Применение теоретико-функциональных и аппроксимационных методов в исследовании перемешивающих свойств динамических систем

0.1. Свойства потоков на двумерном торе Большая часть настоящей диссертации посвящена изучению перемешивающих свойств потоков на двумерном торе Т" M/Z с инвариантной мерой и изоморфных им специальных потоков над поворотами окружности S R/Z. Изучается взаимосвязь между гладкостью потока без неподвижных точек и возможными перемешивающими свойствами, а также перемешивающие свойства потоков с неподвижными точками. Кроме того, исследуются свойства непрерывной замены времени в абстрактных эргодических апериодических потоках на компактных метрических пространствах и многообразиях. Введем необходимые понятия и обозначения. Рассмотрим пространство Лебега (X, /х) с нормированной мерой /i и сохраняющий меру ji автоморфизм Т: X X. Пусть G L{X, /z), /(х) с О (почти) при всех х X. Фазовым пространством специального потока служит множество Yf {ix, y):xeX, 0y (F, l>(G, l> скалярное произведение). Скорость убывания корреляций (на некотором всюду плотном множестве функций), которая называется также скоростью перемешивания, тесно связана со свойствами спектра потока 5*, т. е. спектра группы С/*. Специальные потоки над поворотом окружности это потоки с относительно медленным перемешиванием. Я. Г. Синай и К. М. Ханин [23] оценили скорость перемешивания для специального потока над поворотом окружности с функцией, имеющей логарифмические особенности, которые они рассматривали и получили оценку для тех углов, которые они рассматривали, порядка (Int), где в ½, и оно зависит от угла поворота. Для некоторого потока над поворотом окружности с функцией, имеющей одну степенную особенность, Б. Файад получил степенную 14 оценку скорости перемешивания, однако показатель степени очень маленький (порядка 1/100). В главе 3 дается оценка скорости перемешивания для некоторого специального потока над поворотом окружности с функцией, удовлетворяюп]-ей условию Гельдера. 0.3. Когомологическое уравнение Уравнение f{x) д{х) (р{Тх) ip{x) относительно ср иногда называется когомологическим (раньше оно называлось также гомологическим), функция f д в случае разрешимости уравнения называется кограницей, а решение (р иногда называется функцией переноса. Происхождение последнего термина мы попытаемся объяснить ниже. Когомологические уравнения (как в аддитивной, так и в мультипликативной форме) возникают и в различных других задачах, например, в связи с проблемой изоморфизма косых произведений, специальных и производных автоморфизмов, нахождения (или доказательства отсутствия) собственных функций и собственных значений для специальных потоков, автоморфизмов и косых произведений и т. д. [51]. Как уже отмечалось, А. Н. Колмогоров исследовал вопрос о когомологичности (он, правда, не использовал такого термина) заданной функции и постоянной, решая уравнение (0.1.1) с помош-ью разложения в ряд Фурье. При этом он высказал предположение о том, что если ряд, с помоп]-ью которого получается решение уравнения (0.1.1), расходится, то уравнение неразрешимо. Однако, как выяснилось позднее, не для всякого решение (р уравнения (0.1.1) может быть найдено в виде ряда Фурье. Д. В. Аносов [1] (1973) показал, что существует аналитическая функция и поворот Т окружности на иррациональный угол, для которых ср измерима, но не суммируема. При этом ряд Фурье, получаюп]-ийся при решении уравнения с помощью разложения, расходится. Естественно, специальный поток, построенный по Т и изоморфен линейному потоку на торе. 15 Мы рассмотрим когомологическое уравнение с чуть более широких позиций: существует ли функция д с заданными свойствами (например, непрерывная или гладкая), когомологичная Такая постановка связана, в частности, с вопросом о соотношении метрических свойств потока с его гладкостью. В работе автора [71] (1976) был предложен «почти геометрический» метод последовательных приближений для параллельного построения функции с требуемыми свойствами и соответствуюп], ей функции переноса. Этот метод излагается в главе 5 в доказательстве теоремы о том, что всякая суммируемая функция когомологична над произвольным эргодическим автоморфизмом ограниченной, непрерывной и даже почти дифференцируемой (если эти понятия совместимы в определенном смысле с мерой). Несколько позднее чуть более слабый результат опубликовали Д. Орнстейн и М. Смородинский [60] (1978). Похожая техника используется в работе У. Кренгеля [53], предложившего подробное доказательство теоремы Д. Рудольфа [62] о том, что любой эргодический специальный поток над автоморфизмом Т изоморфен специальному потоку над Т с функцией принимаюш-ей лишь два значения р и q с любым наперед заданным иррациональным отношением p/q и любым наперед заданным соотношением мер множеств f{p) и f{q) (см. также [14]). В дальнейшем аналогичный метод последовательных приближений с различными модификациями использовали А. Б. Каток, А. Уиндзор и Б. Файад [41] (2001) при построении «крыши» потока и собственных функций специального вида, а также ряд авторов в работах по исследованию так называемых косых сдвигов Анзаи, о которых пойдет речь ниже. Отметим терминологическое, а иногда и техническое сходство в исследованиях потоков и косых сдвигов Анзаи [34], [44] на двумерном торе, задаваемого формулой T, j{x, у) {{х {у или в мультипликативной записи 1Ш), 16.

1. Д. В. Аносов, Об аддитивном функциональном гомологическом уравнении, связанном с эргодическим поворотом окружности. Изв. АН СССР, сер. матем., 37 (1973), 1259−1274.

2. В. И. Арнольд, Топологические и эргодические свойства замкнутых 1-форм с несоизмеримыми периодами. Функц. анализ и его прилож., 25 (1991), № 2, 1−12.

3. Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков, Лекции по математическому анализу. М., Высшая школа, 1999.

4. Г. Р. Белицкий, О локальной сопряженности диффеоморфизмов. Докл. АН СССР, 191 (1970), № 3, 515−518.

5. А. А. Блохин, Гладкие эргодические потоки на поверхностях. Труды Моск. Матем. Общ., 27 (1972), 113−128.

6. A.M. Вершик, И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, Общая эргодическая теория групп преобразований с инвариантной мерой.Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники. (1985) Т. 2. М.: ВИНИТИ, 5−111.

7. А. Б. Каток, Спектральные свойства динамических систем с интегральным инвариантом на торе. Функцион. анализ и прилож., 1 (1967), 45−56.

8. А. Б. Каток, Монотонная эквивалентность в эргодической теории. Изв. АН СССР, сер. матем., 41 (1977), 104−157, 231.

9. А. Б. Каток, Е. А. Сатаев, Стандартность автоморфизмов перекладываний отрезков и потоков на поверхностях. Матем. заметки, 20 (1976), № 4, 479−488.

10. А. Б. Каток, A.M. Степин, Аппроксимации в эргодической теории. Успехи матем. наук, 5 (137), (1967), № 5, 81−106.

11. А. Б. Каток, Я. Г. Синай, A.M. Степин, Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой. В сб. Итоги науки, Математический анализ, т. 13 (1975), 129−262.

12. А. Н. Колмогоров, О динамических системах с интегральным инвариантом на торе. Докл. АН СССР, 93 (1953), 763−766.

13. A.N. Kolmogorov, Theorie generate des systemes et mecanique clas-sique, Proceedings of the Internatioal Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954, Vol. 1, p. 315−333. Erven P. Nordhoff N.V., Groningen, 1957.

14. И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин, Эргодическая теория. М., Наука, 1980.

15. А. Б. Крыгин, Пример непрерывного потока на торе со смешанным спектром. Матем. заметки, 15 (1974), № 2, 235−240.

16. А. Б. Крыгин, Примеры эргодических цилиндрических каскадов. Матем. заметки, 16 (1974), № 6, 981−991.

17. А. Б. Крыгин, Пример цилиндрического каскада с аномальными метрическими свойствами. Вестник МГУ (1975), сер. 1, № 5, 2632.

18. Ж. Пэлис, ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986.

19. А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. M.-JL: ГИТТЛ, 1947." .

20. А. В. Рождественский, Об абсолютно непрерывных слабо перемешивающих коциклах над иррациональными поворотами окружности. Матем. сб. (готовится к печати).щ.

21. В. А. Рохлин, Общее преобразование с инвариантной мерой не есть перемешивание. ДАН СССР, 60 (1948), № 3, 349−351.

22. В. В. Рыжиков Отсутствие перемешивания у специальных потоков над перекладыванием отрезков. Матем. заметки, 55 (1994), № 6, с. 146−149.

23. Я. Г. Синай, К. М. Ханин, Перемешивание некоторых классов потоков над поворотом окружности. Функцион. анализ и его при-лож., 26 (1992), № 3, 1−21.

24. A.M. Степин, О гомологическом уравнении теории динамических систем, В сб. Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Издательство Ярославского университета, 1982, 106−117.

25. A.M. Степин, О связи аппроксимативных и спектральных свойств метрических автоморфизмов. Матем. заметки, 13 (1973), № 3, 403−409.

26. A.M. Степин, О когомологиях групп автоморфизмов пространства Лебега. Функц. анализ и его прилож., 5 (1971), № 2, 91−92.

27. А.Т. Таги-Заде. Замена времени в специальных потоках. Матем. заметки, 25 (1979), № 5, 725−732.

28. П. Р. Халмош, Лекции по эргодической теории. М.: ИЛ, 1959.

29. А. Я. Хинчин, Цепные дроби. М., Физматгиз, 1961.

30. М. Д. Шкловер, О классических динамических системах на торе с непрерывным спектром. Изв. вузов, Математика, 10 (1967), 113 124.

31. С. А. Юзвинский, О метрических автоморфизмах с простым спектром. Докл. АН СССР, 172 (1967), № 5, 999−1002.

32. J. Aaronson, М. Lemanczyk, С. Mauduit, Н. Nakada, Koksma’s inequality and group extensions of Kronecker transformationsAlgorithms, Fractals and Dynamics, editedby Y. Takahashi, Plenum Press 1995, 27−50.

33. W. Ambrose, S. Kakuktani, Structure and continuity of measurable flows. Duke Math. J. (1942), 9, 25−42.

34. Anzai H. Ergodic skew product transformations on the torus. Osaka math, journal. 3 (1951), № 1, 83−99.

35. W. Bulatek, M. Lemanczyk, D. Rudolph, Constructions of cocycles over irrational rotation. Studia Mathematica, 125 (1) (1997), 1−11.

36. R.V. Chacon, Transformations having continuous spectrum. J. Math. Mech., 16 (1966), 399−415.

37. R.V. Chacon, Change of velocity in flows. J. Math. Mech., 16 (1966), № 5, 417−431.

38. B. Fayad, Reparametrage de flots irrationnels sure le tore, PhD Thesis, L’Ecole Polytechnique. Paris, 2000.

39. B. Fayad, Analityc mixing reparametrizations of irrational flows. Ergodic Theory Dymam. Systems, 22 (2002), № 2, 437−468.

40. B. Fayad, Weak mixing for reparameterized linear flows on the torus. Ergodic Theory Dynam. Systems, 22 (2002), № 1, 187−201.

41. B. Fayad, A. Katok, A. Windsor, Mixed spectrum reparametrizations of linear flows on T2. Mosc. Math. J., 4, (2001), .

42. N.A. Friedman, D.S. Ornstein, On partially mixing transformations. Indiana Univ. Math. J., 20 (1972), № 8, 767−775.

43. N.A. Friedman, D.S. Ornstein, Ergodic transformations induce mixing transformations. Adv. Math., 10 (1973), № 1, 147−163.

44. H. Furstenberg, Strict ergodicity and transformations on the torus. Amer. J. Math., 83 (1961), 573−601.

45. P.R. Halmos, In general, a measure-preserving transformation is mixing. Ann. of Math., ser 2, 45 (1944), № 4, 784−792.

46. В. Hasselblatt, A. Katok, Principal Structures, Handbook in Dynamical Systems, v. 1A, Elsevier, 2002, 1−203.

47. M.R. Herman, Exemples de flots hamiltoniense dont aucune perturbation en topologie C°° n’a d’orbites periodiques sur un ouvert de surfaces d’energies. C. R Acad. Sci. Paris, 312 (1991), 989−994.

48. M.R. Herman, Sur la conjugasion differentiable des diffeomorphismes du cercle a des rotations. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 49 (1979), 5−233.

49. A. Iwanik, M. Lemanczyk, D. Rudolph, Absolutely continuous cocy-cles over irrational rotation. Israel J. Math., 83 (1993), 73−95.

50. A.B. Katok, Interval exchange transformations and some special flows are not mixing. Israel. J. Math., 35 (1980), 301−310.

51. A. Katok, E.A. Robinson, Jr. Cocycles, cohomology and combinatorial constructions in ergodic theory, in Smooth Ergodic Theory and its applications, Proc. Symp. Pure Math, AMS, 69 (2001).

52. K.M. Khanin, Ya.G. Sinai, A new proof of M. Herman’s theorem, Commun. Math. Phys., 112 (1987), 89−101.

53. U. Krengel, On Rudolph’s representation of aperiodic flows. Ann. Inst. Poincare, 12, 1976 (77), № 4, 319−338.

54. J. Kwiatkowski, M. Lemanczyk, D. Rudolph, A class of real cocycles having an analytic coboundary modification. Israel J. Math., 87 (1994), 337−360.

55. M. Lemanczyk, Sur I’absence de melange pour des flots speciaux au dessus d’une rotation irrationelle. Colloquium mathematicum, 84/85, (2000), 29−41.

56. M. Lemanczyk, C. Mauduit, Ergodicity of a class of cocycles over irrational rotation. J. London Math. Soc. (2), 49 (1994), 124−132.

57. M. Lemanczyk, F. Parreau, D. Volny, Ergodic properties of real co-cycles and pseudo-homogeneous Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 348 (1996), 4919−4938.

58. J. von Neumann, Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik, Ann. of Math., 33 (1932), 587-.

59. D. Ornstein, D. Rudolph, B. Weiss, Equivalence of measure preserving transformations, Memoirs of AMS, 37 (1982), № 262.

60. D. Ornstein, M. Smorodinsky, Continuous speed changes for flows, Israel J. Math., 31 (1978), 161−168.

61. W. Parry, Cocycles and velocity changes, J. London Math. Soc., 5 (1972), №, 511−516.

62. D. Rudolph, A two-valued step-coding for ergodic flows. Proc. of the Intern. Conference on Dynamic Systems in Math. Phys., Rennes, Sept 14−21, 1975.

63. B. Weiss, Equivalence of measure preserving transformations, Preprint (1976).

64. A. Windsor, Liouville phenomena in smooth ergodic theory. PhD Thesis, Pennsylvania State University, 2002. Работы автора.

65. A.B. Кочергин, Об отсутствии перемешивания у специальных потоков над поворотом окружности и у потоков на двумерном торе. Докл. АН СССР, 205, (1972), 515−518.

66. А. В. Кочергин, Замена времени в потоках и перемешивание. Изв. АН СССР, сер. матем., 37 (1973), 1275−1298.

67. А. В. Кочергин, О перемешивании в потоках на поверхностях, тезисы доклада. УМН, ХХХ:2 (182), (1975), 202−203.

68. А. В. Кочергин, О перемешивании в специальных потоках над перекладыванием отрезков и в гладких потоках на поверхностях. Матем. сб., 96 (138), (1975), № 3, 471−502.

69. А. В. Кочергин, Невырожденные седла и отсутствие перемешивания. Матем. заметки, 19 (1976), № 3, 453−468.

70. A. Kochergin, Causes of stretching of Birkhoff sums and mixing in flows on surfaces, в сб. «Recent Progress in Dynamics», Cambridge University Press, 2004, 12 p. Работы автора по теме диссертации.

71. А. В. Кочергин, О гомологичности функций над динамическими системами. Докл. АН СССР, 231, (1976), 795−798.

72. А. В. Кочергин, Перемешивающий специальный поток над поворотом окружности с почти липшицевой функцией. Математический сборник, 193 (2002), № 3, 51−78.

73. А. В. Кочергин, Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе. Матем. сб., 194 (2003), № 8, 83−112.

74. А. В. Кочергин, Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе II. Математический сборник, 195 (2004), № 3, 15−46.

75. А. В. Кочергин, Гелъдерова замена времени и скорость перемешивания в потоке на двумерном торе. Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН, 244 (2004), 216−248.

76. А. В. Кочергин, Некоторые обобщения теорем о перемешивающих потоках с невырожденными седлами на двумерном торе. Матем. сб., 195 (2004), № 9, 19−36.

77. А. В. Кочергин, Перемешивание в потоках на торе. В сб. тезисов докладов на Международной конференции «Колмогоров и современная математика» (2003), 101−102.

78. A. Kochergin, Well арртохгтаЫе angles and mixing for flows on T2 with nonsingular fixed points. Electronic Research Announcements of American Mathematical Society, 10 (2004), 113−121.