Неограниченные решения скалярных законов сохранения

Актуальность темы

.

Диссертационная работа посвящена изучению неограниченных решений квазилинейных уравнений первого порядка. Основу диссертации составляет исследование задачи Коши для скалярного квазилинейного уравнения первого порядка щ + divaip{v) = 0, (1) и = u (t, х), (t, ж) G Пт = (0,Т) хГ, 0 < Т < +оо, с начальным условием и (0,х)=щ (х). (2).

Многие математические модели, возникающие в естествознании (например, в гидродинамике, в газовой динамике, в теории транспортных потоков и т. д) приводят к квазилинейным уравнениям первого порядка (1), так называемым законам сохранения. Конкретные модели, приводящие к уравнениям вида (1) можно найти, например, в [31]. Хорошо известно, что в случае ip (u)? С^М"), гАо (ж) € С^М71) задача Коши (1), (2) имеет в некоторой окрестности гиперплоскости t = 0 единственное гладкое решение. Однако, даже при бесконечно «дифференцируемых <�р{и), щ (х) у решения задачи (1), (2) с ростом t могут появляться разрывы. Так как продолжительность реальных процессов, моделируемых квазилинейными уравнениями вида (1), как правило, значительно превосходит время существования гладкого решения (некоторые оценки этого времени можно найти в работе [17] автора диссертации), то необходимо отказаться от классического понимания решения и ввести в рассмотрение обобщенные решения (коротко — о.р.). Известно, что о.р. задачи (1), (2), связанные с пониманием равенства (1) в смысле теории распределения (то есть, в смысле соответствующего интегрального тождества) обычно’оказываются неединственными. В связи с этим, одним из основных вопросов теории о.р. задачи (1), (2) является описание тех дополнительных условий на о.р., которые выделяют класс существования и единственности для рассматриваемой задачи при различных предположениях о начальной функции ио (ж) и вектор-функции потока ср (и). Приведем краткий обзор результатов по теории задачи (1), (2), в случае гладкой функции потока tp (u).

Построение нелокальной теории о.р. задачи (1), (2) для гладких функций потока было начато в 50-х годах прошлого века в работах Э. Хопфа, П. Лакса, О. А. Олейник, А. Н. Тихонова, A.A.Самарского, И. М. Гельфанда, O.A. Ладыженской, A.C. Калашникова, С. К. Годунова, Б. Л. Рождественского и других. Со времени опубликования фундаментальной работы Э-Хопфа [41] основным методом исследования задачи Коши (1), (2) является метод «исчезающей вязкости», который основан на идее предельного перехода при е —"• 0 по решениям задачи Коши для параболического уравнения щ 4- diva- <�р (и) — еАи.

С помощью метода «исчезающей вязкости» можно не только-доказывать существование о.р., но и выявлять условия, обеспечивающие единственность этого решения (о необходимости таких условий см. [23, 31]). В 50-годах наиболее подробно изучался случай п = 1 с выпуклой функцией <�р (и). В работах [16, 23, 22, 32, 44] для этого случая построена теория о.р. задачи (1), (2) при произвольной ограниченной измеримой начальной функции щ (х). В работе [2] И. М. Гельфанд сформулировал условия допустимости и дал принципиальное решение задачи Римана о распаде разрыва для случая невыпуклой функции потока. Этот случай исследовался также в работах [6, 24]. В частности, в работе O.A. Олейник [24] (см. также [2]) было сформулировано условие единственности о.р. задачи Коши в классе кусочно-гладких функций. Вопросы разрешимости задачи (1), (2) для многомерного случая в классах BV (в пространстве функций ограниченной вариации) исследованы в работах [1, 39, 15] (наиболее полно — в [1]). Общая теория этой задачи для уравнения щ + aivx ip (t, ж, и) + х, и) = 0 в классе измеримых ограниченных функций была построена в конце 60-х годов в работах С. Н. Кружкова [8, 9, 10], где введено понятие обобщенного энтропийного решения (коротко — о.э.р.), естественно вытекающее из метода «исчезающей вязкости» (введение в теорию о.э.р. можно найти в пособиях [11, 4]). Приведем определение о.э.р. применительно к уравнению (1):

Определение 0.1. Ограниченная измеримая функция и = u (t, x) называется обобщенным энтропийным решением (коротко — о.э.р.) задачи Коши (1), (2), если: ajVfcel.

I и — kt + div* [siga (u — к)(у{и) ;

< 0 (3) в смысле распределений на Пт (в Р'(Пт)) — б) ess lim I•) — wo I = О в Ljoc (]Rn), т. е. существует множество 8 С (О, Т) t—>О*}полной меры Лебега, такое, что при t G 8 u (t, •) € Ь°°(Шп) и u (t, ¦) — uq —> 0 в LJJR") при? -«¦ 0, t е 8.

Условие (3) означает, что для любой пробной функции / = /(?, х) € Со (Пт), / > 0 выполнено интегральное неравенство.

J [|ti — kft + sign (w — k)(cp{u) — tp (k), V*/)] dtdx > 0, где (•, •) обозначает скалярное умножение на lRn.

Начало построения теории о.э.р. при лишь непрерывной вектор — функции ср (и) было положено работами [12,13, 33]. Что касается теорем существования* в естественных классах о.э.р., то они. справедливы без каких-либо предположений о характере непрерывности функций потока. Основанная на априорных оценках техника аппроксимации непрерывных (fi гладкими, позволяет устанавливать существование в тех же классах, что и для гладких функциях потока. Впервые эта техника была применена в статье С. Н. Кружкова и Ф. Хильдебранда [12] для класса о.э.р. из £°°(Пг) ПХ^Пг), Пг = (0,Т] х Rn, Т > 0 — произвольно, где доказано существование о.э.р. задачи (1), (2) для произвольной ограниченной суммируемой начальной функции щ (х). Проблема единственности значительно сложнее, что связано с эффектом, бесконечной скорости распространения возмущений, который может приводить при п > 1 к неединственности ограниченного о.э.р. задачи (1), (2) (соответствующие примеры можно найти в работах [14, 25, 43]). Поэтому, необходимы дополнительные ограничения на характер непрерывности функций потока. Такие ограничения были указаны в работах [12, 13], позднее эти ограничения были значительно ослаблены, см. [14, 25, 43, 36, 28]. В частности, в случае лишь одной пространственной переменной единственность о.э.р. оказывается верной без всяких дополнительных условий. Следует заметить, что для ограниченных о.э.р. всегда выполнен принцип максимума/минимума: если, а < < Ь почти всюду на Rn, и u (t, x) — о.э.р. задачи (1), (2), то, а < u (t, х) < Ъ почти всюду на Пу. Из этого принципа в частности вытекает единственность постоянного решения (в классе ограниченных о.э.р.). Единственность ограниченного о.э.р. установлена также в случае, когда начальная функция имеет (п — 1) линейно независимых периодов, см. [26, 27].

Для неограниченных о.э.р. свойство конечности скорости распространения возмущений может нарушаться и для гладкого вектора потока, не удовлетворяющего глобальному условию Липшица, и это может приводить к потере корректности задачи Коши. Именно, ни один из положительных результатов, известных для ограниченных о.э.р. (таких как существование, принципы максимума/минимума, единственность), не сохраняется для локально ограниченных о.э.р. Впервые это было замечено в работах [42, 3], где были построены примеры неединственности и несуществования локально ограниченных о.э.р. задачи Коши для уравнения.

Щ + (и3)ж = 0. (4).

Оказалось, в частности, что кроме единственного в классе ограниченных о.э.р. нулевого решения имеется бесконечно много ненулевых локально ограниченных о.э.р. задачи Коши для уравнения (4) с нулевыми начальными данными.

Таким образом, актуальной является задача выделения классов корректности среди неограниченных решений задачи* (1), (2).

Приведем краткий обзор известных результатов в этом направлении.

В [3] для одномерного уравнения (n = 1) была доказана единственность локально ограниченного о.э.р. при дополнительном предположении суммируемости по пространственной переменной.

В работе [28] была рассмотрена задача (1), (2) с лишь непрерывным вектором потока, ip (u)? С (M, Rn), удовлетворяющим линейному ограничению на рост: l?>(u)| < С (1 + М), С = const • | обозначает не только модуль числа, но и евклидову норму конечномерного вектора). Оказалось, что при этом ограничении задача Коши корректна даже в классе локально суммируемых о.э.р. В [28] установлено, что для любой начальной функции uq G L^R") существует о.э.р. u (t, x) G Iq0C (II), П = Поо. При этом, если щ G 17(Шп), 1 < р < оо, то и u (t, •) G i7(Mn), причем \u (t, -)Hp < \щ\р. Заметим, что из этого результата сразу следует единственность нулевого (более обще — постоянного) решения. Для единственности о.э.р. при произвольных начальных данных необходимы дополнительные ограничения на характер непрерывности вектора потока. Единственность доказана в [28] при условии, что функции .

Как показывают примеры, это условие существенно для единственности о.э.р. (даже в классе ограниченных о.э.р.). В работе [29] исследовался случай, когда ip (u) G С1 (M, Мп) и выполнено следующее степенное ограничение на рост производной l^'MI < С (1 + К-1), V > 1, С = const.

Показано, что класс существования и единственности о.э.р. задачи (1), (2) задается также степенным ограничением на рост о.э.р. Именно, определим пространства.

В° = { и = и{х) G L? c (W1) I 3M = MU u (x) < M{ 1 + |ж|а) п.в. на Мп }, В°а = { и = и{х) G Ва I ess lim |г1(ж)||а-|~а = 0 }, х|—"оо.

Ва = { «= u (t, х) G L£c (ПГ) I 3M = Mit) G L? c ([0, T)) Iu (t, x) < M{t){ 1 + |s|a) п.в. на ПГ }.

Тогда при, а = (р — I)-1 существует единственное о.э.р. u (t, x) G Ва задачи (1), (2) при любой начальной функции^о G В®-, определенное в некотором слое Пдг. При этом, если щ G В^, то можно положить Т — +оо. Примерами показано, что при увеличении показателя, а теряется как существование так и единственность о.э.р. Так, в [29] для одномерного уравнения щ + (р (и)х = 0, (5) при ip{u) — ир~1и, р > 1 построено бесконечно много о.э.р. и G Bp задачи Коши для уравнения (5) с нулевой начальной функцией, при любом значении параметра? > а. При построении этих о.э.р. существенно использовался тот факт, что функция потока имеет точку перегиба и = 0. Как было позднее установлено в [30], в случае выпуклой (вогнутой) функции потока единственность нулевого о.э.р. верна (более обще, любое о.э.р. и — u{t, х) € L™c (TLt) задачи (1), (2) с ограниченной начальной функцией ограничено и единственно). Актуальна задача нахождения классов корректности локально ограниченных о.э.р. для уравнения (1) общего вида. Решению этой задачи посвящена первая глава диссертации.

В случае, когда условия корректности нарушены и начальная функция не ограничена, естественные требования и G L}oc (J1t), <�р{и) G ?^(П^М") оказываются слишком ограничительными, так как с ростом t могут нарушаться условия локальной интегрируемости. Однако, отказавшись от этих условий, мы не можем рассматривать энтропийные условия (и даже само уравнение) в рамках теории распределений. В этой связи, необходимо рассматривать более широкий класс выходящих за рамки теории распределений ренормализованных решений. Для корректного определения таких решений и — u (t, x) используются энтропийные условия для суперпозиций s (и), где sограниченные функции специального вида. Ренормализованные решения были впервые введены в [40], для линейных уравнений первого порядка (транспортных уравнений). Позднее (см. [34, 37, 38]) была построена получившая широкую известность теория ренормализованных решений эллиптических и параболических задач. В работе [35] были введены ренормализованные энтропийные решения (коротко — р.э.р.) задачи (1), (2), в случае суммируемых начальных данных щ (х) G L1 (Мп). В этой работе доказаны существование и единственность р.э.р. В основе доказательств лежат результаты и методы теории сжимающих полугрупп в L1(Rn), так что условие суммируемости по пространственным переменным существенно используется.

Применяя другие методы исследования, результаты [35] можно значительно обобщить. Решению этой актуальной задачи посвящены вторая и третья главы диссертации. Во 2-ой главе рассмотрен случай, когда щ (х) — произвольная измеримая функция. В 3-ей главе диссертации впервые изучен класс периодических по пространственным переменным р.э.р. задачи (1), (2).

Краткое содержание диссертации.

В Главе 1 введены и исследованы классы корректности локально ограниченных о.э.р. задачи (1), (2), в общем случае произвольного гладкого вектора потока <�р (и). В этом случае всегда можно найти строго возрастающую функцию Ф (г) на [0,+оо), такую что Ф (г) —> +оо и (р'(и) < Ф (Н). Определим г—>+оо классы.

ВФ = {"(i,®) е ¿-&-(ПГ) | Зс = c (t) € ??С ([0,Т)) Ф (и&х)) < c (t)(х + 1)} ,.

В°ф = { и0(х) Е L? c (Rn) | ЗС > 0 Ф (|"о (®)|) < С (х + 1) }.

Единственность о.э.р. установлена даже в более широком по сравнению с Вф классе врф = {u (t, х) е L£c (Пг) I Зс = c (t) е 1? с ([0,Т)) Ф (и{1,Ж)|) < c (t)p (M)}, где р (г) — непрерывная положительная и неубывающая функция на =.

00 / dr.

О, +оо) со свойством / —— = оо. Более обще, в Теореме 1.1 доказан прин.

J РКП цип сравнения для обобщенных энтропийных суби суперрешений из класса В^. При его доказательстве использованы методы удвоения переменных, специфические методы выбора пробных функций, разработанные для случая, когда скорость распространения возмущений может быть неограничена.

Установлено, что для начальных данных, соответствующих классам может нарушаться свойство существования о.э.р., и для существования о.э.р. необходимо рассматривать более узкие классы начальных данных Вф. Как показано в Теореме 1.2, для любой начальной функции щ? существует единственное о.э.р. и = u (t, х)? Вф, определенное в некотором слое Пу. При этом, если Ф (|гго (ж)|)/|ж| —> 0 при х оо, то указанное о.э.р. существует во всем полупространстве (то есть Т = +оо). Приведены Примеры 1.1, 1.2, подтверждающие точность условий существования.

Результаты главы 1 подробно опубликованы в [18, 20].

В первой части Главы 2 диссертации вводятся понятия ренормализован-ных энтропийных суби суперрешений (р.э.субр. и р.э.суперр.) задачи (1), (2) с лишь измеримой начальной функцией щ (х). В основе определения этих понятий лежит энтропийное условие: Va, Ь? 3R, а < Ъ sa, b (u))t + diVz.

Ренормализованное энтропийное решение (р-э.р.) задачи (1), (2) определяется как измеримая’функция, являющаяся одновременно р.э.еубр. и р.э.суперр. этой’задачи. В Предложении 2.1 доказано, что понятие р.э.р.можно сформулировать независимо от понятий р.э.еубр. и р.э.суперр. Также показано, что в классе: ограниченных функций понятия р.э.р. и о.э.р. совпадают (Предложение 2.2). Во второй части Главы, 2. исследуется проблема единственности р.э.р. Установлен следующий общий: результат (Теорема 2.1.) для р.э.еубр. гб (£, ж) и р.э.суперр. V — х) задачи- (1), (2) с соответствующими начальными данными ио (х) Уц (х): для почти: всех? 6 (О, Т) и^, х} — у (1,х))Л~(1х < ^:(щ (х) — Уо (х))+(1х.

Ж" -. — Е" • ¦

Из этого результата. непосредственно вытекает принцип сравнения: если. щ{х) < Уо (х) п.в. на Мп, то и (1,х) < х) п.в. на Пт (Следствие 2.1), единственность р.э.р. (Следствие 2.2)• и его устойчивость по отношению к суммируемым возмущент-тям начальных данных (Следствие 2.3).

В третьей части Главы. 2 изучается проблема существования р.э.р. Прежде всего. показано (см. Пример 2.1), что в общем случае произвольной (дажелокально ограниченной) начальной функции р.э.р. может не существовать. В Главе 2 рассмотрен случай, когда. начальная функция: лежит/в. пространстве.

Мп) -Б1 (Мп). Существование р: э.р. задачи (1), (2) в этом случае доказано: в Теореме 2.4 с помощью процедуры. аппроксимации начальных данных щ (х) последовательностью ограниченных функций «от (ж) = 5т1те (гх0(ж)), гп <Е N. Установлено, что соответствующая, последовательность ит (Ь, х). € Ь°°(П.т) о.э.р. задачи (1), (2) с начальными: данными щт (х) сходится в (П-/-) + ^(Пт) к искомому р.э.р. задачи (1), (2).

Результаты второй главы опубликованы в статье [19].

В! Главе 3 диссертации результаты второйглавы распространены на случай, когда выполнено условие периодичности решенияпо' пространственным переменным: В этом случае оказалось возможным доказать эти результаты для общего уравнения (1), с лишь непрерывным вектором потокалр{и): <�р{и) С С (Е, ЕП).

Допустим: что начальная функция щ (х) является измеримой: периодической функцией наМп о (ж+е^) = щ (х) п.в. на для всех г = 1,., п: Здесь е*, г — 1,., 71, — базис периодов в Мп (не умаляя общности, мы считаем: его каноническим). Обозначим Р = [0,1)п — соответствующий фундаментальный параллелепипед (куб).

Понятия периодического по пространственным переменным р.э.субр, р.э.суперр. и р.э.р. задачи (1), (2) вводится аналогично Определению 2.1. Существенным отличием является то обстоятельство, что дефектные меры цк в условии (Б) не могут быть конечными на Пт (это возможно лишь в случае Цк = 0), ввиду их периодичности. Оказалось, что для корректности определения эти меры нужно рассматривать на множестве (0, Т) хР. В Предложение 3.1 доказано, что в классе ограниченных функций понятия р.э.р. и о.э.р. совпадают.

Теорема 3.2 является основным результатом второй части Главы 3. Она утверждает, что если измеримые периодические по переменным х функции и = х), V = г>(£, х) являются, соответственно, р.э.субр. и р.э.суперр. задачи (1), (2) с начальными данными '¿-¿-оОс)" Ъо (х), то для почти всех? ? (0,Т).

Из этого соотношения непосредственно вытекает принцип сравнения (Следствие 3.1), единственность р.э.р. (' Следствие 3.2) и свойство устойчивости р.э.р. по отношению к суммируемым на Р возмущениям начальных данных (Следствие 3.3).

В третьей части Главы 3 доказывается существование периодического р.э.р. задачи (1), (2) при условии щ (х)? Ь1{Р). Так же как во второй главе, р.э.р. строится с помощью процедуры аппроксимации начальной функции последовательностью ограниченных функций. Установлено (см. Предложение 3.3 и Теорему 3.3), что соответствующая последовательность ограниченных о.э.р. сходится в Ь1{Р) к искомому р.э.р. задачи (1), (2). Показано, что условие щ (х)? Ь1(Р) является существенным, при его нарушение р.э.р. задачи (1), (2) может не существовать, см. Пример 3.1.

Результаты третьей главы подробно опубликованы в статье [21]. р р

1. Волъперт А. И. Пространства BV и квазилинейные уравнения// Мате-мат. сборник. 1967. Т. 73, № 115. С. 255−302.

2. Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений// Успехи математ. наук. 1959. Т. 14, № 2. С. 87−158.

3. Горицкий А. Ю., Панов Е. Ю. О локально ограниченных обобщенных энтропийных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Труды МИАН им. В. А. Стеклова. 2002. Т.236. С. 120 133.

4. Горицкий А. Ю., Кружков С. Н., Чечкин Г. А. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. М.: МГУ. 1997.

5. Жиков В. В. О двух-масштабной сходимости// Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2003. № 23. С. 149−187.

6. Калашников А. С. Построение обобщенных решений квазилинейных уравнений первого порядка без условий выпуклости как пределов решений параболических уранений с малым параметром // ДАН СССР. 1959. Т. 127, № 1, с. 27−30.

7. Кружков С. Н. Задача Коши в целом для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка// ДАН СССР. 1960. Т. 132, № 1. С. 36−89.

8. Кружков С. Н. Результаты о характере непрерывности решений параболических уравнений и некоторые их применения// Математ. заметки. 1969. Т. 6. № 1. С. 97−108.

9. Кружков С. Н. Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка// ДАН СССР. 1969. Т. 187, № 1. С. 29−32.

10. Кружков С. Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными// Математ. сборник. 1970. Т. 81, № 2. С. 228−255.

11. Кружков С. Н. Нелинейные уравнения с частными производными. Ч. 2. Уравнения первого порядка. М.: МГУ. 1970.

12. Кружков С. Н., Хильдебрапд Ф. Задача Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в случае, когда область зависимости от начальных данных бесконечна// Вестник Моск. ун-та. 1974. № 1. С. 93−100.

13. Кружков С. П., Андреянов 77: А. К нелокальной теории задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в классе локально-суммируемых функций// ДАН СССР. 1975. Т. 220, № 1. С. 23−26.

14. Кружков С. П., Панов Е. Ю. Консервативные квазилинейные законы первого порядка с бесконечной областью зависимости от начальных данных// ДАН СССР. 1990. Т. 314, № 1. С. 79−84.

15. Кузнецов Н. П. О слабом решении задачи Коши для* многомерного квазилинейного уравнения// Математ. сборник. 1967. Т 2. № 4. С. 401−410.

16. Ладыженская О. А. О построении разрывных решений квазилинейных гиперболических уравнений как пределов решений соответствующих параболических уравнений, когда коэффициент вязкости стремится к нулю// ДАН СССР. 1956. Т. 111, № 2. С. 291−294.

17. Анисъкова (Лысухо) П. В. Оценки времени существования классического решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Вестник НовГУ, серия Техн. науки. 2004. № 28. С. 61−62.

18. Лысухо П. В. Об одном условии единственности энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе неограниченных функций// Вестник НовГУ, серия Техн. науки. 2005. № 34. С. 81−83.

19. Лысухо П. В., Панов Е. Ю. Ренормализованные энтропийные решения задачи Коши для квазилинейных законов сохранения первого порядка в классе периодических функций// Проблемы Математического Анализа. 2011. Вып. 59. С. 25−42.

20. Олейник О. А. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций// ДАН СССР. 1954. Т. 95, № 3. С. 451−455.

21. Олейник О. А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений// Успехи математ. наук. 1957. Т. 12, № 3. С. 3−73.

22. Олейник О. А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения// УМН. 1959. Т. 14, № 2. С. 165−170.

23. Панов Е. Ю. Обобщенные решения задачи Коши для квазилинейных законов сохранения // Дисс. канд.физ.-мат наук. Москва. МГУ, 1991.

24. Панов Е. Ю. К теории обобщенных энтропийных суби супер-решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 2. С. 252−259.

25. Панов Е. Ю. О наибольших и наименьших обобщенных энтропийных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Матем. ссборник. 2002. Т. 193, № 5. С. 95—112.

26. Панов Е. Ю. К теории обобщенных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе локально суммируемых функций// Известия РАН. 2002. Т. 66, № 6. С. 91−136.

27. Панов Е. Ю. О классах корректности локально ограниченных обобщенных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка// Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 5. С. 175−178.

28. Панов Е. Ю. О единственности обобщенного энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного закона сохранения с выпуклым потоком// Проблемы математического анализа. 2010. Т. 47 С. 89−102.

29. Рождественский Б. Л., Яненко H. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. 2-ое изд. М.: Наука, 1978.

30. Тихонов А. Н., Самарский А. А. О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка// ДАН СССР. 1954. Т. 99, № 1. С. 27−30.

31. Benilan Ph. Equation d’evolution dans un espace de Banach quelconques et applications. These d’etat, Orsay, 1972.

32. Benilan Ph., Boccardo L., Gallouet Th., Gariepy R., Pierre M., Vazques J. L. An L1-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 1995. V. 22, N 4. P. 241−273.

33. Benilan Ph., Carrillo J., Wittbold P. Renormalized entropy solutions of scalar conservation laws// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 2000. V. 29. P. 313−327.

34. Benilan Ph., Kruzhkov S. N. Conservation laws with continuous flux function// Nonlinear Differential Equations Appl. 1996. V. 3. P. 395−419.

35. Blanchard D., Redwane H. Solutions renormalisees d’equations paraboliques a deux nonlinearites //C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1994. V. 319. P. 831−835.

36. Blanchard D., Murat F. Renormalised solutions of nonlinear parabolic problems with L1-data: existence and uniqueness// Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A. 1997. V. 127. P. 1137−1152.

37. Conway E., Smoller J. Global solutions of the Cauchy problem for quasilinear first-order equations in several space variables// Comm. Pure Appl. Math. 1966. V 19. N 1. p. 95−105.

38. DiPerna R. J., Lions P. L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces// Invent. Math. 1989. V 98. P. 511−547.

39. Hopf E. The partial differential equation щ + uux — fiuxx// Comm. Pure Appl. Math. 1950. V. 3, № 3. P. 201−230.

40. Goritsky A. Yu., Panov E. Yu. Example of nonuniquenees of entropy solution in the class of locally bounded functions// Russian Journal of Mathematical Physics. 1999. V. 6, № 4. P. 492−494.

41. Kruzhkov S. N., Panov E. Yu. Osgood’s type conditions for uniqueness of entropy solutions to Cauchy problem for quasilinear conservation laws of the first order// Ann. Univ. Ferrara.-Sez. VII-Sc. Mat. 1994. V. 40. P. 31−53.

42. Lax P. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations// Comm. Appl. Math. 1954. V. 7, № 1. P. 159−193.