Компактные линейные группы с факторпространством, гомеоморфным клетке

§ 1.1. Постановка задачи i.

Настоящая работа посвящена описанию компактных линейных групп с факторпространством, гомеоморфным векторному пространству (клетке).

Поводом к исследованию данной проблемы послужила задача нахождения комплексных редуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов, подробно изучавшаяся с середины XX века. Первый результат в этой области описывает случай конечной группы и был получен Шепардом и Тоддом [1] и Шевалле [2]. Прежде чем сформулировать его, потребуется дать определение отраэ/сения и псевдоотражения.

Определение. Линейный оператор в векторном пространстве над некоторым полем называется отражением (соотв. псевдоотражением), если подпространство его неподвижных точек имеет коразмерность 1 (соотв. 2).

Теорема 1.1.1 (Шепард—Тодд—Шевалле). Для конечной линейной группы С, действующей в комплексном векторном пространстве V, следующие условия эквивалентны:

1) алгебра инвариантов группы С? свободна;

2) группа С? порождена отражениями.

Известно также, что при выполнении условий 1) и 2) теоремы 1.1.1 фактор является комплексным многообразием, изоморфным V.

Позднее, в 70—80-х гг. XX в., были перечислены линейные группы со свободной алгеброй инвариантов в ряде важных классов групп: в классе связных простых неприводимых групп — В. Г. Кацем, В. Л. Поповым и Э.Б.Вин-бергом [3]- в классе связных простых приводимых групп — О. М. Адамович и Е. О. Головиной [4] и, независимо, Шварцем [5]- в классе связных полупростых неприводимых групп — Литтельманом [6].

Подробный обзор результатов на эту тему имеется в [7, § 8].

Описание вещественных редуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов сводится к комплексному случаю путём перехода к комплексификации представления. Так, для вещественного векторного пространства V и конечной группы G С GL (V) остаются эквивалентными условия 1) и 2) теоремы 1.1.1, однако из них не следует, что фактор V/G является (вещественным) многообразием, изоморфным У. Дело в том, что над полем R неверна теорема Гильберта о нулях, и, как следствие, каноническое отображение V —> SpecM[V]G не сюръективно (неравенства, задающие его образ, найдены в [8]). К примеру, фактор любой конечной группы отражений гомеоморфен (замкнутой) камере Вейля и потому не гомеоморфен векторному пространству, в то время как факторпространство линейной группы {i-E1} С GI/2(®L), не содержащей отражений, есть двумерное аффинное пространство.

В связи с этим возникла проблема описания компактных (вещественных) линейных групп с факторпространством, гомеоморфным векторному про-, странству. Рассмотрение только компактных групп обусловлено тем, что их факторпространства хаусдорфовы.

По ряду причин в работе изучаются также другие «хорошие» свойства, которыми могут обладать компактные линейные группы. Для понимания этих свойств и формулировки ранее полученных результатов понадобятся следующие определения.

Определение. Непрерывное отображение гладких многообразий назовём кусочно-гладким, если оно переводит любое относительно компактное гладкое подмногообразие в конечное объединение гладких подмногообразий.

В частности, всякое гладкое отображение гладких многообразий является кусочно-гладким.

Рассмотрим непрерывное действие компактной топологической группы G на гладком многообразии М.

Определение.Будем говорить, что фактор действия G: M сильно диф-феоморфен (диффеоморфен) гладкому многообразию М', если топологический фактор M/G гомеоморфен М', причём гомеоморфизм можно построить так, чтобы в соответствии с ним отображение факторизации M —" M' было гладким (кусочно-гладким).

Замечание. Если фактор действия G: M диффеоморфен гладкому многообразию М', то при надлежащем построении гомеоморфизма. топологических пространств M/G и М' отображение факторизации M —> M' переводит любое (:необязательно относительно компактное) гладкое подмногообразие в конечное объединение гладких подмногообразий, поскольку для всякого непрерывного’действия компактной группы отображение факторизации собственное [10, гл. I, § 3].

Определение. Будем говорить, что фактор действия G: M является гладким многообразием, если он диффеоморфен некоторому гладкому многообразию.

Пусть имеется точное линейное представление компактной группы Ли (2 в вещественном векторном пространстве У. В диссертации изучается вопрос о том, является ли фактор У/О этого действия топологическим многообразием, а также является ли он гладким многообразием. Для краткости будем в дальнейшем называть топологическое многообразие просто «многообразием».. ' -, ¦.. :

Для представления О: V, где < оо, М. А. Михайловой в 1984 г. был получен следующий результат [9].

Теорема 1.1.2 (Михайлова). Если фактор V/О сильно диффеоморфен пространству V, то группа О порождена псевдоотражениями, а если О порождена псевдоотражениями, то фактор У/О гомеоморфен У, в частности, • является многообразием.,. .

В настоящей работе рассматриваются случаи группы с коммутативной связной компонентой: и трёхмерной группы.

Основным методом является сведение проблемы к более «простым» представлениям (с меньшей размерностью! группы либо пространства представле- ¦ ния) при ломощи перехода к слайс-представлециям-/подобно переходу, кслайс-представлениям полупростых векторов в задаче описания комплексных ре-дуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов. В качестве ключевого, факта здесь выступает теорема о слайсс для компактных групп преобразований [10]. ¦ '.

1. G. С. Shephard, J.A.Todd, Finite unitary reflection groups, Canad. J. Math., 1954, v. 6, № 2, 274−304.

2. C. Chevalley, Invariants of finite groups generated by reflections, Amer. J. Math., 1955, v. 77, 778−782.

3. V. G. Kac, V. L. Popov, E. B. Vinberg, Sur les groupes algebriques dont l’algebre des invariants est libre, С. r. Acad. sci. Paris, 1976, v. 283, ser. A, 875—878.

4. О. М. Адамович, Е. О. Головина, Об инвариантах пары билинейных форм, Вести. МГУ, Сер. мат., мех., 1977, № 2, 15−18.

5. G. W. Schwarz, Representations of simple Lie groups with regular rings invariants, Inv. Math., 1978, v. 49, 167—191.

6. P. Littelmann, Koregulare und aquidimensionale Darstellungen, J. Algebra, 1989, v. 123, 193−222.

7. Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, Теория инвариантов, Итоги науки и техн., Соврем. проблемы матем., Фундам. напр., ВИНИТИ, 1989, т. 55, 137—309.

8. С. Procesi, G. W. Schwarz, Inequalities defining orbit spaces, Inv. Math., 1985, v. 81, 539−554.

9. M. А. Михайлова, О факторпространстве no действию конечной группы, порождённой псевдоотражениями, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1984, т. 48, № 1, 104−126.

10. Г. Бредон, Введение в теорию компактных групп преобразований, М.: Наука, 1980.

11. А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, М.: Наука, 1989.

12. H. F. Blichfeldt, Finite collineation groups, Univ. of Chicago Press, 1917.

13. Ж.-П. Cepp, Линейные представления конечных групп, М.: Мир, 1970.

14. О. Г. Стырт, О пространстве орбит компактной линейной группы Ли с коммутативной связной компонентой, Труды ММО, 2009, т. 70, 235—287.

15. О. Г. Стырт, О пространстве орбит трёхмерной компактной линейной группы Ли, МГУ имени М. В. Ломоносова, М.: 2010, 32 е., Библиогр.: 1 назв., Рус., Деп. в ВИНИТИ 22.03.10, № 169-В2010.