Об операторах, возникающих в задаче о периодических решениях абстрактных включений

В последние годы абстрактные включения в банаховом пространстве стали объектом интенсивного изучения многих исследователей. Такие включения естественно возникают в общей теории управления системами, описывающими различные задачи передачи тепла, о препятствиях, гибридные системы с сухим трением, линии передач и в общей теории уравнений с частными производными. Основные усилия исследователей в последние годы были сосредоточены на полулинейных дифференциальных включениях (ПДВ), для которых эквивалентные рассматриваемым задачам операторы имеют явное интегральное представление (см., например, [1], [5], [7], [Э]—[13], [15], [16], [20], [23], [31], [32]). Случай же сильно нелинейных включений, где такое представление отсутствует, исследован весьма слабо. В случае включений в бесконечномерных пространствах эквивалентный многозначный интегральный оператор как правило некомпактен. Условия, при которых многозначный интегральный. оператор для задачи Коши для ПДВ в банаховом пространстве является уплотняющим, а следовательно, для его исследования может быть применена теория вращения уплотняющих (в смысле Б.Н. Садовского) векторных полей, были получены В. В. Обуховским [9] и N.S. Papageorgiou [29], [30].

Этот результат также позволил исследовать топологические свойства множества решений дифференциальных включений. Для ПДВ в банаховых пространствах эта задача была изучена в работах N.S. Papageorgiou [29], М. И Каменского и В. В. Обуховского [7], G. Gonti, B.B. Обуховского и Р. Zecca [20].

В частности было установлено, что множество решений задачи Коши для ПДВ является ./^-множеством. Последнее позволило применить для изучения оператора сдвига по траекториям ПДВ теорию операторов с обобщенно ациклическими образами. В случае бесконечномерного пространства условия, при которых оператор сдвига будет уплотняющим, были получены в работах М. И Каменского, В. В. Обуховского и Р. Zecca (см., [22], [25]-[27]). Вопрос о том, в какой мере такой подход может быть перенесен на сильно нелинейные включения оставался открытым.

Другим оператором, неподвижные точки которого дают периодические решения ПДВ является интегральный оператор, в однозначном случае предложенный в работах М. А. Красносельского (см., [8], [28]). В бесконечномерном случае условия, при которых такой многозначный оператор является уплотняющим были указаны в статьях М. И Каменского и В. В. Обуховского (см. [5], [6], [24]). Отметим, что традиционный вопрос о принципе родственности для этого оператора и оператора сдвига по траекториям ПДВ не был изучен. Построение аналога оператора М. А. Красносельского в сильно нелинейном случае также было неясным.

Таким образом, несмотря на большой интерес и большое количество работ, связанных с ПДВ, многие вопросы в задаче о периодических решениях для сильно нелинейного включения требуют специального исследования.

Цель данной работы — изучить операторы, неподвижные точки которых дают периодические решения для абстрактных включений.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Доказано, что множество решений абстрактного включения вида х? Б о зер{х) является ./^-множеством.

2. Изучен многозначный оператор сдвига по траекториям обобщенных решений сильно нелинейного дифференциального включения х'(г) е Асф + ^жВД), ?>0, (1) где, А — нелинейный оператор.

3. Построен и изучен новый оператор, соответствующий задаче о периодических решениях включения (1) в банаховом пространстве.

4. Изучен оператор, соответствующий задаче о периодических решениях включения (1) в гильбертовом пространстве.

5. Доказан принцип усреднения для сильно нелинейного включения е Ах (г) + Р (г/е, х (г)).

6. Доказан принцип родственности в задаче о периодических решениях для оператора сдвига и интегрального оператора для полулинейных дифференциальных включений в банаховом пространстве.

7. Получены достаточные условия существования периодических решений полулинейного дифференциального включения в сепарабель-ном банаховом пространстве с полунепрерывной снизу нелинейностью.

Перейдем к описанию результатов работы по главам.

В первой главе приводятся основные понятия и определения из теории уплотняющих многозначных отображений.

Вторая глава посвящена исследованию периодических решений дифференциального включения х'(1)+Ах (Ь) Е Основная цель этой главы — изучить структуру множества решений задачи Коши и эквивалентные операторы для задачи о периодических решених.

В пункте 2.1 доказывается, что множество решений Е^О, й] абстрактного включения х Е где Б — однозначный, а Р — многозначный оператор, является Д5-множеством, т. е. является пересечением убывающей последовательности стягиваемых множеств. Относительно оператора <5: —С ([0,с1], Е) предполагается, что.

5х) существует константа М > О такая, что для д, Н Е Х/1 ([0, с?], ?7) выполнено следующее неравенство:

И — 5(Л)0011 < м Г IIд (г) — Л (г)||<*г, где 0 < * <

У о.

52) для любого компактного выпуклого подмножества К пространства Е, S отображает ??/[0, d], К) в относительно компактное подмножество пространства C ([0,d, E);

53) для всех gh д2 G ^([0, d, E), если S (gi) = S (g2), то o^i + l-M^o) = 5(1[О>0]^2 + l[e, d9o) i при всех в е [0,d] и д0 G Z/1 ([0, d], E). Относительно оператора F предполагается, что.

Fq) оператор F действует из [0, d]x Е в KV (E), где KV (E) обозначает множество всех компактных выпуклых подмножеств пространства.

Е.

F) для любого х? Е многозначное отображение F (., х): [0, с?] —у KV (E) имеет измеримый селектор;

Fq) почти для всех t 6 [0, d] отображение F (t, .): Е —у KV (E) полунепрерывно сверху;

F3) для любого непустого ограниченного множества ?1 С Е: существует функция Uq G L+([0, c/], R) такая, что ж)|| < Unit) для всех х Е и почти всех t G [0, d].

F4) существует функция к € Х1([0, с?], М) такая, что для любого ограниченного множества, А С Е выполнено неравенство.

X (F (t, Д)) < k (t) ¦ х (Д) для п.в. t е [0, d}.

Здесь х ~ мера некомпактности Хаусдорфа в пространстве Е. Напомним, что если i2 — ограниченное подмножество пространства Е: то inf{бг > 0- fi имеет конечную е — сеть в Е}. Основная теорема этого пункта:

Теорема 1 Пусть выполнены предположения S)-S3) и условия F{)-F.

Р) ЕЧ0, г] = ЕЧ0,<�А ..

О, г].

Тогда, если множество EF[0,d] не пусто и ограничено в пространстве С ([0, d], Е), это множество является Rs подмножеством пространства C ([0,d, E)..

В пункте 2.2 определяется многозначный оператор сдвига по траекториям обобщенных решений нелинейного включения (1) за время Т. Установлены условия, при которых этот оператор является квази-Д? оператором, уплотняющим относительно меры некомпактности Хаусдорфа. Предполагается, что оператор F удовлетворяет условиям Fi), F2) и.

F$) существует функция 7(-) Е L[0,T] такая, что ||F (¿-, х)|| < у (t) для п.в. t Е [О, Т] и любого х Е Е-.

F^g) для любого ограниченного множества I1 С Е имеем.

X (F (t, U)) R+ измерима по первому аргументу для любого х Е М+, непрерывна и не убывает по второму аргументу для п.в. t е [о, Г], g (t, 0) = 0 для п.в. t Е [0,Т] и g (t, vi)-g{t, v2).

Оператор-решение S (xо, /) задачи x'(t)eAx (t) + f (t), t Е [о, т], ж (0) =хо Е Е. удовлетворяет условиям S?) для любых reo, yoeE, f, ge L[0, Т], Е).

S{xoJ)(t)-S (yo, g)(t)\ < С ||/(s) — g{s)\ ds + e~pt\xo — 2/0(1,.

Jo где р > 0 — константа и52)..

Будем говорить, что многозначный оператор сдвига по траекториям обобщенных решений включения (1) за время Т определен в точке х G Е, если множество Sf[0,T] С С ([0,Т], Е) обобщенных решений включения (1) с начальным условием ж (0) = xq непусто, ограничено и удовлетворяет условию Р) теоремы 1 при d = Т. В этом случае многозначный оператор Рт задается формулой:.

PT{x) = {z = y{T), yeT, Fx%T]}..

Предполагается также, что.

Н) нулевое решение скалярного дифференциального уравнения r'{t) = -pr (t)+g{t, r{t)), t> О экспоненциально устойчиво в следующем смысле: r{t) < Ce~atr{0), t > 0 для любого неотрицательного решения r (i), где С > 0, а > 0-.

Н2) Т>-пС. а.

Теорема 2 Пусть выполнены условия F), F2), F^), F^g), Sj), 52), P) и предположения H) и Н2). Тогда Рт — квази-Rs оператор, уплотняющий относительно меры некомпактности х.

В пункте 2.3 строится оператор Т, соответствующий задаче о периодических решениях нелинейного дифференциального включения x'(t) eAx (t) + F{t, x (t)) (3) в сепарабельном банаховом пространстве, через оператор Коши. Точнее Т строится следующим образом: для любого х G С ([0, Т], Е).

F{x) = {S (S (x0J)(T)J): / G selH*)}, где / € зе1^(я?) означает, что / 6 Т], и /(?) е F (t, x (t)) для п.в. I Е [0,Т], а Б — однозначный оператор такой, что для любого хо? Е и любого / Е оператор Б (хо,/) является решением задачи.

2). Предполагается, что оператор 5 удовлетворяет двум условиям и ?>2), а оператор ^ условиям существует константа к > О такая, что для любого ограниченного множества, А С Е выполнено равентво: для почти всех t Е [0,Т]. Здесь х — мера некомпактности Хаусдорфа в пространстве Е-.

Рг) оператор ^ - Т-периодический относительно первого аргумента, т. е. ж) = Р (Ь + Т, х) для п.в.? и любого х <Е Е..

В пространстве С ([0, Т], определяется мера некомпактности следующим образом где Q — произвольное ограниченное подмножество С ([0,Т], Е), а modc (Q) = lim sup max \x (ti) — x (t2)\.

S^XEfl 1*1-«2|<*.

Теорема 3 Пусть выполнены условия F^j-F^, Ft), S±) S2). Тогда многозначный оператор Т полунепрерывен сверху и, кроме того, если Tk + е~рТ < 1. Тогда оператор Т является Я?-уплотняющим..

В пункте 2.4 изучается оператор G, соответствующий задаче о периодических решениях нелинейного дифференциального включения (1) в гильбертовом пространстве Е..

Оператор G строится следующим образом: сначала рассматривается оператор S, сопоставляющий непрерывной Т-периодической функции / Т-периодическое решение дифференциального включения x (F (t, A)).

Предполагается, что оператор, А удовлетворяет условию А) (Ах ~ Ау, х — у) < —р\х — у||2 для любых х, у? Е. В этом пункте доказывается следующая теорема.

Теорема 4 Пусть выполнены условия А), F)-F±), Fj) и пусть к/р < 1. Тогда многозначный оператор G имеет стягиваемые образы, полунепрерывен сверху и уплотняет относительно меры некомпактности определенной следующим образом:.

Ф (П)= max supx (AW), Де?)(П) t для любого ограниченного подмножества Q из Ст{Е), где D (Q) — множество всех счетных подмнооюеств множества А. Более того V.

В пункте 2.5 устанавливается принцип усреднения для нелинейного дифференциального включения x'(t) е Ax (t) + F{t/e, x (t)) п.в. t G [0, +oo), (4) в гильбертовом пространстве Е, где, А — однозначный нелинейный оператор. После замены переменной t = es получается новое уравнение x'(t) е eAx (t) + eF (t, x{t)) п.в. t Е [О, +оо). (5).

Через ?е (Д F) обозначается множество решений включения (4) из пространства абсолютно непрерывных Т-периодических функций и через Sq = So (Л, F) множество неподвижных точек, состоящее из постоянных функций многозначного оператора.

Г0 = А’Ч, где Fq определен следующим образом: для любой х G С ([0, Т], Е).

F0(x) = -±J*F (s, x (s))ds = т {-fjo 9(s)ds, д Е F (t, x (t)), для п.в. t? [0,Т]}. Показывается, что при подходящих условиях limE, = Е0.

->0 в следующем смысле: для любого 5 > 0 и любого г > 0 такого, что Sq С гВ, существует £о > 0 такое, что Е?{ЛгВ ф 0 для любого е € [0,ео] и.

Ее П гВ С Е0 + SB, где В — открытый единичный шар в C ([Q, T], Е). Предполагается, что оператор F удовлетворяет условиям Fi), F2), Ft) и условию.

F5) существует множество в нулевой меры из [0, Т] и константа к Е R+ такие, что для любого ограниченного подмножества Q из Е, множество F ([0,T] в х Q) ограничено и.

Предполагается, что оператор, А удовлетворяет условиям Ai) А2) 0 6 АО-.

Аз) оператор, А удовлетворяет условию Липшица с константой L, т. е..

ДЛЯ ЛЮбыХ Xi, Х2 Е Е.

Axi ~ Ах2\ < L\xiх2\- Также предполагается, что.

Г1) множество Еo (A, F) ограничено в С ([0,Т], Е) и ind (r0, U) ф 0 для любого ограниченного открытого множества, содержащего Ео (Д F)..

Теорема 5 Пусть выполнены предположения Е) — ^5), Ер) Ах) — Аз) — Гх). Тогда для любого 8 > 0 и г > 0 таких, что Ео (А, Е) С гВ, существует е > 0 такое, что.

0 ф Е е (А, П г В с Е0(А, Г) + 5 В для любого е? (0, его] ¦.

В главе 3 устанавливается принцип родственности в задачах о периодических решениях полулинейных дифференциальных включений в случае интегрального оператора и оператора сдвига, а также доказывается теорема о существовании периодических решений для полунепрерывной снизу нелинейности..

В пункте 3.1 устанавливается принцип родственности в абстрактном виде. Для однозначных уплотняющих операторов доказывается, что если ограниченные области ^ и из банаховых пространств Е и Е2 соответственно имеют одинаковую сердцевину относительно пары полей I — В, А и I — АВ, где Ли В два однозначных (к, х)-уплотняющих оператора, первый из которых действует из Е в Е2, а второй — из Е2 в Е, то справедливо следующее равенство.

7(1 — В А, П1- Ег) = 7(1 — АВ, Е2)..

В пункте 3.2 устанавливается принцип родственности в задачах о периодических решениях полулинейных включений в банаховом пространстве в случае интегрального оператора и оператора сдвига. Для последнего результата применяется теория вращения уплотняющих векторных полей, строятся специальные е-аппроксимации, для которых и сравниваются вращения..

Предполагается, что.

А) А: А (А) С Е —) — Е — линейный оператор, порождающий Со~ полугруппу со свойством 1 ^ бр (ехр{АТ}) — кроме того: це^ц (х) < 14 где || • — х-норма линейного оператора..

Предполагается, что сужение оператора Р на [О, Т] X Е, которое будем обозначать той же буквой, удовлетворяет условиям Р) — ^4), Рт). Доказывается следующая теорема.

Теорема 6 Пусть выполнены условия Рг), Р)-Ра), А) и пусть ^ — два ограниченных множества из Е и С ([0,Т], Е) соответственно и имеют одинаковую сердцевину по отношению к оператору сдвига Рт и интегральному оператору г. Тогда.

Здесь Рт — оператор сдвига по траекториям полулинейного включения, & J — его интегральный оператор для Т-периодических решений, определенный следующим образом для любого х 6 С ([О, Т], Е).

Зх = {у: у Е С ([0, Т], Е), у{1) = ем{1 — ем)~1? еА^д (з) 1о 9^ € Для п-в- 6 6 [°'Г]}.

В пункте 3.3 с использованием теоремы о существовании селектора для многозначного оператора с разложимыми значениями устанавливаются достаточные условия для существования периодических решений линейного дифференциального включения х'(г) 6 Ах (г) + t > 0. (6).

Предполагается, что выполнены следующие условия А), Рг), Рт), -?4) и существует последовательность компактных попарно непересекающихся множеств {/п}, /п С [0,Т] таких, что теаз ([0,Т] I) = 0, где I = у/п, и сужение Р на каждое из множеств Зп = 1п х Е п полунепрерывно снизусуществует константа Ь > 0 такая, что ||.Р (£, х{1))|| < Ь (1 + ||а?й||) —.

При этих условиях доказывается следующая теорема:.

Теорема 7 Пусть выполнены предположения А) и Е), и.

Рт) — Если тах{?-/7,сЬ/р} < 1. Тогда включение (3) имеет по крайней мере одно периодическое решение..

Основные результаты диссертации опубликованы в [2]-[4], [21] и являются новыми. Они докладывались и обсуждались на московской международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям в 1998 г, на воронежской международной научной конференции, посвященной 80-летию А. Д. Мышкиса, в 2000 г, на воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач «в 2002 г..

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих в общей сложности 13 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 102 стр. Библиография содержит 33 наименования..

1. Борисович Ю. Г. и Обуховский В. В. О задаче оптимизации для кон-троллируемой системы параболического типа / Ю. Г. Борисович, В. В. Обуховский // Труды Инст.Матем. им. Стеклова. — 1995. — 2116. — С. 85−91..

2. Гедда Л. К задаче о периодических решениях для нелинейных дифференциальных включений в гильбертовом пространстве / Л. Гедда // Современные методы в теории краевых задач: Материалы Воронеж. весен, мат. шк., 3−9 мая 2002 г. Воронеж, 2002. — С. 36.

3. Гедда Л. Принцип родственности в задачах о периодических решениях для квазидифференциальных включений / Л. Гедда // Труды математического факультета ВГУ. Воронеж, 2001. — Вып. 5. — С. 33−42..

4. Каменский М. И., Обуховский В. В. О периодических решений дифференциальных включений с неограниченными операторами в банаховых пространствах / М. И. Каменский, В. В. Обуховский // Сб. Рад. Прир.- Мат. Фак..

5. Каменский М. И., Обуховский В. В. Уплотняющие операторы и периодические решения параболических функционально-дифференциальных включений в банаховых пространствах / М. И. Каменский, В. В. Обуховский // Нелинейный анализ. 1993. -20. — С. 781−792..

6. Каменский М. И., Обуховский B.B. Оператор сдвига по траекториям полулинейных контроллируемых систем / М. И. Каменский, В. В. Обуховский // Дифференциальные уравнения. 1996. — Т. 32. — С. 755−762..

7. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. М.: Наука, 1966..

8. Обуховский В. В. Квазилинейные функционально-дифференциальные включения в банаховом пространстве и контроллируемые параболические системы / В. В. Обуховский // Сов. Жур. Автомат. Информ. Наук. 1991. — 24. — С. 71−79..

9. Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / A.A. Толстоногов Новосибирск: Наука, 1986..

10. Afanasiev V.N., Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Mathematical Theory of Control Systems Design / V.N. Afanasiev, V.B. Kolmanovskii, V.R. Nosov // Math, and Its Appl. 1995. — 341..

11. Ahmed N.U. Optimization and Identification of Systems Governed by Evolution Equations on Banach Spaces / N.U. Ahmed // Pitman Research Notes in Math. Series 184. 1988..

12. Ahmed N.U., Teo K. Optimal Control of Distributed Parameter Systems / Ahmed N. U, K. Teo. North Holland, New York, 1981..

13. Akhmerov R.R., Kamenskii M.I., Potapov A.S., Rodkina A.E., Sadovskii B.N. Measures of Non-compactness and Condensing Operators / R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii. Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1992..

14. Allegretto W., Nistri P. Periodic solutions and optimization problems for a class of semilinear parabolic control systems / W. Allegretto, P. Nistri // Topological Meth. in Nonlin. Anal. 1995. — 5. — P. 345−356..

15. Anchini G., Zecca P. Multivalued differential equations in Banach spaces. An application to control theory / G. Anchini, P. Zecca //J. Optimiz. Theory and Applications. 1977. — 21. P. 477−486..

16. Couchouron J.F., Kamenskii M. An absract topological point of view and a general averaging principle in the theory of diferential inclusions / J.F. Couchouron, M. Kamenskii // Nonlinear Anal. 2000. — 42. P. 1101−1129..

17. Deimling K. Nonlinear functional analysis / K. Deimling. SpringerVerlag, Berlin-heidelberg-New-York-Tokyo, 1985..

18. Fryszkowski A. A priori estimates for a class of non-convexs miltivalud maps / A Frryszkowski // Studia Math. 76, 1983, P. 163−174..

19. Guedda L., Kamenski M.I. On the structure of the solution set for abstract superposition inclusions / L. Guedda, M.I. Kamenski // International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, 1998. P. 53−54..

20. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing mullivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. Berlin, 2000..

21. Kamenskii M.I., Nistri P., Obukhovskii V.V., Zecca P. Optimal feedback control for semilinear evolution equation / M.I. Kamenskii, P. Nistri, V.V. Obukhovskii // J.Optim. Theory Appl. 1994. — 82. — P. 503−517..

22. Kamenskii M.I., Nistri P., Zecca P. On periodic solutions problem for a parabolic inclusions with a large parameter / M.I. Kamenskii, P. Nistri, P. Zecca // Topological Meth. Nonlin. Anal. 1996. — 8. — P. 57−77..

23. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V., Zecca P. Method of the solutions sets for a quasilinear functional-differential inclusion in a Banach space / M.I. Kamenskii, V.V. Obukhovskii, P. Zecca // Different. Equat. and Dynam. Syst. 1996. — 4. — P. 339−350..

24. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V., Zecca P. On the translation multioperator along the solutions of semilinear differential inclusions in Banach spaces/ M.I. Kamenskii, V.V. Obukhovskii, P. Zecca // Canadian Appl. Math. Quart. 1998. — 6. — P. 139−155..

25. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V., Zecca P. On semilinear differential inclusions with lower semicontinuous nonlinearities / M.I. Kamenskii, V.V. Obukhovskii, P. Zecca // Ann. Math, pura ed appl. (IV) CLXXV, 1999..

26. Krasnoselski M.A., Zabreiko P.P. Geometrical Methods of Nonlinear Analysis / M.A. Krasnoselski, P.P. Zabreiko. Springer: Berlin, 1984..

27. Papageorgiou N.S. On multivalued evolutions equations and differential inclusions in Banach spaces / N.S. Papageorgiou // Comment. Math. Univ. San. Pauli. 1987. — 36. — P. 21−39..

28. Papageorgiou N.S. On multivalued semilinear evoution eqiations / N.S. Papageorgiou // Boll. U.M.I. 1989. — 7, 3-B. — P. 1−16..

29. Papageorgiou N.S. Optimal control of nonlinear evolution equations / N.S. Papageorgiou //J. Optim. Theory Appl. 1990. — 67. P. 321−354..

30. Papageorgiou N.S. A minimax optimal control problem for evolution inclusions / N.S. Papageorgiou // Yokohama Math. J. 1991. — 39. -P. 1−19..

31. Zecca P., Zezza P. Nonlinear boundary value problems in Banaeh spaces for multivalued differential equations on a non-compact interval / P. Zecca, P. Zezza // Nonlinear Anal. 1979. — 3. P. 347−352.росс^пс^я rocyjiA^'VL:.-.