Метод функционалов Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа

1. Исследование устойчивости решений дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами — относительно мало разработанная область теории устойчивости. Если в частном случае периодических коэффициентов на основе теории Флоке и ее бесконечномерных аналогов в работах А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре, М. Г. Крейна, В. А. Якубовича, В. М. Старжинского, В. И. Дергузова, П. А. Кучмента, А. Халаная, А. М. Зверкина, С. Н. Шиманова, A. Stokes, J. Lillo и других авторов разработаны достаточно общие эффективные критерии устойчивости и на этой базе решен ряд практических задач [1]-[46], то здесь, ввиду большой трудности задачи, известные до последнего времени результаты относятся главным образом к специальным классам уравнений с малым параметром — исследования И. 3. Штокало, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, А. М. Самойленко, В. Н. Фомина, Ю. С. Колесова и других [47]—[60].

Вместе с тем, задачи, теории автоматического управления, теории колебаний систематически приводят к проблеме расчета на устойчивость решений почти периодических уравнений, не вкладывающихся в схему метода малого параметра.

Некоторое продвижение в этой области произошло в 90-е годы. В 1992 г. в работе С. М. Добровольского, А. С. Котюргиной, Р. К. Романовского [61] установлен достаточный признак экспоненциальной устойчивости для линейной системы х = A (t)x в терминах функции Ляпунова v =< G (t)x, x > с почти периодическими A (i), (?(?), в котором условие на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с известной теоремой для линейных систем общего вида. В работе [62] этот результат распространен на нелинейные системы (в этом случае идет речь об асимптотической устойчивости). В [63]—[66] оба результата распространены на системы разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами, получены приложения к дискретным системам автоматического управления.

2. Основным содержанием диссертационной работы является дальнейшее развитие круга идей работ [61]—[66] — разработка специального варианта метода функционалов Ляпунова-Красовского для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Основная дополнительная трудность, которая здесь преодолевается — некомпактность единичной сферы в пространстве начальных данных (в указанных работах существенно использована конечномерность фазового пространства). Рассматривается также задача об устойчивости решений линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими почти периодическими коэффициентами.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Floce G. Sur les equations differentielles lineairas a coefficients periodiques. // Ann. Floce Norm. — 1883. — T. 12, N 2 — C. 47−89.

2. Ляпунов A. M. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1956. — Т.2. — С. 7−263.

3. Poiancare H. Sur le problems des trois corps et les equations de la dynamique. // Acta Math., 1890. 13. — C. 5−270.

4. Крейн M. Г., Якубович В. A. Гамильтоновы системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. 1963. — Т. 1, — С. 277−305.

5. Крейн М. Г., Далецкий Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

6. Якубович В. А. Строение группы симплектических матриц и структура множества неустойчивых канонических систем с периодическими коэффициентами. // Мат. сборник. 1958. — Т. 44(86), N3. — С. 313−352.

7. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

8. Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987.

9. Дергузов В. И. Математическое исследование периодических цилиндрических волноводов. // I-Вестник ЛГУ. 1972. — Т. 13. -С. 32−40. И-Вестник ЛГУ. — 1972. — Т. 19. — С. 14−20.

10. Дергузов В. И., Махалов А. С. Задача Коши для некоторого класса операторных дифференциальных уравнений с негладкими периодическими коэффициентами. // Проблемы мат. анализа. Ленинград. — 1984. — Т. 9. — С. 98−104.

11. Кучмент П. А. К теории Флоке для периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. // Успехи мат. наук. 1979. — Т. 34, вып. 3. — С. 201−202.

12. Кучмент П. А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных. // УМН. 1982. — Т. 37, N 4. — С. 3−52.

13. Халанай А. Теория устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием. // Rev. math, pures et eppl. 1961. — Vol. 6, N 4. — P. 633−653.

14. Халанай A. Некоторые вопросы качественной теории систем с запаздыванием. // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев. 1961. Киев: Изд-во АН УССР. — 1963. -Т. 2. — С. 394−408.

15. Halanay A. Differential equations: stability, oscillations, time lags. -New York London: Acad Press, 1966.

16. Зверкин A. M. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами. // Докл. АН СССР. 1959. — Т. 128, N 5. — С. 882−885.

17. Зверкин А. М. Дифференциально-разностные уравнения с периодическими коэффициентами. Добавление в кн.: Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967.

18. Зверкин А. М. Полнота системы решений типа Флоке для уравнений с запаздыванием. // Дифференц. уравнения. 1968. — Т. 4. -С. 474−478.

19. Зверкин А. М. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием, соизмеримым с периодом коэффициентов. // Дифференц. уравнения. 1988. — Т. 24, N 9. — С. 1481−1492.

20. Шиманов С. Н. Колебания квазилинейных автономных систем с запаздыванием. // Известия вузов. Радиофизика. 1960. — Т. 3, N 3. — С. 456−466.

21. Шиманов С. Я. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени. // Прикл. мат. и мех. 1963. — Т. 27, вып. 3. — С. 450−458.

22. Шиманов С. Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием. В кн.: Пятая летняя математическая школа. Ужгород. 1967. — Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР. — 1968. — С. 473−549.

23. Шиманов С. Н., Юдаев Г. С. Некоторые вопросы устойчивости дифференциальных уравнений с последействием. // Дифференц. уравнения. 1970. — Т. 6, N 9. — С. 1562−1566.

24. Stokes A. Stability of functional differential equations with perturbed lags. //J. Math. Anal, and Appl. 1974, vol. 47, N 3. — P. 604−619.

25. Lillo J. C. Periodic differential difference equations. //J. Math. Anal, and Appl. 1966, vol. 15. — P. 434−441.

26. Lillo J. C. The Green’s function for periodic differential difference equation. // J. Different. Equat. 1968, vol. 4, N 3. — P. 373−385.

27. Lillo J. С. First order periodic differential difference equations. // J. Math. Anal, and Appl. 1979, vol. 70, N 2. — P. 389−398.

28. Барабанов H. E. Критерий асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // Дифференц. уравнения. 1989. — Т. 25, N 12. — С. 2059;2066.

29. Башкиров А. И. Признак экспоненциальной устойчивости уравнения с последействием и с периодическими параметрами. // Дифференц. уравнения. 1987. — Т. 23, N 11. — С. 1994;1997.

30. Валеев К. Г. Линейные дифференциальные уравнения с синусоидальными коэффициентами и стационарными запаздываниями аргумента. // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев. 1961. Киев: Изд-во АН УССР. — 1963. — Т. 2. — С. 100−119.

31. В алее в К. Г. Развитие теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента. В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. — Киев: Наукова думка, 1977. — С. 72−82.

32. Деменчук А. К. Об устойчивости некоторых классов решений линейных дифференциальных систем с малыми периодическими возмущениями. // Дифференц. уравнения. 1996. — Т. 32, N 3. -С. 307−310.

33. Колесов Ю. С. Математические модели экологии. // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Из-во ЯрГУ, 1979. — С. 3−40.

34. Колесов Ю. С. Релаксационные циклы дифференциально-разностного уравнения динамики популяций насекомых. // Математические модели в биологии и медицине. Вильнюс: ИМК, 1991, N 4. — С. 26−40.

35. Колесов А. Ю., Колесов Ю. С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии. РАН. Труды матем. Института им. В. А. Стеклова. CXCIX. М.: Наука, 1993.

36. Колесов А. Ю., Розов Н. X. Циклы-утки трехмерных релаксационных систем с одной и двумя медленными переменными. // Дифферент уравнения. 1996. — Т. 32, N 2. — С. 180−184.

37. Kolmanovskii V., Myshkis A. Applied theory of functional differential equations. Kluwer academic publishers. — Dordrecht — BostonLondon, 1992.

38. Коняев Ю. А., Мартыненко Ю. Г. Исследование устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений квазиполиномиального типа. // Дифференц. уравнения. 1998. — Т. 34, N 10. — С. 1427−1429.

39. Короза В. ИСтаржинский В. М. Параметрический резонанс в задаче о распределении волн в периодических структурах. В кн.: Труды V Международной конференции по нелинейным колебаниям. — Киев: Из-во ИМ АН УССР. — 1970. — Т. 4. — С. 248−257.

40. Кречетов Г. С. Об устойчивости уравнения Матье с затуханиями. // Дифференц. уравнения. 1991. — Т. 27, N 9. — С. 1642−1644.

41. Монджер Т. Э. Устойчивость решений периодических систем дифференциальных уравнений с избирательным переключением. // Дифференц. уравнения. 1988. — Т. 24, N 9. — С. 1646−1647.

42. Романовский Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами. В кн.: Методы функционального анализа в задачах математической физики. -Киев: Изд-во ИМ АН УССР. — 1987. — С. 47−52.

43. Романовская А. М. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем второго порядка с периодическими коэффициентами. // Известия вузов. Математика. 1987, N 7. -С. 44−48.

44. Harn W. On difference differential equations with periodic coefficients. // J. Math, and Appl. 1961(3). — C. 70−101.

45. Штокало И. 3. Критерий устойчивости и не устойчивости решений линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. // Матем. сборник. Новая серия 19, 2 (1946).

46. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974.

47. Митрополъский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно-периодическими коэффициентами. Киев: Наукова думка, 1984.

48. Фомин В. Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1972.

49. Колесов Ю. С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами. В кн.: Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль: Изд-во ЯрГУ. — 1977. — С. 82−141.

50. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.

51. Бурд В. Ш. Устойчивость решений некоторых классов линейных дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами. // Дифференц. уравнения. 1983. — Т. 19, N 8. 0. 1450−1452.

52. Бибиков Ю. Н. Квазипериодические возмущения осциллятора с кубической восстанавливающей силой. // Дифференц. уравнения. 1996. — Т. 32, N 12. — С. 1593−1598.

53. Валеев К. Г., Первак В. Д. Об одном методе исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с частными производными и квазипериодическими коэффициентами. // ДАН УССР, серия А. 1975. — Т. 15. — С. 391−394.

54. Еругин Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Изд-во АН БССР, 1963.

55. Игнатьев А. С. Об устойчивости почти периодических систем относительно части переменных. // Дифференц. уравнения. 1989. — Т. 25, N 8. 0. 1446−1448.

56. Кубышкин Е. П. Параметрический разонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении. В кн.: Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1978. — С. 110−117.

57. Чаплыгин В. Ф. Экспоненциальная дихотомия решений линейных почти периодических уравнений с последействием с медленным временем. В кн.: Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1975.

58. Добровольский С. М., Котюргина А. С., Романовский Р. К. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей. // Мат. заметки. 1992. — Т. 52, N 6. — С. 10−14.

59. Добровольский С. М., Романовский Р. К. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем. // Мат. заметки. 1997. -Т. 62, N 1. — С. 151−153.

60. Кириченова О. В., Котюргина А. С., Романовский Р. К. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами. // Сиб. матем. журнал. -1996. Т. 37, N 1. — С. 170−174.

61. Кириченова О. В. Устойчивость решений почти периодических разностных систем. // Сб. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением»: Тезисы докладов VII Международной Четаевской конференции. 10−13 июня 1997 г., Казань.

62. Кириченова О. В. Об устойчивости решений непрерывных почти периодических систем разностных уравнений. // Сиб. матем. журнал. 1998. — Т. 39, N 1. — С. 45−48.

63. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

64. Колмановский В. БНосов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука,.1981.

65. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.

66. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

67. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

68. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

69. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971.

70. Алексенко Н. В. Метод функционалов Ляпунова для почти периодических систем с запаздыванием // ОмГТУ. Омск., 1998. -8 С. — Деп. в ВИНИТИ, 01.06.98, N 1701-В98.

71. Алексенко Н. В., Романовский Р. К. Об устойчивости линейных систем запаздывающего типа с почти периодическими коэффициентами. // ОГИС. Омск., 1999. — 11 С. — Деп. в ВИНИТИ, 15.03.99, N 770-В99.

72. Алексенко Н. В. Устойчивость класса линейных нестационарных систем управления с запаздыванием в управляющем устройстве. // ОГИС. Омск., 1999. — 6 С. — Деп. в ВИНИТИ, 15.03.99, N 769-В99.

73. Алексенко Н. В., Романовский Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами. // Дифференц. уравнения. Принята к печати 4.11.99 г.

74. Алексенко Н. В. Устойчивость решений нелинейных почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа // Известия вузов. Математика. Принята к печати 4.11.99 г.

75. Алексенко Н. В. Устойчивость решений почти периодических систем с последействием. // Омский научный вестник. Пятый выпуск. Декабрь 1998 г. С. 96.

76. Раушенбах Б. В., Токарь Е. Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М., Наука, 1974.