Аналитическая продолжимость функций и рациональные приближения в некоторых пространствах

При каждом п? Z+ символом Рп обозначим пространство полиномов с комплексными коэффициентами степени не выше п. Наименьшее уклонение функции /? С[—1- 1] от подпространства Рп в равномерной метрике на отрезке [—1- 1] будем обозначать посредством En (f):

Mf) = inf II/ «8\с[-1*].

Sc-i n

В теории аппроксимаций большой интерес представляет тот случай, когда приближаемая функция / является аналитической на отрезке [-1−1], следовательно и в некоторой области, содержащей этот отрезок. С. Н. Бернштейн в 1912 году заметил, что при таких условиях на функцию / наименьшее уклонение En (f) убывает скорее, чем общий член некоторой геометрической прогрессии, доказал теорему во всей общности и, кроме того, вычислил асимптотические значения в некоторых случаях. А именно, пусть Эр — эллипс с фокусами в точках ±1 и суммой полуосей 1 /р.

Теорема ([2], [3]).Условие, необходимое и достаточное для тощ чтобы функция f (z) была аналитической на отрезке [—1- 1] и, оставаясь аналитической внутри эллипса Эр, имела особенности на Эр, заключается в том, чтобы .

ИтУЩТ) = />

П-* 00

Обозначим посредством rn>k = {g/s: g? Pn>s? Pk} совокупность рациональных функций порядка (п, к), причем считаем, что гп = гП) П. Для заданной функции /? Lp[—1- 1] определим величины ее наименьших уклонений в Lp[— 1- 1] от Рп и гп как обычно:

LpEn (f) = inf II/ - S||ip[i-i], LPUf) = inf II/ - r|Up[1−1].

SfcJrn «fcrn

Следующая теорема является аналогом приведенного выше результата С. Н. Бернштейна.

Теорема 1 .Если фиксировано число р? (1- +оо) и для заданной функции /? Lp[—1- 1] справедливо неравенство

Ш{1ьрЕп (!) — LpRn (f) = р<1, (1)

П-*00 V то она аналитически продолжима в область, ограниченную Эр и на самом эллипсе Эр имеется хотя бы одна особая точка ее аналитического продолжения. Для любой функции f голоморфной внутри эллипса Эр, имеющей особенности на границе такой области, выполняется соотношение (1).

Пространство Харди Нр, р 6 (0-+оо), образовано аналитическими в единичном круге D = {z: z < 1} функциями, удовлетворяющими условию

2тг VP ге^)рИ <+оо.

Функции /, голоморфные и ограниченные в Д образуют пространство Н00 с нормой = sup|/(*)|. zeD

Для конкретного значения р G (0-+оо], фиксированной функции /бЯр и заданных целых неотрицательных чисел п и & определим величину наилучшего приближения / множеством гП) к ПЯрв пространстве Нр следующим равенством mw/)= inf ||/-г||н, г€гп, кпнр

В случаях к = п и к = О будем использовать привычные обозначения

HpRn (f) = HpRn>n (f), HpEn (f) = HpRnfi (f).

A. Jl. Левиным в 1969 году была доказана следующая Теорема ([13]). Если

ШУН2ЕП{/) — HtRnif) = р< 1

П—> 00 для некоторой функции f? Н2, то она аналитически продолжается в круг радиуса 1/^/р с центром в нуле.

X. М. Махмудов получил значительное усиление этого результата.

Теорема ([16]).Если задано число р G (1-+оо) и функция f G Нр, то условие lim y/HPEn (f) — HPRnif) = р< 1 обеспечивает возможность аналитического продолжения f в круг радиуса 1/р и на его границе у функции f имеется хотя бы одна особая точка.

Введем стандартные обозначения. Известная теорема К. Жордана утверждает, что каждая замкнутая жорданова кривая Г С С служит границей двух односвязных областей в С: int Г — ограниченная область и ext Г Э оо. Для спрямляемого пути Г посредством |Г| будет обозначаться его длина. Символом G обозначим односвязную ограниченную область со спрямляемой границей Г.

Определение. Пространство Смирнова EP (G) образует совокупность функций /, голоморфных в G и таких, что для каждой из них существует последовательность замкнутых жордановых спрямляемых кривых Гп (/) С (?, n = 1,2, • • •, со свойствами:

1. Гп (/) при пУ оо стремится к Г в том смысле, что

00 int Ti (/) С int Г2(Я С • • • С int Tn{f) и |J int Tn{f) = Gn=1

2. sup / < 00. n J

Гп (/)

Как известно ([4], стр. 422), если функция / ЕЕр©, то она почти всюду на Г имеет определенные предельные значения /(?) по всем некасательным путям, причем / 6? Р (Г). Положим 1/Р

Для каждой функции / из пространства Смирнова #Р (С?) определим величины наименьших уклонений от подпространства Рп и множества гп П EP (G) соответственно равенствами

EpEn (f, G) = inf ||/ - S|U,(G), EpRn (f, G) = inf ||/ - r\Ep[a).

5cfn r? rnrnp (U)

Пусть функция Ф осуществляет конформное отображение внешности области, ограниченной жордановой кривой Г на внешность единичного круга. Причем потребуем, чтобы при этом Ф (оо) = оо, Ф'(оо) > 0. При R > 1 посредством Гд будем обозначать линии уровня кривой Г при отображении Ф (то есть Гд — прообраз окружности радиуса R с центром в нуле). Заметим, что определенные выше эллипсы Э^д и являются линиями уровня Гд, если

Г=[-1−1].

Определеные.Будем говорить, что при фиксированном a 6 (0- 1] спрямляемая кривая Г = {Л, [0- |Г|]} принадлежит классу С (1, а), если ее натуральная параметризация Л (s) дифференцируема и X'(s) содержится в классе Гель дера Lipa.

Следующая теорема является обобщением результата X. М. Махмудова.

Теорема 2. Пусть фиксированы следующие величины: замкнутая жорда-нова кривая Г, принадлежащая классу С (1, а), область G = int Г, параметр р G (1- +оо) я функция f 6 EP (G). Условие lim /EpEn (f, G) — EpRntf, G) = p< 1 (2) rwoo V достаточно для того, чтобы функция f аналитически продолжалась в область int Yijp и на ее границе аналитическое продолжение имело хотя бы одну особую точку. Для любой функции f голоморфной в области int Гимеющей особенность на границе Т/р, выполняется соотношение (2).

В параграфе два главы 1 рассматривается возможность мероморфного продолжения функций из некоторого класса. Точнее, здесь получена формула для вычисления к-ого радиуса мероморфности каждой такой функции. Самыми известными результатами в этом направлении являются формула О. Коши для радиуса сходимости степенного ряда и теорема Ж. Адамара о кругах мероморфности аналитической в нуле функции f (z)=a0 + a1z + —- + amzm + —-. (3)

При каждом к Е Z+ посредством rrik (f) обозначим максимальный радиус круга с центром в нуле, в который функция / может быть продолжена как мероморфная порядка не выше к (т. е. то (/) — радиус сходимости ряда (3), в открытом круге Mfc (/) = {z € С: z < mjfc (/)} при к? N у функции / число полюсов с учетом кратности не превосходит к). Символом Dm>k обозначим симметрический определитель ш+1 • • • dm+k am+2. am+fc+i.. .)

Ят+fc+l • • • am+2k, а посредством Ik — следующий верхний предел:

По определению положим Li = 1.

Теорема ([30],[31]).Отношение h-i/h = mk{f) — радиус к-ого круга мероморфности функции /. Если для некоторого натурального значения s справедливо строгое неравенство ms (f) > mai (/), (4) то функция f в круге радиуса Ms (f) имеет ровно s полюсов с учетом кратности.

Пусть n, m? Z+ - целые неотрицательные числа. Аппроксимация Паде

7Гn, m{f) = Pn, m (/)/9n, m (/) ФУНКЦИИ (3) Порядка (n, т), ГДв pn, m{f) € Рп,

9n, m (/)? Рщ) определяется условием qn, m (f)W (z)-Pn, m (f)(z) = 0(zn+m+1).

Dm, к = dm am+1 am+k

Кроме того предполагаем справедливость неравенства (4) для некоторого натурального значания индекса s. Тогда из теоремы Р. Монтессу де Баллора [32] следует, что для знаменателей s-ой строки таблицы Паде существует предел s ton gn, s (f)(z) = ТТ (* ~ a")> п—Ьст n-> 00

V=1 где корни ai, «2, •», as предельного полинома являются полюсами (с учетом кратностей) функции /.

Фиксируем натуральное число s и некоторый полином qs (z) = (z—/3i)(z— Р2)" ' (Z — Ps), причем gs (0) ф 0. Напомним, что в конечномерном пространстве любые нормы эквивалентны.

Имеет место следующее утверждение: соотношение

Ш\дпМ) ~ qs\1/n = X < I (5) необходимо и достаточно для того, чтобы функция /, заданная рядом (3), допускала мероморфное продолжение в круг радиуса R* — А1тах|Д,| с v центром в нуле и имела там ровно s полюсов с учетом кратностей. Доказательство необходимости имеется, по-существу, в работе Ж. Адамара [30]. Достаточность доказана А. А. Гончаром в [5]. Смысл последнего утверждения, состоит в следующем: если фиксировано s G N и при п -«• оо полюсы аппроксимаций Паде 7r»)S (/) быстро стремятся (в смысле (5)) к некоторым пределам, • • •, Д (и Д, ф 0), то все эти предельные точки являются полюсами функции /, причем она не имеет других особенностей в круге |з| < R*, содержащем точки Д, Дг, • • •, Д, R* = ms (f) и выполняется (4).

Теорема 3. Если фиксированы числа k? N, р > 1 и функция f € Нр, для которой выполнено неравенство lim lHPRntk (f) — HpRn+k+(f) = p

Tl-?00 v 1 и, кроме того, последовательность знаменателей an рациональных функций rn, определяемых равенством HpRn

В главе 2 изучаются рациональные аппроксимации со свободными полюсами функций следующего вида: r{z) = f г <= Сsupp т. (6)

J t — z supp т

Порядки наилучших приближений функций г на компактах (не пересекающихся с носителями мер supp т) в равномерной метрике получены, например, в работе А. А. Гончара [б]. В случае пересечения носителя меры supp т и компакта, на котором осуществляется аппроксимация т рациональными функциями, в одной или нескольких точках, скорость приближения в начале исследований была найдена для индивидуальных функций, позднее — для классов функций в работах Я.-Э. Андерссона, АА. Пекарского и других авторов.

В предположении, что мера ц конечна на отрезке [—1- 1], положим

— 1

Напомним, что функции 7(t) и 8(t) слабо эквивалентны при t to, т. е. 7(t) х S (t), если 7(t) = 0(S (tj) и S{t) = 0(7M).

В следующей теореме оценка сверху при р = оо получена А. А. Пекарским [19], а остальные результаты принадлежат Я.-Э. Андерссону [27].

Теорема. Носитель конечной меры ц содержится на отрезке [0,1]. Если заданы значения 1 < р ^ 00, а > -1/р и d/i (x) х (1 — x) adx при х 1, то справедливы слабые асимптотики

HpRn{p) х п^ехр |-7Г/2п (a + l/p) J .

Фиксируем числа р Е (0- 1) и a > —1.

1. Если dp,(x) ^ С (1 — x) adx, то при 1/р ^ N имеют место оценки сверху

HPRnifi) ^ СхпЪехр |-тга/2П (а + 1/р) }.

2. Если С (1 — x) adx ^ dn (x), то выполнены неравенства

Сщ^ HpRn (il)n-bexp {iry/2n (a + 1/р) } .

Здесь С и С — не зависящие от п положительные величины. Пусть х=—— 1 а + 1/р + Ь + 1/р

— среднее гармоническое чисел a + 1/р иЬ + 1/р.

Теорема (Н. С. Вячеславов, [41]). Пусть фиксированы параметры р 6 (1- +оо], a, be (-1 /р- +оо) и dp (x) х (1 — х) а (+ x) bdx при х -> ±1. Тогда

В случае р Е (0- 1) цитированные результаты Я.-Э. Андерссона для функций с особенностью в одной концевой точке отрезка, на котором осуществляется аппроксимация, переносятся на случай двух особенностей в концах такого отрезка.

Теорема 4. Фиксируем параметр р из интервала (0- 1) и меру ц, удовлетворяющую условию dp,(x) ^ Ci (l — x) a (l + x) bdx, х е (-1- 1), при некоторых a > —1, b > —1 и положительной постоянной С. Если 1/р — не целое число, то для каждого натурального значения п выполняется неравенство

HpRn (p) ^ Спъе-*^, причем здесь и ниже положительная величина С не зависит от п.

Если мера ц, удовлетворяет условию dfi{x) ^ С2(1 — x) a (l + x) bdx, х € (-1- 1), при некоторых a > —1, b > —1 и положительной постоянной то имеет место следующая оценка снизу

Сп^р ^ HPRnffln-be*^.

Пусть, А — банахово пространство функций /, непрерывных в круге, А = {z: z ^ 1} и аналитических в D, с равномерной нормой — максимумом модуля функции. Множество функций, А будем рассматривать также как предгильбертово пространство, в котором скалярное произведение определяется следующим образом = ^ J №ШЧ />9 G СЛ. д&

Пусть точки z,-', zn G СД. Обозначим посредством Rn (zi,-" линейное пространство рациональных функций степени ^ п с фиксированными полюсами zi, — • •, zn, где каждый полюс записан с учетом его кратности, а через Fn — ортопроектор из, А в Rn{z, • • •, zn).

Фиксируем некоторую меру т с носителем supp т, содержащимся на множестве R (—1- 1), для которой определена функция

— v ^ f dTW ii^i supp T

Введем следующие величины: зп (т) = inf / a,-, aneD J dr (t) t (t-l)Bn (t, a) v supp T

Лп (/, Д) = inf и/и — Fn (zJ)Под, fe A.

Zi, —, г"бСД

Здесь a = (аь • • •, an), k=1 afcC

— произведение Бляшке с нулями в точках а^, к — 1,•••, п, а Fn (z, f) -проекция / на Rn{zu •• •, zn).

Теорема^А.А. Пекарский, ЕЛ. Ровба, [20], стр. 363). Пусть т — положительная борелевская мера с носителем supp (j, С [1- +оо) я dr{t) t- 1 00. supp т

Тогда

An (f, Д) ^ 3sn®, п 6 N. Автором получен следующий аналог этого результата. Нам понадобится обозначение: dr{t)

SJt) = inf / tu-, tn6(-l-0] J t (t-i)Bi (t, ty supp T

Теорема 5. Если фиксировано натуральное число п, а т — положительная борелевская мера с носителем supp т С (—оо- — 1] U [1- +оо) и I rfr (t) 1*1−1 00, supp т

ТО

Лп (г, Д)^5п (г), пе N. Наименьшее уклонение в С[-1- 1] непрерывной на [—1−1] функции / от совокупности гП) П1 будем обозначать посредством Rn, m (f, [—1- 1]) — Полагаем {r? rn, m: знаменатель г неотрицателен на R и функция г > О на носителе меры supp т}, dr (t)

Anm (r, [-1- 1]) = inf r€-" -n+m+l, 2m

•И / r (t){t — x) supp T c[-1−1]

Следующие теоремы являются аналогами некоторых результатов А. А. Пекарского из работы [19]. Здесь расширяется класс функций, для которых получены оценки.

Теорема 6. Если мера т имеет носитель на R (—1- 1), причем dr (t) |t|-l 00,

7) supp т функция т определяется согласно равенству (6), тогда при любых значениях индексов n ^ га — 1 выполняется неравенство

Апт (г,[-1−1])^^)т (г,[-1−1]).

Пусть Sn — пространство полиномов с действительными коэффициентами степени не выше n, а

Sn>m = {r G Rn, m • знаменатель г неотрицателен на R и функция г является знакопостоянной на каждом из лучей [1- -f-оо) и (—оо- — 1]}, dr (t)

Km (T, A) = Jnf rCiSn+m+i^m w / r (t)(t-z) supp T

C (Д)

Теорема 7. Если мера т имеет носитель на R (—1- 1), а функция т определяется согласно (6) и удовлетворяет условию (7), то при всехп ^ m имеет место следующая оценка л-т (г, д) ^ § s", m (r, д).

7Г

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38]—[42], докладывались на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова (руководитель — профессор Е. П. Долженко), на конференциях по теории функций в Саратове в 2002, 2006 годах и в Воронеже в 2003, 2005 годах.

1. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.:Физматгиз, 1961.

2. Бернштейн С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. Харьков, Сообщения Харьковского математического общества, 1912.

3. Бернштейн С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. М.-Л.ОНТИ, 1937.

4. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1961.

5. Гончар А. А. О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций. Мат. сб., 1975, Т. 97, N 4, с. 607−629.

6. Гончар А. А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций. Мат. сб., 1978, Т. 105, Я 2, с. 147−163.

7. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

8. Камке Е. Интеграл Лебега-Стилтьеса. М.: Физматгиз, 1959.

9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

10. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка, 1992.И. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближений. М.: Наука, 1984.

11. Кусис П.

Введение

в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984.

12. Левин А. Л. Расположение полюсов рациональных функций наилучшего приближения. Матем. сб., 1969, Т. 80(122), с. 281−289.

13. Мамедханов Дж.И. О неравенствах типа С. М. Никольского. Тр. матем. ин-та АН СССР, 1987, Т. 180, с. 118−119.

14. Математическая энциклопедия. М.: Наука, 1979, Т. 2.

15. Махмудов Х. М. О функциях с близкими значениями наименьших уклонений от полиномов и рациональных функций. Матем. сб., 1991, Т. 182, с. 1657−1668.

16. Махмудов Х. М. О рациональных аппроксимациях функций комплексного переменного в интегральных метриках. Диссертация на соискание ученой степени кадидата физико-математических наук. Москва, 1989.

17. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных. Тр. МИАН, 1951, Т. 217, с. 135−181.

18. Пекарский А. А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова. Алгебра и анализ, 1995, Т. 7, с. 121−132.

19. Пекарский А. А., Ровба Е. А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество рациональных функций. Матем. зам., 1999, Т. 65, выпуск 3, с. 362−368.

20. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. M.-JL, Гостехиздат, 1950.

21. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М: Наука, 1979.

22. Суетин П. К. Многочлены, ортогональные по контуру. УМН, 1966, Т. 21, выпуск 2(128).

23. Уолш Дж.Л.Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М., ИЛ, 1969.

24. Федоров В. М. Курс функционального анализа. Изд. «Лань», 2005.

25. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2, М., Наука, 1969.

26. Andersson J.-E. Rational approximation to function like xa in integral norms. Analysis Math., 1988, V. 14, Af 1, p. 11−25.

27. Duren P.L. Theory of Hp spaces. Academic Press (New York-London), 1970.

28. Duren P.L., Romberg B. W., Shields A. L. Linear functionals on Hp spaces with 0 < p < 1. J. Reine Angew. Math., 1969, V. 238, p. 32−60.

29. Hadamard J. Essai sur I’etude des functions donnes par leur developpment de Taylor. Journal de mathematiques pures et appliques, 1892, Ser. 4, V. 8, p. 1−86.

30. Hadamard J. Oeuvres de Jaques Hadamard. Paris, 1968, Ed. du Centre nat. de la rech. sci., V. 1, p. 7−93.

31. Montessus de Bailor R. Sur les fractions continnes algebriques. Bull. Soc. Math. France, 1902, Л/" 30, p. 266−336.

32. Newman D.J. Quadrature formulae for Hp functions. Math. Z., 1979, V. 166, p. 111−115.

33. Petrushev P.P., Popov V.A. Rational approximation of real function. Cambridge University Press, 1987.

34. Sewell W.E. Generalized derivatives and approximation by polynomials. Trans, of the Amer. Math. Soc., 1937, V. 41, p. 84−123.

35. Szego G. Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegeben Kurve der kom-plexen Ebene gehoren. Math. Z., 1921, V. 9, p. 218−270.

36. Walsh J.L. Uber den Grad der Approximation einer analytischen Funktio-nen. Munchner Beirichte, 1926, p. 223−229.

37. Мочалина Е. П. Об одном критерии аналитической продолжимости функции с отрезка. УМН, 2003, Т.58 Вып. 6, с. 161−162.

38. Мочалина Е. П. Достаточные условия к мероморфного продолжения функций. Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика, Я 4, 2004, с. 14−19.

39. Вячеславов Н. С., Мочалина Е. П. О рациональных аппроксимациях функций типа Маркова-Стилтьеса. Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского, материалы международной летней школы-конф., 2004, Т. 20, с. 54−55.

40. Вячеславов Н. С., Мочалина Е. П. О наилучших рациональных приближениях функций Маркова-Стилтьеса. Воронеж, ВГУ, Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф, 2005, с. 64−65.