Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Существование решений системы Власова-Максвелла и уравнения нелинейной теплопроводности

Диссертация: Существование решений системы Власова-Максвелла и уравнения нелинейной теплопроводности
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В работе одним из объектов исследования является уравнение нелинейной диффузии: ut = V • (uxVu), и = u (x, i), x G Rn, n > 1, (0.37) которое обладает различными, в зависимости от знака параметра Л G R, А ф 0, свойствами. Если Л > 0, тогда (0.37) является квазилинейным параболическим уравнением с неявным вырождением. Другими словами, уравнение (0.37) является параболическим при и > 0, а при и — 0… Читать ещё >

Содержание

  • ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА
    • 1. Нестационарная n-компонентная система уравнений Власова-Максвелла. Краткий обзор исследований и постановка задачи
    • 2. Существование стационарных решений n-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла
    • 3. Существование решений краевой задачи Дирихле для системы нелинейных эллиптических уравнений на скалярный и векторный потенциалы
    • 4. Специальные классы точных решений стационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла
    • 5. Редукция нестационарной n-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла к нелинейному гиперболическому уравнению
    • 6. Исследование нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла с внешними источниками
  • ГЛАВА II. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
    • 1. Преобразования Беклунда, связывающие решения одномерного уравнения нелинейной теплопроводности с родственными уравнениями
    • 2. Уравнения нелинейной диффузии без источника (стока)
    • 3. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком), зависящим от температуры
    • 4. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) специального вида
  • ГЛАВА III. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КОНЕЧНОЙ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
    • 1. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности без источника (стока)
    • 2. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (частный случай)
    • 3. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (общий случай)
    • 4. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности с источником (стоком)
  • ГЛАВА IV. СУЩЕСТВОВАНИЕ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТОЧНЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ
    • 1. Представление многомерного уравнения нелинейной диффузии в виде переопределенной системы и исследование ее совместности
    • 2. Конечномерная разрешающая система для многомерного уравнения нелинейной диффузии

    3. Редукция разрешающей системы к переопределенной системе алгебро-дифференциальных уравнений (существование решения, частный случай). Качественный анализ решений задачи Коши для вспомогательного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения.

    4. Разрешимость задачи Коши для матрично-векторно-скалярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

    5. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р ^ 2).

    6. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р = 2).

    7. Некоторые обобщения, замечания, комментарии и примеры.

Существование решений системы Власова-Максвелла и уравнения нелинейной теплопроводности (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС) — проблема формирования, нагрева и удержания высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля заряженных частиц. Составной частью этой проблемы является задача формирования и транспортировки мощных потоков (пучков) заряженных частиц, имеющая многочисленные приложения. Эта и многие другие задачи математического моделирования в физике плазмы приводят к необходимости исследования нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с частными производными. В настоящей работе исследуются система интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950] и нелинейное параболическое уравнение второго порядка с неявным вырождением [Калашников, 1987], связанные с задачами математического моделирования в физике плазмы и описывающие соответственно динамику заряженной плазмы в кинетическом приближении [Девидсон, 1978] и ее диффузию поперек магнитного поля [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986].

Действительно, в течение длительного времени, в связи с созданием сильноточных ускорителей и проблемой УТС, продолжают оставаться актуальными задачи математического моделирования в физике плазмы, связанные с формированием, удержанием, подавлением диффузии, фокусировкой и транспортировкой взаимодействующих пучков (ансамблей) заряженных частиц [Днестровский, Костомаров, 1982; Дривотин, Овсянников, 2001; Чихачев, 2001].

Одной из математических моделей, описывающих бесстолкновитель-ный ансамбль п? N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц Qi, • • •? Яп? М{0}, каждый из которых характеризуется функцией распределения v, ?) > 0 по координатам г = (х, у, z)? О, С R3 и скоростей v = (vx, vy, vz)? R3, является система уравнений Власова-Максвелла (ВМ) lfa + v Vrfaf —(Е+ -v x В) • Vvfa = 0, д at та 1.

0.1) at.

0.2) р (г> о = Qa / f<*dv* ^ = Qa / vf<*dv- (°-3) a=l R3 a=l ^.

Здесь t G R±время- = (0,+oo) — (r, v, t) G E3xE3xR± E (r, t), B (r, t) — напряженность электрического поля и магнитная индукцияЕ, В: R3 х R+ Е3- /а: I3 х R3 х Ё+ Ё± p (r, t), j (r, t) — плотности заряда и токата, qa — масса и заряд частиц сорта ас — скорость света.

Отметим, что наиболее полное описание бесстолкновительной заряженной плазмы, в частности, высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля п G N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц, дается именно кинетическим приближением (0.1)-(0.3), в котором плазма исследуется на основе уравнений Власова (0.1) и системы уравнений Максвелла (0.2), (0.3) с самосогласованным электромагнитным полем. Под этим подразумевается, что для решения кинетических уравнений Власова (0.1) относительно функций распределения /a (r, v, t) необходимо знать электромагнитные поля JE?(r, t), В (г, t), которые, в свою очередь, определяются из системы уравнений Максвелла (0.2), (0.3), содержащих моменты функций распределения: плотность пространственного заряда p (r, t) и плотность тока j (r, t). Иначе, электромагнитные поля E (r, t), B (r, t), определяемые согласно (0.2), (0.3), являются самосогласованными, поскольку из уравнений Власова (0.1) определяются такие распределения fa (r, v, t), которые вызывают появление электромагнитных полей E (r, t), B (r, t), поддерживающих эти распределения.

Таким образом, система (0.1)-(0.3) описывает коллективные взаимодействия п G N различных сортов заряженных частиц и называется тг-компонентной системой уравнений ВМ. Система ВМ является, в общем случае, существенно нелинейной системой интегродифференциаль-ных уравнений, имеет с математической точки зрения ряд особенностей [Самарский, 1980], не относится ни к одному из известных типов уравнений и не поддается до конца аналитическому исследованию [Batt, 1998].

Однако, в настоящей работе, при определенных предположениях относительно функций распределения /а (т, v, t), удалось продвинуться и в этом направлении. В частности, предложен анзатц, сводящий систему ВМ (0.1)-(0.3) к нелинейному гиперболическому уравнению и доказано, что каждому решению этого уравнения соответствует семейство самосогласованных распределений fa (r, v, t) и электромагнитных полей E (r, t), B (r, t) исходной задачи (0.1)-(0.3). Кроме того, в этой работе исследуется задача о существовании решений стационарной п-компонентной системы уравнений ВМ.

V • Vrfa + ^{Е + -V х В) ¦ Vvfa = 0, (0.4) та с п г.

V • Е = Атг^Яа fadv, VxE = О, (0.5) а—1.

4*7Г С vхв = /vfadv' = (°-6) a=l R3 описывающей кинетическое равновесие плазмы в бесстолкновительном приближении, где /"(г, v) — функция распределения частиц сорта, а в расширенном фазовом пространстве (г, и) € R6- Е € М3 — вектор напряженности электрического поляВ G М3 — вектор магнитной индукциита, Ча — масса и заряд частицы сорта а.

Описание заряженной плазмы на основе кинетического приближения (0.1)-(0.3) характерно тем, что знание функций распределения /а (г, v, t) позволяет получить полную информацию о макроскопических величинах, характеризующих плазму, например, таких, как плотность Na (r, t), средняя скорость Va (r, t) и температура Ta (r, t) частиц сорта а, определяемых формулами.

Na = j fadv, Va = ~ J vfadv, Ta =jJ {v — Va)2fadv.

R3 R3 R3.

В прикладных исследованиях часто пренебрегают влиянием магнитного поля и рассматривают нестационарную предельную систему ВласоваПуассона (ВП) о jrJa + V Vrfa + — V^ • Vvfa = 0, at ma n «.

Д</>(г, t) = 4тг Я* / fadv, (0.7) a-l & или ее стационарный аналог n r vVrfa + — VrVJV^/a = 0, A (p® = 4тг ^ qa / fadv. (0.8) ma 1 J.

R3.

Здесь t? К± г? Q С М3- v? Е3;

J J f (r, v) drdv = 1, (0.10).

R3 Q где T? К+ - температура электроновк? — постоянная Больцмана- </?(г), Ф (г) — функции, определенные в области ОсМ3и принимающие значения соответственно в R, l3-r? Cl С М3. Далее с учетом условий (0.9), (0.10) было показано, что система ВП (0.8) сводится к нелинейному эллиптическому уравнению.

Аи = 47 г ехр ^ р{г) = ~и (г) + Л, Ф (г) е0, AGE, для г G fiгде е — заряд электрона. В случае, когда плазма состоит из ni + П2 сортов частиц с различными массами и зарядами, то потенциал и = и (г) удовлетворяет нелинейному эллиптическому уравнению Пуассона-Больцмана.

— Аи = I Jexp (-/Ziu)dr j — (0.11) / n exp (cjju) dr I, r? Г2, Aj, vj? ^ujj? где г? Q с К3- и: О, С М3 —> R. Задавая значение потенциала на границе и (г) =и0(г), г е Ш, (0.12) краевая задача (0.11), (0.12) решалась в работе [Gogny, Lions, 1989] вариационным методом с использованием потенциальности уравнения (0.11). Существование и единственность классического решения краевой задачи (0.11), (0.12) с однородным граничным условием доказывалась [Krzywicki, Nadzieja, 1991] на основе техники априорных оценок с использованием теоремы Лере-Шаудера [Хатсон, Пим, 1983] о неподвижной точке.

Точные предельные свойства решения уравнения Пуассона — Больцма-на изучались в работе [Rubinstein, 1986]. Краевая задача (0.8) с условием ip® =0 для г 6 дО рассматривалась в [Веденяпин, 1986].

В настоящее время наиболее изученными установками, с точки зрения поведения плазмы, являются тороидальные магнитные ловушки (тока-маки) [Кадомцев, Сагдеев, Шафранов, 1985]. Такие установки предназначены для нагрева и достаточно длительного удержания высокотемпературной заряженной плазмы в квазистационарном состоянии, за счет того, что внешние и генерируемые токами плазмы магнитные поля не дают разлететься и остыть нагретой плазме.

В работе [Днестровский, Костомаров, 1982] показано, что при определенных предположениях равновесные конфигурации в плазме токамака описываются задачей на собственные значения для полулинейного эллиптического уравнения.

Аи + А/(г, и) = 0, и = и (х), х = (r, z)? П С М2, (0.13) и > 0, х € ft, и = 0, х € dVL, где Q — область сечения проводящего кожуха токамака в плоскости (г, z) — д£1 — граница области Г2- /: М х М+ —> RА? К. — параметр, пропорциональный полному продольному току в плазме токамака. Причем граница дО, проводящего кожуха является магнитной поверхностью.

Вопросам несуществования, существования одного и разветвляющихся решений задачи (0.13) непосредственно посвящены работы [Похожаев, 1965; Gough, 1994] и примыкают исследования [Lions, 1982; Giacomoni, 1998]. Обобщение двумерной краевой задачи (0.13) на систему п € N эллиптических интегродифференциальных уравнений и ее разрешимость (существование и единственность классического решения) будут проведены в этой работе.

Теперь кратко остановимся на задачах физики плазмы, при математическом моделировании которых возникает нелинейное вырождающееся параболическое уравнение второго порядка [Калашников, 1987].

Известно [Днестровский, Костомаров, 1982], что один из дополнительных методов нагрева плазмы токамака до термоядерных температур и, тем самым, увеличения ее макроскопических характеристик связан с инжекцией, поперек магнитного поля, пучка нейтральных частиц высокой энергии. Нейтральные частицы не отклоняются магнитным полем и поэтому их пучок легко проникает в плазму токамака. В плазме нейтральные частицы ионизируются, образовавшиеся в результате этого высокоэнергетичные ионы захватываются магнитным полем и за счет кулоновского механизма столкновений передают свою энергию электронам и ионам плазмы. Для медленных процессов эволюции в токамаке при классическом (кулоновском) переносе плазмы преобладающей является ее диффузия поперек магнитного поля [Днестровский, Костомаров, 1982]. Диффузия плазмы в аксиально-симметричных конфигурациях возникает только за счет перекрестных столкновений между электронами и ионами. Тем самым, в результате столкновений между собой, электроны и ионы будут диффундировать поперек магнитного поля.

Диффузия плазмы через магнитное поле изучалась в работах [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986; Kwong, 1988; Bertsch, Kamin, 1990} и описывается, в общем случае, нелинейными вырождающимися параболическими уравнениями второго порядка [Калашников, 1987] вида щ = Ад (и) + /(А, и), (*, х) € Е+ х fi, (0.14) и = 0, (t, х) Е М+ х dfi, и = щ, (t, х) е {0} х а.

Здесь R+ = (0, оо) — П С К" - открытое ограниченное подмножество с границей класса С2+а]а Е (0,1) — <7: Е+ —> М+ - непрерывная возрастающая функция- <7(0) = 0- /: М х Ё+ —> Е — непрерывная функцияд (-), /(А, •) — локально непрерывны по Липшицу- /(А, 0) = 0 для A G 1. Если д~1 непрерывна по Гельдеру, тогда v = д (и) € С2+а (й) — классическое решение краевой задачи.

— Av = h (A, v), x e f2, v = 0, x € dQ, (0.14)' где /i: 1×1+ -4 Rh (, v) = /(A, 01(i-)).

Основными инструментами исследования уравнения (0.14)' являются [Похожаев, 1980, 1991; Митидиери, Похожаев, 1998] метод обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационные методы, метод верхних и нижних решений, априорные оценки и, так называемый, метод теорем типа Лиувилля.

Уравнение (0.14) эквивалентно уравнению щ = V- (K (u)Vu) + Q (, u), u = u (x, t), хеШп, (0.15) и.

К{и) = д'(и), д{и) = j К{Ode, > 0, о где К (и) ~ коэффициент нелинейной теплопроводности, зависящий от температуры и — и (х, t) > 0- Q (А, и) — функция, описывающая процесс тепловыделения или горения в среде с нелинейной теплопроводностью, если Q (А, и) > 0 при и > 0 и процесс поглощения тепла, если Q (Л, и) < 0.

В настоящее время имеется значительное число публикаций, посвященных исследованию уравнения (0.15). Приведем, например, обзорные статьи [Aronson, 1986; Калашников, 1987; Галактионов, Дородницын, Еле~ нин, Курдюмов, Самарский, 1987] и монографию [Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987]. В работах [Aronson, Peletier, 1981; Bertsh, 1982] для обобщенных решений начально-краевой задачи (0.14) в области Q С М1, а также [De Mottoni, Schiaffino, Tesei, 1984; Aronson, Crandall, Peletier, 1982] была построена качественная теория, аналогичная той, что развита в исследованиях [Белоносов, Зеленяк, 1975; Зеленяк, 1977] для равномерно параболических уравнений.

Уравнения (0.14), (0.15) описывают различные процессы нелинейной теплопроводности с источником (стоком) и одновременно протекающие процессы диффузии и, в частности, процесс диффузии тепла и горения нелинейной диссипативной среды с объемным энерговыделением при, так называемом, лазерном термоядерном синтезе [Самарский, Михайлов, 1997]. При этом процесс горения может осуществляться в виде сложных диссипативных структур [Самарский, Еленин, Змитриенко, Курдюмов, Михайлов, 1977; Самарский, 1980; Курдюмов, 1982], а распространение выделяющейся при этом энергии происходит в результате теплопередачи и описывается, в частности, задачей Коши щ = (К (и)их)х + Q (u), и (х, 0) = щ (х), (0.16) где и = u (x, t) — t € М± х 6 RК (и) = k0ua Q (u) — q0uko, qo,(J 6 R± (3 > 1.

В этих исследованиях показано, что, в зависимости от значений параметров сг, /3, существуют различные режимы горения нелинейной среды. Например, при (3 > 1 может развиваться, так называемый, режим горения с обострением, когда температура u (x, t), по крайней мере, в одной из точек пространства обращается в бесконечность за конечное время. Иначе, существует т € М+ (t — т — момент обострения) такое, что решение и (х, t) > 0 определено на (0, т) х R и lim sup u (x, t) = +оо, то есть задача Коши (0.16) не имеет глобального по времени решения. Неограниченные решения, или режимы с обострением, приводят к локализации в пространстве областей высокой температуры и к образованию пространственно-временных (нестационарных) диссипативных структур. Тем самым, локализация тепла и горения дает, в частности, возможность сконцентрировать любое количество энергии в ограниченных областях нелинейной среды, удерживать это тепло и горение в течение конечного времени практически без распространения из зоны локализации [Галактионов, Курдюмов, Михайлов, Самарский, 1980]. Следует отметить, что одним из примеров нестационарных диссипативных структур является эффект Т-слоя [Самарский, Дородницын, Курдюмов, Попов, 1974] в плазме. Суть этого эффекта состоит в том, что в замагниченной плазме при определенных условиях самопроизвольно могут возникать области относительно высокой температуры. Эти области, или Т-слои, обладают повышенной проводимостью. Тем самым, в них концентрируется основная часть плазменного тока, разогревающего плазму и поддерживающего в нем высокую температуру.

В настоящее время работы, посвященные исследованию системы (0.1)-(0.3) и уравнения (0.14), можно условно разделить на две большие группы, отличающиеся как используемыми методами, так и кругом рассматриваемых задач. Дадим очень краткий обзор1, выделяя в каждой группе работ лишь некоторые, наиболее близкие, на взгляд автора, к данной работе публикации.

Первую группу составляют исследования, связанные с доказательством теорем существования и единственности решений задач Коши, краевых и начально-краевых задач, а также с изучением различных динамических свойств решений, таких, как устойчивость, асимптотическое.

1 Более полный обзор работ, примыкающих к результатам диссертации, проводится по главам. поведение [Poupaud, 1992; Braasch, 1996, 1997; Guo, 1997; Batt, 1998; Самарский, 1980; Калашников, 1987; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987].

Вторую группу составляют работы, посвященные методам построения точных, либо приближенных решений в том или ином явном виде [Mahajan, 1989; Марков, 1992; Batt, Fabian, 1993; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Galaktionov, 1991, 1995; Пухначев, 1995; Капцов, 1998]. К этой группе работ примыкают исследования [Batt, Berestycki, Degond, Perthame, 1988; Degond, 1990; Галактионов, Посашков, 1989; Galaktionov, 1990; Семенов, 2000], основанные на анзатце, позволяющим свести систему (0.1)—(0.3) или уравнение (0.14) к некоторой системе, соответственно, уравнению, которые поддаются разрешимости.

Нет смысла противопоставлять эти две группы работ. Обе они важны как для понимания особенностей поведения решений исследуемых задач (0.1)—(0.3), (0.14), так и для определения области их применимости при математическом моделировании тех или иных процессов в физике плазмы. Это замечание можно отнести ко всем нелинейным уравнениям математической физики.

Частные точные и приближенные решения дают достаточно полное представление о поведении макроскопических характеристик плазмы, таких, как плотность Na, средняя скорость Va, температура Та, в некоторых, представляющих интерес с физической точки зрения, ситуациях. Это, в свою очередь, подтверждает правильность выбора математической модели, основанной на системе (0.1)-(0.3) или уравнении (0.14). С другой стороны, строгие результаты, полученные в первой группе работ, позволяют судить о том, насколько исключительны частные точные решения, насколько они отражают общую ситуацию, существуют ли решения в целом или неограниченные решения (режимы с обострением).

Результаты, изложенные в диссертации, примыкают как к первой, так и ко второй группам работ.

Уравнению Власова (0.1) соответствует характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) описывающая движение заряженных частиц в электромагнитном поле. задач (ОЛ)-(О.З), (0.14).

0.17).

Известно [Власов, 1966], что решением системы уравнений ВМ (0.1)—(0.3) являются произвольные функции вида, а = /а (Яа1,., Яа/), Q = 1, 2,., 71, (0.18) где Hai, • ¦ •, Hai — первые интегралы системы ОДУ (0.17). Кроме того, каждая из функций распределения /а (г, v, t) сама является первым интегралом системы (0.17), то есть d s (.4%. 9fa. <9/а .

-/aM, t) = + r + «= 0. (0.19).

Уравнение (0.19) называется уравнением Лиувилля [Немыцкий, Степанов, 1949; Kaplan, 1953] относительно функции распределения fa{r, v, t) частиц сорта, а для системы ОДУ (0.17). Причем вдоль решения характеристической системы (0.17) функция распределения fa (r, v, t) является постоянной и определяет классическое решение уравнения Власова (0.1) [Rein, 1990; Horst, 1990]. Этот результат есть не что иное, как классическая теорема Лиувилля об инвариантной мере [Арнольд, Козлов, Ней-штадт, 1985] (см. также формулы (1.9) главы I).

Аналогично метод построения стационарных решений системы (0.4)-(0.6) состоит во введении анзатца fa (riv)=(pa (Iai,., Ial), = 1, 2,. .. , 71, (0.20) где Iai = Iai (r, v) i г G Q С R3- v G R3- (ра: М/ —> R+ - некоторые фиксированные функции своих аргументов- 1аь — • •, Iai '• П х Е3 —-> Шпервые интегралы уравнения Власова (0.4) — ipa, Iai,., Iai — непрерывно дифференцируемые функции. Причем анзатц (0.20) редуцирует стационарную систему уравнений ВМ (0.4)-(0.6) к нелинейной системе эллиптических уравнений.

Действительно (см. раздел 2 главы I), если отыскивать стационарные распределения вида fi (r, V) = /г (-сф|2 + (Pi, (г>, di) + Фг) = fi (R, G), (0.20)'.

Pi = i{r): M3 M, геПС R3- v 6 M3- ck G M3 (г = 1,2,., n), и соответствующие им самосогласованные электромагнитные поля Е (г), В (г), удовлетворяющие (0.4)-(0.6), тогда приходим к совместному исследованию системы нелинейных эллиптических уравнений п р п.

Д</> = /л^Як / fkdv, Aip = i>22 d) fkdv, (0.21) k=l JJ3 A=1 в области fi С R2. Здесь di ф 0 — свободные параметрыд =.

87Гaq/m] v = -Anq / (тс2)] а — aiq = qi] m = mid — d.

Далее рассматривается редукция системы (0.21) к одному нелинейному эллиптическому уравнению.

Конкретизируя вид функций распределения (0.20), представляющих интерес в теории высокотемпературной плазмы [Ладиков, 1978], fi = ехр (-сф|2 + (v, di) + U.

А<�р = f Jexp (Up + h^)dx n.

— l qJ^e^+W ^ J exp&-<Р + W) dxj, (0.23) где ip = ip (x), ф — ф (х) — потенциалы электрического и магнитного полейж € О С R2.

В работе [Марков, Рудых, Сидоров, Синицын, 1989] система (0.23) исследовалась в двух предельных случаях и сводилась к одному уравнению вида (0.11). Причем, зная решение уравнения (0.11) и граничное значение потенциала (реа, можно определить искомые электромагнитные поля.

Далее (см. раздел 3 главы I) рассматривается общий случай, когда систему (0.23) нельзя свести к одному уравнению эллиптического вида. В этом случае доказывается разрешимость (существование и единственность классического решения) задачи Дирихле для системы (0.23).

Причем в случае одного уравнения вида (0.11) при нарушении условий Ai, i/i? К+ (г = 1,2,., п) свойство единственности решения может теряться. Например, этот факт следует из анализа упрощенного уравнения.

Аи + Ae2u ^ J exp (2u)dx j = 0, х G Q С R2, с однородным условием Дирихле, которое допускает разветвляющиеся решения [Hesse, Schinder, 1986]. Существование разветвляющихся решений задачи Дирихле для уравнения Лиувилля, А и + еехр и = 0, е G R+, рассмотрено в [Dancer, 1988].

Теперь кратко остановимся на некоторых аспектах теоремы и уравнения Лиувилля для системы обыкновенных дифференциальных уравне-ний (ОДУ) х = Х (х, t), x (t0) = х° е Rn, (0.24) где х € EnJ = {t: t0 < t < +00}- X^x.t) e C§ l){G) G = Hx JС Rn — область (открытое связное множество). При выполнении этих условий через каждую точку х° € Rn в любой момент времени to проходит единственное решение x (t) — x (x°, to, t) задачи Коши (0.24). Известно, что системе ОДУ (0.24) соответствует уравнение Лиувилля [Немыцкий, Степанов, 1949; Kaplan, 1953] д.

-/(м) = £/(М), /(Мо) = Мх). (0.25).

Здесь п о = 0-]- (0.26) i=l 1 оператор Лиувилля, относительно которого, исходя из специфики функции f (x, t) € Ьг (Мп), t е J, будем предполагать, что С действует согласно формуле.

С: Cg°(Rn) -ч. L2(Mn), (0.27) fo (x) — функция, обладающая свойствами fo (x) > 0, fo (x) е C0°°(Rn), J fo (x)dx = 1, (0.28).

X{x, t) = divX{x, t) — дивергенция векторного поля системы ОДУ (0.24) — D (x (x°, to, t) t) = det — якобиан отображения x° —> x (x (x°, ?);

S (x, t) = det dx — якобиан отображения x (x°, to, t) —> x (x{x°, to, t), t) — дивергенция векторного поля системы ОДУ (0.24), вычисленная вдоль ее решения x (t) = x (x°, to, t).

Ансамблем Гиббса [Гиббс, 1946] системы уравнений (0.24) назовем множество идентичных систем вида (0.24) с одинаковыми правыми частями и отличающимися друг от друга лишь начальными состояниями. Если систему ОДУ (0.24) трактовать как закон движения изображающей точки х в Rn, то ансамблю Гиббса системы уравнений (0.24) будет соответствовать в IRn ансамбль изображающих точек. Пусть fi*0 с fi — компактное множество меры Лебега mesfit0, занимаемое ансамблем изображающих точек Гиббса системы (0.24) в момент времени t = to. Каждая из изображающих точек х° € fifo, двигаясь по траекториям системы ОДУ (0.24), переместится за время от to Д° t в новое состояние х (х°, t0, t) = T (t, t0) x° € fit С fi, где T (t, to) -оператор сдвига [Красносельский, 1966] вдоль траекторий системы (0.24) — Qt = {x (x°, to, t) = T (t, to) x°: я0? fit0} - образ множества Qto в силу системы ОДУ (0.24). Итак, имеем Qt = T (t, to) fifo. Пусть mesfit — мера Лебега множества fit С fin. Функцию fo (x) со свойствами (0.28) будем трактовать как плотность вероятности распределения ансамбля изображающих точек Гиббса системы (0.24), принадлежащего множеству fito. Текущее значение функции плотности вероятности распределения f (x, t)? Z, 2(IRn),?? J, определяется из задачи Коши (0.25), (0.26) и характеризует состояние ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ (0.24) в образе flt множества fit0. Будем говорить, что для системы уравнений (0.24) выполняется предположение А, если для всех изображающих точек xQ С fit0 решение x (t) = x (x0,tg, t) последней нелокально продолжимо [Красносельский, 1966] на J и остается в fi при всех t > to. Под классическим решением задачи Коши (0.25) с оператором (0.26), действующим согласно (0.27), будем понимать функцию f (x, t) G Z^M"), которая, будучи подставленной в уравнение Лиувилля (0.25), обращает последнее в тождество. Тогда имеет место следующий результат [Рудых, 1987].

Теорема 0.1. Пусть для системы ОДУ (0.24) выполняется предположение, А и ансамбль изображающих точек Гиббса последней характеризуется в компактном множестве fit0 С fi начальной функцией плотности вероятности распределения fo (x) со свойствами (0.28). Пусть fit = = T (t, to) x°: х°? fit0} - образ множества fifo в силу системы (0.24) и D (x (x°, to, t), t) Ф 0. Тогда оператор сдвига T (t, to) вдоль траекторий системы ОДУ (0.24) определяет гомеоморфизм множества fit0 С fi в множество fit С fi it для всех t &euro-Е J существует единственное классическое решение задачи Коши (0.25)-(0.27), обладающее свойствами.

0.29) L f{x{x°, to, t), t) = fo (x°) exp [ - j х (Ф°, to, t), t) dt] - (0.30) to fo (xQ)/D (x (x°, t°, t), t), t f (Xyt) = fo (p (x, t, t0))ew[ - J x (x (p (x, t, tQ), to, т), т)&г] = (0.31) to f0(p (x, t, tQ))S (x, t). Помимо этого, справедливы соотношения In D (x (xq, t0, t), t) = Х (Ф°, к, t), t), D (x (x°, to, t), t) t=t0 = 1, (0.32) = ?S (x, t), S (x, t) U = 1, (0.33) mesQt = J exp [ J х{Ф°, t0, t), t) dt}dx°, (0.34).

Qtg t0 t mes = J J xix, T) dzdr + mes Qto, (0.35) to fit где L — оператор Лиувилля (0.26) — p (x, t, to) = о) я = x°.

В работах [Немыцкий, Степанов, 1949; Зубов, 1982] функция p{x, t), удовлетворяющая уравнению Лиувилля (0.25),(0.26), трактовалась как ядро или плотность интегрального инварианта. Разрешая п соотношений х = x (x°, to, t) относительно п начальных состояний я0 (что возможно, так как отображение, осуществляемое оператором сдвига T (t, to), является гомеоморфным, более того, выполняются условия теоремы о неявной функции), имеем x° = T-1(t, to)=p (x, t, to)i (0.36) где р (х, t, to) ~ функции, являющиеся п независимыми первыми интегралами системы ОДУ (0.24).

Теорема 0.2 [Зубов, 1982]. Пусть (1) решение х = x (x°, to, t) системы (0.24) существует при t 6 (—оо,+оо), to Е (—оо,+оо):г0 Е (2) векторная функция (0.36) существует при t Е (—оо, -foo),?o € (—оо, +оо), х Е Мп. Тогда каждой неотрицательной функции ро{х) ^ 0, заданной при х € Rn, непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам, отвечает единственное неотрицательное решение p{x>t) уравнения такое, что p (x, t) = Ро{х) при t = При этом p (x, t) является ядром интегрального инварианта системы (0.24).

Формулировку знаменитой теоремы Лиувилля, помимо его оригинальной работы [Liouville, 1838], можно найти в трудах Якоби, Больцмана^ Пуанкаре, различные ее аспекты изложены в курсе математического анализа [Гурса, 1936] и в более поздних публикациях [Соболев, 1962; Fronteau, 1965; Guiasu, 1967; Арнольд, 1974, 1975; Федорюк, 1985]. Переход от детерминированного описания динамических систем к вероятностному обсуждался в отечественной и зарубежной литературе неоднократно и связан с, так называемой, проблемой обоснования статистики [Хинчин, 1943; Крылов, 1950; Боголюбов, 1946, 1954, 1969, 1970], заключающейся в установлении связи между вероятностным и детерминированным описаниями динамических систем [Митропольский, Боголюбов, Прикарпатский, Самойленко, 1987]. По-видимому, в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова (см. избранные труды [Боголюбов, 1969, с.480−497- 1970, с.5−76]) впервые использовалось классическое уравнение Лиувилля faf (p, t0) = f0(q, p), для вероятностного описания системы канонических уравнений Гамильтона д д Qi — т-—H (q, p, ?), Pi = -—H{q, p, t), qi{tQ) = qQi, Pi (t0) = opi dqi со случайными начальными состояниями, распределенными в фазовом пространстве R2n. Здесь q, p G Rn — вектор обобщенных координат и сопряженный вектор обобщенных импульсовto < t < +оо) — H (q, p, t) 6 C°°(R2n+1) — функция Гамильтонан f] = Ш dpidgi.

— скобка Пуассонаfo{q, p), f{q, P, t) — начальная и текущая функции плотности вероятности распределения ансамбля изображающих точек.

Гиббса [Гиббс, 1946] системы канонических уравнений в R2n со свойствами.

Теорема и уравнение Лиувилля являются эффективным инструментом и широко используются при доказательстве теорем существования [Повзнер, 1964], синтезе оптимальных управлений пучками траекторий [Овсянников, 1980; Рудых, 1982], исследовании устойчивости [Fronteau, 1965; Рудых 1982, 1983, 1984; Жуков, 1992], анализе различных динамических свойств [Misra, 1978; Steeb, 1979; Рудых 1982, 1987], качественном изучении [Fronteau, 1979; Рудых 1982; Жуков, 1992] систем обыкновенных дифференциальных уравнений, динамических систем [Корнфельд, Синай, Фомин, 1980] и, наконец, при выявлении стохастических режимов [Синай, 1979] последних.

Кроме того, теорема и уравнение Лиувилля играют весьма важную роль в статистической механике [Хинчин, 1943; Крылов, 1950; Боголюбов, 1946, 1954; Пригожин, 1964] не только в связи с проблемой обоснования статистики, но и с выяснением структуры состояния системы многих тел и процессов стремления ее к равновесию. Теорема Лиувилля об инвариантной мере [Арнольд, Козлов, Нейштадт, 1985] является основой качественных методов в исследовании проблемы птел в классической механике [Хильми, 1951, 1958] и звездной динамике [Батт, 1986; Guo, Rein, 1998]. Помимо этого, уравнение Лиувилля является отправной точкой как для эргодической теории [Корнфельд, Синай, Фомин, 1980], так и для кинетической теории необратимых процессов, например, для вывода системы интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950, 1966]. В самом деле, из работ [Власов, 1950, 1966] следует, что уравнение Власова может быть получено из уравнения Лиувилля для функции распределения всех заряженных частиц данного сорта а, если пренебречь корреляциями частиц и предположить, что многочастичная функция распределения является произведением одно-частичных функций распределения. Использование теоремы Лиувилля в исследовании системы уравнений ВМ можно найти в работах [Мас-лов, Федорюк, 1985; Schwarz, 1986; Lewis, Barnes, Melendez, 1987; Horst, 1990; Rein, 1990]. Бесконечномерный гамильтонов формализм для бесконечномерной системы ВМ развит в работах [Morrison, 1980; Weinstein, Morrison, 1981; Marsden, 1982]. В этих публикациях вводится техника вычисления скобок Пуассона для системы уравнений ВМ и показано, что.

МЧуР) > 0, fo (q, p) dqdp = 1, f (q, p, t)dqdp = 1. последняя является бесконечномерной гамильтоновой системой, то есть допускает представление в виде уравнения Лиувилля.

Наконец, в исследованиях [Fronteau, Combis, 1984; Chaljub-Simon, Fro-nteau, 1986] применялась теорема Лиувилля, а в работах [Рудых, Семенов, 1990, 1991, 1993, 1995, 1997, 1998, 2000; Рудых, 1998, 2000; Rudykh, Semenov, 1990, 1991] - уравнение Лиувилля для построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений. Большинство из построенных на основе уравнения Лиувилля точных решений нелинейных эволюционных уравнений не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда [Овсянников, 1978; Ибрагимов, 1983]. Построению точных неотрицательных решений квазилинейных параболических уравнений нелинейной теплопроводности посвящено большое число публикаций. Укажем лишь наиболее близкие исследования [Баренблатт, 1952, 1956; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Галактионов, Посашков, 1988, 1989, 1994; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1994, 1995; Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983; Кершнер, 1978; Косыгина, 1994, 1995; Мартинсон, 1979, 1982, 1986; Овсянников, 1959; Пухначев, 1987, 1994, 1995; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987; Свирщевский, 1995; Аристов, 1999; Сидоров, 1985; Титов, 1988, 1996; Титов, Устинов, 1985; Фущич, Штелень, Серов, 1989; Bertsch, Kersner, Peletier, 1985; Galaktionov, 1990, 1991, 1995; Herrero, 1989; King, 1993; Meirmanov, Pukhnachev, Shmarev, 1997; Olver, 1991, 1994; Peletier, Zhang, 1995], в которых можно найти ссылки на другие исследования.

Точные решения нелинейных дифференциальных и интегродиффе-ренциальных уравнений с частными производными, задача построения которых является сама по себе самостоятельной математической проблемой [Калоджеро, Дегасперис, 1985], играют весьма важную роль практически во всех областях современной математической физики. Дело в том, что при математическом моделировании [Самарский, Михайлов, 1997] исследуемого физического явления (объекта) наиболее интересные закономерности, как правило, обусловлены его нелинейным поведением. С другой стороны, математическая модель в первую очередь отражает наиболее общие закономерности исследуемого объекта, такие, как законы сохранения, правила отбора и т. п., являющиеся следствием его симмет-рийных свойств, исследованию которых посвящена обширная литература. За последние три десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении и исследовании точных решений широкого класса нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных (например, система Бенни) уравнений с частными производными. Используемые при этом алгеброгеометрический и аналитический подходы в основном связаны с методом обратной задачи рассеяния [Лаке, 1969; Захаров, Шабат, 1974, 1979; Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский, 1980]. Однако [Маслов, Данилов, Волосов, 1987] к полулинейным, а тем более к нелинейным параболическим уравнениям второго порядка неприменим метод обратной задачи рассеяния. В связи с этим, в работе [Маслов, Данилов, Волосов, 1987, с. 177−209], прямым методом [Хирота, 1983], с небольшими модификациями и с использованием Паде-аппроксимации, построены точные одно и двухфазные решения широкого класса одномерных полулинейных параболических уравнений.

Возникает естественный вопрос, для чего нам нужны точные аналитические решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Дело в том, что точные решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными служат прекрасными тестами для приближенных методов их интегрирования, дают представление о структуре решения и позволяют провести его качественный анализ. Хорошо известно, что метод дифференциальных связей [ Сидоров, Шапеев, Яненко, 1984; Андреев, Капцов, Пухначев, Родионов, 1994; Кап-цов, 1998] является одним из эффективных методов выделения классов точных решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными и содержит в качестве частных случаев методы построения промежуточных интегралов, функционально-инвариантных и автомодельных решений.

Итак, точные решения квазилинейных параболических уравнений наглядно демонстрируют и позволяют разобраться в механизме таких важных физических явлений, как неограниченные решения, или режимы с обострением, эффекты локализации режимов с обострением, приводящих к образованию нестационарных диссипативных структур, асимптотическое поведение положительных решений, множественность или отсутствие стационарных состояний и т. п. Самарский, Галактионов, Кур-дюмов, Михайлов, 1987; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Ахромеева, Курдюмов, Малинецкий, Самарский, 1992].

Следует отметить, что даже частные точные решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, играют важную роль тестовых примеров при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. С другой стороны, так как исследуемые уравнения являются нелинейными и построить их общее решение из частного нельзя, то наборы частных точных решений последних служат своего рода ориентирами или границами среди множества всех возможных решений. В связи с этим, частные точные (в частности, автомодельные) решения нашли широкое применение [Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987] в принципе максимума и теоремах сравнения, когда исследование многих важных аспектов качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными опирается на специальное сравнение с пространственно временной структурой построенного точного решения. Тем самым, принцип максимума и теоремы сравнения позволяют сопоставить различные решения исследуемого нелинейного параболического уравнения и дают возможность с помощью какого-то одного фиксированного (точного) решения описать и изучить свойства широкого класса других решений.

Задача нахождения в замкнутом виде точных решений нелинейных уравнений математической физики является очень трудной и порой непреодолимой. Сложность обусловлена, главным образом, либо нелинейностью уравнений, либо большим числом переменных. Поэтому получили широкое распространение исследования (см. работы [Galaktionov, 1991; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1995; Свирщевский, 1995] и цитируемую в них литературу), связанные с проблемой отыскания конечномерных линейных пространств, инвариантных относительно заданного оператора. Показано, что изучаемая проблема, в общем случае, сводится к некоторой нелинейной задаче на собственные значения.

С другой стороны, многие важные нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными обладают некоторой внутренней структурой, знание которой позволяет отыскивать точные решения, исходя из соображений симметрии. Одним из таких уравнений является уравнение нелинейной теплопроводности с источником (стоком) вида (0.15).

Для уравнения (0.16) в исследовании [Овсянников, 1959] впервые решена задача групповой классификации в одномерном случае и отсутствии объемных источников тепла. В работах [Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983] проведен групповой анализ уравнения (0.16) соответственно в одномерном и многомерном случаях (п — 2, п = 3).

В работе одним из объектов исследования является уравнение нелинейной диффузии: ut = V • (uxVu), и = u (x, i), x G Rn, n > 1, (0.37) которое обладает различными, в зависимости от знака параметра Л G R, А ф 0, свойствами. Если Л > 0, тогда (0.37) является квазилинейным параболическим уравнением с неявным вырождением [Калашников, 1987]. Другими словами, уравнение (0.37) является параболическим при и > 0, а при и — 0 вырождается в нелинейное эволюционное уравнение первого порядка типа Гамильтона-Якоби. Исследованиями [Олей-ник, 1957; Олейник, Калашников, Чжоу Юй-Линь, 1958] было начато построение строго математической теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений, а затем продолжено в монографиях [Антон-цев, 1986; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987] и обзорных работах [Kersner, 1978; Мартинсон, 1982, 1986; Калашников, 1987; Aronson, 1988]. С вырождением уравнения (0.37) связаны некоторые особые свойства его решений, например, конечность скорости распространения носителей решений [Олейник, Калашников, Чжоу-Юй-Линь, 1958; Калашников, 1967, 1972]. В свою очередь, с конечностью скорости распространения носителей решений уравнения (0.37), при Л G R+, связаны многие другие типичные свойства последнего [Калашников, 1987; Антонцев, 1986]: наличие (1) режимов с обострением (несуществование глобальных по времени решений) — (2) эффектов локализации режимов с обострением- (3) инерции (конечной или бесконечной временной задержки) начала распространения носителя решения и т. п.

С другой стороны, если Л G Ж~, то в этом случае типичным свойством решений уравнения (0.37) является свойство обращения их в нуль за конечное время. Эффект полного остывания для уравнения (0.37) при Л < 0, рассматриваемого в ограниченной области Q G Mn (u (x, t) = 0 на dfl), известен сравнительно давно [Сабинина, 1962].

Уравнение (0.37) при Л > 0 описывает процесс нестационарной фильтрации, называется уравнением пористой среды и возникает в задачах распространения тепла и диффузии в средах с большими температурными перепадами [Калашников, 1987]. Уравнение (0.37) при Л < 0 описывает диффузионные процессы в полупроводниках, кристаллическом водороде, плазме [Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Калашников, 1987; Пухначев, 1994, 1995] и называется уравнением быстрой диффузии. Наконец, при, А = — 1 уравнение (0.37) запишется щ = АЫи, и = и (х, t), х (Е Rn, п > 1. (0.38).

Уравнение (0.38), согласно общепринятой терминологии, является предельной формой уравнения быстрой диффузии и описывает [Пухначев, 1995] при п = 2 процесс растекания сверхтонкой пленки жидкости под действием сил Ван-дер-Ваальса, а для п = 3 — эволюцию плотности электронного пучка, подчиненного распределению Максвелла. Отметим, что уравнение (0.38) при п = 2 является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа допустимых преобразований бесконечномерна и называется предельным уравнением быстрой диффузии. Несмотря на большое число работ, посвященных построению точных неотрицательных решений уравнения (0.37), большинство из них относится к случаю, когда, А > 0. Известных нам работ, в которых строятся частные точные неотрицательные решения многомерного уравнения быстрой диффузии, значительно меньше. Поэтому основное внимание в^ соответствующих главах диссертации уделено построению точных неотрицательных решений многомерных уравнений быстрой и предельной диффузии.

Настоящая работа посвящена исследованию интегродифференциаль-ной системы уравнений ВМ и уравнения нелинейной теплопроводности.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Нумерация формул, утверждений и теорем двузначная в пределах каждой главы, первая цифра соответствует номеру раздела. В ссылках на формулы, утверждения и теоремы из других глав добавляется цифра, соответствующая номеру главы, которая ставится в начале. Наконец, обзор работ, примыкающих к результатам диссертации, проводится по главам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Отыскание стационарных решений п-компонентной интегродиффе-ренциальной системы уравнений ВМ (с учетом задания функций распределения fa (r, v, t)) сведено к совместному исследованию системы двух нелинейных эллиптических уравнений («разрешающая» система) в области Г2 с 3R2. Рассмотрены случаи редукции этой системы к одному нелинейному эллиптическому уравнению, названному в работе «разрешающим». Для этого уравнения рассмотрена задача Дирихле. На этой основе доказаны две общие теоремы о существовании решений исходной стационарной системы уравнений ВМ с граничным условием Дирихле на скалярный потенциал. Причем самосогласованные поля Е (г), В (г) и функции распределения /а (г, v) определены в явном виде.

2. Изучен случай, когда «разрешающая» система нелинейных эллиптических уравнений не сводится к одному «разрешающемумуравнению. Тогда задача конструктивного построения стационарных решений пкомпонентной системы уравнений ВМ сводится к равномерно эллиптической нелинейной системе, содержащей нелокальные (интегральные) операторы, с граничными условиями Дирихле. В предположении существования верхних и нижних решений, удовлетворяющих некоторым неравенствам, доказана теорема существования и единственности классического решения исследуемой системы нелинейных эллиптических уравнений (теорема З.1.). Причем характер нелинейности позволяет свести построение верхних и нижних решений исследуемой задачи к конечномерным задачам. Для этого нужно, только, уметь решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона с единичной правой частью.

3. Проведено исследование нестационарной n-компонентной системы уравнений ВМ с внешними источниками. При определенных предположениях, доказано, что плотности внешних зарядов /?°(г, t), токов j°(r, t) и функции распределения fa (r, v, t) индуцируют самосогласованные электромагнитные поля E (r, t), B (r, t).

4. На основе уравнения Лиувилля, доказано существование (путем конструктивного построения) точных неотрицательных решений (большинство из которых не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда) многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности с конечной скоростью распространения возмущений.

5. Предложена и исследована нетривиальная конструкция точного неотрицательного решения многомерного уравнения нелинейной диффузии в виде «конечной суммы», которое, в зависимости от параметра нелинейной среды Л G 9R{0}, описывает различные процессы распространения тепла и диффузии. В итоге, после подстановки предъявленной конструкции в изучаемое уравнение, приходим к исследованию конечномерной переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ).

6. Получены достаточные условия, обеспечивающие существование решения задачи Коши для переопределенной системы АДУ. На основе этого результата, показано, что введенная конструкция позволяет получить (а с использованием результатов качественного исследования задачи Коши для некоторого скалярного ОДУ) и проанализировать точные неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения, как класса уравнений пористой среды, когда Л € так и класса уравнений быстрой диффузии, когда Л E 5ft-.

7. Получены новые точные неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения предельного уравнения быстрой диффузии, которое, как известно, является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа Ли допустимых преобразований бесконечномерна.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука. 1994.
  2. С.Н. Локализация решений вырождающихся уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1986. 108С.
  3. С.Н. Периодические и локализованные точные решения уравнения ht = Л In Л// Прикл. механика и технич. физика. 1999. Т.40, N 1. С.22−26.
  4. В.И. Об условиях нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости// Докл. АН СССР. 1965. Т. 162, N 5. С.975−978.
  5. В.И. Об одной априорной оценке теории гидродинамической устойчивости // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. 1966, N 5. С.3−5.
  6. В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974.
  7. В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1975.
  8. В.И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики// Итоги науки и техн. Соврем, про-бл. матем. Фундаментальные направления. Т.З. М.: ВИНИТИ. 1985. С.5−304.
  9. А.А. Единственность и существование в малом классического решения системы уравнений Власова// Докл. АН СССР. 1974. Т.218, N 1. С.11−12.
  10. А.А. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1975. Т. 15, N 1. С.136−147.
  11. Ю.Ю., Веденяпин В. В. О классификации и устойчивости стационарных решений уравнения Власова на торе и в граничной задаче// Труды МИРАН. 1994. Т.203. С.13−20.
  12. И.Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности// Докл. АН СССР. 1987. Т.295, N 1. С.75−78.
  13. И.Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Квазилокальные симметрии уравнений математической физики// Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука. 1987. С.22−56.
  14. И.Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход// Соврем, пробл. матем. Новейшие достижения. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ АН СССР. 1989. Т.34. С.3−83.
  15. Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.
  16. Т.С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. 1992.
  17. Г. И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде// Прикл. матем. и механика. 1952. Т.16, N 1. С.67−68.
  18. Г. И. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде// Прикл. матем. и механика. 1956. Т.20, N 6. С.761−763.
  19. Ю. Нелинейная система Власова-Пуассона уравнений с частными производными в звездной динамике// Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука. 1986. С.47−55.
  20. С.П. Применение характеристических рядов для представления решений нелинейных уравнений параболического типа в окрестности линии вырождения // Численные методы механики сплошной среды. 1985. Т.16, N 5. С.16−28.
  21. Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1976.
  22. B.C., Зеленяк Т. И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: НГУ. 1975.
  23. А.В. Точные решения некоторых классов нелинейных уравнений в частных производных// Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, N 10. С. 1774- 1778.
  24. А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.
  25. В.Н., Повзнер А. Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука. 1987.
  26. Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: АН УССР. 1954.
  27. Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. M.-JI.: Гостехиздат. 1946.
  28. Н.Н. Избранные труды. Киев: Наукова думка. 1969. Т.1. 647С.
  29. Н.Н. Избранные труды. Киев: Наукова думка. 1970. Т.2. 522С.
  30. О.И. Опрокидывающиеся солитоны. М.: Наука. 1991.
  31. О.И. Точные глобальные равновесия плазмы // УМН. 2000. Т.55, N 2. С.63−102.
  32. М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехтеориздат. 1956.
  33. М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1968.
  34. В.В. Граничные задачи для стационарного уравнения Власова // Докл. РАН. 1986. Т.290, N 4. С.777−780.
  35. В.В. Граничные задачи для стационарного уравнения Власова // Докл. РАН. 1992. Т.323, N 6. С.1004−1006.
  36. И.Н. Замечания о свойствах уравнения Аи = —2Кеи // Сиб. матем. журн. 1960. T. l, N 3. С.331−342.
  37. А.П., Дынников И. А. Интегрируемые градиентные потоки // Алгебра и анализ. 1996. Т.8, N 3. С.78−103.
  38. B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971.
  39. А.А. Теория многих частиц.М.: Гостехиздат, 1950.
  40. А.А. Статистические функции распределения.М: Наука, 1966.
  41. А.А. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука, 1978.
  42. К.А. Об одном свойстве анзаца метода Хироты для квазилинейных параболических уравнений // Матем. заметки. 2002.Т.71, N 3. С.373−389.
  43. В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука. 1976.
  44. А.И., Худяев С. И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука. 1975.
  45. А.И., Иванова А. Н. Математические модели в химической кинетике // Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения в математической физике. М.: Наука. 1987. С.57−102.
  46. В.А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Самарский А. А. Асимптотическая стадия режимов с обострением и эффективная локализация тепла в задачах нелинейной теплопроводности / / Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, N 7. С.1196−1204.
  47. В.А., Посашков С. А. Неограниченное точное решение уравнения нелинейной теплопроводности с источником // Препринт ИПМ АН СССР. N 42. Москва. 1988. 15С.
  48. В.А., Посашков С. А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1989. Т.29, N 4. С.497−506.
  49. В.А., Посашков С. А. Точные решения и инвариантные пространства для нелинейных уравнений градиентной диффузии // Журн. вычис. матем. и матем. физики. 1994. Т.34, N 3. С.373−383.
  50. В.А., Посашков С. А. Примеры нессиметричного полного остывания и режимов с обострением для квазилинейных уравнений теплопроводности // Препринт ИПМ РАН. N 21. Москва. 1994. 24С.
  51. В.А., Посашков С. А., Свирщевский С. Р. Об инвариантных множествах и точных решениях нелинейных эволюционных уравнений с квадратичными нелинейностями // Препринт ИПМ РАН. N 22. Москва. 1994.
  52. В.А., Посашков В. А., Свирщевский С. Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, N 2. С.253−261.
  53. Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1966.
  54. И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи матем. наук. 1959. Т.14, N 2. С.87−158.
  55. Р. Продолжения, преобразования Беклунда и теория Ли как средство для изучения нелинейных дифференциальных уравнений // В. кн.: Солитоны в действии. М.: Мир. 1981. С.45−71.
  56. Дж. Основные принципы статистической механики. М.: Го-стехиздат. 1946.
  57. Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука. 1989.
  58. Э. Курс математического анализа. М.-Л.: ОНТИ, 1936.
  59. В.Г., Субочев П. Ю. Точные однофазные и двухфазные решения полулинейных параболических уравнений // Препринт МИАН СССР. Москва. 1988.
  60. В.Г., Субочев П. Ю. Волновые решения полулинейных параболических уравнений // ТМФ. 1991. Т. 89, N 1. С.25−47.
  61. Р. Теория заряженной плазмы. М.: Мир, 1978. 215С.
  62. Ю.Н. Костомаров Д.П.Математическое моделирование плазмы. М.: Наука. 1982. 320С.
  63. P.JI. Уравнение Власова // Функц. анал. и его приложения. 1979. Т. 13, N 2. С.48−58.
  64. В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником // ЖВМ и МФ. 1982. Т.22, N 6. С.1393−1400.
  65. В.А., Князева И. В., Свирщевский С. Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19, N 7. С.1215−1223.
  66. О.И., Овсянников Д. А. Самосогласованные распределения для пучков заряженных частиц. Санкт-Петербург: С.-ПГУ. 2001. 106с.
  67. В.П. Полевые методы в исследовании нелинейных динамических систем. М.: Наука. 1992.
  68. В.М. Точные решения уравнения нелинейной диффузии щ = Alnw + Хи в двумерном координатном пространстве // Теор. и матем. физика. 2000. Т. 124, N 2. С.265−278.
  69. В.Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. М.: Физматлит. 2002.
  70. В.Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функцион. анализ и его прилож. 1974. Т.8. Вып.З. С.43−53.
  71. В.Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функцион. анализ и его прилож. 1979. Т.13. Вып.З. С.13−22.
  72. В.Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. Метод обратной задачи рассеяния. М.: Наука. 1980.
  73. Т.И. О качественных свойствах решений квазилинейных смешанных задач для уравнений параболического типа // Матем. сборник. 1977. Т. 104, N 3. С. 486−510.
  74. Я.Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб., посвященный 70-летию академика А. Ф. Иоффе. М.: Изд-во АН СССР. 1950. С.61−71.
  75. В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа. 1982.
  76. Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.
  77. С.В. О задаче Коши для кинетического уравнения плазмы // Труды МИАН СССР. 1961. Т.60. С.181−194.
  78. .Б., Сагдеев Р. З., Шафранов В. Д. Теория термоядерной тороидальной плазмы // Вестник АН СССР. 1985, N 3. С.28−37.
  79. А.С. О возникновении особенностей у решений уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1967. Т.7, N 2. С.241−259.
  80. А.С. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью распространения возмущений // Вестн. МГУ. Сер. мат. мех. 1972, N 6. С.45−49.
  81. А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // УМН. 1987. Т.42, N 2. С.135−176.
  82. Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и со-литоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир. 1985.
  83. О.В. Нелинейные диффузионные уравнения и инвариантные многообразия // Мат. моделирование. 1992. Т.4, N 8. С.31−46.
  84. О.В. Построение точных решений систем диффузионных уравнений // Мат. моделирование. 1995. Т.7, N 3. С.107−115.
  85. О.В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей// Матем. сборник. 1998. Т.189, N 12. С.103−118.
  86. М.В., Маслов В. П. Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения. И. Операторные унитарно-нелинейные уравнения // Совр. пробл. математики. М.: ВИНИТИ. 1979. Т. 13. С. 145−267.
  87. Р. О некоторых свойствах обобщенных решений квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae. 1978. T.32, N 3−4. C.301−330.
  88. В.Ф., Кривенко С. В., Пустовалов В. В. Групповой анализ кинетического уравнения Власова.1 // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, N 10. С.1804−1817.
  89. В.Ф., Кривенко С. В., Пустовалов В. В. Групповой анализ кинетического уравнения Власова.П // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, N 11. С.1971−1983.
  90. И.П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М.: Наука. 1980.
  91. Е.Р. О новых точных сингулярных решениях многомерного уравнения нелинейной диффузии // Теор. и прикл. аспекты мат. исслед. М.: МГУ. 1994. С.71−75.
  92. Е.Р. Об анизотропных точных решениях многомерного уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1995. Т.35, N 2. С.241−259.
  93. М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз. 1962.
  94. М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966.
  95. Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука. 1985.
  96. Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. M.-JL: АН СССР. 1950.
  97. Н.А. Многофазные и рациональные решения нелинейных уравнений одного семейства // ТМФ. 1993. Т.94, N 3. С.393−407.
  98. С.П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации // Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука. 1982. С.217−243.
  99. Ю.П. Стабилизация процессов в сплошных средах. М.: Наука, 1978.
  100. П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны // Математика. 1969. Т.13, N 5. С.128−150.
  101. Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир. 1974.
  102. О.В., Михайлова М. С., Хазин Л. Г., Ходатаев К. В. Об устойчивости стационарных решений одномерных уравнений Власова // Препринт ИПМ АН СССР. N 75. Москва. 1974. 35С.
  103. Ю.А., Рудых Г. А., Сидоров Н. А., Синицын А. В. Существование стационарных решений уравнений Власова-Максвелла и некоторые их точные решения // Мат. моделирование. 1989. T. l, N 6. С.95−107.
  104. Ю.А., Рудых Г. А., Сидоров Н. А., Синицын А. В. Об одном семействе решений системы Власова-Максвелла и их устойчивости // Мат. моделирование. 1990. Т.2, N 12. С.88−101.
  105. Ю.А. Точные решения нелинейных уравнений равновесия плазмы // Препринт ИрВЦ СО АН СССР. N 2. Иркутск. 1988. 23С.
  106. Марков Ю. А. Точные решения системы уравнений Власова
  107. Максвелла. Устойчивость равновесных состояний // Дис.канд.физ.-мат. наук, Иркутск, 1992.
  108. Ю.А. Об одном классе точных решений кинетической модели равновесия плазмы // Теорет. и математ. физика. 1992. Т.91, N 1. С.129−141.
  109. Ю.А. О некоторых точных решениях кинетической модели равновесия плазмы // Докл. АН СССР. 1989. Т.308, N 1. С.80−83.
  110. Л.К. Распространение тепловой волны в нелинейной среде с поглощением // Прикл. механика и технич. физика. 1979, N 4. С.36−39.
  111. Л.К. Эволюция теплового импульса в среде с нелинейной теплопроводностью // Тр. МВТУ. 1982, N 374. С. 14−34.
  112. Л.К. Исследование математической модели переноса нелинейной теплопроводности в средах с объемным поглощением // Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука. 1986. С.279−309.
  113. В.П. Уравнения самосогласованного поля // Совр. пробл. математики. М.: ВИНИТИ. 1978. Т.Н. С.153−234.
  114. В.П., Федорюк М. В. Линейная теория затухания Ландау // Матем. сборник. 1985. Т.127, N 4. С.445−475.
  115. В.П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука. 1987.
  116. Ю.А., Боголюбов Н. Н., Прикарпатский А. К., Са-мойленко В.Г. Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. Киев.: Наукова думка. 1987.
  117. Э., Похожаев С. И. Отсутствие глобальных положительных решений квазилинейных эллиптических неравенств // Докл. АН СССР. 1998. Т.359, N 4. С.456−460.
  118. А.А. Устойчивость процессов по двум метрикам // Прикл. матем. и механика. 1960. Т.24, N 6. С.988−1001.
  119. В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.М.: Гостехиздат. 1949.
  120. А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир. 1989.
  121. Л.В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности// Докл. АН СССР. 1959. Т.125, N 3. С.492−495.
  122. Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.
  123. Д.А. Математические методы управления пучками. Л: Изд-во ЛГУ. 1980.
  124. О.А. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1957. Т.113, N 6. С.1210−1213.
  125. О.А., Калашников А. С., Чжоу-Юй-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т.22, N 5. С.667−704.
  126. И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.
  127. А.Я. Теорема существования в целом для нелинейной системы и индекс дефекта линейного оператора // Сиб. мат. журн. 1964. Т.5, N 2. С.377- 386.
  128. С.И. О собственных функциях уравнения Au+f(u) = О // Докл. АН СССР. 1965. Т.165, N 1. С.36−39.
  129. С.И. Об уравнениях вида Аи = f(x, u, Du) // Матем. сборник. 1980. Т.113, N 2. С.324−338.
  130. С.И. Об одной задаче J1.B. Овсянникова // Прикл. механика и техн. физика. 1989. N 2. С.5−10.
  131. С.И. Об эллиптических задачах в Ж&trade- с суперкритическим показателем нелинейности // Матем. сборник. 1991. Т.182, N 4. С.467−489.
  132. И. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир. 1964.
  133. В.В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1987. Т.294, N 3. С.535−538.
  134. В.В. Преобразования взаимности радиальных уравнений нелинейной теплопроводности // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1994.Т. 213. С.151−163.
  135. В.В. Многомерные точные решения уравнения нелинейной диффузии // Прикл. механика и технич. физика. 1995. Т.36, N 2. С.23−31.
  136. .Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука. 1978.
  137. А.С., Рудых Г. А. Оператор Лиувилля и существование в целом решения системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Дифференц. уравнения и числ. методы. Новосибирск: Наука. 1986. С.162−168.
  138. Г. А. Исследование обобщенного уравнения Лиувилля // ТМФ. 1981. Т.46, N 3. С.414−425.
  139. Г. А. Динамика неконсервативных негамильтоновых системв вероятностной постановке // Дис.канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ.1982.
  140. Г. А. Обобщенное уравнение Лиувилля в иследовании устойчивости неавтономных систем // Динамика нелинейных систем. Новосибирск: Наука. 1983. С.141−151.
  141. Г. А. Связь теоремы Лиувилля для неавтономной системы дифференциальных уравнений с устойчивостью движения // Метод функций Ляпунова и его приложения. Новосибирск: Наука. 1984. С.151−170.
  142. Г. А. Наиболее вероятная (типичная) траектория движения неконсервативной негамильтоновой системы // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь: ПГУ. 1984. С. 137−145.
  143. Г. А. О поведении интегральной кривой системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Дифференц. уравнения и числ. методы. Новосибирск: Наука. 1986. С. 153−162.
  144. Г. А. Свойства интегральной кривой и решения неавтономной системы дифференциальных уравнений // Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука. 1987. С. 189−198.
  145. Г. А. Точные неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Докл. РАН. 1998. Т.358, N 3. С.323−324.
  146. Г. А. Пары Лакса для одномерного нелинейного эволюционного уравнения и обобщенное преобразование Миуры // Докл. РАН. 1998. Т.358, N 6. С.749−751.
  147. Г. А. Одномерное нелинейное эволюционное уравнение допускает счетное число представлений Лакса и Богоявленского // Докл. РАН. 1997. Т.356, N 5. С.605−607.
  148. Г. А. (Ь, А)-пары Лакса для одномерного нелинейного эволюционного уравнения // Докл. РАН. 1997. Т.356, N 1. С.19−21.
  149. Г. А. Существование и качественный анализ точных неавтомодельных решений уравнения щ = V • (uAV") // Труды международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения». Красноярск, 2000. С.189−193.
  150. Г. А. Свойства стационарных решений нелинейной краевой задачи, моделирующей диффузию плазмы поперек магнитного поля // Докл. РАН (направлена в печать).
  151. Г. А., Рубинов А. С., Синицын А. В. Алгоритм решения обобщенного уравнения Лиувилля для системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь: ПГУ. 1987. С.129−135.
  152. Г. А., Синицын А. В. Разложение и сходимость решения обобщенного уравнения Лиувилля по ортонормированной системе функций // Асимптотические методы. Задачи и модели механики. Новосибирск: Наука. 1987. С.251−266.
  153. Г. А., Синицын А. В. Разложение решения обобщенного уравнения Лиувилля по собственной системе функций // Асимптотические методы. Задачи механики. Новосибирск: Наука. 1988. С. 183−200.
  154. Г. А., Сидоров Н. А., Синицын А. В. О стационарных решениях системы уравнений Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. 1988. Т.302., N 3. С.594−597.
  155. Г. А., Сидоров Н. А., Синицын А. В. О разветвляющихся стационарных решениях двухчастичной системы Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. 1989. Т.304, N 5. С.1109−1112.
  156. Г. А., Сидоров Н. А., Синицын А. В. О нестационарных решениях двухчастичной системы Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. 1989. Т.307. С.1354- 1357.
  157. Г. А., Сидоров Н. А., Синицын А. В. О некоторых точных решениях стационарной системы уравнений Власова-Максвелла //В кн.: Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1988. С.118−128.
  158. Г. А., Семенов Э. И. Коммутационные представления и преобразования Беклунда для нелинейных эволюционных уравнений с одной пространственной переменной// Препринт N 7 ИрВЦ СО АН СССР. Иркутск. 1990. 74С.
  159. Г. А., Семенов Э. И. Об одном подходе построения частных точных решений квазилинейного уравнения теплопроводности с N- пространственными переменными.// Препринт N 6 ИрВЦ СО АН СССР. Иркутск. 1991. 21С.
  160. Г. А., Семенов Э. И. Построение точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т. ЗЗ, N 8. С.1228−1239.
  161. Г. А., Семенов Э. И. Представления Лакса и преобразования Беклунда для одномерных нелинейных эволюционных уравнений // Сиб. матем. журнал. 1995. Т.36, N 1. С.164−176.
  162. Г. А., Семенов Э. И. Новые точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб. мат. журн. 1997. Т.38, N 5. С.1130−1139.
  163. Г. А., Семенов Э. И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. Т.38, N 6. С.971−977.
  164. Г. А., Семенов Э. И. Точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб. матем. журн. 1998. Т.39, N 5. С.1129−1138.
  165. Г. А., Семенов Э. И. Точные неавтомодельные решения уравнения щ = Л Inn // Матем. заметки. 2001. Т.70, N 5. С.787−792.
  166. Г. А., Семенов Э. И. Новые точные решения неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Труды международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения». Красноярск, 2000. С.193−196.
  167. Г. А., Семенов Э. И. О новых точных решениях неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск, 2000. Т.5(1). С.63−69.
  168. Г. А., Семенов Э. И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. I // Сиб. матем. журн. 2000. Т.41, N 5. С.1144−1166.
  169. Г. А., Семенов Э. И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. II // Сиб. мат. журнал. 2001. Т.42, N 1. С.176−195.
  170. Г. А., Семенов Э. И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Матем. заметки. 2000. Т.67, N 2. С.250−256.
  171. Г. А., Семенов Э. И. Существование и качественный анализ точных неавтомодельных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии // В кн. «Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения». М.: Физматлит. 2003. С. 352−396.
  172. Г. А., Синицын А. В. О разрешимости нелинейной краевой задачи, возникающей при моделировании диффузии плазмы поперек магнитного поля и ее равновесных конфигураций // Матем. заметки (принята к публикации).
  173. Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, N 4. С.794−797.
  174. А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т.26, N 11. С.1925−1935.
  175. А.А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука. 1987.
  176. А.А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука. 1997.
  177. А.А., Дородницын В. А., Курдюмов С. П., Попов Ю. П. Образование Т- слоев в процессе торможения плазмы магнитным полем // Докл. АН СССР. 1974. Т.216, N 6. С.1254−1257.
  178. А.А., Еленин Г. Г., Змитриенко Н. В., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Горение нелинейной среды в виде сложных структур // Докл. АН СССР. 1977. Т.237, N 6. С.1330−1333.
  179. Ю.А., Губарев В. Ф., Кривонос Ю. Г. Управление быст-ропротекающими процессами в термоядерных установках. Киев: Нау-кова думка. 1988.
  180. А.К. Специальный класс нестационарных решений системы уравнений Власова- Максвелла // Препринт ИрВЦ СО АН СССР. N 12. Иркутск. 1989. 20С.
  181. С.Р. Нелинейные дифференциальные операторы первого и второго порядков, обладающие инвариантными линейными пространствами максимальной размерности // Теор. и матем. физика. 1995. Т. 105, N 2. С.198−207.
  182. Э.И. Существование и построение точных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии // Дис. канд. физ.-мат. наук, Иркутск, 2000.
  183. А.Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.
  184. А.Ф. Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1985. Т.280, N 1. С. 47−51.
  185. Н.А., Рудых Г. А., Синицын А. В. Существование разветвляющихся стационарных решений двухчастичной системы уравнений Власова-Максвелла // Препринт ИрВЦ СО АН СССР, N 4. Иркутск. 1987. 22С.
  186. Н.А., Рудых Г. А., Синицын А. В. Существование и ветвление стационарных решений системы уравнений Власова-Максвелла // Препринт ИрВЦ СО АН СССР, N 5. Иркутск. 1987. 22с.
  187. Я.Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука. 1979. С.192−212.
  188. А.В. Стационарные решения системы Власова-Максвелла и их устойчивость // Дис.канд. физ.-мат. наук, Новосибирск, 1989.
  189. Соболев C. J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: СО НА СССР. 1962.
  190. С.С. Метод конечномерных колец для решения нелинейных уравнений математической физики // Аэродинамика. Саратов: Саратов. универ. 1988., вып.11. С.104−110.
  191. С.С. О движении фронта нелинейной диффузии // Прикл. механика и технич. физика. 1996. Т.37, N 4. С.113−118.
  192. С.С. Решение уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых пространств // Препринт. Екатеринбург, 1999. 264с.
  193. Д.А. Свойства решений интегро-дифференциальныхуравнений физики плазмы // Дис.канд. физ.-мат. наук, Иркутск, 1991.
  194. В.А. Симметрия и точные решения уравнения щ = h(u)uxx// Симметрийный анализ и решения уравнений математической физики. Киев. Ин-т матем. АН УССР. 1988. С.72−77.
  195. Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
  196. М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1985.
  197. В.И., Штелень В. М., Серов Н. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова думка. 1989.
  198. Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.
  199. В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир. 1983.
  200. Г. Ф. Проблема п тел в небесной механике. М.: АН СССР, 1951.
  201. Г. Ф. Качественные методы в проблеме п тел. М.: АН СССР. 1958.
  202. А.Я. Математические основания статистической механики. М.-Л.: Гостехиздат. 1943.
  203. Р. Прямые методы в теории солитонов //В кн.: Солитоны. Под ред. Р. Буллафа, Ф.Кодри. М.: Мир. 1983.
  204. Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир. 1989.
  205. Н.Г. Об устойчивых траекториях динамики // Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР. 1962. С.250−268.
  206. Н.Г. Устойчивость и классические законы // Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР. 1962. С. 269−272.
  207. А.С. Кинетическая теория квазистационарных пучков заряженных частиц. М.: Физматлит. 2001. 174С.
  208. В.П. Метод дифференциальных связей и его приложение куравнениям механики сплошной среды // Дис.докт. физ.-мат. наук.1. Новосибирск. 1987.
  209. А.Е. Мертвые зоны и мгновенная компактификация носителей энергетических решений квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка // Матем. сборник. 1999. Т.190, N 12. С.129−156.
  210. Н.Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных // Труды IV Всесоюзного математического съезда. Т.2. Ленинград: Наука. 1964. С.613−621.
  211. Abdallah N.B. Weak solutions of the initial-boundary value problem for the Vlasov-Poisson system // Math. Meth. Appl. Sci. 1994. V.17. P.451−476.
  212. Abraham-Shrauner B. Li point transformation grup solutions of the nonlinear Vlasov-Maxwell equations // Workshop on local and global methods of dynamics. New York: Springer-Verlag. 1985.
  213. Antonsev S.N., Diaz J.I., Shmarev S.I. The support shrinking propertiers for solutions of quasilinear parabolic equations with strong absorption terms // Ann.Fac. Sci. Toulouse Math. 1995. V.4. N 1. P.5−30.
  214. Aronson D.G., Crandall M.G., Peletier L.A. Stabilization of solutions of a degenarate nonlinear diffusion problem // Nonlinear Anal. TMA. 1982. V.6, N 10. P.1001−1022.
  215. Aronson D.G., Peletier L.A. Large time behaviour of solutions of the porous medium equation in bounded domains // J.Differ. Equat. 1981. V.39, N 3. P.378−412.
  216. Aronson D.G. The porous medium equation // Some problems in nonlinear diffusion. Lecture Notes in Math., N 1224. Springer Verlag. 1986.
  217. Aronson D.G. Regularity of flows in porous media: a survey // Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States. N.Y.: Springer 1988. V.l. N 1. P.35−49
  218. Arnold V.I. Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinite et ses applications a e’hydrodynamique des fluids parfaits // Ann. Inst. Fourier. Grenoble. 1966. V.16. P.319−361.
  219. Asano K. On local solutions of the initial value problem for the Vlasov-Maxwell equations // Commun. Math. Phys. 1986. V.106. P.551−568.
  220. Bardos C., Degond P. Existence global et comportement asymptotique de la solution de l’equation de Vlasov-Poisson // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.I. 1983. V.297. P.321−324.
  221. Bardos C., Degond P. Global existence for the Vlasov-Poisson equation in 3 space variables with small initial data // Ann. Inst. Henri Poincare. 1985. V.2, N 2. P.101−118.
  222. Batt J. Global symmetric solutions of the initial value problem of stellar dynamics // J.Differ. Equat. 1977. V.25. N 3. P.342−364.
  223. Batt J., Faltenbacher W., Horst E. Stationary spherically symmetric models in stellar dynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V.93. P.159−183.
  224. Batt J. Asymptotic properties of spherically symmetric self-gravitating mass systems for t oo. // TTSP. 1987. V.16. P.763−778.
  225. Batt J., Berestycki H., Degond P., Perthame B. Some families of solutions of the Vlasov-Poisson system // Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. V.104. N 1. P.79−103.
  226. Batt J., Rein G. Global classical solutions of the periodic Vlasov-Poisson system in three dimensions // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.I. 1991. V.313. P.411−416.
  227. Batt G., Rein G. A rigorous stability result for the Vlasov-Poisson system in three dimensions // Anal, di Mat. Рига ed Appl. 1993. V.164. P. 133−154.
  228. Batt J., Fabian K. Stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Chin. Ann. Math. Ser.B. 1993. V.14. P.253−278.
  229. Batt J., Morrison P.J., Rein G. Linear stability of stationary solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensions // Arch. Rat. Mech. Anal. 1995. V.130. P.163−182.
  230. Berger M.S. Perspektives in nonlinearity. New-York. Amsterdam. 1968.
  231. Bernstein I., Greene J.M., Kruskal M.D. Exact non-linear plasma oscillations // Phys. Rev. 1957. V.108. N 3. P.546−550.
  232. Berryman J.G., Holland C.J. Stability of the separable solution for fast diffusion // Arch. Rat. Mech. Anal. 1980. V.74, N 4. P.379−388.
  233. Bertsch M. Asymptotic behaviour of solutions of a nonlinear diffusion equation // SIAM J.Appl. Math. 1982. V.42, N 1. P.66−76.
  234. Bertsch M., Kamin S. A system of generate parabolic equations // SIAM J.Math.Anal. 1990. V.21, N.4. P. 905−916.
  235. Bertsch M., Kersner R., Peletier L.A. Posivity versus localization degenarate diffusion equations // Nonlinear Anal. TMA. 1985. V.9, N 10. P.987−1008.
  236. Bogaevsky V.N., Povzner A.Ya. Linear methods in nonlinear problems with a small parameter // Lecture Notes in Math., 1983, N 985. P.431−449.
  237. Braasch P. On stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system // Preprint. N 9611/46. Mathematisches Institut Ludwig-Maximilians- niversitat Miinchen. 1996. 16p.
  238. Braasch P. On quasistationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system // Preprint. N 9704/51. Mathematisches Institut Ludwig-Maximilians-Universitat Miinchen. 1997. 24P.
  239. Braasch P. Semilineare elliptische differentialgleichungen und das Vlasov-Maxwell-system // Ph.D. Dissertation. Universitat Miinchen. 1996.
  240. Braasch P. On stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system // Math. Meth. Appl. Sci. 1997. V.20. P.667−677.
  241. Brenan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R. Numerical solution of initial -value problems in differential algebraic equations. North-Holland. Elsevier. New-York. 1989.
  242. Chaljub-Simon A., Fronteau J. Quasi-differential systems associated to some equations of evolution // Hadronic J. 1986. V.9. P.291−300.
  243. Cooper J., Klimas A. Boundary value problems for the Vlasov- Maxwell equation in one dimension // J.Math. Anal. Appl.1980. V.75. P.306- 329.
  244. Cooper J., Klimas A. Addendum: boundary value problems for the Vlasov- Maxwell equation in one dimensional // J.Math. Anal. Appl. 1981. V.84. P.644- 650.
  245. Cooper J., Strauss W. The initial boundary problem for the Maxwell equations in the presence of a moving body // SIAM J.Math. Anal. 1985. V.16. P.1165−1179.
  246. Dancer E.N. The effect of domain shape on the number of positive solutions of certain nonlinear equations // J. Differential Equat. 1988. V.74, N 1. P.120−156.
  247. Degond P. Local existence of solutions of the Vlasov-Maxwell equations and convergence to the Vlasov-Poisson system for infinite light velocity // Math. Meth. Appl. Sci. 1986. V.8. P.533−558.
  248. Degond P. Solutions stationnaires explicites du syst/eme de Vlasov-Maxwell relativiste // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.I. 1990. V.310. P.607−612.
  249. Demeio L. Linear stability of the spatially homogeneous equilibria of the Vlasov-Poisson system with collisions // Repts. Math. Phys. 1997. V.40, N 3. P.455−464.
  250. De Mottoni P., Schiaffino A., Tesei A. Attractivity properties of Nonnegative solutions for a class of nonlinear degenerate parabolic problems// Ann. Math. Рига Appl. 1984. v.136. P.35−48.
  251. Di Perna R.J., Lions P.L. Global weak solutions of Vlasov-Maxwell systems // Commun. Pure and Appl. Math. 1989. V.42, N 6. P.729−757.
  252. Di Perna R.J., Lions P.L. Global weak solutions of kinetic equations // Rend. Sem. Mat. Univ. Politech. Torino. 1988. V.46, N 3. P.259−288.
  253. Dolbeault J. Stationary states in plasma physics: Maxwellian solutions of the Vlasov-Poisson system // Math. Meth. Appl. Sci. 1991. V.l. P.183−208.
  254. Fowler Т.К. Lyapunov’s stability criteria for plasmas // J.Math. Phys. 1963. V.4, N 4. P.559−569.
  255. Fridman A., Tintarev K. Boundary asymptotics for solutions of the Poisson-Boltzmann equation // J.Differ. Equat. 1987. V.69, N 1. P.15−38.
  256. Fronteau J. Le theoreme de Liouville et le probleme general de la stabilite // Preprint. N 65−38. Geneve. CERN. 1965.
  257. Fronteau J. Vers une description non conservative de revolution en physique // Hadronic J. 1979. V.2. P.727−829.
  258. Fronteau J., Combis P. A Li-admissible method of integration of Fokker-Plank equations with nonlinear coefficients (exact and numerical solutions) // Hadronic J. 1984. V.7. P.911−930.
  259. Galaktionov V.A. On new exact blow-up solutions for nonlinear heat conduction equations with source and applications // J. Differential and Integral Equations. 1990. V.3, N 5. P.863−874.
  260. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solution to evolution equations with quadratic nonlinearities // School of Mathematics. Univ. Bristol. 1991. Report N AM-91−11. 39P.
  261. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solution to evolution equations with quadratic nonlinearities // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1995. V.125A. P.225−246.
  262. Giacomoni J. Global bifurcation results for semilinear elliptic problems in // Commun. in partial differential equations. 1998. V.23, N 11−12. P. 1875−1927.
  263. Glassey R.T., Strauss W.A. Singularity formation in a collisionless plasma could occur only at high velocities // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V.92. P.59−90.
  264. Glassey R.T., Strauss W.A. High velocity particles in a collisionless plasma // Math. Meth. Appl. Sci. 1987. V.9. P.46−52.
  265. Glassey R.T., Strauss W.A. Large velocities in the relativistic Vlasov Maxwell equations // J.Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA. Math. 1989. V.36.P.615−627.
  266. Gogny D., Lions P.L. Sur les etats d’equilibre pour les densites electroniques dans les plasmas // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1989. V.23, N 1. P.137−153.
  267. Gough J.S. On solution continua of supercritical quasilinear elliptic problems // J. Differential and Integral Equations. 1994. V.7, N 6. P. 1453−1471.
  268. Greengard C., Raviart P.A. A boundary-value problem for the stationary Vlasov-Poisson equations: the plane diode // Commun. Pure. Appl. Math. 1990. V.43. P.473−507.
  269. Guiasu S. Sur les systemes physiques avec les conditions initiales aleatoires // Rev. roum. de math, pures et appl. 1967. V.12, N 9. P.1271−1281.
  270. Guo Y. Global weak solutions of the Vlasov-Maxwell system with boundary conditions // Commun. Math. Phys. 1993. V.154. P.245−263.
  271. Guo Y., Strauss W. Nonlinear instability of double-humped equilibria // Ann. Inst. Henri Poincare. 1995. V.12. P.339−352.
  272. Guo Y. Stable magnetic equilibria in collisionless plasmas // Commun. Pure and Appl. Math. 1997. V.50, N 9. P.891−933.
  273. Guo Y., Grotta R. On steady states in a collisionless plasma // Commun. Pure and Appl. Math. 1996. V.49. P.1145−1174.
  274. Guo Y., Rein G. Stable steady states in stellar dynamics // Preprint. 1998.
  275. Herrero M.A. A limit case in nonlinear diffusion // Nonlinear Anal TMA. 1989. V.13, N 6. P.611−628.
  276. Hesse M., Schindler K. Bifurcation of current sheets in plasmas // Phys. Fluids. 1986. V.29, N 8. P.2484−2492.
  277. Holden H., Lindstrom Т., Oksendal В., Uboe J. The Burgers equation with a noisy forse and the stochastic heat equation // Commun. in partial differential equations. 1994. V.19, N 1−2. P.119−141.
  278. Holm P., Marsden J., Ratiu Т., Weinstein A. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria // Phys. Rep. 1985. V.123. N 1−2. P. l-116.
  279. Horst E. On the classical solution of the initial value for the unmodified non-linear Vlasov equation // Math. Methods Appl. Sci. Part 1. 1981. V.3. P.229−248- Part 2. 1982. V.4. P. 19−32.
  280. Horst E. Global solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Ph. D. Dissertation. Universitat Munchen. 1986.
  281. Horst E. Symmetric plasmas and their decay // Commun. Math. Phys. 1990. V.126. P.613−633.
  282. Horst E. On the asymptotic growth of the solutions of the Vlasov-Poisson system // Math. Meth. Appl. Sci. 1993. V.16. P.75−85.
  283. Hyman J.M., Rosenau P. Analysis of nonlinear parabolic equations modeling plasma diffusion across a magnetic field // Lecture in Appl. Math. 1986. V.23. P.219−245.
  284. Kaplan W. Some methods for analysis of the flow in phase space // Proc. of the symposium on nonlinear circuit analysis. New York. 1953. P.99−106.
  285. Kaptsov O.V. B-determining equations: applications to nonlinear partial differential equations // Euro. J. Appl. Math. 1995. V.6. P.265−286.
  286. Kaptsov O.V. Determining equations and differential constrains // J. Nonlinear. Math. Phys. 1995. V.4, N 1. P.283−291.
  287. Kersner R., de Mottoni P. Support properties of non-negative solutions of a degenarate logistic equation // Nonlinearity. 1990. V.3, N 2. P.453−474.
  288. King J.R. Exact solutions to some nonlinear diffusion equations // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1989. V.42, N 4. P.419−436.
  289. King J.R. Exact multidimensional solutions to some nonlinear diffusion equations // Quart.J.Mech.Appl.Math. 1993. V.46, N 3. P.419−436.
  290. Kruse K.O., Rein G. A stability result for the relativistic Vlasov-Maxwell system // Arch. Rat. Mech. Anal. 1992. V.121. P.187−203.
  291. Krzywicki A., Nadzieja T. Poisson-Boltzmann equation in R3 // Annales Polon. Math. 1991. V.54, N 2. P.125−134.
  292. Kwong Y.C. Interior and boundary regularity of solutions to a plasma type equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V.104, N 2. P.472−478.
  293. Lewis H.R., Barnes D.C., Melendez K.J. The Liouville theorem and accurate plasma simulation // J.Comput. Phys. 1987. V.69. P.267−282.
  294. Lions P.L. On the existence of positive solutions of semilinear elliptic equations // SIAM Review. 1982. V.24, N 4. P.441−467.
  295. Lions P.L., Perthame B. Propagation of moments and regularity for the 3-dimensional Vlasov-Poisson system // Invent. Math. 1991. V.105. P.415−430.
  296. Liouville J. Note sur la theorie de la variation des constantes arbitraires //J. math, pures et appl. 1838. N 3. P.342−349.
  297. Mahajan S.M. Exact and almost exact solutions to the Vlasov-Maxwell system // Phys. Fluids. B. 1989. V. l, N 12. P.43−54.
  298. Marchioro C., Pulvirenti M. A note of the nonlinear stability of a spatially symmetric Vlasov-Poisson flow // Math. Meth. Appl. Sci. 1986. V.8. P.284−288.
  299. Markov Yu.A., Rudykh G.A., Sidorov N.A., Sinitsyn A.V. Some families of solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // IMACS Ann. Comput. Appl. Math. 1990. V.8. P.197−203.
  300. Markov Yu., Rudykh G., Sidorov N., Sinitsyn A., Tolstonogov D. Steady- state solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // Acta Appl. Math. 1992. V.28, N 3. P.253−293.
  301. Markowich P.A., Ringhofer C., Schmeiser C. Semiconductor equations. Wien: Springer. 1990.
  302. Marsden J.E., Weinstein A. The Hamiltonian structure of the Maxwell-Vlasov equations // Physica D. 1982. V.4. P.394−406.
  303. Marsden J.E. A group theoretic approach to the equations of plasma physics // Canad. Math. Bull. 1982. V.25. P.129−142.
  304. Meirmanov A.M., Pukhnachev V.V., Shmarev S.I. Evolution equations and Lagrangian coordinates. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1997.
  305. Misra B. Nonequilibrium entropy, Lyapunov variables, and ergodic properties of classical systems // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1978. V.75, N 4. P.1627−1631.
  306. Morrison P.J. The Maxwell-Vlasov equations as a continuous Hamiltonian system // Phys. Letters. 1980. V.80A. P.383−386.
  307. Munier A., Burgan R.J., Gutierrez J., Fijalkov E., Feix M.R. Group transformations and the nonlinear heat diffusion equation // SIAM J.Appl. Math. 1981. V.40, N 2. P.191−207.
  308. Neunzert H., Petry K.H. Ein existenzsaft fur die Vlasov gleichung mit selbstkonsistentem magnetfeld // Math. Meth. Appl. Sci. 1980. V.2, N 4. P.429−444.
  309. Olver P.J. Symmetry and explicit solutions of partial differential equations //Preprint University of Minnesota. 1991.
  310. Olver P.J. Direct reduction and differential constrains // Proceedings Roy. Soc. London. A. 1994. V.444, N 1922. P.509−523.
  311. Peletier M.A., Zhang H. Self-similar solutions of a fast diffusion that do not conserve mass // J. Differential and Integral Equations. 1995. V.8, N 8. P.2045−2064.
  312. Perthame B. Time decay, propagation of low moments and dispersive effects for kinetic equations // Commun. Partial Differential Equations. 1996. V.21. P.659−686.
  313. Pfaffelmoser K. Globale klassische losungen des dreidimensionalen Vlasov-Poisson systems // Ph.D. Dissertation. Munich. 1989.
  314. Pfaffelmoser K. Global classical solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensions for general initial data // J.Differ. Equat. 1992. V.95. N 2. P.281−303.
  315. Poupaud F. Solutions stationnaires des equations de Vlasov-Poisson // C.R. Acad. Sci. Paris. 1990. V.311. Ser.I. P.307−312.
  316. Poupaud F. Boundary value problems for the stationary Vlasov-Maxwell system // Forum Math. 1992. V.4. P.499−527.
  317. Rein G. Das Verhalten Klassischer Losungen des relativischen Vlasov-Maxwell-Systems bei kleinen Storungen der Anfangsdaten und Aussagen iiber globale Existenz // Ph. D. Dissertation. Universitat Mimchen. 1989.
  318. Rein G. Generic global solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Commun. Math. Phys. 1990. V.135. P.41−78.
  319. Rein G. Existence of stationary, collisionless plasmas in bounded domains // Math. Meth. Appl. Sci. 1992. V.15. P.365−374.
  320. Rein G. Non-linear stability for the Vlasov-Poisson system-the energy-Casimir method // Math. Meth. Appl. Sci.1994. V.17, N 1. P.1129−1140.
  321. Rein G. Growth estimates for the solutions of the Vlasov-Poisson system in the plasma physics case // Math. Nachr. 1998. V.191. P.269−278.
  322. Rosenau P., Hyman J. Plasma diffusion across a magnetic field // Phys. D. 1986. V.20. P. 444−446.
  323. Rosenau P., Turkel E. Long time asymptotic of system for plasma diffusion // TTSP. 1987. V.16, N 2−3. P.377−391.
  324. Rubinstein I. Counterion condensation as an exact limiting property of solution of the Poisson Boltzmann equation // SIAM J. Appl. Math. 1986. v.46. P.1024−1038.
  325. Rudykh G.A., Semenov E.I. Commutational representations and Backlund transformations for the one dimensional nonlinear equation of evolution // Differential equations and control theory. 1991. V.250. P.289−295.
  326. Rudykh G.A., Semenov E.I. Application of Liouville’s equation to construction of special exact solutions for the quasilinear heat equation // IMACS Ann. Comput. and Appl. Math. 1990. V.8. P.193−196.
  327. Schaeffer J. Global existence of smooth solutions to the Vlasov- Poisson system in three dimensions // Commun. Part. Differ. Equat. 1991. V.16. N 8−9. P.1313−1335.
  328. Schwarz G. On electromagnetic fields in the hamiltonian description of continua // Reports Math. Phys. 1986. V.24. P.293−304.
  329. Steeb W.H. Generalized Liouville equation, entropy and dynamic systems containing limit cycles // Physica A. 1979. V.95, N 1. P. 181−190.
  330. Ukai S., Okabe T. On classical solution in the large in time of two-dimensional Vlasov’s equation // Osaka J. Math. 1978. V.15. P.245−261.
  331. Wan Y.H. Nonlinear stability of stationary spherically symmetric models in stellar dynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1990. V.112. P.83−95.
  332. Weckler J. On the initial-boundary-value problem for the Vlasov-Poisson system: existence of weak solutions and stability // Arch. Rat. Mech. Anal. 1995. V.130. P.145−161.
  333. Weinstein A., Morrison P. Comment on: the Maxwell-Vlasov equations as a continuous hamiltonian system // Phys. Lett. 1981. V.86A. P.235−236.
  334. Wollman S. An existence and uniqueness theorem for the Vlasov-Maxwell system // Commun. Pure Appl. Math. 1984. V.37. P.457−462.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!