Многомодовые прогибы слабо неоднородных упругих систем

Ряд краевых задач теории упругих систем естественным образом допускает, при соответствующих операторных трактовках уравнений, эквивалентную постановку в виде вариационной задачи V (x) —> inf, в которой V[x) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционалов [24], [3], [45], заданное на банаховом пространстве Е, X — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном). Фредгольмовость функционала означает, по определению, фредгольмовость (нулевого индекса) соответствующего ему градиентного отображения f: Е —> F, где F — некоторое банахово пространство (пространство значений градиента). Градиент определяется традиционным образом — через соотношение ^{x)h = (f (x), h), где (•, •) — скалярное произведение, взятое из некоторого гильбертова пространства Н, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в F. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е: F, Н}, и используется обозначение / = gradV.

В диссертации рассмотрены два (основных) примера краевых задач: 1) задача о 2-модовых закритических прогибах слабо неоднородной упругой балки на упругом основании, определяемых уравнением и 2) задача о 2-модовых закритических прогибах слабо неоднородной при краевых условиях w (0) = ги (1) = гу" (0) = гу" (1) = О,.

6.1) упругой пластины, определяемых уравнениями Кармана.

A (q Aw) — [iy, ф + Awxx = AV + ~[w, w] = 0 (e.2) при краевых условиях w = Aw = cp = Acp = 0|fio. (6.2) w и ^ - функции прогиба и напряжения пластины, Д — оператор Лапласа, [w,(p] := wxx.

Потенциалами этих задач служат соответствующие функционалы. энергии и.

J |Д-ш|2 — АКЖ|2) + i lA-1^^]!2) dxdy. а.

При е = 0 (в случае однородных балки и пластины) полный бифуркационный анализ этих задач был осуществлен Ю. И. Сапроновым и Б. М. Даринским [12],[15]. В диссертации изложен результат анализа этих краевых задач при малых е ф 0. Переход к случаю неоднородной балки и неоднородной пластины потребовал перестройки в вычислительной схеме Даринского — Сапронова, в основе которой лежало условие постоянства пары собственных функций ei, e.

Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация методов бифуркационного анализа нелинейных краевых задач теории упругих систем в условиях многомодового вырождения и понижения дискретной симметрииописание каустики и классификация раскладов бифурцирующих равновесных конфигураций слабо неоднородных упругих балок и пластин в случае 2-модовых вырождений..

В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Базу развитой в диссертации аналитической схемы составляют модифицированный метод Ляпунова — Шмидта, оснащенный конструкциями теории особенностей гладких функций..

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми..

1. Разработана новая схема анализа бифуркаций нелинейных краевых задач в условиях многомодового вырождения и понижения симметрии параллелепипеда..

2. Дано описание каустики и получена классификация раскладов би-фурцирующих решений в случаях 2-модовых вырождений уравнений равновесных состояний слабо неоднородных упругих балок и пластин..

3. Дано описание аналитической зависимости закритических прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности..

4. Проведена компьютерная апробация разработанной аналитической схемы и, как следствие, получена полная визуализация бифуркационного анализа слабо неоднородных упругих балок и пластин..

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и новое развитие методу фредгольмовых уравнений в теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач. Описание геометрии каустик, классификация бифурцирующих раскладов решений и описание аналитической зависимости прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности могут найти применение в задачах современной теории посткритического анализа упругих систем..

Результаты диссертации докладывались на конференции «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения» (г. С-Петербург, 2006, 2008 г. г.), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (г. Москва, 2007 г.), на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна (г. Воронеж, 2004 г., 2006 г. 2008 г.), на семинаре ВГУ по бифуркационному анализу нелинейных задач (руководитель — проф. Сапронов Ю.И.)..

Результаты диссертации опубликованы в 12 работах [58] - [69]..

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой.

1. Арнольд В. И. Особенности дифференцируемых отображений./ В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде// М.: МЦНМО. 2004. 672 с..

2. Бардин Б. С. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании/Б. С. Бардин, С.Д. Фурта// Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. — 1998. — С. 13−22..

3. Бобылев Н. А. Геометрические методы в вариационных задачах./Н.А. Бобылев, С. В. Емельянов, С. К. Коровин М.: Магистр, 1998. — 658 с..

4. Бобылев Н. А. О бифуркации экстремалей вариационных задач/Н.А.Бобылев, М.А. Красносельский// Докл. АН СССР. 1990. — Т. 314, N 2. — С. 265−268..

5. Борисович Ю. Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теорияЛере-Шаудера/Ю.Г. Борисович, В. Г. Звягин, Ю. И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, вып.4. — С.3−54..

6. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы./Т. Брекер, Л. Ландер М.: Мир, 1977. — 208 с..

7. Волков Е. А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона впрямоугольнике /Е.А. Волков// Докл. АН СССР. — 1962. —147,2. С. 13−16.

8. Вольмир А. С. Гибкие пластины и оболочки /А.С. Вольмир// М.:Гостехиздат. 1956..

9. Гнездилов А. В. Бифуркации критических торов для функционалов с3—круговой симметрией/А.В. Гнездилов// Функц. анализ. 2000. Т.34, вып.1. С.83−86..

10. Даринский Б. М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. — С. 35−46..

11. Даринский Б. М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. -Воронеж: ВГУ. 2000. С. 41−57..

12. Даринский Б. М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Понтрягинские чтения XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57−64..

13. Даринский Б. М. К термодинамической теории сегнетоэлектриче-ских фазовых переходов в кристаллах/Б.М. Даринский, Ю. И. Сапронов, B.JI. Шалимов// Кристаллография. 1999. — Т.44, N 4. -С. 1−5..

14. Даринский Б. М. Дискриминантные множества и расклады бифурцирующих решений фредгольмовых уравнений/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Современная математика и ее приложения. -Тбилиси. 2003. Т.7. С.72−86..

15. Даринский Б. М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/Б.М. Дарииский, Ю. И. Сапронов, C. J1. Царев// Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т. 12. 2004. С.3−134..

16. Задорожний В. Г. Условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка/ В. Г. Задорожний, Е.В. Корчагина// Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж: ВГУ. 2000. Вып.2. С.48−61..

17. Задорожний В. Г. Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех звязанных контурах Ван-дер-Поля/В.Г. Задорожний, А.В. Попов// Дифференциальные уравнения. 1999, № 11. С. 1580..

18. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений./В.Ф. Зайцев// JL: ЛГПИ, 1989. 80 с..

19. Зачепа А. В. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ шестого порядка/ А.В. Зачепа// Труды матем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. «ТЕ-ФА», 2004. С.48−55..

20. Зачепа А. В. О бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ А. В. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Труды математического факультета, вып. 9 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2005.-С.57−71..

21. Зачепа А. В. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ Ф. А. Белых, А. В. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 18−33..