Принцип максимума для эллиптических неравенств на стратифицированных множествах

Актуальность темы

Впервые принцип максимума был доказан в начале 19-го века Гауссом для оператора Лапласа на основе полученной им теоремы о среднем. Дальнейшие продвижения уже в контексте произвольного эллиптического оператора связаны с именами Жиро, Хопфа, которые в начале 20-го века предложили подход к доказательству принципа максимума, основанный на лемме о нормальной производной. Поздние обобщения принципа максимума и леммы о нормальной производной связаны с именами Олейник, Хопфа и Миранды. Такое внимание к принципу максимума связано с тем, что он лежит в основе некоторых методов оценки решений краевых задач для эллиптических уравнений, их разрешимости и единственности соответствующих решений.

Последние два десятилетия стало развиваться новое направление в теории дифференциальных уравнений — теория эллиптических уравнений на стратифицированных множествах. На таких множествах был определен оператор Лапласа и более общие эллиптические операторы. Реализация классических схем доказательства сильного принципа максимума даже для уравнения Лапласа оказалась не простой. Поскольку теорема о среднем для лапласиана на стратифицированном множестве имеет довольно необычный вид, было даже не ясно окажется ли она полезной при доказательстве сильного принципа максимума.

Возникающие трудности связаны в основном со сложным геометрическим устройством стратифицированных множеств. Как следствие, сильный принцип максимума для эллиптических уравнений на стратифицированном множестве был доказан (Гаврилов, Пенкин [2]) лишь на двумерном стратифицированном множестве (т.е., когда размерности стратов не превосходят двух). В данной диссертации доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа и более общих эллиптических операторов дается без ограничения на размерность стратифицированных множеств, что подтверждает актуальность темы данного исследования.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа на стратифицированном множестве и для более общих эллиптических операторов.

Методика исследования. Для решения основной задачи использовались как классические методы качественной теории уравнений с частными производными, так и специально разработанные автором методы. К примеру, для доказательства сильного принципа максимума для оператора Лапласа на стратифицированном множестве доказано необходимое условие экстремума гладкой функции на нем в терминах интегралов от нормальной производной по стратифицированным сферам.

Научная новизна. Все результаты, приведенные в диссертации являются новыми, за исключением вспомогательных теорем, формулировки которых приведены для полноты изложения. В числе основных результатов отметим следующие:

• необходимое условие экстремума гладкой функции на стратифицированном множестве,.

• сильный принцип максимума для лапласиана на стратифицированном множестве, а также для более общего эллиптического оператора,.

• лемма о нормальной производной для эллиптического оператора на стратифицированном множестве, составленном из выпуклых стра-тов.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшей разработки теории эллиптических операторов, определенных как в обычных областях эвклидова пространства, так и на стратифицированных множествах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), в Воронежской весенней математической школе &bdquo-Понтрягинские чтения XVI" (Воронеж, 2005), на международной конференции, посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007 г.), в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2007), на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ им. М. В. Ломоносова — академика В.А. Садовни-чего (Москва, 2009 г.), в Воронежской весенней математической школе &bdquo-Понтрягинские чтения XXIII" (Воронеж, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работахих список приведен в автореферате. Работы [11],[10],[17] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем диссертации

Объем диссертации составляет 85 страниц. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 44 наименования.

1. Берс Д., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, М.: Мир, 1966.

2. Гаврилов A.A., Пенкин О. М., Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве, Дифференц. уравн., 2000, Т.36, № 2, С.226−232.

3. Гилбарг Д., Трудингер Н., Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, М.:Наука, 1989.

4. Жиков В. В., Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах, Известия РАН., 2002, Т.66, № 2, С.81−148.

5. Зорин В. А., Математический анализ. 4.1, М.: МЦНМО, 2002.

6. Коллатц JL, Численные методы решения дифференциальных уравнений, М.: ИЛ, 1953.

7. Мизохата К., Теория уравнений с частными производными, М.:Мир, 1977.

8. Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, М.:ИЛ, 1957.

9. Олейник O.A., О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа, Матем. сб. (н. сер.), 1952, 30, 3, 695−702.

10. Огцепкова С. Н., Пенкин О. М., Об одном необходимом условии экстремума на стратифицированном множестве, ДАН, 2007, Т.416, № 1, С.22−25.

11. Ощепкова С. Н., Пенкин О. М., Теорема о среднем для эллиптического оператора на стратифицированном множестве, Матем. заметки, 2007, Т.81, вып. З, С.417−426.

12. Ощепкова С. Н., Об одном необходимом условии экстремума, Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы.- Воронеж: ВГУ, 2005. С. 173−174.

13. Ощепкова С. Н., О принципе максимума для гармонической функции на стратифицированном множестве, Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы &bdquo-Понтрягинские чтения XVI". Воронеж: ВГУ, 2005.-С.119−120.

14. Ощепкова С. Н., О принципе максимума на стратифицированном множестве, Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы-Воронеж: ВГУ, 2007. С. 174.

15. Ощепкова С.H., Пенкин О.M., Савастеев Д. В., Сильный принцип максимума для эллиптического оператора на стратифицированном множестве, Матем. заметки, 2012, Т.92, вып.2, С.276−290.

16. Павлов B.C., Фаддеев М. Д., Модель свободных электронов и задача рассеяния, ТМФ, 1983, Т.55, № 2, С.257−269.

17. Пенкин О. М., О принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе, ДАН, 1997, Т.352, № 4, С.462−465.

18. Пенкин О. М., О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе, Дифференц. уравн., 1997, Т. ЗЗ, № 10, С. 1404−1409.

19. Пенкин О. М., Покорный Ю. В., Провоторова E.H., Об одной векторной краевой задаче, Краевые задачи, 1983, Пермь, изд. Пермского политехнического института, С.64−70.

20. Пенкин О. М., Покорный Ю. В., О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах, Дифференц. уравн., 1998, Т.34, № 8, С. 1107−1113.

21. Пенкин О. М., Покорный Ю. В., О дифференциальных неравенствах для эллиптических операторов на сложных многообразиях, ДАН, 1998, Т.360, № 4, С.456−458.

22. Покорный Ю. В., и др., Дифференциальные уравнения на геометрических графах, Физматлит, Москва, 2004.

23. Понтрягин J1.C., Основы комбинатороной топологии, Наука, Москва, 1986.

24. Яно К., Бохнер С., Кривизна и числа Бетти, М.: ИЛ, 1957.

25. Courant R., Uber die anwendung der Variationsrechnung in der theorie der eigenschwingungen und uber neue blassen von funktionalgleichungen, Acta Math., 40.

26. Evans L., Partial Differetial Equations, Amer. Math. Soc., 1998.

27. Freidlin M.I., Wentzell A.D., Diffusion processes on an open book and the averaging principle, Stochastic Processes and their Applications, 2004, 113, 101−126.

28. Gavrilov A., Nicaise S., Penkin O., Poincare’s inequality on stratified sets and applications, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 2003, 55, 195−213.

29. Hopf E., A remark on linear elliptic differential equation of second order, Proc. Amer. Math. Soc, 1952, 3, 791−793.

30. John F., Partial differential equations, Springer-Verlag, 1986.

31. Kuehment P., Quantum graphs: an introduction and a brief survey, analysis on graphs and its applications, Proc. Sympos. Pure Math., Amer.Math.Soc, 2008, 77, 291−312.

32. Lumer, G., Connecting of local operators and evolution equation on network, L.N. in Math, 1980, 787, Springer Verlag, 219−234.

33. Lumer, G., Espaces ramifies et diffusions sur les reseaux topologiques, C.R. Acad. Se. Paris, 1980, 291, Serie A, 627−630.

34. Nazarov S.A., Junctions of singularly degenerationg domains with different limit dimensions 1, Journal of Mathematical Sciences, 2006, 80, 5, 1989;2034.

35. Nicaise, S., Boundary exact controllability of interface problems with singularities I: Addition of the coefficients of singularities, SIAM J. Control and Optimization, 1996, 34, 5, 1512−1532.

36. Nicaise S., Penkin O., Poincare perron’s method for dirichlet problem on stratified sets, J. Math. Anal. Appl., 2004, 296, 504−520.

37. Nicaise S., Penkin O., Solvability of the dirichlet problem on stratified sets, Journal of Mathematical Sciences, 2004, 123, 5, 4404−4427.

38. Oshchepkova S.N., Penkin O.M., Maximum principle for subharmonic functions on stratified set, Journal of Mathematical Sciences, 2011, Vol. 175, No. l, p. 33−38.

39. Penkin O.M., About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, 2001, 219, 183−191.

40. Pham F., Introduction a l’etude topologique des singularites de Landau, Gauthier-Villars Editeur, Paris, 1967.

41. Pucci P., Serrin J., The maximum principle, Birkhauser, Basel-BostonBerlin, 2007.

42. Schechter M., A generalization of the problem of transmission, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1960, (3) 14, 207−236.