Математическое моделирование теплопереноса в системе твердых тел при наличии неидеального теплового контакта

Актуальность темы

Решение многих задач современной инженерной практики связано с исследованием и прогнозированием теплового состояния конструкций и разработкой методов их тепловой защиты [1−7].

В рамках указанных выше исследований можно выделить класс задач, в которых сочетание теплофизических свойств материалов, геометрических размеров конструкций и характерного времени процесса теплопереноса или работы устройства таково, что тепловыми эффектами на границе, не подверженной внешнему тепловому воздействию, можно пренебречь [7, 8]. Это значит, что толщина теплового слоя (т. е. поверхностного слоя, в котором происходит резкое изменение температуры и в котором сосредоточено основное количество теплоты, поглощённой в рассматриваемый период времени) мала по сравнению с размерами теплоизолируемого тела. В этом случае твёрдое тело можно представить полуограниченной областью, что позволяет получить более простые, наглядные и удобные с точки зрения практического использования аналитические представления решений задач теплопроводности [7,9−13].

Кроме того, при изучении реальных процессов теплопереноса методами математического моделирования [14] полезно иметь аналитические или приближённые аналитические решения соответствующих математических задач, которые значительно упрощают не только процедуру параметрического анализа, но и решение задач оптимизации [12,15,16]. К тому же, аналитические представления необходимы и для тестирования вновь создаваемых программных комплексов.

Вследствие выше сказанного в математической теории теплопроводности [9−13] классической является задача определения температурного поля в полуограниченном твёрдом теле, на поверхности которого реализуется заданный режим теплового воздействия: поддержание постоянной температуры (граничное условие первого рода) — нагрев заданным тепловым потоком (граничное условие второго рода) — теплообмен с внешней средой (граничное условие третьего рода).

Для полуограниченного тела (полупространства) аналитические решения, необходимые для проведения параметрического анализа, были получены для всех трёх типов граничных условий в [9,10,17]. В работе [18] для решения задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с заданным на поверхности граничным условием третьего рода с изменяющимся во времени коэффициентом теплоотдачи использован разработанный в [19,20] аналитический метод. В основе данного подхода лежит идея расщепления ядра смешанного интегрального преобразования Фурье по пространственному переменному, позволившая получить решение в аналитически замкнутом виде и провести анализ особенностей процесса формирования температурного поля в импульсных режимах теплообмена с внешней средой.

Одной из модификаций описанной выше задачи является задача об определении температурного поля в неограниченном теле с цилиндрическим каналом, поверхность которого подвержена внешнему тепловому воздействию. Необходимость учёта осевой симметрии приводит к дифференциальному уравнению Бесселя и, как следствие, более громоздким выражениям для аналитически замкнутого представления решения, которое, однако, позволяет с большей точностью описывать процесс формирования температурного поля и выявить ряд характерных особенностей.

Аналитические решения задачи об определении температурного поля в неограниченном теле с цилиндрическим каналом кругового сечения [21−23] также известны как в случае задания на поверхности канала температуры, так и теплового потока, т. е. граничных условий первого и второго родов (см., например, [9,11,17,21−30]).

Предположение о реализации режима теплообмена с внешней средой по закону Ньютона соответствует заданию на поверхности цилиндрического канала граничных условий третьего рода. Аналитическое решение рассматриваемой задачи в этом режиме теплообмена получено в [9] путём применения интегрального преобразования Лапласа по временному переменному, причём предполагалось, что температура Тс внешней среды не зависит от времени, а начальная температура То твёрдого тела равна нулю. В [11] в аналитически замкнутой форме получено решение рассматриваемой задачи в более общей постановке, предполагающей временную зависимость температуры внешней среды, а использованный метод решения поставленной задачи основан на применении интегрального преобразования Вебера [11,29,31,32] по пространственному переменному. Заметим, что в цитируемой работе [11] имеются неточности принципиального характера в формуле представления температурного профиля в твёрдом теле для частного случая теплообмена с внешней средой, когда её температура постоянна.

В [23] разработан и обоснован аналитический метод решения вышеописанной задачи в предположении о реализации режима теплообмена с изменяющимся во времени коэффициентом теплоотдачи. Следуя сложившейся терминологии [18,23], в дальнейшем такой режим теплообмена будем называть нестационарным.

В основе разработанного в [23] метода решения рассматриваемой задачи лежит идея расщепления ядра полученного авторами работы сингулярного интегрального преобразования, применяемого по пространственному переменному, которое можно рассматривать как обобщение известного интегрального преобразования Вебера. При этом необходимо отметить, что представленные в [23] результаты ограничены изучением процесса формирования температурного поля в твёрдом теле только для частного случая теплообмена с внешней средой по закону Ньютона.

Задача, в которой на границе сферического очага разогрева (шаровой полости, заполненной высокотемпературным газом) задано граничное условие третьего рода, рассматривалась в [9,17,33]: в [9] анализируется режим теплообмена по закону Ньютона (с постоянным коэффициентом теплоотдачи, а — const), решение задачи получено с помощью интегрального преобразования Лапласа по временному переменномув [33] изучены нестационарные (импульсные) режимы теплообмена, при этом для нахождения решения использован подход, основанный на применении смешанного интегрального преобразования Фурье по радиальному переменному р? [1, +оо) с последующим расщеплением его ядра. В [34] изучена термоупругая реакция изотропного тела со сферическим очагом разогрева в режимах теплового воздействия, приводящих к временному изменению температуры его поверхности или конвективному теплообмену в системе «тело — внешняя среда».

Следует отметить, что на практике используются различные подходы, позволяющие найти точные (например, в виде функционального ряда) или приближённые решения задач математической теории теплопроводности для пластины, цилиндра, шара и полуограниченного стержня (полупространства) при произвольном законе изменения коэффициента теплоотдачи во времени или при его частных зависимостях: экспоненциальной, степенной, периодической (см., например, [18,23,33,35−50]). Однако применение этих приближённых методов не позволяет существенно облегчить практическое использование найденных аналитических решений, достаточно громоздких и требующих существенных вычислительных затрат при получении конечного числового значения.

Наиболее распространёнными аналитическими методами решения рассматриваемого класса задач являются методы тепловых потенциалов, функций Грина и интегральных преобразований [1,9,12,49,51].

Среди всего многообразия возможных временных законов изменения коэффициента теплообмена можно выделить случай кусочно-постоянной зависимости. Этот случай имеет место при моделировании высокотемпературных воздействий, сопровождающихся термодеструкцией поверхностных сло-ёв термонагруженного твёрдого тела (например, слоя термоизоляционного материала) [1,2,16], когда продолжительность переходного процесса при изменении режима внешнего воздействия мала по сравнению с длительностью воздействия. В ряде случаев с помощью кусочно-постоянной зависимости можно аппроксимировать нелинейные законы изменения коэффициента теплообмена с целью получения приближённых аналитических решений. Реализация таких режимов внешнего теплового воздействия, называемых импульсными, приводит не только к улучшению или ухудшению условий теплообмена с окружающей средой, но и к специфическим особенностям эволюции температурного профиля [1,52,53], представляющим практический интерес.

Следует отметить, что трудности, возникающие при решении подобных задач [12], ещё более усугубляются в тех случаях, когда возникает необходимость учёта влияния разного рода механических или физико-химических процессов на температурное поле твёрдого тела: горения в твёрдотопливных ракетных двигателях, абляции, эрозии электрических контактов, лазерного воздействия, износа контактных поверхностей и др. Их протекание неизбежно приводит к изменению размеров тела вследствие временного изменения положения его границ [12,15,54−56].

Соответствующие задачи являются далеко не тривиальными с точки зрения нахождения их точного аналитического решения даже в тех случаях, когда закон движения границы известен. С математической точки зрения это означает, что область, в которой ставится краевая задача для уравнения теплопроводности, не является цилиндрической [57]. Краевые задачи такого рода, часто называемые обобщёнными, принципиально отличны от классических и составляют отдельный, самостоятельный раздел математической теории теплопроводности [12]. Вследствие зависимости положения границы области теплопереноса от времени к такому классу задач в общем случае не применимы методы разделения переменных Фурье или интегральных преобразований [28], поскольку, оставаясь в рамках классических методов математической физики, не удаётся согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы области теплопереноса.

Необходимо отметить, что в большинстве случаев точные решения задач такого типа удавалось получить при помощи удачных догадок и искусственных приёмов, причём для весьма ограниченного числа случаев движения границы (линейного и параболического) и для частного вида граничных условий. Прогресс в этой области связан с использованием специальных функциональных преобразований, с помощью которых обобщённая краевая задача переформулировалась в подвижной системе координат.

Метод, основанный на использовании таких функциональных преобразований, является мощным инструментом в случае, когда закон движения границы области теплопереноса известен. Тем не менее, в условиях теплообмена с внешней средой по закону Ньютона (граничное условие третьего рода) использование этого подхода приводит к тому, что в преобразованной задаче коэффициент теплоотдачи оказывается функцией времени.

Кроме того, существуют специфические методы для получения аналитических решений задач в областях с подвижными границами: метод обобщённых рядов, метод дифференциальных рядов, метод обобщённых интегральных преобразований [15]. Эти методы позволяют получить точные аналитические решения краевых задач теплопереноса лишь для небольшого числа частных зависимостей коэффициента теплоотдачи от времени и частных законов движения границы. Расширение класса такого рода зависимостей представляет собой одну из открытых проблем математической теории теплопроводности.

В работе [55] в аналитически замкнутом виде получено решение задачи определения температурного поля твёрдого тела, моделируемого полупространством с движущейся по известному закону I ~l (t) границей, в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой. В качестве метода решения использовалось функциональное преобразование, позволившее записать исходную задачу в подвижной системе координат и применить интегральное преобразование Фурье по пространственному переменному.

Аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности для неограниченного твёрдого изотропного тела с цилиндрическим каналом, на поверхности которого задан теплообмен с внешней средой по закону Ньютона и граница которого движется по заданному линейному закону i/(Fo) = 1 +? Fo, получено в [58]. При этом предполагалось, что? — малый определяющий параметр, а процесс теплообмена с внешней средой сопровождается временным изменением коэффициента теплоотдачи на подвижной границе цилиндрического канала, т. е. является нестационарным. В [58] предложен приближённый аналитический метод решения, основанный на разложении Пуанкаре по степеням малого параметра е. Следует, однако, отметить, что использование такого решения для проведения параметрического анализа затруднительно, поскольку полученное решение представлено в виде суммы бесконечного ряда.

Аналогичная задача о формировании температурного поля в твёрдом изотропном теле, содержащем сферический очаг разогрева с движущейся по заданному (линейному) закону границей, на которой реализуется теплообмен, сопровождающийся временным изменением коэффициента теплоотдачи, решена в [59] с помощью аналогичного [55] функционального преобразования задачи для перехода в подвижную систему координат и обобщённого смешанного интегрального преобразования Фурье [54,60].

Очевидно, что решение многих практически важных задач в современной технике и производстве связано не только с необходимостью исследования и учёта влияния теплового воздействия и прогнозирования теплового состояния конструкции или технического устройства, но и с необходимостью разработки методов их тепловой защиты. В настоящее время одним из наиболее эффективных способов теплозащиты является нанесение на основную конструкцию одного или нескольких слоёв теплоизоляционных материалов, которые служат для снижения кондуктивного, конвективного и радиационного теплообменов на ней [1,2,16,61−63]. Классификацию теплоизоляций производят с использованием различных критериев [16,64,65], а их сравнительный анализ —по эффективным теплофизическим характеристикам теплозащитного слоя [16,66,67], что позволяет использовать методы математического моделирования при расчёте и оптимизации параметров покрытия.

К данным задачам относятся задачи математической теории теплопроводности для двухслойной области, моделируемой полуограниченным твёрдым изотропным телом (полупространством, неограниченным телом с цилиндрическим каналом или сферической полостью) с покрытием. На границе покрытия реализуется заданный режим теплового воздействия. При этом, как правило, предполагается наличие идеального теплового контакта между слоями области, т. е. между твёрдым телом и покрытием принимается граничное условие четвёртого рода [10].

В настоящее время известны аналитические решения задач теплопроводности для двухслойной области (полупространство с покрытием) при граничных условиях первого [10] и второго [9,10] родов. В случае реализации на границе покрытия условий третьего рода в работе [41] использован метод тепловых потенциаловисходная задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, но его решение получено численно с использованием специальных квадратурных формул.

В работе [68] методом интегрального преобразования Лапласа найдено аналитическое решение задачи теплопроводности для системы «полупространство — теплозащитное покрытие конечной толщины» при наличии идеального теплового контакта между ними и теплообмене с окружающей средой по закону Ньютона. Решение аналогичной задачи, но при импульсных режимах теплообмена с внешней средой, что соответствует ступенчатому изменению коэффициента теплоотдачи, получено в [36] на основе идеи расщепления ядра сингулярного интегрального преобразования, которое является обобщением известного интегрального преобразования Фурье.

В работах [23,35] предложен аналитический метод решения задачи теплопроводности для неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим теплозащитным покрытием, при изменяющихся во времени условиях теплообмена в изучаемой системе. В основе метода лежит идея расщепления ядра сингулярного интегрального преобразования, являющегося обобщением интегрального преобразования Вебера [9,28,36].

Решению задачи о нахождении температурного поля в неограниченном теле со сферическим очагом разогрева, который может обладать покрытием, посвящены работы [69,70], в которых с помощью полученного авторами сингулярного интегрального преобразования найдена аналитически замкнутая форма представления решения поставленной задачи.

Следует, однако, отметить, что использование исходной «точной модели» для получения аналитического решения задачи о нахождении температурного поля в теле, ограниченном плоскостью или содержащем цилиндрический канал или сферическую полость с покрытием, связано с выполнением большого числа математических преобразований, а получаемые в результате этого решения являются достаточно громоздкими. Один из путей преодоления этих трудностей связан с принятием разного рода допущений, приводящих к замене исходной «точной модели» изучаемого процесса теплопере-носа её упрощёнными аналогами. Использование этих упрощённых аналогов исходной математической модели, допускающих представление решений соответствующих задач нестационарной теплопроводности в аналитически замкнутой форме, позволяет выявить основные особенности изучаемого процесса и провести качественный анализ влияния определяющих параметров. Кроме того, при получении количественных результатов выбор адекватной модели часто помогает существенно сократить вычислительные затраты.

Для упрощения исходной «точной модели» и расчёта покрытий были предложены различные подходы, основанные на учёте малости толщины покрытия в сравнении с толщиной подложки. Один из эффективных подходов такого рода состоит в моделировании влияния тонкостенных элементов конструкций специальными граничными условиями [71−74]. Такой подход существенно упрощает процесс решения задач и базируется на моделировании покрытий тонкими оболочками с соответствующими геометрическими и теп-лофизическими свойствами или принятии гипотез о термической тонкости покрытия [14,37,75,76].

Предположение о том, что покрытие имеет близкое к однородному поле температур, позволяет осуществить переход от исследования тепловых процессов в системе «твёрдое тело — покрытие» к исследованию теплового состояния одного тела со специальным граничным условием, называемым обобщённым [71,77−79]. Такой подход позволяет исключить из рассмотрения покрытие с высокой теплопроводностью и тем самым существенно упростить задачу.

К задачам такого класса можно отнести задачи об определении температурного поля в полуограниченном твёрдом изотропном теле, обладающем покрытием, которое, в силу определённого соотношения теплофизических характеристик материалов, является термически тонким, что позволяет ввести среднеинтегральную по толщине покрытия температуру и реализовать идею «сосредоточенная ёмкость» [75].

Исследованию процесса формирования температурного поля в полупространстве с термически тонким покрытием в случае задания теплообмена по закону Ньютона с внешней средой и наличии идеального контакта посвящена работа [37], где для решения применён метод интегрального преобразования Лапласа, а в случае импульсных режимов теплообмена — в [80,81].

Полезным методом математического моделирования для такого класса задач является построение иерархии математических моделей и определение условий их применимости в зависимости от соотношения теплофизических характеристик и условий теплообмена [14,82]. В [83] предложена иерархия математических моделей, описывающая последовательные упрощения исходной точной математической модели для полупространства с покрытием, и рассмотрены достаточные условия применимости каждой из трёх моделей иерархии: «уточнённой модели сосредоточенной ёмкости», модели «сосредоточенная ёмкость» и усечённой модели «сосредоточенная ёмкость». Модель «сосредоточенная ёмкость» подразумевает равенство среднеинтеграль-ной температуры покрытия и температуры на границе полупространства и позволяет перейти к математической модели, состоящей только из уравнения теплопроводности для полупространства со специальным обобщённым граничным условием, в котором учтено наличие термически тонкого слоя, а в качестве определяющего выступает безразмерный комплекс, связывающий теплофизические характеристики материалов. «Уточнённая модель сосредоточенной ёмкости» учитывает теплообмен по закону Ньютона между слоем и полупространством с неизвестным параметром, который входит в обобщённое граничное условие упрощённой задачи.

В работах [7,84] получено аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с термически тонким покрытием в случае неидеального теплового контакта и тепловыделения на контактной поверхности, в предположении о том, что интенсивность тепловыделения зависит от времени.

В случае неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим теплоактивным покрытием (т. е. покрытием, в котором в силу физических или физико-химических процессов происходит объемное тепловыделение), предполагалось, что такие покрытия, в силу определённого соотношения теплофизических характеристик материалов, являются термически тонкими [37], контакт в системе «покрытие — твёрдое тело» является идеальным, а на границе происходит теплообмен по закону Ньютона. Решение задачи в условиях стационарного теплообмена получено в [85,86], а при нестационарных условиях —в [87,88] в предположении, что в задаче присутствует малый положительный параметр, характеризующий теплофизические и геометрические характеристики покрытия и твёрдого тела.

Особое внимание уделяется задаче о формировании температурного поля в твёрдом теле со сферической полостью с термически тонким покрытием, которая связана с исследованиями ударно-волновой чувствительности в энергетических материалах. Её решение ассоциируют с реализацией идеи управляемого воздействия на температурное поле изучаемой системы путём поверхностной флегматизации очага разогрева с применением как химически инертных малопрочных и легкотекучих, так и химически активных добавок. При этом, как правило, формируемое в процессе флегматизации покрытие можно считать термически тонким ввиду малости его толщины [89]. В работе [89] решение поставленной задачи было получено с помощью применения интегрального преобразования Лапласа по временному переменному.

Дальнейшее развитие эта задача получила в работе [90], где была предложена иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в твёрдом теле со сферическим очагом разогрева, при наличии термически тонкого покрытия, принципы построения которой аналогичны [83].

Использование термически тонких слоёв в качестве средства управляемого воздействия на температурное поле конструкции для случая плоской стенки обосновано в [91,92], а для тела со сферическим очагом разогрева и теплоактивным покрытием —в работе [89]. Заметим, что в цитируемой работе [89] особое внимание уделено теплоактивным покрытиям с изменяющейся во времени удельной мощностью теплопоглощения в термически тонком слое, причём «компенсирующее» теплопоглощение в термически тонком покрытии позволяет в течение заданного временного интервала термостатировать поверхность твердого тела.

Следует заметить, что аналитические решения задач об определении температурного поля в системе тел получены, в основном, в предположении идеальности теплового контакта между составляющими изучаемую систему телами. В математической теории теплопроводности [9,10,12] наименее изученными в этом отношении являются неидеально контактные краевые задачи [93]. Трудности решения таких задач связаны с наличием граничного условия специфического вида на контактной поверхности [96−98,105,106], обусловленного, например, зазором [94] или шероховатостью [124,126], а также тепловыделения [95], что приводит к более сложным математическим выкладкам. В настоящее время такие решения получены лишь для частных случаев неидеального теплового контакта [96].

Несмотря на многочисленные исследования и полученные аналитические решения, незакрытым остаётся вопрос об исследовании температурных полей в системах тел, одно из которых, с учётом теплофизических характеристик материалов и параметров процесса теплопереноса, может быть смоделировано полупространством. К таким задачам, в частности, относится задача об определении температурного поля в неограниченном теле с цилиндрическим каналом, заполненным высокотемпературной средой при наличии многослойного покрытия, различных условиях теплового контакта как между покрытием и телом, так и между слоями многослойного покрытия, а также построении упрощённых аналогов исходных математических моделей, позволяющих с достаточной точностью передавать характерные особенности изучаемых процессов.

Цель и задачи исследования

Цель диссертационного исследования состоит в получении аналитических представлений решений класса контактных задач теплопроводности для системы «полуограниченное тело — покрытие» с учётом различных видов контактного теплообмена, а также использовании данных решений для математического моделирования теплопереноса в изучаемых системах.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Получение аналитического представления решения смешанной задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с покрытием для обобщённого условия неидеального теплового контакта и проверка корректности решения в сравнении с известными частными и предельными случаями.

2. Построение обобщённого интегрального преобразования по пространственному переменному для получения аналитических представлений решений задачи об определении температурного поля в теле с цилиндрическим каналом, обладающим однослойным покрытием, в случае нестационарных условий теплообмена с внешней средой и при наличии неидеального теплового контакта.

3. Применение подхода обобщённого граничного условия и разработка иерархии математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в полуограниченном теле с покрытием (для декартовой системы координат и осевой симметрии). Определение области возможного применения каждой из моделей.

4. Построение сингулярного интегрального преобразования для нахождения аналитических представлений решений задачи об определении температурного поля в теле с цилиндрическим каналом при наличии многослойного покрытия и неидеального контакта как между слоями покрытия, так и в системе «покрытие — твёрдое тело».

5. Проведение параметрического анализа процесса формирования температурного поля в изучаемых системах с целью установления их характерных особенностей в зависимости от вида теплового контакта.

6. Проведение вычислительных экспериментов для проверки адекватности математических моделей и решений на примере расчётов температурных полей в конструкциях.

Объектом исследования являются тепловые процессы и математические модели теплопереноса в технических системах и многослойных конструкциях.

Предметом исследования являются методы математического моделирования на основе аналитических и численных алгоритмов решения задач, формализуемых начально-краевыми задачами математической физики, а также закономерности изменения температур в изучаемых системах.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационного исследования, использовались различные классы математических методов: методы математической физики и математической теории теплопроводностиметоды интегральных преобразований и теории функций комплексного переменногометоды теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и линейных дифференциальных операторовметоды математического, функционального и матричного анализачисленные методы интегрирования и решения краевых задач.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных с использованием различных методов и вычислительных экспериментов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как путём их содержательного анализа, так и методами математического моделирования. Результаты диссертационной работы согласуются с результатами, полученными ранее другими авторами и другими методами в частных и предельных случаях.

Научная новизна. Получено аналитически замкнутое представление решения класса задач нестационарной теплопроводности для системы «слой — полупространство» при условии неидеального теплового контакта Барбера-Протасова.

Предложена математическая модель класса задач нестационарной теплопроводности в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, в случае условий неидеального теплового контакта.

Построено сингулярное интегральное преобразование по пространственному переменному, с помощью которого получено решение задачи о нахождении температурного поля в неограниченном теле, содержащем цилиндрический канал с покрытием, при условии неидеального теплового контактапроведён параметрический анализ изучаемого процесса.

Получено обобщённое граничное условие для задачи нестационарной теплопроводности в системе «полупространство — слой», которое позволило упростить исходную математическую модель, и с использованием интегрального преобразования Лапласа получено аналитически замкнутое представление решение упрощенной задачи.

Разработана иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в теле с цилиндрическим каналом, обладающим теплоактивным покрытием, в условиях теплообмена по закону Ньютона. В аналитически замкнутом виде найдены решения смешанных задач для уравнений в частных производных параболического типа, соответствующих разработанным математическим моделям иерархии, и с их помощью определено множество допустимых значений вектора определяющих параметров рассматриваемой системы.

С помощью построенного сингулярного интегрального преобразования, в аналитически замкнутом виде получено решение класса задач нестационарной теплопроводности для неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим многослойным покрытием, в случае неидеального теплового контакта как в системе «покрытие — твёрдое тело», так и между слоями покрытия, при нестационарных условиях теплообмена с внешней средой.

Практическая ценность диссертационной работы связана с её прикладной ориентацией, а полученные результаты могут быть использованы при исследовании и прогнозировании температурного состояния конструкций и узлов и при разработке эффективных методов их теплозащиты: разработка методов нормализации температурного режима глубоких скважин путём применения искусственного охлаждения, например, при бурении с одновременным замораживанием грунтамоделирование теплового состояния стволов скважин при наличии бурильных или обсадных труб при продувке стволов высокотемпературной жидкостью или газомрасчёт теплозащиты стенок энергетических установок путём вдува (прокачки) охладителя (хладагента) в случае экстремально высоких конвективных тепловых нагрузокмоделирование тепловых процессов в трибосистемах, например, тормозных устройствах, где температурный фактор оказывает существенное влияние на механику контактного взаимодействияпроектирование оптимального теплозащитного покрытия как элемента пассивной системы обеспечения теплового режима технических устройств при высокотемпературном воздействии внешней среды.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Аналитически замкнутое представление решение задачи нестационарной теплопроводности для системы «полупространство — покрытие» при условии неидеального теплового контакта Барбера-Протасова.

2. Математическая модель класса задач нестационарной теплопроводности в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, при условиях неидеального теплового контакта. Обобщённое интегральное преобразование по пространственному переменному и основанный на нём аналитический метод решения указанного класса задач.

3. Аналитически замкнутое решение задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с обобщённым граничным условием.

4. Иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля твёрдого изотропного тела с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, и аналитические представления решений соответствующих задач нестационарной теплопроводности.

5. Математическая модель и соответствующее ей обобщённое интегральное преобразование для решения задачи теплопроводности в неограниченном теле с цилиндрическим каналом, заполненным высокотемпературным газом и обладающим многослойным покрытием, при нестационарных режимах теплообмена в изучаемой системе и неидеальном тепловом контакте как между слоями покрытия, так и в системе «тело — покрытие».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены в виде докладов на XV-й (Калуга, 2005) и XVI-й (Санкт-Петербург, 2007) Школах-семинарах молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева, Международном симпозиуме «Образование через науку» (Москва, 2005), 4-й Российской национальной конференции по теплои массообмену (Москва, 2006), 6-м Международном конгрессе по промышленной и прикладной математике (ICIAM 07, Цюрих, 2007), 6-м Минском международном форуме по теплои массообмену (Беларусь, 2008), 17-й Международной конференции по математической физике (ICMP, Прага, 2009), 4-м Международном конгрессе по трибологии (WTC, Киото, 2009).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликована 21 работа: 1 монография [7]- 12 научных статей [58,84−87,96−102], в том числе 8 статей из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий- 8 тезисов докладов на конференциях, симпозиумах и форумах [88,103−109].

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в настоящей работе, получены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включён лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, общих выводов и списка литературы. Работа изложена на 115 страницах, содержит 16 иллюстраций и 5 таблиц.

Список литературы

включает 155 наименования.

Общие выводы.

По результатам проведённых исследований могут быть сделаны следующие выводы.

1. С помощью метода интегрального преобразования Лапласа получено аналитически замкнутое представление решения класса задач нестационарной теплопроводности для системы «слой — полупространство» при условии неидеального теплового контакта Барбера-Протасова. Показано, что условия Барбера-Протасова обобщают известные условия теплового взаимодействия тел.

2. Предложена математическая модель задачи нестационарной теплопроводности в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, в случае условий неидеального теплового контакта.

3. Построенное сингулярное интегральное преобразование по пространственному переменному может быть использовано для получения решений в аналитически замкнутом виде класса задач нестационарной теплопроводности для неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, в случае различных условий теплового контакта (неидеального, условий IV рода) и реализацией различных условий теплообмена с внешней средой (граничный условия 1-Ш рода, в т. ч. нестационарные).

4. Тепловая проводимость контакта, которая характеризуется параметром В, существенно влияет на формируемое в системе температурное поле, а увеличение параметра В приводит к росту температуры границы цилиндрического канала, при этом уменьшается величина «скачка» температуры на неидеальном тепловом контакте. Результаты исследований также подтверждают вывод о том, что увеличение коэффициента контактного теплообмена В в системе «тело — покрытие» приводит к повышению «идеальности» теплового контакта.

5. Получено обобщённое граничное условие для задачи нестационарной теплопроводности в системе «полупространство — слой», которое позволило упростить исходную математическую модель, и с использованием интегрального преобразования Лапласа получено аналитически замкнутое представление решение упрощённой задачи.

6. Разработанная иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля твёрдого тела с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, находящегося под воздействием высокотемпературной среды, позволяет корректно и эффективно решать практически важные задачи с заданной точностью, обусловленной областью применимости каждой из моделей иерархии.

7. Предложенная и идентифицированная «уточнённая модель сосредоточенная ёмкость» адекватно описывает процесс формирования температурного поля в теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, и может эффективно использоваться в тех случаях, когда применение других упрощённых аналогов «точной модели» выходит за пределы их области применимости, особенно в случае неидеального теплового контакта.

8. Обобщённое на случай многослойного покрытия сингулярное интегральное преобразование по пространственному переменному может быть использовано для получения точных аналитических решений класса задач нестационарной теплопроводности для твердого тела с каналом, обладающим многослойным покрытием, учитывая различные условия теплового контакта как между слоями покрытия, так и в системе «покрытие —твёрдое тело», а также условия теплообмена с внешней средой, включая нестационарные.