Развитие метода эффективной массы для III-U полупроводниковых гетероструктур

Диссертация посвящена развитию метода огибающих функций и приближения эффективной массы применительно к полупроводниковым гетероструктурам.

1.1 Краткое описание работы.

Актуальность темы

В настоящее время физика полупроводниковых низкоразмерных систем продолжает бурно развиваться (здесь достаточно упомянуть то, что Нобелевская премия по физике 1998 года была присуждена за открытие и объяснение одного из эффектов, дробного квантового эффект Холла, проявляющегося в низкоразмерных системах). Успехи, достигнутые технологами, позволяют выращивать гетероструктуры нужного качества и создавать приборы с заданными физическими свойствами. В связи с этим возникает потребность в достаточно простом математическом аппарате, адекватно отражающем и предсказывающем физические эффекты в таких структурах. В случае однородных полупроводников таким аппаратом, удобным для применений и дающим качественно, а для мелких состояний и количественно правильные результаты, является приближение эффективной массы (ЭМ), когда действие периодического потенциала полупроводника проявляется в перенормировке массы электрона и может быть исключено из явного рассмотрения в задаче о состояниях этой частицы в кристаллическом потенциале, возмущенном плавным внешним полем [1]. При этом константа ЭМ зависит от полупроводникового материала и определяется из эксперимента.

В случае нахождения состояний электрона в кусочно-периодическом потенциале гетероструктуры прежде всего встает проблема записи оператора кинетической энергии, обусловленная некоммутативностью оператора импульса и пространственно-зависящей ЭМ [2, 3]. Существуют также проблемы, связанные с тем, что эффективный потенциал вблизи гетерограниц, как правило, не является плавной функцией на масштабах порядка постоянной решетки а, поскольку современные структуры обычно имеют атомно резкие гетерограницы. Сомнению подвергается тогда сама возможность обобщения метода ЭМ для таких гетеро-структур. Кроме того, в современной литературе господствует убеждение, что рассмотрение эффектов, связанных с резкостью гетерограниц, в принципе не может быть проведено в рамках метода ЭМ [4], и следует пользоваться более громоздкими и намного менее наглядными и удобными инструментами (метод сильной связи, метод псевдопотенциала, и т. д.). Но, к сожалению, существующие трудности в применении этих методов для исследования гетерограниц таковы, что результаты расчетов различных исследовательских групп далеко не всегда согласуются между собой даже качественно [5]-[7] (для простой зоны) и [8]-[10](для меж долинного смешивания). Поэтому тема предпринятого в диссертации исследования является актуальной.

Цель работы состоит, таким образом, в последовательном развитии к-р-метода (или метода огибающих функций) для описания электронных состояний в гетеро-структурах с атомно резкими гетерограницами и выводе уравнений приближения ЭМ. Рассмотрение проводится для гетероструктур. образованных из родственных (что является необходимым условием применимости однозонных приближений), согласованных по, а полупроводников со структурой цинковой обманкиизучается наиболее популярный случай роста гетероструктур — вдоль кристаллического направления [001].

Научная новизна работы заключается в постановке и решении следующих задач.

1. Получении корректной многозонной к • р-системы уравнений на огибающие функции (ОФ) в III-V полупроводниковых (001) гетероструктурах. должным образом учитывающей эффекты резкости гетерограниц.

2. Выводе однозонного уравнения на ОФ, описывающего состояния зоны проводимости вблизи Г-точки зоны Бриллюэна (ЗБ) и учитывающего пространственную зависимость ЭМ, и решении, таким образом, старой проблемы о виде оператора кинетической энергии с пространственно-зависящей ЭМ.

3. Выводе из полученного уравнения граничных условий, налагаемых на ОФ на гетерограницах.

4. Выводе эффективного уравнения на ОФ, описывающего состояния у потолка вырожденной валентной зоны.

5. Решении проблемы применимости метода ЭМ для нахождения электронных состояний в гетероструктурах со сверхтонкими слоями.

6. Рассмотрении в однозонном приближении межподзонных оптических переходов в зоне проводимости, определении механизмов, ответственных за оптические переходы, запрещенные в рамках стандартного метода ЭМ, оценке интенсивности таких переходов.

7. Построении на примере T-Xz смешивания формализма, позволяющего в рамках метода ОФ рассмотреть междолинное смешивание, связанное с нарушенной трансляционной симметрией гетероструктур.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Вклады в многозонную к • р-систему уравнений, связанные с резкостью изменения потенциала вблизи гетерограницы обладают степенной, а не экспоненциальной малостью по параметру akz (kz — характерное значение квазиимпульса состояния.).

2. При учете пространственной зависимости параметров ЭМ необходимо рассматривать и вклад непараболичности спектра. Поэтому рассмотрение уравнения ЭМ с квадратичным по импульсу оператором кинетической энергии и, одновременно, пространственно-зависящей ЭМ является, вообще говоря, превышением точности.

3. Наличие в задаче малых параметров (ак2, 2и Л? г, где 2й — ширина переходной области гетероперехода, а Л порядка двухзонной длины, причем, как правило, а < (I < Л), позволяет построить три ступени иерархии в однозонном приближении ЭМ: нулевое приближение соответствует стандартному уравнению ЭМ с разрывным потенциалом дна (потолка) зоны и пространственно-независящей ЭМ, в первом порядке начинают играть роль эффекты, связанные с микроскопическим строением гетерограницы, и лишь во втором (последнем) порядке проявляется пространственная зависимость параметров ЭМ.

4. Метод ЭМ применим для нахождения электронных состояний в гетеро-структурах со сверхтонкими слоями (даже в монослойных структурах).

5. Граничные условия, накладываемые на ОФ на гетерогранице, зависят как от материалов гетероструктуры, так и от микроскопического строения гетерограницы.

6. Межподзонные оптические переходы в зоне проводимости при нормальном падении света существуют, но относительная интенсивность их не выше квадрата (малого параметра) отношения разрыва зон к ширине запрещенной зоны.

7. Модифицированный к-р-формализм применим для описания междолинного смешивания электронных состояний в гетероструктурах.

8. Сила взаимодействия между Гх и состояниями может быть сравнима с таковой между состояниями и Хз долин.

Научная и практическая ценность. В работе впервые корректно осуществляется обобщение метода ОФ для рассмотрения электронных состояний в гетеро-структурах с атомно резкими гетерограницами, а также с тонкими слоями. Решается старая проблема о виде оператора кинетической энергии в однозонном уравнении при учете пространственной зависимости параметров ЭМ. Строящаяся иерархия уравнений приближения ЭМ позволяет использовать то простейшее приближение, которое достаточно для рассмотрения того или иного физического явления. Так, при рассмотрении эффектов, связанных со смешиванием тяжелых и легких дырок в центре 2Б ЗБ в (001) гетероструктурах. достаточным оказывается использование первой ступени иерархии уравнений для дырочных состояний, а для рассмотрения межподзонных оптических переходов в зоне проводимости при нормальном падении света необходимо использовать уравнение с пространственно-зависящей ЭМ (вторая ступень иерархии). В работе доказывается, что проблемы междолинного смешивания электронных состояний, рассмотрения атомно резких границ и гетероструктур с тонкими слоями можно решать не выходя за рамки к-р-метода. В работе получаются микроскопические выражения для входящих в эффективные уравнения параметров и делаются их грубые оценки. Показывается, что поскольку эти параметры оказываются зависящими от строения гетерограниц, их значения следует брать из сравнения теории с экспериментальными данными. Это связано с тем, что методы, основанные на знании объемных параметров полупроводников (метод сильной связи, метод псевдопотенциала, и т. д.), не могут в общем случае адекватно описать гетеропереход (ГП), и рассчитанные таким путем параметры могут сильно зависеть от выбранной модели гетерограницы. Можно надеяться, что разработанный метод найдет применения для расчета собственных значений и волновых функций электронных состояний в современных наноструктурах с резкими гетерограницами.

Диссертация состоит из четырех глав, включая введение и заключение, и списка литературы.

Первая глава является введением и состоит из двух разделов. В этом (1.1) разделе мы провели обоснование актуальности темы работы, указали ее цель, научную новизну и практическую ценность, а также выносимые на защиту основные положения и краткий перечень полученных результатов. Далее, в разделе 1.2 кратко изложена суть метода ЭМ, подробно анализируются проблемы, возникающие на пути построения метода для гетероструктур, и намечаются их решения. Там же приводится доказательство одного из утверждений, выдвигаемых на защиту: при переходе от многозонной системы уравнений на ОФ к приближению ЭМ для учета пространственной зависимости параметров ЭМ необходимо рассматривать и вклад непараболичности спектра. В этом же разделе дается критический обзор работ, посвященных проблеме электронных состояний в гетероструктурах.

Вторая глава всецело посвящена рассмотрению однодолинного случая: изучается ситуация, когда абсолютные экстремумы зоны проводимости и валентной находятся в Г-точке ЗБ, а состояния других долин достаточно удалены по энергии от рассматриваемых состояний. Рассматривается гетероструктура, состоящая из двух родственных согласованных по постоянний решетки полупроводников со структурой цинковой обманки, занимающих левое и правое полупространства, так что [001] является осью роста гетероструктуры. Получение многозонной кр-системы уравнений на ОФ (раздел 2.1) проводится по достаточно стандартной процедуре: периодический потенциал левого материала (С/х) считается базисным, переходная область моделируется при помощи функции <2 (.г) — форм-фактора ГП, такого что С (г) |2<й= 0, С (г) 2>с1= 1, — и потенциал 0(г)би = Сг (г)(6Г2 — иг) считается малым возмущением, где /У2 — потенциал правого полупроводника. Разложение полной волновой функции проводится в базисе Кона-Латтинжера {итг0егк'г}, где ипо = мп0(г) является периодической блоховской амплитудой для края бпо п-той зоны левого кристалла в Г точке ЗБ (в нерелятивистском пределе). Часто встречаемое в литературе приближение, согласно которому блоховские функции левого и правого полупроводников эквивалентны [4], не используется.

Показывается, что потенциал возмущения дает два типа вклада в к-р-систему уравнений. Первый является «стандартным», полученным для плавных ГП еще в работе [11], а второй вклад не мал для потенциалов, изменяющихся резко на масштабах порядка а. Этот дополнительный вклад можно разложить в сходящийся ряд, причем члены этого ряда дают поправки, классифицирующиеся по степеням малого параметра акг, где кг — характерное значение квазиимпульса состояния. Показывается, что достаточно удержать только два члена в этом разложении.

Далее анализируется реалистичный потенциал гетероструктуры, когда учитывается периодическая зависимость форм-фактора ГП в плоскости (001). Показывается, что так как симметрия потенциала возмущения при этом не меняется, использование реалистичного потенциала вместо такового в простой модели не дает ничего качественно нового, а лишь приводит к перенормировке некоторых параметров.

Ранее многозонная к • р-система уравнений для ОФ решалась лишь в нулевом приближении по акг. Даже в таком «стандартном» (но в многозонном) приближении скрывается богатое физическое содержание. Так, в двухзонном приближении аналогия к • р-системы уравнений с неоднородным уравнением Дирака позволила использовать методы суперсимметрии для описания интерфейсных состояний на гетерогранице [12]. В настоящей работе выведены однозонные уравнения для ОФ, но вне рамок «стандартного» приближения по ак2.

В разделе 2.2 исследовались следствия перехода от многозонной системы уравнений к однозонным, полученным при помощи приближенного унитарного преобразования, а также последующему переходу из кв г-представление. Дело в том, что указанная система к • р-уравнений является системой интегральных уравнений в к-пространстве, ограниченном ЗБ. Рассматривая мелкие состояния, мы используем приближенное унитарное преобразование системы и переходим к однозонному приближению. Не все значения к, лежащие в ЗБ, могут быть корректно учтены в однозонном уравнении. Это следут из следующих рассуждений. Для представления спектра е (к) электронных состояний вблизи Г точки в однородном полупроводнике можно использовать степенной ряд. Такой ряд имеет конечный радиус сходимости К0, определяемый силой к • р-взаимодействия и близостью далеких зон (исключаемых по теории возмущений). Из оценок следует, что А’о ~ 1 /А = т0Ед/(2НР), где Ед и Р определяют соответственно ширину запрещенной зоны и межзонный матричный элемент импульса. Если ЭМ т края соответствующей зоны формируется, в основном, за счет к • р-взаимодействия, то, А ~ Й (2тЕд)~1!2. Таким образом, для однозонных уравнений эффективное к-пространство — это область радиуса К0, а не ЗБ. Теперь, для получения из интегральных уравнений в к-пространстве дифференциальных уравнений в г-пространстве необходимо интегрировать по всему обратному пространству. Если бы потенциал был гладким на масштабах порядка а, то есть преобразование Фурье потенциала как функция к при больших значениях к затухало бы экспоненциально, такая процедура привела бы к экспоненциально малой ошибке. Но в случае резкого потенциала гетероструктуры получаемые после решения уравнений ОФ не будут плавными, в частности, вторая производная ОФ будет иметь относительный разрыв порядка единицы. Это означает, что для одиночного ГП или гетероструктуры с достаточно широкими квантовыми ямами (с ширинами, много большими А) фурье-преобразование ОФ соответствующей зоны убывает при боль-щих кг как 11{кг)3. Таким образом, принципиальная ошибка однозонного метода ОФ составляет (кг/К0)3 ~ (А&-2)3.

В разделе 2.3 выводятся уравнения для состояний зоны проводимости (раздел 2.3.1), валентной (раздел 2.3.2), а также рассматривается вопрос о применимости метода ОФ для гетероструктур с тонкими слоями (раздел 2.3.3). Полученное уравнение для состояний зоны проводимости и учитывающее пространственную зависимость ЭМ края зоны проводимости т (г), так что т (г)г<0 = т и т (г)|г>о = ТП2, имеет вид: ес0 — с + 0 (~) AUC + ?г8{х)) Fc (г) + l-ma (z) рт0 (z) рта (2) Fc (г) + a0p4Fc (г) + /30 (р ?p2z + p*pj) Fc (г) + d2{ р х n] •.

В этом уравнении есо является краем зоны проводимости базисного полупроводника, б — собственное значение уравнения, 0(z) — функция Хэвисайда, AUc представляет скачок зоны проводимости, S (z) — ¿—функция Дирака. Fc® — полученная в результате унитарного преобразования ОФ зоны проводимости, а0 и /30 — параметры слабой непараболичности, п — единичный вектор вдоль оси 0~, а — матрицы Паули, и, наконец, параметры а, ?3 (2а + ?3 = — 1). d и d2 зависят как от составляющих ГП материалов, так и от микроскопического строения гетерограницы — явного вида форм-фактора ГП. Из выведенного уравнения получаются граничные условия, налагаемые на ОФ на гетерогранице.

В задаче реально существуют три параметра, малость которых используется при ее решении. Эти параметры: Akz, akz и d • kz, где 2d определяет ширину переходной области ГП. Малость первого из них дает возможность исключать далекие зоны по теории возмущений, он также определяет ошибку, возникающую при переходе от многозонной к • р-системы интегральных уравнений к однозонным дифференциальным. Малость второго параметра дает возможность рассматривать в рамках метода ОФ резкие гетерограницы, этот параметр определят также насколько сильно параметры a, di и d2 зависят от микроскопической структуры гетерограницы. Малось третьего параметра дает возможность в конечном уравнении использовать 0(г) вместо G (z). Считается, что, а < d < А, и это представляется наиболее реальной ситуацией, реализующейся в полупроводниковых гетероструктурах с резкими ГП, так что параметр Akz считается главным малым параметром задачи. В работе проводится классификация приближений в однозонных уравнениях по этому параметру, что справедливо для гетерострук-тур с толстыми слоями. Так, для состояний зоны проводимости для отдельного ГП в стандартном методе ЭМ, в котором пренебрежено малыми по главному параметру задачи поправками (нулевое приближение), мы имеем обычное уравнение с пространственно-независящей ЭМ и скачкообразным потенциалом. Поправки первого порядка учитываются включением в стандартное уравнение 8-функционального потенциала, пропорционального ?. Уравнение, учитывающее пространственную зависимость ЭМ, включает и все поправки порядка (Хкг)2. Более малые вклады, третьего порядка и выше, невозможно корректно учесть в однозонном варианте метода из-за принципиального предела точности, подробно обсуждаемого в разделе 2.2.

Уже в уравнение для зоны проводимости входит три новых параметра, зависящие как от объемных свойств материалов гетероструктуры, так и от свойств гетерограницы. Для валентной же зоны подобных параметров будет существенно больше, что, возможно, приведет к малой практической ценности уравнения, учитывающего пространственную зависимость параметров ЭМ. Поэтому мы ограниваемся выводом поправок первого порядка к стандартному уравнению. В таком приближении матрица гамильтониана для валентной зоны представляет собой сумму матрицы 6×6 стандартного оператора кинетической энергии и матрицы 6×6 оператора потенциальной энергии V. В стандартном приближении в V входят лишь диагональные скачкообразные потенциалы. В следующем приближении появляются дополнительные члены, представляющие собой диагональные и недиагональные 8-функциональные потенциалы. На этом этапе появляются еще три параметра, хъ Х2 и Хз, определяющие силу дополнительных 8-функциональных потенциалов. Эти параметры подобны параметру для состояний зоны проводимости. Один из них отвечает, в частности, за эффект смешивания состояний тяжелых и легких дырок в центре 2Б ЗБ [13]-[15].

Далее изучается вопрос о применимости метода ЭМ для состояний в гетеро-структурах с тонкими слоями (толщиной Ь < А). В этом случае принципиальная ошибка однозонного метода не (Хкг)3, а (Хк~)2. Рассматриваются лишь состояния зоны проводимости в гетероструктуре типа одиночной квантовой ямы (или барьера). Дырочные состояния легко рассмотреть аналогичным образом. Для тонких слоев вклады резкости потенциала начинают играть существенно большую роль, чем в случае широких квантовых ям, поскольку оценка К2к*/(2т) ~ ДГГС справедлива лишь когда ширина квантовой ямы больше или порядка характерной длины локализации состояний. Для состояний же в узкой квантовой яме Н2к2/(2т) ~ Диск~Ь, а вклад в собственное значение энергии членов, связанных с резкостью потенциала, в первом порядке можно оценить как Д1УД-га, что означает необходимость их учета даже в нулевом приближении. Удобным оказалось использовать формализм, при котором потенциал тонкого слоя заменяется на 6-функциональный [16] с коэффициентом перед ¿—функцией, зависящим от микроскопического строения потенциала.

Показывается, что в случае гетероструктур с тонкими слоями существует ситуация, когда ошибка метода, возникающая из-за перехода к однозонному дифференциальному уравнению, максимальна и порядка к~. Таким образом, с учетом модификации, связанной с необходимостью знать микроскопическую структуру потенциала даже в нулевом приближении, метод ЭМ можно применять и при рассмотрении электронных состояний в гетероструктурах со сверхтонкими слоями. В связи с этим возможна следующая ситуация: по мере уменьшения ширины квантовой ямы связанное состояние может исчезнуть, или, наоборот, будучи барьером в случае толстого слоя, тонкий слой некоторого полупроводника может создать притягивающий потенциал и образовать связанное состояние. Видимо, именно такая ситуация наблюдалась в [17], а затем моделировалась в [18].

В разделе 2.4 выведенное уравнение, учитывающее пространственную зависимость ЭМ, применяется для анализа межподзонных оптических переходов в зоне проводимости. Анализ проводится для симметричной квантовой ямы с целью определения механизмов, ответственных за оптические переходы, запрещенные в рамках стандартного метода ЭМ и оценке интенсивности таких переходов. Показывается, что относительная интенсивность таких переходов не выше, чем.

Л&-2)4, что порядка квадрата отношения разрыва зон к ширине запрещенной зоны. Реально, в силу малого проникновения ОФ под барьеры, эта интенсивность оказывается еще более малой величиной.

В третьей главе проводится учет междолиного Г-Хг смешивания состояний зоны проводимости, обусловленного нарушением трансляционной симметрии ге-тероструктуры вдоль оси роста. В разделе 3.1 ставится задача и выбирается базис разложения полной волновой функции. Считается, что в интересующем нас диапазоне энергий для состояний зоны проводимости вблизи Г-точки можно пользоваться однозонным вариантом, а состояния зоны проводимости вблизи X точки можно описывать двухзонным (для Х и Х3 зон) вариантами метода ОФ. Также считается, что энергетический зазор между интересующими нас состояниями в Г и X долинах меньше или порядка разрыва зон. Это позволяет рассматривать прямое взаимодействие Г, Х и Х:> состояний «точно», а взаимодействие через все остальные зоны учесть по теории возмущений. Поскольку в искомом гамильтониане системы уравнений на ОФ должна была содержаться информация о числе моноатомных слоев каждого из составляющих структуру материалов (см. [8]), мы рассматриваем симметричную структуру с двумя ГП. В качестве базиса разложения полной волновой функции используется полный набор, составленный из функций Кона-Латтинжера Г и Хг долин. Базис строится таким образом, что базисные функции оказываются ортонормированными.

В разделе 3.2 выводится многозонная система к • р-уравнений. Показывается, что именно вклад резкости потенциала гетероструктуры определяет междолинное смешивание состояний, и наряду с Г-ААз смешиванием, возникает и сравнимое с ним по силе Гх-Х! смешивание.

Исключение далеких зон с помощью унитарного преобразования, раздел 3.3, проводится так, чтобы находиться в рамках приближения ЭМ с пространственно-независящими параметрами ЭМ, а эффекты резкости гетерограниц учесть лишь в первом порядке. Проводится анализ следствий перехода от интегральной системы к • р-уравнений к системе дифференциальных уравнений, в которой далекие зоны исключены по теории возмущений. Показывается, что рассмотрение эффектов резкости гетерограниц в первом порядке, в том числе членов, обеспечивающих междолинное взаимодействие, не является превышением точности.

В конечной системе уравнений, описывающей смешивание состояний Г и Хг долин содержится информация о четности числа моноатомных слоев центрального полупроводника.

Материалы диссертации докладывались на международном симпозиуме «Физика и компьютерное моделирование приборов, основанных на низкоразмерных структурах» (Айзу-Вакамацу, Япония, 1995 г.), на международных симпозиумах «Наноструктуры: физика и технология» (С.-Петербург, Россия, 1995, 1996, 1997, 1998 г.), на международной конференции «Физика низкоразмерных структур» (Дубна, Россия, 1995 г.), на XXIII международном симпозиуме по сложным полупроводникам (С.-Петербург, Россия, 1996 г.), на международной конференции «Теоретические проблемы физики твердого тела», посвященная 80-летию академика И. М. Лифшица (Москва, Россия, 1997 г.), на III Всероссийской конференции по физике полупроводников (Москва, Россия, 1997 г.), на семинаре в Институте физики полупроводников НАНУ (Киев, Украина, 1998), на сессии ООФА РАН (Москва, май 1997 г.).

Часть результатов, представленных в диссертации, получена в рамках исследований, проводившихся в 1994;1998 гг. по грантам РФФИ (94−02−4 913 и 96−218 811), Миннауки РФ (грант 1−094/4 МНТП «Физика твердотельных наноструктур» и грант 95−3.1 подпрограммы «Поверхностные атомные структуры»), ШТАБ-КРВИ (95−0849) и С1ШЕ (ЯС1−220).

1.2 История вопроса.

Основные результаты работы опубликованы в [54], [63]-[76].

Заключение

.

В данной работе мы попытались развить метод ЭМ так, чтобы показать его большую практическую значимость для рассмотрения электронных состояний в полупроводниковых гетероструктурах с резкими гетеропереходами, определить область применимости метода, а также расширить ее на случай сверхтонких слоев и проблемы междолинного смешивания. Мы рассмотрели лишь (001) гетеро-структуры, образованные из согласованных по постоянной решетки III-V полупроводников. На наш взгляд, метод не допускает обобщения только на случай гетероструктур из материалов с различной кристаллической структурой, когда разницу в их периодических потенциалах нельзя рассмотреть по использовавшейся в работе теории возмущений. Тогда как несложо рассмотреть в рамках этого метода другие классы полупроводников и другие кристаллические направления оси роста гетероструктур.