Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Численно показано, что функция распределения расстояний между сопряженными точками на геодезической напоминает распределение Пуассона, а также выявлены небольшие отличия от этого распределения. Получена оценка среднего расстояния между сопряженными точками, которая с высокой точностью совпадает с теоретическими данными. Численно продемонстрирован экспоненциальный рост и эффект перемежаемости поля… Читать ещё >

Содержание

Введение
- 1. 1. Актуальность исследований
- 1. 2. Цели и задачи работы
- 1. 3. Защищаемые положения
- 1. 4. Научная новизна. б
- 1. 5. Теоретическая и практическая ценность
- 1. 6. Апробация работы
- 1. 7. Содержание работы
2. Теория Ферстенберга для уравнения Якоби
- 2. 1. Постановка задачи
- 2. 2. Модель Я. Б. Зельдовича
- 2. 3. Уравнение Якоби па геодезической
- 2. 4. Случайная кривизна
- 2. 5. Мультипликативное решение уравнения Якоби
- 2. 6. Теория Ферстенберга для произведения независимых случайных матриц
- 2. 7. Задачи численного эксперимента
3. Численное моделирование решений уравнения Якоби и статистических моментов
- 3. 1. Постановка задачи
- 3. 2. Численный эксперимент
- 3. 3. Генераторы случайных чисел
- 3. 4. Результаты численного исследования
  - 3. 4. 1. Типичная реализация поля Якоби
  - 3. 4. 2. Среднее и высшие статистические моменты модуля поля Якоби
  - 3. 4. 3. Среднее поле Якоби
- 3. 5. Обсуждение результатов главы
4. Численное моделирование распределения сопряженных точек на геодезической со случайной кривизной
- 4. 1. Постановка задачи
- 4. 2. Численный эксперимент
- 4. 3. Результаты численного исследования
- 4. 4. Обсуждение результатов главы
5. Моделирование мелкомасштабного динамо уравнением Якоби
- 5. 1. История исследования проблемы мелкомасштабного динамо
- 5. 2. Уравнение Якоби и уравнение индукции
- 5. 3. Модель с обновлением. Результаты численного исследования
- 5. 4. Модели с эффектом памяти. Результаты численного исследования
- 5. 5. Обсуждение результатов главы

Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

1.1 Актуальность исследований.

Еще в 1964 году Я. Б. Зельдович обратил внимание на то, что влияние небольших неоднородностей плотности во Вселенной, которые присутствуют в ней, несмотря на ее исключительную степень однородности и изотропии, не сводится к флуктуациям сети изотропных геодезических и некоторому шуму, вносимому таким образом в космологические тесты [Зельдович 1964]. Оказывается, что возникает небольшое систематическое искажение космологических тестов, которые делают Вселенную, кривизна пространственного сечения которой в среднем равна пулю, в определенной степени похожей на открытую космологическую модель. Удается ввести понятие эффективной кривизны, которая оказывается отрицательной и пропорциональной величине неоднородностей. Во Вселенной с неоднородностями наблюдатель, измеряющий кривизну пространственного сечения путем сопоставления угловых размеров и расстояния до стандартного объекта, получит вместо осредненного значения кривизны, равного нулю, ее эффективное значение, которое окажется отрицательным.

Несмотря на большой аналитический прогресс в изучении эффекта Я. Б. Зельдовича, представляется необходимым поддержать эти результаты данными численного моделирования. Во-первых, аналитические результаты представляют собой некоторые утверждения об асимптотическом поведении решений без оценки скорости выхода на ассимптотику. Во-вторых, теория в полной мере использует модель флуктуаций как случайного поля. Эта модель хорошо зарекомендовала себя в физике, но все же она не всегда может адекватно применяться к конкретным физическим задачамв контексте космологии на эту ограниченность указывал Я. Б. Зельдович. Поскольку аналитические результаты о поведении решений уравнения Якоби [Ламбурт и др. 2003а] кардинально нарушают привычные представления статистической физики, их верификация методами численного моделирования представляется необходимой. В то же время такие работы практически отсутствуют в литературе.

Работа Я. Б. Зельдовича [Зельдович 1964] была одной из ранних работ, в которых были обнаружены неожиданные свойства уравнений со случайными коэффицентами. В дальнейшем изучение этих явлений проходило в основном на материале физики конденсированного состояния, где они входят в круг явлений локализации (физика твердого тела) и перемежаемости (гидродинамика). Уравнение Якоби интересно не только в космологическом контексте, но и как достаточно простое модельное уравнение, на котором поведение решений уравнений со случайными коэффициентами можно изучить гораздо глубже, чем на сложных уравнениях физики конденсированного состояния.

В частности, модель уравнения Якоби, описывающая эффект Я. Б. Зельдовича, может быть использована и в приложении к магнитной гидродинамике в задаче турбулентного динамо. Аналитическое исследование обеих задач опирается на общие свойства матричных операторов, такие как некоммутативность и унимодулярность, поэтому уравнение Якоби может рассматриваться как модель мелкомасштабного динамо. Преимущество этой простой модели в рамках обыкновенных дифференциальных уравнений перед известными трехмерными аналогами в численном эксперименте состоит в том, что для уравнения Якоби реально получить огромный объем выборки случайных реализаций, который позволяет оценить среднее и статистические моменты.

Заключение

В заключение сформулируем еще раз положения, выносимые на защиту.

1. Численно продемонстрирован экспоненциальный рост и эффект перемежаемости поля Якоби. Численно получен показатель скорости роста решения уравнения Якоби, который совпадает с теоретическим показателем с высокой точностью.

2. Численно показано, что функция распределения расстояний между сопряженными точками на геодезической напоминает распределение Пуассона, а также выявлены небольшие отличия от этого распределения. Получена оценка среднего расстояния между сопряженными точками, которая с высокой точностью совпадает с теоретическими данными.

3. Показано, что рассматриваемая модель эффекта Я. Б. Зельдовича может служить моделью для задачи мелкомасштабного динамо в магнитной гидродинамике.

4. Оценен объем выборки случайных реализаций необходимый для моделирования среднего и статистических моментов уравнения Якоби, этот объем оказался неожиданно большим, порядка 105.

5. Показано, что эффекты памяти, присутствующие в реальном физическом процессе, увеличивают перемежаемость.

Показать весь текст

Список литературы

Артюшкова и Соколов 2003а. М. Е. Артюшкова, Д. Д. Соколов. Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной. // Сб. «Актуальные проблемы внегалактической астрономии, тезисы ежегодной конференции», Пущино, 2003.
Артюшкова и Соколов 2003b. М. Е. Артюшкова, Д. Д. Соколов. Численное моделирование распределения сопряженных точек на геодезической со случайной кривизной. // Вычислительные методы и программирование, 2003, — Т. 5(2), — С. 172−177.
Артюшкова и Соколов 2005. М. Е. Артюшкова, Д. Д. Соколов. Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной. // Астрономический журнал, 2005, — Т. 49, -Р. 584−589.
Гантмахер 1967. Ф. Р. Гантмахер Теория матриц. // М.: Наука, 1967.
Жаров и др. 2000. В. Е. Жаров, М. В. Сажин, Н. А, Чуйкова. Влияние нестабильности земной и небесной систем координат на определениепараметров ориентации Земли. // Астрой, ж., 2000, — Т. 77(2), -С. 144−160.
Зельдович 1964. Я. Б. Зельдович. Наблюдения во Вселенной, однородной лишь в среднем. // Астрономический журнал, 1964, — Т. 41, — С. 1924.
Зельдович и др. 1987. Я. Б. Зельдович, С. А. Молчанов, А. А. Рузмайкии, Д. Д. Соколов. Перемежаемость в случайной среде. // УФН, 1987, — Т. 152(1), — С. 3−32.
Зельдович и Новиков 1975. Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. Строение и эволюция Вселенной. // М.: Наука, 1975.
Казанцев 1967. А. Казанцев. Об усилении магнитного поля проводящей жидкостью. // ЖЭТФ, 1967, — Т. 53, — С. 1806−1813.
Кнут 1977. Д. Е. Кнут. Искусство программирования на ЭВМ (т. 2). // М.: Мир, 1977.
Ламбурт и др. 2000b. В. Г. Ламбурт, ДД. Соколов, В. Н. Тутубалин. Турбулентная диффузия в межзвездной среде. // Астрономический журнал, 2000, Т. 77, N 10, — С. 743−749.
Ламбурт и др. 2003а. В. Г. Ламбурт, Д. Д. Соколов, В. Н. Тутубалин. Поля Якоби на геодезических со случайной кривизной. // Математические заметки, М.: Наука, — 2003, — Т. 74(3), — С. 416−424.
Ламбурт и др. 2003b. В. Г. Ламбурт, Э. Р. Розендорп, Д. Д. Соколов,
Ламбурт и др. 2003с. В. Г. Ламбурт, Э. Р. Розендорп, Д. Д. Соколов, В. Н. Тутубалип. Геодезические со случайной кривизной на римановых и псевдоримановых многообразиях. // Сб. «Труды геометрического семинара», Казань, 2003, — С. 99.
Ламбурт 2006. В. Г. Ламбурт. Сопряженные точки на геодезической со случайной кривизной. // Математические заметки, 2006, — Т. 79(1), — С. 95−101.
Ландау и Лифшиц 2001. Л. Д. Ландау, Е. М Лифшиц. Теория поля (8-е издание). // М.: Наука, 2001. — Т. 2.
Молчанов и др. 1985. С. А. Молчанов, А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов. Кинематическое динамо в случайном потоке. // УФН, 1985, — Т. 145(4), — С. 593 — 628.
Рузмайкин и др. 1988. А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов, А. М. Шукуров. Магнитные поля галактик. // М.: Наука, 1988.
Сажин 1996. М. В. Сажин. Фундаментальный предел точности ас-трометрических измерений. // Письма в Астрон. ж., 1996, — Т. 22,1. C. 643−647.
Синг 1963. Дж. Сит. Общая теория относительности. // М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
Тутубалин 1992. В. Н. Тутубалин. Теория вероятностей и случайных процессов. // М.: Изд-во МГУ, 1992.
Artyushkova at al. 2005b. M. E. Artyushkova, E. V. Ivanova, D. D. Sokoloff. Intermittency in dynamo and Jacobi equations. // International Conference on Theoretical Physics, Abstracts, Moscow, Lebedev Institute, 2005, — P. 80.
Artyushkova and Sokoloff 2006. M. E. Artyushkova, D. D. Sokoloff. Modelling small-scale dynamo by Jacobi equation. // Magnetihydrodynamics, 2006, — V. 42(1), — P. 3−19.
Belyanin at al. 1993. M. Belyanin, A. Shukurov and D. Sokoloff. Simple models of nonlinear fluctuation dynamo. // Fluid Mechanics of Astrophysics and Geophysics, 1993 — V.68, — P. 237−261.
Brandenburg and Subramanian 2000. A. Brandenburg, K. Subramanian. Large scale dynamos with ambipolar diffusion nonlinearity Authors.// Astronomy and Astrophysics, 2000, — V. 361, — P. 33−36.
Brandenburg 2002. A. Brandenburg. Numerical simulations of turbulent dynamos. // Highlights of Astronomy, 2002, — V. 12, — P. 742−744.
Brandenburg and Subramanian 2005. A. Brandenburg, K. Subramanian. Astrophysical magnetic fields and nonlinear dynamo theory.// Physics Reports, 2005, — V. 417, — P. 1−209.
Birkoff 1937. G. D. Birkoff. On product integration. // Journ of Math, and Phys., -1937, V. 16, — P. 104 — 132.1.I
Chertkov at al. 1999. M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov and M. Vergassola. Small-scale turbulent dynamo. // Phys. Rev. Lett., 1999, — V. 83, — P. 4065−4069.
De Felice, Clarke 1990. F. De Felice, C.J.S. Clarke. Relativity on curved manifolds. // Cambridge, 1990.
Elperin at al. 2001. T. Elperin, N. Kleeorin, I. Rogachevskii and D. Sokoloff. Strange behavior of a passive scalar in a linear velocity field. // Phys. Rev. E., 2001, — V. 63, — P. 4 305−7.
Elperin at al. 2002. T. Elperin, N. Kleeorin, V. L’vov, I. Rogachevskii and D. Sokoloff. The clustering instability of inertial particles spatial distribution in turbulent flows. // Phys. Rev. E., 2002, — V. 66, — P. 36 302−16.
Furstenberg 1963a. H. Furstenberg. Noncommuting random products. // Trans, of Amer. Math. Soc., 1963, — V. 108 (3), — P. 377−428.
Furstenberg 1963b. H. Furstenberg. A Poisson formula for semi-simple Lie groups. // Annals of Mathematics, 1963, — V.77(2), — P. 335−386.
Kleeorin at al. 2002. N. Kleeorin, I. Rogachevskii and D. Sokokloff. Magnetic fluctuations with zero mean field in a random fluid with a finite correlation time and a small magnetic diffision. // Phys. Rev. E., 2002, — V. 65, -P. 36 303−7.
Krause, Radler 1980. F. Krause, K.-H. Radler. Mean field magnetohydrodynamics and Dynamo theory. // Pergamon Press, Oxford., 1980.
Meneguzzi at al. 1981. M. Meneguzzi, U. Frish, A. Pouquet. Helical and nonhelical turbulent dynamos. // Phys. Rev. Lett., 1981, — V. 47, -P. 1060−1064.
Moss 1982. D. Moss. Polytropic stellar models with a core-dynamo magnetic field.// Monthly Notices, 1982, — V. 199, P. 321−330.
Sazhin at al. 1998. M. V. Sazhin, V. E. Zharov, A. V. Volynkin, et al. Microarcsecond instability of the celestial reference frame. // Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 1998, — V. 300, — P. 287 — 291.
Sazhin at al. 2001. M. V. Sazhin, V. E. Zharov, T. A. Kalinina. Parallax distortion by weak microlcnsing effect. // Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 2001, — V. 323, — P. 952.-964.
Schekochihin at al. 2004. A. Schecochihin, S. Cowley and S. Taylor. Simulations of the small-scale turbulent dynamo. // Astrophysical J., -2004, V. 9, — P. 276−307.
Schlesinger 1908. L. Schlesinger. Vorlesungen uber lineare Differentialgleichungen. // Berlin, 1908.
Schlesinger 1922. L. Schlesinger. Einfuhrung in die Theorrie der gewohnlichen Differentialgleichungen auf funktionentheoretischer Grundlage. // Berlin, 1922.
Zeldovich et al. 1984. Ya.B. Zeldovich, A.A. Ruzmaikin, S.A. Molchanov, D.D. Sokoloff Kinemaic Dynamo Problem in a Linear Velocity Field. // J. Fluid Mech., 1984, — V. 144, — P. 1 — 32.
Zeldovich at al. 1988. Ya. B. Zeldovich, A. A. Ruzmaikin, S. A. Molchanov, D. Sokoloff. Intermittency, diffusion and generation in a nonstationary random medium. // Sov. Sci. Rev., C. Math. Phys., 1988, — V. 7, P. 1 -110.
Zeldovich at al. 1990. Ya. B. Zeldovich, A. Ruzmaikin and D. Sokoloff. The Almighty Chance.// World Sci. Publ., 1990.

Заполнить форму текущей работой