Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности

Одна из задач, возникающих в теории колебаний, теории автоматического управления, — разработка методов граничного управления процессами в сплошных средах, описываемыми краевыми задачами для уравнений с частными производными гиперболического типа. К этой проблематике приводят задачи управления волновыми процессами, стабилизации колебаний струн, мембран, стержней, пластин, задачи управления переносом электроэнергии, управления колебаниями плазмы, процессами сорбции, десорбции газов, управления процессами тепломассопереноса в химических реакторах идеального вытеснения и другие задачи.

Первые результаты по граничному управлению процессами в распределенных системах указанного типа получены в 60-е и 70-е годы минувшего века в работах А. Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса, Д. Л. Рассела, В. Крабса, М. Сирина, М. М. Потапова [4, 41, 46, 71, 73, 78], где исследуются различными методами задачи оптимального граничного управления решениями смешанной задачи для подклассов гиперболических уравнений второго порядка.

В частности, в книге А. Г. Бутковского [4] для решения задачи граничного управления колебаниями струны (задачи быстродействия) применен вариант метода моментов, развитый ранее в работах Н. Н. Красовского применительно к системам, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями [37, 38]. В книге рассматриваются приближенные методы решения задач управления такого типа: метод разностной аппроксимации, метод прямых, метод гармоник. В работе [46] метод разностной аппроксимации применен для построения приближенного решения задачи оптимального управления решениями смешанной задачи для системы Гурса-Дарбу, описывающей процессы сорбции, десорбцииуправление входит в правую часть дифференциального уравнения и в граничные условия.

Интенсивное развитие теории управления гиперболическими уравнениями началось во второй половине 80-х годов.

Существенный вклад в круг идей и методов этой теории внесли работы Ж.-Л. Лионса [42, 75−77]. В книге [42] методы и результаты книги [41] распространены на подклассы управляемых систем «с особенностями», когда отсутствует однозначная связь управление —> состояние. Сюда относятся, в частности, задача управления формой плазмы, задача управления энзиматическими реакциями. Развитый в книге подход к решению этого класса задач управления основан на расширении класса допустимых пар «управление — состояние». В работах [75−77] разработан метод решения задачи точной управляемости гиперболическим уравнением второго порядка (названный автором HUM-методом) сведением к задаче точной наблюдаемости для сопряженного уравнения. Этот метод (применительно к уравнениям того же класса) получил дальнейшее развитие в работах О. Ю. Эмануилова, В. Коморника и других авторов [67−69, 72, 74]. В частности, в [67, 69] развит подход к исследованию задачи точной наблюдаемости, основанный на теоремах о распространении особенностей, получены достаточные условия ее разрешимости, близкие к необходимым. В [68, 74] предложен метод исследования этой задачи, основанный на априорных оценках карлемановского типа. В работе Д. Татару [79] карле-мановские оценки применены для исследования задачи точной управляемости абстрактным эволюционным уравнением.

Существенное продвижение в этом направлении произошло в цикле работ Ф. П. Васильева, М. А. Куржанского, М. М Потапова, А. В. Разгулина [7−9, 39, 40, 47, 48]. В работе Ф. П. Васильева [9] разработана новая концепция теории двойственности для линейных систем управления, позволившая, в частности, прояснить схему HUM-метода, сформулировать его в форме, в которой он применим к анализу широкого класса задач управления распределенными системами. В [7−9, 39, 40, 47, 48] показаны на ряде примеров возможности, которые дает предложенное в [9] расширение схемы HUM-метода при решении задач точной управляемости, в том числе задач управления гиперболическими уравнениями.

В тот же период в работах Ф. П. Васильева, А. З. Ишмухаметова и М. М. Потапова существенно продвинут метод моментов решения задач оптимального управления. В книге [6], посвященной этой проблематике, содержится, в частности, подход к решению задач оптимального управления решениями краевых задач для гиперболических уравнений второго и четвертого порядков, возникающих в теории упругости.

Интенсивные исследования по граничному управлению гиперболическими уравнениями продолжились в последнее десятилетие. В работах А. В. Аргучинцева и О. А. Крутиковой [1, 2] рассматривается задача оптимального управления решениями смешанной задачи для полулинейной гиперболической системы с одной пространственной переменнойуправление входит в граничные и начальные условия. Получены необходимые условия оптимальности, построен численный метод решения задачи оптимизации, получены приложения к задаче об оптимальном управлении популяцией, о восстановлении профиля гравитационной волны. Большой цикл работ В. А. Ильина, Е. И. Моисеева, В. В. Тихомирова [26−29] посвящен задаче граничного управления колебательной системой, динамика которой описывается волновым уравнением и" п — и^ = 0. Задача состоит в отыскании режима на границе, обеспечивающего переход произвольно заданного начального фазового вектора (u, ut) из некоторого класса в произвольно заданный финальный фазовый вектор за заданное время t*. Эта задача ранее исследовалась различными методами в работах.

А.Г. Бутковского, Ж.-JI. Лионса и других авторов. Результаты, полученные в указанном цикле работ, являются завершающими по данной тематике. В работах [30−33] установлены необходимые и достаточные условия существования требуемых управлений (двусторонних и одностороннихгладких и обобщенных) в зависимости от соотношения между длиной колебательной системы и финальным моментом времени t*, получены явные формулы для этих управлений. В работах [30−32] решается задача оптимального граничного управления: из построенных управлений отбираются управления, минимизирующие заданный квадратичный функционал, имеющий смысл кинетической или потенциальной граничной энергии системы. К этому циклу примыкают работы [25, 49, 64].

Наряду с работами по управлению волновыми процессами большое число исследований посвящено проблеме управления процессами теплопереноса и диффузии, моделируемыми краевыми задачами для уравнений параболического типа [4−6, 11, 41, 42]. В последние десятилетия интенсивно развивается гиперболическая теория теплопроводности, устраняющая имеющий место в параболической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла [3, 34−36, 43, 61, 62, 66, 70, 80]. Представляет теоретический и практический интерес разработка подходов к решению задач управления процессом теплопереноса в рамках гиперболической модели с использованием методов теории гиперболических уравнений.

Диссертационная работа посвящена этой проблематике.

В цикле работ Р. К. Романовского, Е. В. Воробьевой, Е. Н. Стратилатовой [10, 50−56, 58] построен математический аппарат, позволяющий с единой точки зрения исследовать краевые задачи для некоторых классов гиперболических систем. В частности, в [50] построено явное представление решений задачи Коши для гиперболической системы общего вида с одной пространственной переменной. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие названия матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. В частном случае постоянных коэффициентов вычисление матриц Римана приводится к вычислению контурных интегралов от аналитических матриц-функций.

Цель работы — разработка на основе указанного математического аппарата подхода к решению задачи граничного управления процессом теплопереноса в однородном материале в рамках гиперболической модели теплопроводности и построение классов решений этой задачи в случаях одномерных, двумерных и трехмерных сред.

Из сказанного выше следует актуальность темы диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Аргучинцев, А. В. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями / А. В. Аргучинцев, О. А. Крутикова //Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 2. — С. 3−12.

2. Аргучинцев, А. В. Оптимизация гиперболических систем с интегральными ограничениями на граничные управления / А. В. Аргучинцев // Изв. вузов. Математика. 2004. — № 1. — С. 10−17.

3. Бураханов, Б. М. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики / Б. М. Бураханов, Е. Н. Лютикова, С. А. Медин. М., 2002. — 28с. — (Препринт /ОИВТРАН- № 2−462).

4. Бутковский, А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. М.: Наука, 1965. -476 с.

5. Бутковский, А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. М.: Наука, 1975. — 568 с.

6. Васильев, Ф. П. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления / Ф. П. Васильев, А. З. Ишмухаметов, М. М. Потапов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — 142 с.

7. Васильев, Ф.П. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны / Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, А. В. Разгулин // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычислит, математика и кибернетика. -1993. № 2.-С. 3−8.

8. Васильев, Ф. П. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны / Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, М. М. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. 1993. — № 3. — С. 8−15.

9. Васильев, Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения / Ф. П. Васильев // Дифференц. уравнения. 1995. — Т.31, № 11.-С. 1893−1900.

10. Воробьева, Е. В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е. В. Воробьева, Р. К. Романовский // Сиб. матем. журнал. 2000. — Т. 41, № 3. — С. 531−540.

11. Егоров, А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А. И. Егоров. М.: Наука, 1978. — 464 с.

12. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференц. уравнения. 2007; Т. 43, № 5. С. 650−654.

13. Жукова, О. Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Сиб. журн. индустр. матем. 2007; Т 10, № 4(32).- С. 32−40.

14. Жукова, О. Г. Граничное управление трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / О. Г. Жукова // Деп. в ВИНИТИ 04.12.2007, № 1126-В 2007.

15. Жукова, О. Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О. Г. Жукова // Дифференц. уравнения.-2008. Т. 44, № 1. — С. 82−88.

16. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова // Дифференц. уравнения, (в печати).

17. Знаменская, JI.H. Управляемость колебаниями струны с одним закрепленным концом при ограничениях на управление / JI.H. Знаменская // Дифференц. уравнения. 2003. — Т. 39, № 3. — С. 377−382.

18. Ильин, В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В. А. Ильин, В. В. Тихомиров // Дифференц. уравнения 1999. — Т.35, № 5. -С. 692−704.

19. Ильин, В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1999. — Т. 35, № 11. — С. 1517−1534.

20. Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. 2000. — Т. 36, № 11.-С. 1513−1528.

21. Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. 2000. — Т.36, № 12. — С. 1670−1686.

22. Ильин, В. А. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН.-2004. Т.399, № 6. — С. 727−731.

23. Ильин, В. А. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН. 2005. — Т.400, № 1. — С. 1620.

24. Ильин, В. А. Оптимальное граничное управление на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН. 2005. -Т.400, № 5.-С. 585−591.

25. Ильин, В. А. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин // Докл. РАН. 2005. -Т.400, № 6.-С. 731−735.

26. Карташов, Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э. М. Карташов. М.: Высш. школа, 1985. — 480 с.

27. Карташов, Э. М. Новые интегральные соотношения в теории нестационарного теплопереноса на основе уравнения гиперболического типа / Э. М. Карташов, О. И. Ремизова // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2002. -№ 3.-С. 146−156.

28. Корнеев, С. А. Гиперболические уравнения теплопроводности Г С. А. Корнеев // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2001. — № 4. — С. 117−125.

29. Красовский, Н.Н. К теории оптимального регулирования / Н. Н. Красовский // Автоматика и телемеханика. 1957. — Т.18, № 11. — С. 960−970.

30. Красовский, Н. Н. Об одной задаче оптимального регулирования / Н. Н. Красовский // Прикладная математика и механика. 1957. — Т.21, № 5. — С. 670−677.

31. Куржанский, М.А. О конечномерной аппроксимации задачи наблюдения и управления для гиперболической системы / М. А. Куржанский // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. -1992.-№ 3.-С. 28−33.

32. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972.-414 с.

33. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе. М.: Физматлит, 1987. — 368 с.

34. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. М.: Высш. школа, 1967. — 600 с.

35. Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизо-хата. М.: Мир, 1977. — 504 с.

36. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В. П. Михайлов. М.: Наука, 1976. — 392 с.

37. Потапов, М. М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу / М. М. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. — 1978.-№ 2.-С. 17−26.

38. Разгулин, А. В. Применение проекционно-разностного метода в задачах наблюдения и управления для уравнения типа Шредингера / А. В. Разгулин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. 1996. — № 1. — С. 42−52.

39. Рево, П. А. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса / П. А. Рево, Г. Д. Чабакаури // Дифференц. уравнения. 2000. — Т. 36, № 6. — С. 806−815.

40. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Докл. АН СССР. 1982. — Т. 267, № 3. — С. 577−580.

41. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Матем. сборник. 1985. — Т. 127, № 4. — С. 494−501.

42. Романовский, Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р. К. Романовский // Матем. сборник. 1987. — Т. 133, № 3. — С. 341−355.

43. Романовский, Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1987. — С. 47−52.

44. Романовский, Р. К. Усреднение гиперболических уравнений / Р. К. Романовский // Докл. АН СССР. 1989. — Т. 306, № 2. — С. 286−289.

45. Романовский, Р. К. Анализ гиперболической модели задачи о фазовом переходе методом граничных интегральных уравнений / Р. К. Романовский, Е. Н. Стратилатова // Докл. СО АН ВШ. 2003. — № 2(8). — С. 5258.

46. Романовский, Р. К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений / Р. К. Романовский, Е. Н. Стратилатова // Сиб. журн. индустр. математики, — 2004.-Т. 7, № 3(19).-С. 119−131.

47. Романовский, Р. К. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теплопереноса в одномерном твердом материале / Р. К. Романовский, О. Г. Жукова // Доклады АН ВШ РФ. 2006. -№ 1(6).-С. 69−77.

48. Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьева, Е. Н. Стратилатова. Новосибирск: Наука, 2007. — 172 с.

49. Романовский, Р. К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, О. Г. Жукова // Сиб. журн. индустр. математики. 2008. Т 11, № 3(35).-С. 119−125.

50. Соболев, С. Л. Процессы переноса и бегущие волны / С. Л. Соболев // Успехи физ. наук. 1991. — Т. 161, № 3. — С.5−29.

51. Соболев, С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса / С. Л. Соболев // Успехи физ. наук. 1997. — Т. 167, № 10. — С. 10 951 106.

52. Стейн, И.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. М.: Мир, 1974. — 336 с.

53. Тихомиров, В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении / В. В. Тихомиров // Дифференц. уравнения. -2002. Т. 38, № 3. — С. 393⁰³.

54. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1977. — 736 с.

55. Шашков, А. Г. Волновые явления теплопроводности: Системно-структурный подход / А. Г. Шашков, В. А. Бубнов, С. Ю. Яновский. Минск: Наука и техника, 1993. — 279 с.

56. Эмануилов, О. Ю. Точная управляемость гиперболическими уравнениями. Ч. 1 / О.Ю. Эмануилов// Автоматика. 1990. — № 3. — С. 10−13.

57. Эмануилов, О. Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями /О.Ю. Эмануилов // Сиб. матем. журнал. 2000. — Т. 41, № 4-С. 944−959.

58. Bardos, С. Sharp sufficient conditions for the observaton, control and stabilization of wave equation from the boundary / C. Bardos, G. Lebeau, J. Rauch // SIAM J. Control Optim. 1992. — Y. 30, № 5. — P. 1024−1065.

59. Cattaneo, C. Sur une forme de Г equation de la chaleur eliminant le paradoxe dvune propagation insantanee / C. Cattaneo // Comptes Rend. -1958. V. 274. — P. 431−433.

60. Cirina, M. Boundary controllability of nonlinear hyperbolic systems / M. Cirina // SIAM J. Control. 1969. — № 7. — P. 198−212.

61. Komornik, V. Exact controllability and stabilization / V. Komornik // Lecture Notes in Control and Inform. 1990. — V. 148. — P. 149−192.

62. Krabs, W. On boundary controllability of one dimensional vibrating system / W. Krabs // Math. mech. in the Appl. Sci. 1979. — № 1. — P. 322−345.

63. Lions, J.-L. Controllabilite exacte des systemes distribues / J.-L. Lions // Acad. Sci. Ser I. Math. 1986. — № 302. — P. 471⁷⁵.

64. Lions, J.-L. Controllabilite exacte, stabilization et perturbation des systemes distribues / J.-L. Lions. -V. 1: Controllabilite exacte. Paris: Masson, 1988.

65. Lions, J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems / J.-L. Lions // SIAM Rev. 1988. — V. 30, № 1. — P. 1−68.

66. Russel, D.L. Nonharmonie Fourer series in the control theory of distributed parameter system / D.L. Russel // J. Math. Anal. Appl. 1967. — V. 18, № 3.-P. 542−560.

67. Tataru, D. Boundary controllability of conservative PDEs / D. Tataru // Appl. Math. Optim. 1995. — V. 31. — P. 257−295.

68. Vernotte, P. Les paradoxes de la theorie continue de Г equation de la chaleur / P. Vernotte // Comptes Rend. 1958. — V. 246. — P. 3154−3155.