Точные границы крайних показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем при экспоненциальных и степенных возмущениях

Рассмотрим линейную систем дифференциальных уравнений х=АШх, xeIHnti>0, (ОЛ) с ограниченными (НАШИ ^ а) и кусочно-непрерывными noi^O коэффициентами. Наряду с исходной системой (0.1) будем рассматривать и возмущенные системы у.= (АШ+£>0%, yetjzo, (о.2) с кусочно-непрерывной n*Yiматрицейвозмущением Q (-L) из класса.

Жв19№.

Qa): 11ва)11^Маее9т Nb-const, i>o}, 6>o, где фиксированная кусочно-непрерывная функция Э№) t +00 приfc-* + <*>. Пусть Д (А+£)^. ^ /гг.СА+0.) — характеристические показатели Ляпунова [22,с.27−7,с.63] системы (0.2), расположенные в порядке неубывания.

Диссертация посвящена исследованию зависимости точных верхней грани старших /".(A+Q.) и нижней грани младших.

A+Q,) показателей систем (0.2) от параметра 6>О соответственно в классах возмущений с любой фиксированной функцией 9(i) и ЖДбСЮ] с (0C-fc)/O-«O при + ОО ,.

Остановимся на работах, к которым имеет непосредственное отношение рассматриваемая диссертация.

Ю.С.Богданов [5,б] доказал, что при 6>6Л где 6″ — коэффициент неправильности Ляпунова [22,с.513, показатели систем исходной (0.1) и возмущенной (0.2) с возмещениями Q (i)e Ш6Ш совпадают. Д. М. Гробманом [12] установлено, что величину б" л можно заменить не большей величиной — коэффициентом неправильности Гробмана бг [12- 17, с.81]. В. М. Шллионщиковым [23] показано, что нижняя грань тех б", начиная с которых показатели систем (0.1) и (0.2) с Qft)6 ЖбШ совпадают, не превосходит его асимптотического числа 6″ м [23−17,с.81] .

Для коэффициента неправильности бп Перрона [26- 17, с.81] было установлено совпадение старших показателей исходной и возмущенной двумерных систем при Q (-i)e ОТ^Г" ^] и 6>6n (Н.А.Изобов [15]) и отсутствие его для а-мерных систем цри yl>3 (Р.А.Прохорова [28]). Младшие показатели систем (0.1) и (0.2) при любом п и б>бп уже не обязаны совпадать (Р.А.Прохорова [27]). Р. А. Прохоровой [28] была введена также величина б^? [6R, такая, что /&bdquo-.fA+(А) при йШеШвШ и 6><ГЛ, и с ее помощью получена оценка сверху для /^СА+Q.) при всех и всех б" >0.

Для так называемого старшего б-показателя v (A) a sap /&bdquo-.(А+&-) 6 еешб Db] системы (0.1) Н. А. Изобовым [16] построен алгоритм вычисления по ее матрице Коши и установлены свойства непрерывности его как функции переменной 6 > О ж липшицевости на каждом полуинтервале ?->0- Некоторые свойства старшего показателя V6(A) установлены также Я. Фодором [30]. Для младшего б-показателя л (А)* 14 Ал (А+0.) 616 жеш по матрице Коши системы (0.1) вычислена [18] лишь величина д0(А)*с"4 А6(А).

6>0.

В силу вышесказанного возникает задача выяснения дальнейших свойств функции (А) и полного описания класса Функций переменной 6″ >0? представимых старшими б" -показателями систем вида (0.1). Интересной представляется также задача о свойствах и полном описании класса всех старших б" -показателей, рассматриваемых как функции переменной б' > О некоторого подмножества пространства всех линейных систем — например, линейных систем (0.1), соответствующих линейным дифференциальным уравнениям с ограниченными коэффициентами. В общем случае задача формулируется следующим образом. Точные верхняя грань старших /п (А + 0,) и нижняя грань младших (А-*-О.) показателей систем (0.2) с возмущениями 0,(-Ь) е 0Ш], являются функциями параметра б" > О. Требуется дать полное описание классов всех таких функций переменной 6>0.

Диссертация как раз и посвящена решению поставленных задач. Основным в диссертации, как и вообще в современной теории показателей Ляпунова, является метод поворотов В. М. Миллионщикова [24] .

Диссертация состоит из трех глав и десяти параграфов.

1. Архангельский A.B. Конечномерные векторные пространства. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.-248с.

2. Барабанов Е. А. О свойствах старшего б-показателя. -Дифференц. уравнения, 1982, т.18, J" 5, с.739−744.

3. Барабанов Е. А. О старшем б" -показателе линейных дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1984, т.20,JS 2, с.197−207.

4. Богданов Ю. С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1955, т.104, В 6, с.813−814.

5. Богданов Ю. С. Характеристические числа систем линейных дифференциальных уравнений. Матем. сборник, 1957, т.41, В 4, с.481−498.

6. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1969. — 576с.

7. Виноград Р. Э. Новое доказательство теоремы Перрона и некоторые свойства правильных систем. Успехи матем. наук, 1954, т.9,)& 2, с.129−136.

8. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений. Матем. сборник, 1957, т.42, ?1 2, с.207−222.

9. Виноград Р. Э., Изобов H.A. Решение задачи Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Дифференц. уравнения, 1970, т.6, В 2, с.230−242.

10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наутса, 1967. — 575с.

11. Гробман Д. М. Характеристические показатели систем, близких к линейным. Матем. сборник, 1952, т.30, № I, с.121−166.

12. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. — 472с.

13. Диб К. А. Одновременная достижимость центральных показателей. Дифференц. уравнения, 1974, т.10, f 12, с.2125−2136.

14. Изобов H.A. Об устойчивости по первое приближению. -Дифференц. уравнения, 1966, т.2, В 7, с.898−907.

15. Изобов H.A. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями. Дифференц. уравнения, 1969, т.5, № 7, C. II86-II92.

16. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Итоги науки и техники/№>тематический анализ, т.12. — М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974, с.71−146.

17. Изобов H.A. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление. Докл. АН БССР, 1982, т.26, В I, с.5−8.

18. Изобов H.A., Барабанов Е. А. О виде старшего б-показателя.-Дифференц. уравнения, 1983, т.19, $ 2, с.359−362.

19. Клайниг В. Стабилизация тривиального решения линейного стационарного дифференциального уравнения я-то порядка. -Вестник Моск. ун-та. Математика, механика, 1982, 1. 3, с. 57−61.

20. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. — 542с.

21. Ляпунов А. М. Собрание сочинений. В 6-ти т. Т.2.-М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. 473с.

22. Шллиощиков В. М. Асимптотика решений линейных систем с малыми возмущениями. Докл. АН СССР, 1965, т.162, В 2, с.266−268.

23. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем. Сибирский матем. журнал, 1969, т.10, № I, с.99−104.

24. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. — 279с.

25. Perron. О, OrcLrLU, n, cj, szMe. ncUr SyUetYie.—Mcak. liilscLr., 1SZ3, 3. 31, S. 742−76 6.

26. Прохорова P.A. О некоторых свойствах младшего показателя при перроновских возмущениях. Дифференц. уравнения, 1975, т. II, I 6, с.997−1004.

27. Прохорова P.A. Оценка скачка старшего показателя линейной системы при экспоненциальных возмущениях. Дифференц. уравнения, 1976, т.12, J& 3, с.475−483.

28. Сергеев И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности, Дифференц. уравнения, 1980, т.16,3, с.438−448.

29. Фодор Я. О задаче Ляпунова о промежуточной устойчивости по первому приближению. Sze.rruetvln.ijek az ELTE TTfC AnJ. L7.is I. Tanszefc ?^?om^ntfos m.u.nkcti&6L. — Будапешт, 1979. 54c.