]. Используется разработанный автором метод решения краевых задач [7]. Отыскивается периодическое решение с периодом, близким периоду решения порождающей (невозмущенной) системы. Отметим, что если в качестве порождающего решения взять нулевое решение системы (0.3), то доказывается, что единственным периодическим решением в работах [8,15,16] является нулевое решение.

В работе А. Д. Брюно [12] для исследования автономных систем предлагается метод нормальных форм. С его помощью система преобразуется к интегрируемой системе или к системе, имеющей более простой вид, при этом требуется определить вид нормализующего преобразования. х = Ax + tf (x, ё).

0.3).

Период искомого решения р{е) удовлетворяет условию.

Несколько работ посвящено исследованию неавтономной системы вида.

Ax + Bx+f{t, x, y1) = 0. (0.4).

При, А = Е в работе В. Н. Лаптинского [30] методом сжатых отображений определены условия существования периодического решения системы (0.4) в виде тригонометрического полинома с наперед заданным числом гармоник и остаточным членом. В работе [29] тем же автором методом последовательных приближений без использования свойств фундаментальной матрицы системы линейного приближения доказана теорема о сущест-^ вовании и единственности периодического решения.

Методом последовательных приближений в работах Е. Н. Розенвассера [43, С. 357] и Л. Чезари [62, С. 202] доказано существование периодического решения системы (0.4) в виде суммы тригонометрического полинома и остатка ряда, коэффициенты полинома определяются как решение трансцендентного уравнения.

В случае особенной матрицы при производных вопрос существования периодического решения системы дифференциальных уравнений исследовался гораздо меньше. Рассмотрим литературу, посвященную сингулярным дифференциальным уравнениям.

Большинство авторов [9−11, 17, 27, 38, 63, 74−76, 78, 79, 83] рассматривают линейные дифференциально-алгебраические уравнения вида I у, Ах + Вх = /. Существуют точные и приближенные методы решения дифференциально-алгебраических уравнений. Точные методы основаны на разбиении исходного уравнения на два уравнения, одно из которых является дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производных.

Линейные однородные сингулярные уравнения вида Ах = Вх рассматривались в работах [27, 78, 79, 83]. В работе С. Г. Крейна и В. Б. Осипова [27] рассматривается случай, когда матрица В невырожденная, а матрица, А вырожденная. Находится множество решений данного уравнения, полученные результаты используются для исследования систем уравнений в частных производных, неразрешенных относительно производных.

В работах A. Cordunenu [78] и Е. Griepentrog [79] рассмотрен случай, когда det^ = 0 и deti? = 0. Исходная система приводится либо к системе дифференциальных, либо к системе алгебраических линейных уравнений. Кроме того, в работе [79] ищется решение сингулярной системы вида Ах = Вх + /, причем предполагается, что матрицы, А и В перестановочные. С использованием обратных матриц Дразина, основное пространство разбивается на два подпространства, и определяются условия существования решения системы, причем полученное решение не обязательно оказывается дифференцируемым.

Общее решение системы Ax = Bx + f построено в книге Ф.Р. Ган-тмахера [17]. На основании теории сингулярных пучков матриц, с помощью строго эквивалентных преобразований пучок матриц ХА + В приводится к канонической квазидиагональной форме. Исходная система при этом распадается на несколько отдельных подсистем. После решения подсистем делается вывод, что для совместности исходной системы в общем случае должны выполнятся некоторые определенные линейные конечные и дифференциальные зависимости (с постоянными коэффициентами) между правыми частями уравнений. Если это условие выполнены, то общее решение системы линейно зависит как от произвольных постоянных, так и от произвольных функций. Характер условий совместности и вид решений (в частности, количество произвольных постоянных и произвольных функций) определяются минимальными индексами и элементарными делителями пучка АА + В, поскольку от этих индексов и делителей зависит каноническая форма системы Ах = Вх + f [17, С. 331].

В работе В. В. Овчаренко [38] для решения системы Ax = Bx + f осуществляются преобразования пучка матриц ЯА + В с помощью унимоду-лярных форм [28, С. 371].

Изучению дифференцально-алгебраических уравнений посвящено несколько работ Ю. Е. Бояринцева [9−11]. Так, в работах [9, 11] исследуются системы A (t)x = B{t)x + f (t) с прямоугольными матрицами A (t) и B (t). На Р решения накладываются дополнительные условия |(б/<�т (л))С (5)л:(5) = а, где, а а — заданный вектор, C (s) — заданная матрица с непрерывными на [a, fJ элементами, a (s) — заданная матрица, элементы которой суть вещественные на [a, fJ функции с ограниченной полной вариацией, интеграл рассматривается в смысле интеграла Стилтьеса. С помощью обратных матриц Дразина находятся формулы общих решений системы, а также доказываются теоремы о существовании и единственности решений. Исследуются вопросы управляемости и наблюдаемости подобных систем.

В работе [10] автор рассматривает автономную систему Ах = Вх + f (t). Строятся две цепочки матриц, позволяющие свести эту систему к системе, разрешенной относительно производной. Приводятся общее решение исходной системы, а также теоремы существования и единственности.

В работе В. А. Еременко [19] изучается вопрос о понижении порядка системы P (t)x-B (t)x + f (t) с периодическими коэффициентами и матрицей P (t) постоянного ранга. Выделены классы систем, для которых матрица редуцированной системы не вырождена, а также классы систем, для которых матрица вырождена, но возможна повторная редукция. Установлены условия несовместимости исходной системы.

В работах В. П. Скрипника [49−52] изучаются системы вида.

Д/)л:) +F (t, x) = 0. Так, в работе [52] изучаются измеримые решения вырожденных систем, причем решения понимаются в некотором обобщенном смысле, а именно решение х не является дифференцируемым, но дифференцируемой почти всюду является функция A (t)x. Решение вырожденной системы строится как предел последовательности решений невырожденных систем. Основным условием существования решения является условие устойчивости. Тем же методом доказывается существование решения в работах [50, 51]. В работе [49] для доказательства существования решения требуется, чтобы A (t) имела особую структуру, была абсолютно непрерывной и имела ограниченную производную.

В работе Н. А. Сидорова [48] рассматривается система A (l)x = B (t)x + C (t) в банаховом пространстве в окрестности особой точки операторного коэффициента A (J). Производится разбиение банахова пространства на бесконечномерные части, методами теории ветвления строятся малые и большие решения системы.

В.Ф. Чистяков в работе [63] исследовал линейные системы вида Ax (t) = Bx (t) + fit) с вырожденной или прямоугольной матрицей Л. Используется метод понижения порядка исходной системы путем преобразования ее к виду Т x (t) = Bx (t)+/(/). Доказаны теоремы о существовании решений, являющихся непрерывно дифференцируемыми функциями. Указана структура решения, которая в общем случае содержит произвольные постоянные и функции. В работах [64, 65] В. Ф. Чистяков доказал локальную теорему существования и единственности решений нелинейной системы Ax = f (t, x) в случае, когда каноническое представление матричной пары (A, f'x) не содержит нильпотентных блоков степени выше единицы.

Н.В.Зубов в работе [20] рассматривал системы вида Ax = F (t, х), где F (t, x) — вещественная, дважды непрерывно дифференцируемая по всем аргументам вектор-функция. Методом последовательных приближений доказана теорема существования и единственности системы. Зависимость решений сингулярных систем дифференциальных уравнений от параметра изучала С. П. Зубова в работе [21].

В работах [71, 84] исследуется устойчивость решений сингулярных систем дифференциальных уравнений. Так, в работе А. А. Щеглова [71] исследуется устойчивость в смысле Ляпунова тривиального решения алгеб-ро-дифференциальных систем вида Л (/)л: + ?(0 = 0, гДе ЖО" В (0 ~ СпхпУ матрицы, t е Т = [О, + од), det A (t) = 0, VteT. В работе [84] исследуется устойчивость однородной линейной системы Ах = Вх с вырожденной матрицей А. С помощью анализа уравнения Ляпунова получено условие устойчивости данной системы.

Г. П. Размыслович в работе [42] исследует задачу A (t)x = f (t), *(0) = jc°, t > 0, где x 0 выполняется равенство (е-AA~)f (t) = 0, где АА~А = А. В этом случае общее решение описываемой задачи имеет вид x (t) = х0 + ^A~f{r)dr — А~А)и (т)с1т, о о где и — произвольная вектор-функция.

В работе С. П. Зубовой и С. А. Филатова [22] получено необходимое и dx достаточное условие существования решения задачи А— + Bx (t) = f (t), dt х (0) = jc°, где A — замкнутый линейный фредгольмов оператор, имеющий плотную область определения. Найден вид решения.

Работа [77] посвящена исследованию асимптотического поведения решении системы вида <(, где * = (*!,.,*"), у = {ух,., у, п). В ис.

0 = g (*, j0 следовании используется теория потоков.

В работе П. А. Шаманаева [66] формулируются достаточные условия приводимости нелинейных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных, к линейной системе с постоянной и матрицей. Тот же автор в работе [67] формулирует достаточные условия приводимости системы х = A (t)x +Dx +f (t, x, x) к системе y = B (t)y, где B{t) = (E-D)-xA{t).

Периодические решения сингулярных систем дифференциальных уравнений рассматриваются в работах [69, 72, 80]. В работе [72] рассматривается система (0.4) в линейном случае в предположении, что матрица, А особенная. В работе Ю. Д. Шлапака [69] рассматривается линейная система P (t)x = B (t)x, причем элементы матриц P (t) и B{t) имеют непрерывные производные всех порядков по / е (- оо-+оо) и являются периодическими по t функциями периода 1. Определяются условия приводимости системы с помощью периодической невырожденной замены переменных к виду Р0у = Aq (t)y, где Pq — постоянная матрица. Полученный результат применяется для получения алгоритма, позволяющего исследовать вопрос о периодических решениях исходной системы. Система Р0У = А0(ОУ разбивается на систему алгебраических уравнений и систему дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Вопрос о существовании периодических решениях сингулярной системы сводится к вопросу о периодических решениях системы, разрешенной относительно производных. В работе [80] доказано условие существования и единственности со-периодического решения системы Ах + Вх = f (t, x). При этом требуется существование некоторого Я, при котором матрица М + В обратима, а матрицы (М + В)~1А и (ЯА + В)~ХВ перестановочные.

Методика исследования В диссертации поиск ненулевого со-периодического решения системы (0.1) путем замены переменной сводится к поиску ненулевого 2л-периодического решения некоторой измененной системы. Решение измененной системы ищется в виде тригонометрического ряда. Путем разбиения основного пространства на три подпространства, используя метод сжатых отображений, показывается, что ненулевое 2лпериодическое решение измененной системы определяется через ненулевые решения нелинейного векторного уравнения. Исследование нелинейного векторного уравнения производится с помощью разложения форм в степенные ряды и метода неподвижной точки.

Содержание работы. Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов, полученных другими авторами, приводится методика исследования, краткое содержание работы и апробация результатов.

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе исследуется система (0.1) и находятся необходимые и достаточные условия существование периодических решений этой системы. С помощью замены переменных, вопрос о существовании <"-периодических решений системы (0.1) сводится к вопросу о существовании 2я-периодических решений системы вида dx.

А— + о)0Вх + /,(9,х, Л) = 0, (0.3) at где /,{в, х, Л) = вВх + (о)0 + 6) f (x, Л), со = 2яи>0 + 2nd. Число coq считаем известным, внекоторый параметр.

Решения системы (0.3) ищется в пространстве М&bdquoтригонометрических рядов вида.

00 х = aQ+^ak coskt + bk sinkt, (0.4) k=l где ao, ak, bu — «-мерные векторы. Путем разбиения пространства Мп на три подпространства получены условия существования периодических решений системы (0.1).

В § 1.1 дается определение 2л-периодического решения системы (0.3) и соответствующего юпериодического решения системы (0.1). На множестве М&bdquoвведены различные операции и рассмотрены свойства оператора В*, определяемого равенством В*х = Ах + со0Вх. Для оператора В* на множестве М&bdquoвведены понятия собственного элемента и собственного значения.

В теореме 1.1 доказано, что оператор В* обратим на множестве М&bdquoпри условии отсутствия у него нулевого собственного значения. В теореме 1.2 доказано необходимое и достаточное условие существования собственного элемента, соответствующего нулевому собственному значению оператора В*. Рассмотрено пространство Мп{1) рядов вида (0.4), коэффициенты которых удовлетворяют условию {a0,al, b1,., ak, bk,.)el1, доказаны некоторые свойства этого пространства. В теореме 1.3 доказано необходимое условие существования малого ненулевого 27Г-периодического решения системы (0.3).

В § 1.2, используя свойства оператора В*, строится разбиение пространства М&bdquoна три подпространства, одно из которых содержит бесконечную часть ряда (0.4), а другие конечную. При этом система (0.3) заменяется равносильной ей системой. Доказано существование решения системы (0.3) в бесконечномерном подпространстве и исследованы некоторые свойства этого решения. Определены необходимые и достаточные условия существования периодических решений системы (0.1). Показана связь между решением системы (0.1) в классическом смысле и решением в смысле определения, данного в работе. В отличие от работы [26] рассматривается уравнение с параметром ЛеЯ" '. В диссертации рассматриваются нелинейные системы, в то время как в работах [19, 63, 65, 76] рассматриваются линейные системы. В работе [79] предполагается выполненным условие коммутативности матриц, А и В, в диссертации это условие не требуется. В отличие от работ [31, 32] период решения не является фиксированным. В работе [56] исследуется неавтономная система, при этом период решения является фиксированным, в то время как в диссертации исследуется автономная система с переменным периодом.

Во второй главе рассматривается нелинейное векторное уравнение вида.

Мр + С (а, р, Л) + Р (а,/3,Л) = 0, (0.5) где Л/ - ((/?+/)х/)-матрица} а е Rp, /3 е R1, Ле Rm, G (a, J3, A), F (a, j3, A)~ (р+/)-мерные вектор-функции, удовлетворяющие условиям.

G (ta, tj3, a) = tsG (a,/3,A), (0.6) limf (g'AA)a0, (0.7) где = (or, /?, Л) е Rp+l+m. Числа р и I определяются свойствами оператора 5*. С помощью элементарных преобразований строк системы и разложения вектор-функций в степенные ряды получены условия существования ненулевых решений системы (0.5).

В § 2.1 доказано необходимое условие существования ненулевых решений уравнения (0.5) и в предположении выполнения этого условия путем замены переменной уравнение (0.5) приведено к виду tLu (M) + ООО = о. (0.8) г=2.

Здесь В (у') — (р+/)х (р+/+т)-матрица, 1и (ДУг) — форма /-го порядка от Ду, AyieRp+l+m.

В § 2.2 рассматривается случай, когда rangB (y) = /? + /. В теореме 2.3 доказано достаточное условие существования ненулевого решения уравнения (0.5).

В § 2.3 изложен алгоритм поиска решения векторного уравнения в случае линейной зависимости строк матрицы линейной части, то есть когда 0 < rangB (y[) < р + 1, или В (у[) = 0. Доказаны теоремы о существовании ненулевого решения уравнения (0.5) и о наличии множеств, в которых нет решения уравнения (0.5).

В § 2.4 доказано существования ненулевого решения векторного уравнения методом выделения параметра. Показано применение теории нелинейных векторных уравнений к вопросу о существовании ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений. Доказаны теоремы о существовании ненулевого сопериодического решения системы.

0.1) и о наличии множеств, в которых нет решения системы (0.3). Получен вид ненулевого 2тг-периодического решения системы (0.3) и доказана непрерывность по t данного решения. В главе 3 рассматривается система в которой xeR' В — постоянная матрица, AeRm, Л — параметр. На функцию f (x, Л) накладываются те же условия, что и для системы (0.1).

Предполагается, что матрица В имеет собственные значения ±icox,.,±icol, такие, что существуют натуральные числа р1,., р1, при которых выполняется равенство р1ео1=. = рга>г Ставится задача — определить условия существования ненулевых периодических решений системы (0.9). При этом период ищется в окрестности числа со0 = ——, где.

Система (0.9) является более конкретным видом системы (0.1). С использованием результатов главы 1, получены необходимые и достаточные условия существования периодических решений системы (0.9). Получены некоторые дополнительные свойства системы (0.9). Приведены примеры доказательства существования ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений с матрицей при производных.

В отличие от работы А. Ф. Измаилова [24] в диссертации допускается наличие кратных собственных значений у матрицы В.

В работе [15] период искомого решения р (Х) удовлетворяет условию 0, а в работе [8] предполагается выполнение оценки dx = Bx+f (x, A),.

0.9).

РР, p = HOK (p"., Pl).

P (A)~p* = 0{X), где p период решения системы x = Bx, в то время как в диссертации выполнение этих условий не требуется.

Необходимые сведенья по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [41, 60], по функциональному анализу — из [25, 26], по линейной алгебре — [28], по тригонометрическим рядам — из [57, 59].

Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете им. С. А. Есенина, а также на следующих конференциях.

1. IX Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» в Рязанской государственной радиотехнической академии (апрель 2004).

2. Научная конференция «Герценовские чтения — 2004» (г. Санкт-Петербург, апрель 2004).

3. Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XV» (г. Воронеж, май 2004).

4. Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, ноябрь 2004).

Основные результаты исследования опубликованы в работах [85−95].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В данной работе рассматривается система дифференциальных уравнений вида dx.

А— + Вх +f (x, А) = 0, dr в которой xeR", AeR" А, В — постоянные матрицы, матрица, А в общем случае может быть особенной, функция f (x, A) непрерывна по х, Л, /(0,Д) = 0 и f (x, A) = C (x, A) + D (x, A), где С (х, Я) — форма порядкам > 1 относительно переменных х, Л, D (x, Л) — конечная сумма форм более высокого порядка, чем s, относительно тех же переменных.

Целью работы является определение условий существования ненулевых «-периодических решений данной системы. При этом период решения со находится в окрестности заданного числа. Дано определение периодического решения данной системы в виде тригонометрического ряда. С помощью разбиения основного пространства на прямую сумму доказано необходимое и достаточное условие существования периодических решений системы.

Для нахождения необходимого результата исследована система векторных уравнений вида Mfl + G (a, f}, A) + F (a,/3,A) = 0, где М — ((/?+/)х/)матрица, а е Rp, /? е R1, Л в Rm, G (ta, t/3,tA) = tsG (cx, p, A), lim & = 0, и у — (а, р, Л). Определены условия существования и отсутствия ненулевого решения этой системы.