Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные задачи

О, Диссертация посвящена наилучшему приближению на некотором классе элементов оператора, вообще говоря, неограниченного, линейными ограниченными. Наибольшее внимание уделяется задаче наилучшего приближения операторов, инвариантных относительно сдвига, и в частности, изучению модельной задачи наилучшего приближения оператора дифференцирования порядка к на классе /ераз дифференцируемых функций. В последней главе вычислены нормы некоторого класса операторов свертки в пространствах полиномов, наделенных неклассической fметрикой.

Задача о наилучшем приближении неограниченного оператора ограниченными связана с другими важными экстремальными задачами. В частности, она связана с некорректной задачей наилучшего восстановления значений оператора на элементах некоторого класса, заданных с известной погрешностью, а именно, дает возможность оценить минимальную погрешность восстановления и выбрать хороший приближающий ограниченный оператор.

Вопросы восстановления значений оператора на элементах некоторого класса, заданных точно’или приближенно, являются объектом изучения теории некорректных задач, однако задачи такого типа возникают также в теории интерполирования и приближения функции, вычислительной математике. В настоящее время имеется большое число работ А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, С.Б.Стеч-кина, В. Н. Страхова, С. А. Смоляка, Н. С. Бахвалова, В. В. Иванова, В. А. Морозова, В. А. Винокурова, В. Н. Габушина, Ю. Н. Субботина, В. В. Васина, В. П. Тананы, А. И. Гребенникова, А. Г. Марчука, К. Ю. Осипенко, Ш. Мичелли, Т. Ривлина и др., посвященных вопросам восстановления (см. Лаврентьев [I] - Тихонов, Арсенин [I — Иванов, Васин, Танана [l]- Лаврентьев, Романов, Шишатский [lJ — Морозов [1,2]- Стечкин [41 — Бахвалов [ij — Арестов [8] - Мичелли, Ривлин [ij — Габушин [9] и приведенную там библ.).

Задача восстановления значений оператора на элементах некоторого класса, информация о которых является неполной, может быть поставлена следующим образом. Пусть (Y, р j — метрическое пространство, X и Z — два множества, fl — оператор из Z в Y с областью определения) с Z, Q. — подано жество из области определения) оператора, А, С- - многозначное (возможно и однозначно) отображение б? в X, М.

— U{ С & ¦ я? QJ — образ.

Q при отображении оператором С., Щ ~ некоторое (приближающее) множество (однозначных) отображений М в У. Для Щ величина.

J (T) — {? (Д* >Тос.): XeQ, ^eC&j (0.1) есть погрешность восстановления fl на (Я с помощью оператора Т (по информации, определяемой оператором С.). Нас интересует задача об исследовании величины.

ОСТ)¦¦ те mi (0>2) наименьшей возможной погрешности восстановления Д на б? с помощью семейства Ш. .

Наиболее подробно изучена задача (0.2) в следующей ситуации: X, Y ~ банаховы пространства, /! — линейный оператор из X в У, Q. — подмножество области определения оператора /7. В качестве берется одно из следующих множеств отображений: множество всех отображений X в У, множество 3. — X > Y) всех’линейных операторов из X в У, множество J3 =¦ (X, у J линейных ограниченных операторов из К в У. Для 8> о и Те Ш полагаем.

U (T)=- Us (T).

0.3) шу* { // /fy — Tx. llY Ч € Q, ОС&Хя и вводим величину.

ЬШ)^ ^ / 4 стJ rem] (0.4) наилучшего восстановления оператора Д на элементах класса (2^ заданных с известной погрешностью 3, с помощью множества W. Для оценки (0.3) и (0.4) используются характеристики.

Slit) ^ И Ну-, (0.5) и)(1г)=- { иД^Пу: ** Q > liai, lx 4 t }j> (0.6) обе эти функции называют модулем непрерывности оператора rt на классе (Я.. Если оператор rf линейный и множество 6. — уравновешенное выпуклое, то (Иванов, Королюк [i] - Б. К. Иванов [4]) utfj. (0.7).

При сделанных предположениях для метода квазирешений Тк В, К. Иванова справедлива (Иванов, Королюк [17) оценка oJCS) $ ^ (Тк) $? и) — подобные оценки справедливы и для других методов регуляризации (см. Морозов Г 2 J, Танана [lj). С другой стороны для любого метода Us (') —) (см. Стра хов [i], Морозов [2 J, Танана [I ] и теорему Стечкина ниже). Следовательно, для величины восстановления на Q с помощью множества & всех операторов вшолшются неравенства.

Ji (fr) * ZcoCJ).

0.8).

Почти во всех перечисленных работах изучались операторные уравнения первого рода с приближенно заданной правой частью, а здесь соответствующие результаты переписаны для задачи вычисления значений (обратного) оператора на элементах, заданных с погрешностью.

Вычисление модуля непрерывности также есть важная и непростая задача. Ее частным случаем является задача о точных константах в неравенствах к>Йр* К г*,* (0.9) ы. = Е-, р — 1- *, о <, к между нормами производных функций в пространствах / ^ на числовой прямой и полупрямой. Такие неравенства изучали Г. Карди, Дж. Литтльвуд, Е. Ландау, Ж. Адамар, Б.-С.Надь, А. Н. Колмогоров, Л. В. Тайков, В. Н. Габушин, Н. П. Купцов, В. М. Тихомиров, А. П. Буслаев, Г. Г.Магарил-Ильяев и др. (см. библ. в Харда, Литтльвуд, Ножа [I ] - Тихомиров f I ] - Арестов [4 J — Буслаев, Магарил-йльяев, Тихомиров flj). Хорошо известно (см., например, Тихомиров [l]), что для величины.

0.10) имеет место формула.

ОД^/Г^, (о.п) где Ксо [ 7') есть наименьшая константа в (0.9) — следовательно задачи исследования неравенства (0.9) и величины (0.10) экБивалентны.

С.Б.Стечкин [А] ввел и изучал Гз, 4,5 7 задачу об исследовании величины.

E (t/) = { U0(T): Г б 3*/], (0.12) ио (Т) — ^ { // d ^ - Toz. IIу: ^ е Q], наилучшего приближения на классе Q оператора fl {в общем случае неограниченного) множеством 3,/ - (У > У J [X, /J линейных ограниченных операторов/из X в У с IIТ// ^ // .Он заметил, что эта задача полезна для изучения задач (0.4) и (0.6). С. Б. Стечкину принадлежит следующее утверждение, которое сообщалось им, например, в 1969 году в Будапеште на Международной конференции по конструктивной теории функций (см. Петре [ij). Доказательство этого утверждения можно найти в работе (Арестов [8 J).

Теорема. (С.Б.Стечкин). Если, А — однородный оператор и Q — уравновешенное выпуклое множество, то.

СО (с?J ^ ^ (&) * MJ, <�°'I3) где.

Если при этом существует элемент яе Q и оператор Т^ 3(X, Yj такие, что.

1 tfot Ц — ИТЦ Л^Ц^ (0.15) то имеют место равенства.

И, А эс.

0.16).

У> (т)= ь>С8);

В дополнение к последнему неравенству в (0.13), отметим, что >s (Q'J оценивается через Ef*/J и снизу, а именно (Арестов.

8 J j.

Содержащееся в (0.13) неравенство CJ аи /aj, приведено в работе С. Б. Стечкина Г 4 J в следующей эквивалентной форме.

Е (г/J Ъ Л (sJj ^ / cJfJJ-s/cP: f&o J (0.18).

Как показал В. Н. Габушин [6 j для функционалов здесь имеет место знак равенстваточнее? справедливо такое утверждение.

Теорема (В.Н.Габушин). Если d — линейный функционал, О. -уравновешенное, выпуклое множество, то.

Сп^ ьу (<Я — rJ*L — (Я*. — и/.

UT/1 ЛА/ xeQ.

X* и существует экстремальный функционал.

С.Б.Стечкин [4 J изучал, в частности, задачу о наилучшем приближении 77/. ^ оператора дифференцирования порядка к на классе llx. tn)ljp <. к < n-J дифференцируемый функции на оси и полуоси. Эту задачу изучали затем Ю. Н. Субботин, Л. В. Тайков, В. Н. Габушин, В. И. Бердышев, Я. Петре, автор и др. Так, известно (Стечкин [41), что если к- + ^ у о, то у пк +. V — V.

V^ecj у- — = 4^, (0.20) к-Ц+'А. и Е (^) связана с наименьшей константой К в (0.9) неравенством (см. (0.18), (0.11)).

А %. — ^ Р К м (0.21).

В работах (Стечкин [3,4 J — Арестов [" l"3f4j — Тайков [&J — Субботин, Тайков fl j — Габушин f3j — Бердышев [i] - Буслаев (1,2 J и др.) дано решение задачи (0.19) для конкретных значений параметров. В некоторых из этих случаев соответствующее точное неравенство (0.9) было известно ранее, в других же (Тайков [~3]>, Габушин [ 3 J, Арестов [4 J, Бердышев fl J) при этом была найдена наименьшая константа в соответствующем неравенстве (0.9). Соотношения (0.8), (0.13), (0.17), (O.II), (0.20) позволяют.

— 10 утверждать, что для соответствующей (0.10), (0.19), величины v^ (Ш) восстановления в L^ оператора дифференцирования порядка к на классе Q^^) справедливы оценки oi где.

Как показал В. Н. Габушин [ 1,7 ] ,.

Пk к ^.

С* <Н> — + ^ '.

ВЫ) < <х> % > Р ' 1 * ^ ^ следовательно (Габушин [4 J), условия конечности, различные и совпадают с условиями конечности К, Е (^) .

I. Диссертация состоит из трех глав. Сформулированным задачам посвящены две главы. В первой главе уточняются некоторые из приведенных соотношений между &)(?), ^(Ш), и приводится связь этих величин с приближением одного класса элементов другим.

Задачу (0.4), более общую задачу вычисления значений оператора /4 на элементах х класса Q, информацией о которых является точное или приближенное значение & ocl некоторого оператора ЛЬ (относительно таких задач см. Морозов [ 2J, Иванов, Васин, Танана? ij, Марчук fl, 2jf, Мичелли, Ривлин ij), а также задачу решения операторных уравнений с приближенно за данной правой частью, можно интерпретировать как задачу приближения многозначного оператора на классе элементов множеством.

Ш однозначных операторов. В книге В. К. Иванова, В. В .Васина, В. П. Тананы [ I J приведены свойства и методы регуляризации таких операторов. Перечисленные задачи, а также (0.12) вкладываются в следующую схему. Пусть W — подмножество декартова произведения X* У пространств X и У, 6? = /*^ ^ проекция V на X, Ш. — некоторое семейство однозначных отображении (Я в У. Рассматривается величина т) = ^ / 6/rrj •• тет}^ (I.I) где.

УШOW. Т)^ /иу-Тос. нг: (*, c/)6W]- Cl#2) есть наилучшее приближение на классе Q семейством Щ многозначного оператора j (r, который элементу х €- Q сопоставляет множество C^'^Jewj .

Для ограниченного множества М с Y ct (M)= J (M)Y = {tjfrfr uY ¦¦ y-ffc ем] (1.3) есть диаметр множества М, а г СМС")г =- <'У '' * /У К (1,4) а1*? К уем.

— чебышевскии радиус. С помощью этих понятий определяем константу Юнга пространства Y формулой w-rim" «'!

Очевидно, % ^ • Известно, что для бесконечномерного гильбертова пространства Н к (Н) =. (1.6).

В § I гл. I доказывается, что справедливо такое утверждение. Теорема I. Имеют место соотношения.

1.7).

У, SI (W) < * W Ж"),.

1.8) в которых улл) = т / * *6 WL.

SlW) — oceQj. (leI0).

Для задачи (0.4) последняя величина превращается в (0.5), поэтому ее ж Д — линейный оператор, Q — уравновешенное, выпуклое множество, то для v^ (Сг) неравенства (1.8) принимают вид.

CJ а) * ^ (&) * л j, (Y) о) а). (i.ii).

Второе из этих неравенств уточняет соответствующую оценку в (0,8). В параграфе приводится пример задачи (0.4) в пространстве У—L. (о? *о), для которой второе неравенство в (I.II) превращается oL S i. «в равенство (согласно (1.6) в этом случае другой стороны в любом пространстве У существуют задачи, для которых точным будет первое неравенство.

Утверждение (1.7) означает, что наилучшим (в общем случае нелинейным) регуляризатором является метод, который элементу oceQ сопоставляет чебышевский центр множества (если та ковой существует). Частные случаи этого утверждения имеются в работах Голомба [13, В. В. Иванова [ IJ — Васина fl J, Арестова [ 8 J — в общем случае оно доказывается аналогичным образом.

Множеству W с X * У и числу $ъ о сопоставим множество с X * Y пар элементов (iC>^J таких, что существует элемент у 6 X со свойством: д/, и я-^Цк ^ S — так что Wj> есть $ -расширение множества W «вдоль» пространства X. Рассмотрим величины.

I.I2) являющиеся обобщением ^ (ОС) и b f/^J. Для оценки ^ через е (^) воспользуемся функцией.

I.I3) где if (t)=^с (ка+МЦу, /r"-MUrJ: МЫК/Н}.

Функция у, а значит, и «выражается (Милъман лемма 1.4 J) через модуль выпуклости единичной сферы пространства У.

В частности, для гильбертова пространства размерности большей единицы ФС*,^JС^^^) ^ • в общем случае cL+p > ФС*,/*) *? (I.I4).

Положим i (t)= f ef’J+vJ1 = в силу (I.I4).

Z (t) 9 ?,(<5) >? 1(f). (1.15).

В § I доказывается также такое утверждение. Теорема 2. Справедливы неравенства.

X) * ICS), (I.I6).

В частности для ^ (Z) первое неравенство в (I.I6) принимает вид.

9f (z)* г. (6), (1Л7) что в силу (I.I5) влечет (0,17). В § I приводится пример задачи — • / в пространстве У-, для которой Д fy)<�¦?((?) — отметим, что в этом случае ФС**^) = г^^мс (ы>(ь).

Во втором параграфе обсуждается вопрос о наилучшем приближении функционалов, а точнее, рассматриваются предыдущие задачи в предположении, что У есть множество вещественных чисел Ш., W С X * 1R «WX — некоторое множество функций на X • Этот параграф носит вспомогательный характербольшинство приводимых там результатов в той или иной ситуации было известно ранее, В этом параграфе к примеру показано, что если W — уравновешенное, выпуклое множество, то среди всех функционалов для J (W, б~) существует наилучший линейный (хотя и необязательно непрерывный). Подобным вопросам посвящены работы С. А. Смоляка (см, работу Н. С. Бахвалова [I j), В. Н. Габушит [6 3 «А. Г. Марчука и К. Ю. Осипенко flj, Ш. Мичелли и Т. Ривлина, А. Г. Марчука [2 J и др.

В § 3 выписываются двойственные задачи в сопряженных пространствах для модуля непрерывности (0.6) линейного оператора и наилучшего приближения (0.12) такого оператора ограниченными линейными операторами. Таковыми задачами будут наилучшее приближение одного класса элементов другим и линейное приближение класса классом. Пусть X, У, Z — линейные нормированные пространства, — линейный оператор из X в У f 3 — линейный оператор из X на Z, Q = { ё X — //3pc./Iz ^ ij^ со у> { 1/Д^Чу: 9 н&зсн^.

Ь)(6) — и//5: V * oj. Ц*19).

Предположим, что оператор & факторизуется оператором S, т. е. Д ~ Н ° & «где У — однозначный линейный оператор из 21 в Г и охределим два класса функционалов / Н*Х ¦¦ * 6 У*, '» «у * V во множестве Z ^ всех линейных функционалов на Z — здесь че рез обозначен оператор, сопряженный для оператора Т~. Величина.

Г (л/)=.^f V 11 (1−20).

Уб It есть наилучшее приближение класса «it классом.

Теорема 3. При сделанных предположениях имеет место равенство F (^) — Л СJ. Если кроме того У рефлексивное пространство и HZ = У, то? frfj совпадает с линейным приближением класса классом Ф С.

Результаты параграфа 4 можно считать конкретизацией результатов предыдущего параграфа. Здесь доказывается двойственность задачи о наименьшей константе в неравенстве (0.9) с задачей о наилучшем приближении одного класса дифференцируемых функций другим подобным классом более гладких функций и двойственность задачи Стечкина (0.19) с задачей линейного приближения класса классом. Пусть р>', ср /, ъ ' - параметры, удовлетворяющие условию 1 ', гос и не связанные пока как-либо с, , ^ -^, П/ - целые числа, о ^ т- ^ л- - 1 — ось или полу ось /я, 00) — В^С^) — Tj — множество функций у, у которых //(f? л/ - i, I J. п,.

У е- /Зу положим Ге В^.мУтогда.

FtW)= { F (-f^) ¦¦ fe (I.2I) есть наилучшее приближение в класса /39 классом С. /.

Соответствующую величину линейного приближения класса классом бу.

— 17 дем обозначать через J .

Задача приближения одного класса функций другим является классической для теории приближения (см., например, монографии Тиман [i J, Тихомиров [i J, Корнейчук [ I ]). Относительно величин F (^), &(*/) известно (Арестов, Табутт[1]), что.

Г (л/) V ~r?(iJ J Н)^ (1.22) п~^ + Vr — у*' и F (^) конечна в том (Субботин [I J) и только в том (см. ре зультат В. Н. Габушина в работе Арестова, Габушина [ij) случае, если г' V.

В работах Ю. Н. Субботина [I J, Ю. Н. Субботина, Я. В. Тайкова [l], автора и В. Н. Габушина [i J было найдено F (^) и для кон кретных значений параметров. При этом для оценки сверху использовались следующие соображения, впервые приведенные в работе Л. В. Тайкова [2 J, Допустим, что п-к, > и задача (0.19) имеет экстремальный оператор, который определен, линеен и перестановочен со сдвигом на множестве л/р функций se, у которых ос сп) € Z^ # Тогда.

В процитированных работах приводилась оценка F (*/J снизу, сов.

— 18 падающая с), что давало значение F (^) ~ <ч .

Этот подход позволяет вычислить F (^) и 6?, вообще говоря, в некоторых, исключительных случаях. Приводимая нже теорема 4 дает правильные, двойственные соотношения между задачами.

Наряду с уже введенными классами, пусть еще 4у (^J есть множество функций у, у которых (I),.

СfC°(0) = О для? = = 'J i ff^J — наилучшее приближение в L^, (I) класса классом и — линейное приближение класса классом. Наконец,, буС^) есть F№), , если Х-С-м***) и, «если Т~С° > ^), В § 4 содержится такое утверждение.

Теорема 4. Пусть.

Тогда имеют место равенства где К — наименьшая константа в (0.9), = fa-ь-У?¦>%)/(*-У?* 4А) > / V N D S.

В случае ^ ~ 00 С f ~ v) в классах и -6f можно указать функцию, которая хуже всего приближается, а именно, н-k-i / таковой является Ъ+ /(n-k-i): ,.

Подобные результаты для периодических функций получены Б. Е. Клоцем [ I, 2J.

— 19.

2. Глава П посвящена приближению инвариантных операторов. Предположим, что в задаче (0.2) операторы /1,3 и класс Q инвариантны относительно некоторого семейства преобразований. Тогда (при некоторых дополнительных условиях) оказывается, что в (0.2) можно ограничиться инвариантными операторами Щ. Такая ситуация имеет место в задачах приближения линейными методами классов функций, инвариантных относительно сдвига множеством тригонометрических полиномов (см. Лоренц [I, гл. 10 J — Тихомиров [" I, гл. 3]). Здесь используются такие соображения. Пусть, к примеру, R — линейный ограниченный оператор в пространстве.

CJ/)r непрерывныхпериодических функций и т^ - оператор сдвига. Тогда оператор R,, определенный соотношением.

AST.

2.D О швариантен относительно любого сдвига и обладает «нехудшимй» ап-проксимационными свойствами, чем R., а точнее if-Rfll* / -/// и притом UR // * HR И. При дополнительных предположениях относительно R. можно получить большую информацию об операторе R. Так, если R ~ R^ есть оператор проектирования пространства СЛ/Г на множество ^С^ тригонометрических полиномов порядка^, то R? есть частичная сумма Зпf ряда Фурье функции.

Операция усреднения (2.1) оказалась полезной и для других задач типа (0.2) — в частности для исследования задачи Стечкина.

0.19). Так в работе автора С 7 J для приближения на оси и в работе Б. Е. Клоца J для периодического случая доказано, что в (0.19) можно ограничиться операторами, инвариантными относительно любого сдвигадля доказательства в работе Б. Е. Клоца [ij используется операция усреднения (2.1), а в работе автора Г 7 J подобная операция С Тт* с!*. Эти ре.

А. <гО О? к^ J зультаты позволили получить новые свойства? C^J, в частности^ порядок поведения по ^ при //% оо (Клоц LlJ) и точное решение в некоторых случаях (см. Арестов Г7,12 J и § 3 гл. П ниже). Более общая ситуация рассматривалась в работах (Арестов ['7 J, Габушин ?~9j)" Допустим, что задачи (0.4), (0.12) обладают следующими свойствамисуществует полугруппа индексов? и полугруппы Э — / & С*) ], z — { ft*) I линейных ограниченных операторов в X и У, соответственно, такие, что для любых * € S Q С Q ^ Z (*) XI tf, (2,2).

2.3).

Для множества W отображений X ъ Y условился обозначать через Щ (S) множество инвариантных отображений Те Щ, т. е. отображений обладающих (на X) свойством ® (*>) Т J — 7~ для любого -5 е .В работе автора Г7| было доказано, что если 0 есть 1R. или целочисленная решетка Ж, *с и & сильно непрерывные (сжимающие) группы операторов, У — рефлексивное, а X и У сепарабельные пространства, то — Efa (S)), ^ = % (SC (S))? (2.4) т. е. для вычисления Е (а/) и у^ [stJ достаточно ограничиться инвариантными линейными операторами. В работе В. Н. Габушина 9 J содержатся более сильные утверждения, а именно, если I) пространство У сопряженное и операторы ъ (ъ) также сопряженные, 2) выполняются условия (2.2), (2,3) и либо 3) Л' ~ коммутативная группа, либо 3/) — топологическая полугруппа, на 5 определена инвариантная борелевская мера с определенными свойствами и полугруппы О, тт обладают некоторыми свойствами непрерывности, то в задачах Е№) и У^(^) существует экстремальный оператор, обладающий свойствами инвариантности и, в частности, имеют место (2.4).

В данной работе приводятся утвервдения типа (2.4) при еще более слабых ограничениях на? или У и для более общей, чем (0.4), (0,12), задачи (I.I). При этом показано, что рассматриваемый вопрос связан с вопросом о существовании общей неподвижной точки у полугруппы (в данном случае — линейных) преобразований S компакта топологического векторного пространства. Исследованию последнего вопроса в настоящее время посвящено много работв диссертации используются соображения работы М. Дэя Г I j .

В § I гл. П содержится, например, такое утверждение.

Теорема 5. Пусть.

1) задача (I.I) инвариантна, т. е. для любых (з1,^)^ W, 4 ^ $ существует Y со свойством у = тга) f так. при выполнении условий (2.2) задачи (0.2), (0.12) инвариантны);

2) операторы О =-6(*) и т = линейные, ограничен-ные и к, •/ ;

3) существует проектор ЗГ с единичной нормой из У и при любом второй сопряженный оператор для оператора 2 г = TCSJ коммутирует с JT, т. е. ^ (например,.

У — рефлексивное пространство, 'zr — произвольные);

4) полугруппа? левая аменабельная;

5) Щ есть одно из множеств: множество 0~(Х, у J всех операторов, множество Qt (X*Y) линейных операторов, множество ^ (Х3 Y) линейных ограниченных операторов из Л' в К, множество = сА/ (X, Г) = -/те-я — HT/U/S}.

Тогда имеет место равенство.

В заключение параграфа приводятся два примера, которые показывают, что без условий на Y и ?> равенство (2.5), а точнее, даже равенство? (Of*/) C^^CSJJ, не имеет места.

Приведем некоторые результаты § 2. Пусть ^S'- 6 OR mJ есть множество бесконечно дифференцируемых и быстро убывающих функций на IR^, a S' ~ соответствующее двойственное пространство обобщенных функций. Для элемента, а е 3/ обозначим через ol элемент из 5/, действующий по правилу <а ос > < о, «Г>, c*L (-b)= oc (-ir) «х & $ • Определим оператор с областью определения), лежащей в пространстве Z. = JL (К*'J функций^, локально суммируемых и удовлетворяющих условию j (i-t ibl)*IccailcL-L < > yt^ул (где н у = cl *- у. При этом предполагается, что удовлетворяет условию с S, или, то же самое, flS с S для этого, например, достаточно, чтобы функция а^ имела компактный носитель)» С помощью еще одного элемента одре делим подобным же образом оператор & и положим.

Q = { L^/l ЪСв): Вое е L^, в <с. Up^i}.

Рассматривается величина.

Е (/У) = f’Pj = U (T): Т£ ^ (L^, Z, JJ,.

2,6) где.

U (Т) — ш^о f///9*i-Tx.#: Qj =.

— •{ И: иВэсЦ^ а 3 *) — множество линейных ограниченных операторов из Z^.в Z d с И ТIIL и/. Ее ж ^ или -5 =, то предполагается, что соответствующее пространство есть пространство С о функций, непрерывных и имеющих нулевой предел на бесконечности. Задача (2.6) инвариантна относительно группы сдвигов Т «^ в Ш, определенных формулой <х.)).

— • Точнее, для оператора fl Р класса Q и преобразований «ZTj, z:(s)= гсг^, ft? ^ выполняются условия (2.2), (2.3). Обозначим через множество операторов Тё 3^ij «инвариантных относительно всех сдвигов (на). При сделанных предположениях имеет место равенетво.

Е (л{ U (TJ: T€ Т^Сл/j]. (2.7).

Множество ограниченных операторов из Z^ в L? инвариантных относительно сдвига, достаточно хорошо изучено (см., например, Хермандер [ IJ — Стейн, Вейс (IJ — Ларсен£1 J). Изве.

Г- 6 стно, что если S <^, то J^ состоит только из нулевого элемента. С помощью этого факта можно утверждать, что если -5 < t-, то.

E (U) = Е (о) = [г * & Q}j (2>8) а если cj < jo и величина.

Г М/9хЦ.

У> ос.

И я И a J (2.9) равна °о, то ос при любом л/. За исключением от дельных, вырожденных случаев, при любых значениях параметров р,^, ъ, з величины (2.8), (2.9) равны и поэтому условие, ^ ^ р является необходимым для того, чтобы была конечна при каком либо V, В связи с этим будем теперь счи г— 4 «~г~ ' тать, что <*> ъ- «/? • Известно, что Jt, = J и ИТЦ.^. — (/ТН, j .для «поэтому (при некоторых дополнительных предположениях) оказывается, что.

YVf.jJ r ?(*/>. 'J. (2.10).

Оператор ZT^ имеет вид свертки Т~эс — @ *-, где & ~ @r е S — множество таких обобщенных функций.

9-гявляется банаховым пространством относительно нормы // // — / / vy HJ-/I. Поскольку предполагается, что /?S с S, у35 сЛ «то можно говорить о свертке элементов с и. Допустим, что существует фундаментальная функция К оператора 3*, т. е. существует элемент х €¦ S' такой, что есть S — функция. В этом случае сг, = к* 4, где L =- а * = =. Обозначим через ^-г.,* fл/^ множество элементов Этаких, что /3*^=-^» *-/ ^ и.

Введем величину наилучшего приближения элемента /7 JC множеством элементов в пространстве (мультипликаторов)^р.р .

Пространство М^^С**^J является сопряженным для банахова функционального пространства (°м" Ларсен/Д J), которое может быть получено как пополнение множества & относительно нормы у/се//^ ^ OeM^t, /teu^l].

На полуоси (о***) определим функцию.

0.(6) = ll /IBxIL? (2.12) и положим.

Ло [/J) — s-суэ / u) Q (?) — // cP: S> о J .

2.13).

В § 2 гл. П содержится такое утверждение.

Теорема 6. Если выполнено одно из двух условий.

— 26.

1) оператор В обладает свойством к € С л Вк ~о => О,.

2) р> 4 и оператор & обладает свойством.

Со, &-к —О Л. — о J то при любом sf имеют место равенства.

Е (*) е (л/) = (л/). • (2.14).

При доказательстве последнего равенства в (2.14), используется теорема В. Н. Габушина Г6 I о приближении функционалов, приведенная выше.

В заключение § 2 обсуждается вопрос о точном вычислении величин в (2.14) при = Z, = /, j s ^ Z-. В последнем, третьем параграфе гл. П рассматривается более подробно наилучшее приближение оператора /7 — - в пространстве L^ L^ «на числовой прямой множеством Л*^линейных ограниченных операторов из Z ^ в / 5 на классе^: < 1 j в таким образом, здесь, (2л5) ист).

Величина (2.15) является более общей, чем (0.19), ибо не предаю-лагается, что.

За исключением некоторых вырожденных значений параметров, можно утверждать, что E (*s) < ^ в том и только в том случае, если t, ? * и шеет место формула.

П.- k + - /а.

Операторы ж 3 являются операторами свертки, оператор & имеет (классическую) характеристическую функцию n-i к.) и й х-п-1 ~ ~ Kh-k-i. Поэтому для (2,15) величина.

2.II) превращается в величину fc («) = ?hiiЬ, •• > (2.16).

Р* г t. s наилучшего приближения в пространстве мультипликаторов ^ функции X n-k-i классом обобщенных функций? , у которых.

Легко проверяется, что если У^ - У + * о, то для (2,12) и (2,13) справедливы формулы.

0oCS)=KS*, ^ - ^ ^ -,(2.17).

А0(л/) ^ AT ~Г р ^ а ^ ^^. (2.18).

В силу (2.17) имеет место (точное) неравенство ti.

— 28 ~ с наименьшей возможной константой К = и) С * J .

Теорема 7. Если 3 ^^, f ър, р> ¦/ t причем s? ^ ПрИ ко г то для любого л/ ^ о.

Еп, к С")-?",* С")^foi К 'fc/f «% (2.20) где К — наименьшая константа в (2#19).

Согласно (0.21) при величина (2.15) дает оценку сверху константы в неравенстве (0.9), а в силу (2.20) Е (^) выражается через наилучшую константу в (2.19). В диссертации приводится пример, который показывает, что (0.21) может быть строгим.

Для некоторых значений параметров пространства изометричны классическим функциональным пространствам. Поэтому при определенных условиях на параметры удается найти точное значение^л.к. №) «Си А». Так в § 3 это сделано при p-tj- -s = Л t с =¦ */ и р ~j — JL ,-f ^ t. — 5 zz — например, имеет место утверждение.

Теорема 8. Пусть р~ у = &, 1 ^ г = s $ <*>, ,.

4 ^ к ^ п- /. Тогда при любом, А > О к ~ ^ к п~^ ^ ТС L • (2.21).

При ^ - = ^ этот результат принадлежит Ю. Н. Субботину и Л. В. Тайкову [I ] - в частности, в этом случае они выписали экстремальный оператор. В процессе доказательства теоремы 8 строится экстремальный оператор, который не зависит от, но отличен от ,.

В случае ^ = ^ утверждение (2.21) справедливо и при Z, к — i (Субботин, Тайков [~I J). Однако при других значениях ъ оно уже нарушается. Так, если -5 = ^ ~ ^ (р =- ^ =.

2), то.

А. ' ^.

Можно утверждать, что если функция х? С — С (- *оJ и преобразование Фурье производной а:^имеет ограниченную вариацию, то пк и hk’L * К1*11 (Vk'" >J, (2.23).

2 w % п., к где наименьшая константа Кп t ^ ~ -/ при п ^ 3 и.

Зр Ca^TpJ >

Неравенство (2.23) есть аналог (2.19) для = ^ «t-^^^o .

Отметим, что из неравенства А. Н. Кожогорова /Jl J следует (2.23), но с другой (неточной) константой. ' 3″ В третьей главе диссертации приводятся точные неравенства для тригонометрических полиномов на периоде, или, тоже самое, для алгебраических многочленов на единичной окружности. Глава состоит из двух параграфов. Утверждения, приведенные в первом параграфе можно интерпретировать как результаты о вычислении норм некоторого класса операторов свертки в пространствах полиномов, наделенных неклассическими интегральными уметриками. Здесь, в частности, получена точная константа в неравенстве С. Н. Бернштейна для производных тригонометрического полинома в L^ t о < р < -i. Пусть — множество тригонометрических полиномов 7^(-fr)cki.

— 21, ак в порядка пъ О. С. Н. Бернштейн доказал, что к-~ К// rJKc 4 ^ (3.1).

— 30.

В дальнейшем этот результат обобщался в разных направлениях. Г. Сеге, С. Н. Бернштейн Г4, стр. 173 J, С. Б. Стечкин [1,2 J, Сайвин, Боас fl7 и др. распространяли неравенство (3.1) на операторы с к-Ь ' более общего вида, чем оператор дифференцирования. С. Н. Бернштейн [2 J доказал неравенство (3.1) для целых функций экспоненциального типаэти исследования были продолжены рядом авторов (см. книгу Б. Я. Левина [I ]и приведенную там библ.).

Неравенство (3.1) обобщалось также на другие метрики. А. Зигмунд [l J доказал следующее утверждение: если функция ^ на полуоси (о, выпуклая вниз и неубывающая, то.

2/Г Л) Г j ¦?(/ тпал) м $ $ ч («-1 таiv 1) л, zr^^I- (з.2) Р в частности, при y (ic)= и, ръ У ^ это дает неравенство.

Г///^ п^ НТп // ^ гп eJT^ ^ (3.3) в пространстве с нормой.

3.4).

Неравенства (3.1)-(3.3) точные, знак равенства достигается на по. ' гП-Ь — 1п,-Ь / / линомах TnCt)~ ¦+, причем в (3.1),(3.3), а если у строго выпуклая, то и в (3.2), других экстремальных полиномов нет.

В работах Э. А. Стороженко, В. Г. Кротова, П. Освальда [l J, В. И. Иванова р J изучались эти неравенства в Lp при о < р < 1 (в этом случае (3.4) уже не есть норма). Было показано, что для каждого такого р существует константа с CpJ такая, что для лю.

— 31 бого п ъ О и полинома е O/L^ имеет место неравенство.

Обозначим через множество алгебраических полиномов порядка с комплексными коэффициентами. Полином Те S^ZT^представляется в виде Т (6)~? е ^ «Р^^л. — при этом T'(-bt^'1^-/^. Поэтому интересующие нас неравенства для тригонометрических полиномов можно записать как неравенства для алгебраических полиномов в круге /з-/^ </ - операции дифференцирования в T/L^ будет соответствовать в^{операция} 2 Р (*) — & P? zJ — ^ Р (*) .

Пусть СР^ - множество полиномов С^. f точная степень которых есть — ^ - множество полиномов Р е-, со все tLr нулей которых лежат в круге 7 — -V, — множество полиномов Р €, все нули которых лежат в области /я/* / .

Набору = (^Г0>^{комплексных} чисел сопоставим one ратор Af по формуле.

PC*) = ZtT" ZkTo * к.

Будем считать, что е SZ^ t если Л^. с’З⁰, т. е. если оператор Л упереводит любой полином порядка /гс нулями в круге /?/< Y в полином с нулями в том же круге. Обозначим через SC^ множество операторов А^ со свойством 'V^ с Наконец, положим SLV • Свойства таких операций можно найти в книгах Полиа, Сеге [2 J ж (для полуплоскости) Б. Я. Левина [i]. Используя теоремы 151, 152 отд. 7 книги Полиа, Сеге [2 J, нетрудно убедиться, что, А ^ принадлежит, S2™ в зависимости от того, будет ли полином п^ к к принадлежать классу ° или.

Л ^ AL.

— t.

Обозначим через множество функций у, представших на (о, ooj в виде (f (u.J=. ^ (т. е. выпукла и не убывает на (о, J, то очевидно, уе-ф^ • Отметим еще, что классу ^^принадлежат также функции, А^, <6*ь + и — (о, •, <£п (1+ ир), и, р при ру о. .

В § I гл. Ш содержится, в частности, такое утверждение.

Теорема 9. Если ф *, Луи 6 J?^, то во множестве алгебраических полиномов имеет место точное неравенство Л/Г, /.

I t j 4(lArPn.(e?tJl]Ji о — (3.5) где = (ltd, .

В качестве следствия этого результата, получаем такое предложение.

Теорема 10. Пусть у 6 Ф *. Тогда при любом п ^ ^ во множестве тригонометрических полиномов имеет место точное неравенство.

Л/Г, ,. г j. * J.

В частности (3,3) справедливо при р ^ О.

В § 2 гл, Ш, к примеру, доказано, что для.

2л. / З.Л. / o4(lP (eli)l)cU$ ]о*(Н.(Р)И+еиГ)сН:л (3.7) где.

И0 (Р) = Н (Р) =^рД !Р (е p-^V л о.

Li I.

На полиномах? (% + -/) неравенство ?3.7) обращается в равенствоесли функция и f’C1^) строго возрастает, то других экстремальных полиномов нет.

Взяв у {и J = и р, р > о, получаем точное неравенство н, Л (г.к) Но (Р), Ъ., <3.8) с константой л (р> «-) = л X -» Г -^ 1.

При р — во, /> = (а значит и при > /) этот результат известен (см. Полна, Gere /71, разд. Ш, теоремы 54, 55J), Результаты диссертации опубликованы в работах автора [5−8, 10, 12−14 J),.

1. Андрианов Ф, И, I, Многомерные аналоги неравенства Карлсона и его обобщения.Изв. вузов. Математика, 1967, т" I (56), В I, о. 3;

2. Арестов В. В. 1. О наилучшем приближении операторов дифференцирования. Матем*заметки, 1967, т. I, J 2, с. 149−154. 2. О наилучшем равномерном приближении операторов дифферен цирования. Матем. заметки, 1969, т. 5, i6 3, с, 273−284. 3. О наилучшем приближении операторов дифференцирования в равн (жерноЁ метрике: Автореф, дисс, канд.физ.-мат#наук. Москва, 1969. 4. О точных неравенствах между нормами функций и их произ водных. с. 243;

3. Acta Sci. Math. 1972, т. 33, Ш 4 5* О некоторых экстремальных задачах для дифференцируемых функций одной переменной. Труды МИАН СССР, 1975, т.138, с. 3−28.

4. Приближение линейных операторов и родственные экстремальные задачи. Труды МИАН СССР, 1975, т. 138, с. 29−42.

5. Приближение операторов, инвариантных относительно сдви га. Труды МИАН СССР, 1975, т. 138, с. 43−70. 8. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений.

6. Приближение неограниченных операторов и родственные задачи, В кн.: Теория приближения функций: Труды Международ. конф. по теории приближения (Калуга, 24−28 икшя 1975 г.). М.: Наука, 1977, с. 21−22, 10. О неравенствах СН. Бернштейна для алгебраических и триго. нометричес1сих полиномов. Докл. АН СССР, 1979, т. 246, J 6, с. I289-I292. II" Inequalities for frctional derivatives on the halfline. InJ Approximation theory, Warsaw: RVN-Polish sci. publ, 1979э p.19−34. (Banach center publ.- Vol.4).

7. Приближение операторов типа свертки линейныш ограничен н ы ш операторами. Труды М М Н СССР, 1980, т. 145, с. 3−19, 13. О неравенстве разных метрик для тригонометрических поли номов. Матем. заметки, 1980, т. 27, J& 4, с. 539−547. 14. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных. Изв. АН СССР, Сер. матем, I98I, т. 45, I, с. 3;

8. Арестов В. В, Габушин В. Н. I, О приближе1ши классов дифференцируемых функций. Матем. заметки, 1971, т, 9, JS 2, с. I05-II2, Ахиезер Н, И. 1, Лекции по теории аппроксимации, М.-Л: СЕТИ, 1947.-323с.

9. Лекции по теории аппроксимации. М: Наука, 1965, — 407 с,.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. 1, Высшие трансциндентные функции, т.

11. Гипергеометрическая функция, функция Лежандра. М.: Наука, 1965, 294 с.

12. Таблицы интегральных преобразований, т. I, М.: Наука, 1969. 343 с. Бекнер (Векпег W.).

13. Inequalities in Fourier analysis on вР" , — Proc. Nat. Acad, Sci. USA, 1975, vol.72, K 2, p.638;

15. Связь между неравенством Джексона и одной геометрической задачей, Матем. заметки, 1968, т. 3, В 3, с. 327−38.

16. Наилучшее приближении в L С оператора дифферен цирования. Матем, заметки, I97I, т. 9, J* 5, с. 477−481.

17. Экстремальные свойства полиномов, М.-Л.: ОНТИ, 1937.-203с,.

18. Собрание сочинений, т. I. М.: Изд. АН СССР, 1952. -481с.

19. Собрание сочинений, т. П. М.: Изд, АН СССР, 1954.-629с. Бесов 0"В, Ильин Б. П., Никольский С М I. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М: Наука, 1975. 480 с. Боас (Boas R.P.) 20. Quelques generalisations dun theoreme de S. Bernstein sur la derivee dune polynome trigonometrique, — C. R. Acad. sci. (Paris). A-B, 198, t.227, N 13, p.618−619. 2 Бурбаки H, I. Топологические векторные пространства, -.М": Наука, 1959. 410 о, Буславв, А .П. I, Приближение оператора дифференцирования и неравенства для производных: Дисс, .канд, физ,-1лат, наук. -Москва,.

21. Буслаев А, П", Магарил-Ильяев Г, Г., Тихомиров В. М. I. О существовании экстремальных функций в неравенстве для производных. Матем, заметки, 1982, т. 32, в, 6, с. 823 22. Васин В. В. I. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов, Киев, 1977. 17 с, (Препринт/АН УССР, ордена Ленина Институт кибернетикиJ? 77−69). 11аркави, А Л 1, О наилучшей сети и наилучшем сечении множеств в нормиро ванном пространстве, Изв, АН СССР. Сер. матем., 1962, т, 26, J4 I, с. 87−106. 2, Теория наилучшего прибжжения в линейных нормированных пространствах, Итоги науки и техники. Сер, матем, анализ, 1969, с. 75;

23. Еабушин В, Н, 1, Неравенства для норм функции и ее производных в метриках L- -Матем, заметки, 1967, т, I ЖЗ, с, 291−298. 2, Оценка экстремумов функций и ее производных, В кн.: П о иск экстремума: Тр. ШВсесоюз. симпоз, по экстрем, задачам. (Томск, 21−25 февр, 1967). Томск: Изд. Томск, ун-та, 1969, с, — 39−40.

24. Методы решения условно-кор ректных задач, с" 90−107. 9, Оптимальные методы вычисления значений оператора l/(J если ос задано с погрешностью. Дифференцирование функ ций, определенных с погрешностью. Тр. МИАН СССР, 1980, т. 145, с. 63;

25. Голубов Б. И. I. Кратные ряды и интегралы Фурье. Итоги науки и техники. Сер. матем. анализ, 1982, т. 19. ГоЛОМб (Golomb М.).

26. Lectures on theory of approximation, — Argonne Nat. Lab, Appl, Math. Division, 1962.

27. Some inequalities for polynomials.- Amer. Math. Monthly, 1966, vol.73, Ш 1, p.58;

28. ДанфордН., Шварц Д Е Т I, Линейные операторы. Общая теория. М.: ШТ., 1962. 895с. Джексон (Jackson D.).

29. Certain problems of closet approximation, — Bull. Amer. Math, Soc, 1933, vol.39, p.889;

30. Домар (Domar Y.) 1. An extremal problem related to Kolmogoroff*s inequality for bounded functions.- Arkiv for Mat., 1968, vol.7, P" 433-/141. ДЭЁ (Day M.M.).

31. Pixed-point theorem for compact convex sets.- 111. J. Math., 1961, vol.5, N14, p.585−590.

32. Киев: Изд. АН УССР, 1969, с. 102.

33. Иванов В. К., Вас1ш В, В., Танана В. П. I. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М*: Наука, 1978. 206 с.

36. Кэлли Дк.Л. I, Общая топология. М.: Наука, 1968. 383 с. Лаврентьев М. М. I. О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосибирск, Изд. АН СССР, 1962. 92 с. Лаврентьев М. М, Рошнов В"Г., Шишатский С П I. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с. Ландау (Landau Е.) I, Einige Ungleichungen fur zweimal differentiierbare Funktionen.- Proc. London Math. Soc. 2, 1913, vol, 13, p.43- 37. Ларсен (Larsen E,) I. An introduction to the theory of multipliers, — Berlin etc.: Springer, 1971. 282 p. Тр.

38. Лоренц (Lorentz G.G.) I, Approximation of functions.- New York: Holt, Rinehalt Winston, 1966. 188 p. Лоэв M, I. Теория вероятностей. М.: ИЛ., 1962, 719 с, Малер (Mahler К,) 1. An application of Jensens formula to polynomials.- Matematika, 1960, vol.7, Ш 14, p.98−100. 2. On the zeros of the derivative of a polynomial.- Proc. Roy. Soc. London, 1961, vol.264, Ш 1317, p.145;

39. Марден (Marden M.) I. The geometry of the zeros of a polynomiaJL in a complex variable, — New York: Amer.Math.Soc., 1949. (Math.

40. Оптимальные no точности методы решения задач восстановления. Новосибирск, 1976 (Препринт Щ СО АН СССР).

41. Оптимальные регулирующие операторы и некоторые задачи диффузии: Автореф, дисс. канд. физ.-лат.наук, Новосибирск, 1.

42. Марчук А. Г., .Осипенко К. Ю. I. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек. Матем" заметки, 1975, т, 17, 3, о. 359−368, Мильман В. Д. I. Геометрическая теория пространств Банаха, Часть П: Гео метрия единичной сферы, Успехи матем. наук, I97I, т. 26, J 6 (162), с, 73;

43. Шчелли, Ривлин (Micchelli Gh.k.f Rivlin Th.J.) I, A survey of optimal recovery.- In: Optimal estimation.

44. Морозов В. A, 1, Л]шейные и нелинейные некорректные задачи. Итоги науки и техники" Сер. матем. анализ, 1973, т. II, с. 129−178.

45. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач, М.: Изд. МГУ, 1974. 150 с. Надь (Sz.-Nagy в.) I. tJber Integralungleicliungen zwischen einer Punktion und ihrer Ableitung, — Acta Sci. Math, 1941, vol.10, p.64;

46. Натансон И. П. I, Теория функций вещественной переменной, М: Наука, 1974. 480 с. Никольский С, М.

47. Одно обобщение неравенства СН.Бернштейна. Докл. АН СССР, 1948, т. 60, 9, с. I507-I5I0.

48. Неравенства для целых функций конечной степени и их при менение в теории дифференцируемых функций многих переменных. Труды МИАН СССР, I95I, т. 38, с 244−278.

49. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1974, 223 с. 4″ Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.М.: Наука, 1969. 480 с. Петре (Peetre J.) I. Approximation of linear operators В КН.:

50. Полна Г., Сеге Г. I. Задачи и теоремы из анализа, т. I. М: Наука, 1978.-391с. 2″ Задачи и теоремы из анализа, т. П. М.: Наука, 1978.-4.

51. Потапов М. К. I. Некоторые неравенства для полинсмов и их производных. Вестник М1У. Сер, матем. и механ., I960, т. 2, с. 10−19, Растон А. Ф. I. Сопряженные банаховы пространства, -Математика, 1969, т. 38, В I, с. 91;

52. Робертеон А., Робертеон В. I, Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967. 257 с. Рудин У. I. Функциональный анализ. М: Мир, 1975. 443 с. Сард (Sard А.) I. Integral representations of remainders.- Duke Math, J., 1948, vol.15, p.333−345. СтеЙН (Stein E.M.) I. Functions of e2фonential type.- Ann, Math., 1957, vol, 65, Ш 3, p.582−592,.

53. Обобщение некоторых неравенств С"Н.БернштеЁна. Докл. А Н СССР, 1948, т. 60, Ih 9, с I5II-I5I4. 2. К проблеме множителей для тригонометрических полиномов. Докл. А СССР, 1950, т. 75, В I с. 165−168. Н.

54. Неравенства мезвду нормами производных произвольной функ ЦИИ. Acta S c i Math. 1965, Т" 2 6 3 4 с. 225−230.

55. Наилучшее приближение линейных операторов, Матем, заметки, 1967, т. I, В 2, с. 137−148. 5. О неравенствах между верхними гранями производных произ вольной функции на полупрямой. Матем. заметки, 1967, т. I, В 6, с. 665;

56. Стечкин С Б Субботин Ю. Н. I. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.248 с, Страхов В. Н, I, О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве. Дифференц. уравн., 1970, т, 6, 1& 8, с. 14 901.

57. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. I. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах й о j:> i Матем. сборник, 1975, т. 98 (140) — 3 (II), с. 395−415.

58. Один круг экстремальных задач для тригонометрических по линомов, Успехи матем, наук, 1965, т. 20, 3, с" 205 211. 2. О наилучшем приближении в оредаем некоторых классов ана литических функций, Матем, заметки, 1967, т, I, i* 2, с, 155−162.

59. Неравенства типа Колглогорова и наилучшие формулы числен ного дифференцирования, Матем, заметки, 1968, т, 4, J? 2, с. 233;

60. Танана В, П. 1, Об оптимальности нешшейных методов при решении линейных неустойчивых задач, В кн, — Оптимизация вычисл, методов: Тр, Института кибернетики АН УССР, Киев: йзд-во АН УССР, 1974, с, 52−58. 2, Методы решения операторных уравнений. М: Наука, 1981,157 с.

61. Харди Г, Литтльвуд Дж., Полна Г, I. Неравенства. М: ИЛ., 1948. 456 с, Хермандер Л. I Оценки для операторов инвариантных относительно сдвига, М.- ИЛ., 1 9 6 2 71 с.