Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Обратные задачи для параболических уравнений в ограниченной области

Диссертация: Обратные задачи для параболических уравнений в ограниченной области
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались: на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» под руководством д.ф.-м.н., профессора А. И. Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им. С. J1. Соболева СО РАН, 2002;2005 гг.) — на семинаре «Избранные вопросы математического анализа» под руководством д.ф.-м.н., профессора Г. В. Демиденко (г… Читать ещё >

Содержание

  • ГЛАВА 1. Обратные задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени
    • 1. Обратная задача в случае финального переопределения
      • 1. 1. Решение обратной задачи методом перехода к нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения составного типа
      • 1. 2. Исследование единственности решения обратной задачи
    • 2. Обратная задача в случае интегрального переопределения
      • 2. 1. Исследование существования решения обратной задачи
      • 2. 2. Исследование единственности решения обратной задачи
    • IVI. ABA 2. Обратные задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при второй пространственной производной
    • 1. Обратная задача с финальным переопределением
      • 1. 1. Исследование существования решения обратной задачи
      • 1. 2. Исследование единственности решения обратной задачи
    • 2. Обратная задача с интегральным переопределением
      • 2. 1. Исследование разрешимости обратной задачи
      • 2. 2. Исследование единственности решения обратной задачи
  • ГЛАВА 3. Обратные задачи для параболического уравнения с двумя неизвестными коэффициентами
    • 1. Обратная задача с неизвестным коэффициентом и неизвестной правой частью
    • 2. Обратная задача с неизвестными коэффициентами уравнения

Обратные задачи для параболических уравнений в ограниченной области (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность темы

Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории диференциаль-ных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков.

В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т. д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы А. И. Прилепко [47−51], Ю. Е. Аниконова [1−6, 59−63], Ю. Я. Белова [12−17, 64−67], Н. И. Иванчова (Украина) [22−25, 69], Б. А. Бубнова [18], Е. Г. Саватеева [55−57], Н. Я. Безнощенко [8−11], В. В. Соловьева [58], А. И. Кожанова [30−33, 70−72]и других.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений второго порядка в случаях, когда неизвестен один из коэффициентов при старших производных.

Методы исследования. Разрешимость обратных задач с дополнительным переопределением решения на временных слоях устанавливается с помощью сведения их к нелокальным краевым задачам для нелинейных «нагруженных» уравнений составного типа. Разрешимость обратных задач с интегральным переопределением устанавливается с помощью сведения их к локальным краевым задачам для нелинейных «нагруженных» уравнений параболического типа.

При решении краевых задач для «нагруженных» уравнений используются методы срезывающих функций и продолжения по параметру, а также принцип максимума для параболических уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные ре. зультаты:

1. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с финальным или интегральным переопределением для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при одной из старших производных в случаях, когда соответствующая прямая задача является первой или второй начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования и единственности.

2. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с дополнительным переопределения решения на временных слоях для параболических уравнений с двумя неизвестными коэффициентами в случае, когда соответствующая прямая задача является первой начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты дополняют многочисленные исследования по нелинейным обратным задачам, указывают новые подходы в их решении и могут найти применение в дальнейшем изучении обратных задач для параболических уравнений второго и более высоких порядков.

Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались: на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» под руководством д.ф.-м.н., профессора А. И. Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им. С. J1. Соболева СО РАН, 2002;2005 гг.) — на семинаре «Избранные вопросы математического анализа» под руководством д.ф.-м.н., профессора Г. В. Демиденко (г. Новосибирск, Институт математики им. С. JL Соболева СО РАН, 2002;2005 гг.) — на семинаре «Численные методы» под руководством д.ф.-м.н., профессора А. Ф. Воеводина (г. Новосибирск, Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2004;2005 гг.) — на Дальневосточной математической школе-семинаре им. Е. В. Золо-това (г. Владивосток, 2003 г.) — на IV Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 2004 г.) — на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора А. В. Доманского (г. Южно-Сахалинск,.

СахГУ, 2002;2005 гг.) — на научно-методическом совете ЮСИЭПиИ (г. Южно-Сахалинск, 2005 г.) — на Международном семинаре по неклассическим уравнениям математической физики, посвященном 60-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (г. Новосибирск, 2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [34−39].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы. Каждая глава разбита на два параграфа.

Список литературы

содержит 76 наименований. Объем диссертации составляет 136 страниц.

Заключение

и выводы.

В работе получены новые результаты о существовании и единственности регулярных решений нелинейных обратных задач для параболических уравнений в ограниченной области: обратной задачи нахождения решения и неизвестного коэффициента при производной по времени в случае задания условий финального или интегрального переопределенияобратной задачи нахождения решения и неизвестного коэффициента при старшей пространственной производной в случае задания условий финального или интегрального переопределенийобратной задачи нахождения решения, неизвестного коэффициента при старшей пространственной производной и неизвестной правой части в случае задания двух условий переопределения на различных временных слояхобратной задачи нахождения решения, коэффициента при временной производной и коэффициента при решении в случае задания двух условий переопределения на различных временных слоях.

Методы исследования основаны на переходе к специальным нелинейным нагруженным уравнениям с частными производными, доказательстве разрешимости возникающих прямых локальных и нелокальных краевых задач и построении с помощью решения вспомогательных задач решения исходной обратной задачи.

Полученные новые результаты свидетельствуют об эффективности используемой методики и о возможности использования ее при исследовании других обратных задач.

Вспомогательные результаты о разрешимости тех или иных краевых задач для «нагруженных» уравнений имеют и самостоятельное значение — нелинейные «нагруженные» уравнения представляют собой сравнительно малоизученный математический объектв то же время подобные уравнения возникают при математическом моделировании ряда процессов механики, физики, биологии.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1978.
  2. Ю. Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения // Мат. сб. 1990. Т. 181, N2 1. С. 68−74.
  3. Ю. Е. Обратные задачи математической физики и биоло гии // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 6. С. 1350−1354.
  4. Ю. Е. Псевдодифференциальные операторы и обратные задачи. Новосибирск, 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, № 671).
  5. Ю. Е., Белов Ю. Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, № 6. С. 1289−1293.
  6. Ю. Е., Бубнов Б. А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298, № 4. С. 777−779.
  7. С. С., Белов Ю. Я. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316. С. 791 795.
  8. Н. Я. О задаче Коши для уравнения щ — Аи+иАи = f // Диффер. уравн. 1983. Т. 21, № 6. С. 991−1000.
  9. Н. Я. Об определении коэффициентов при младших членах в параболическом уравнении // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 3. С. 473−482.
  10. Н. Я. Об определении коэффициента при младшем члене общего параболического уравнения // Диффер. уравн. 1976. Т. 12, № 1. С. 175−176.
  11. Н. Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении // Диффер. уравн. 1975. Т. 11, № 4. С. 19−26.
  12. Ю. Я. Обратная задача для уравнения Бюргерса // Докл. АН СССР. 1992. Т. 323, № 3. С. 385−388.
  13. Ю. Я. О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1995. Т. 345, № 4. С. 441−444.
  14. Ю. Я., Ермолаев А. С. Об одной обратной задаче идентификации коэффициентов многомерного параболического уравнения // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Красноярск: КрасГУ, 1996. С. 16−27.
  15. Ю. Я., Саватеев Е. Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // Докл. АН СССР. 1991. Т. 334, № 5. С. 800−804.
  16. Ю. Я., Шипина Т. Н. Об одной задаче определения функции источника // Тез. докл. Междунар. конф. «Обратные задачи математической физики». Новосибирск, 21−25 сентября 1998 г. С. 18.
  17. Ю. Я., Яненко Н. Н. Влияние вязкости на гладкость решения в неполно-параболических системах // Мат. заметки. 1971. Т. 10, J№ 1'. С. 93−99.
  18. . А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений. Новосибирск, 1989. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, № 87−714).
  19. В. М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Диффер. уравн. 1983. Т. 19, № 12. С. 2166−2169.
  20. В. Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ, 1979.
  21. М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теоретической и прикладной математики, 1995.
  22. Н. И. Обратные задачи теплопроводности в двухкомпонент-ной среде // Диффер. уравн. 1992. Т. 28, № 4. С. 666−672.
  23. Н. И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Укр. мат. журн. 1993. Т. 45, № 8. С. 1066−1071.
  24. Н. И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 3. С. 612−621.
  25. Н. И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 539−550.
  26. А. Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225, К0- 5. С. 1005−1008.
  27. А. Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений // Диффер. уравн. 1974. Т. 10, № 5. С. 890−898.
  28. А. Д. Задачи оптимизации с управлением в коэффициентах параболического уравнения // Диффер. уравн. 1983. Т. 19, К0- 8. С. 1324−1334.
  29. М. В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 3. С. 564−569.
  30. А. И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений. Новосибирск, 1998. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики, № 54).
  31. А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990.
  32. А. И., Кириллова Г. А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 1. С. 35−49.
  33. А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 6. С. 840−853.
  34. О. А. Первая краевая задача для одного класса нелинейных нагруженных параболических уравнений // Неклассические уравнения математической физики: Сб. научн. работ. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. С. 110−116.
  35. О. А. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производнойпо времени // Вестник НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2003. Т. 3, № 3. С. 52−71.
  36. О. А. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения с финальным условием переопределения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 1. С. 45−72.
  37. О. А. О разрешимости обратной задачи с интегральным условием переопределения для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при старших производных // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 2. С. 59−82.
  38. О. А. Обратная задача для параболического уравнения с интегральным условием переопределения // Дальневосточная математическая школа-семинар им. акад. Е. В. Золотова: Тез. докл. Владивосток, 2003. С. 31.
  39. О. А. Обратная задача для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при старшей производной //IV Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. Якутск, 2004. С. 21−22.
  40. О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
  41. М. М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160, № 1. С. 32−35.
  42. М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.
  43. М. М., Резницкая К. Г. Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа // Докл. АН СССР. 1973. Т. 208, № 3. С. 531−532.
  44. М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982.
  45. М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
  46. А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.
  47. А. И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1992. С. 151−162.
  48. А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным переопределением // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 4. С. 49−68.
  49. А. И., Соловьев В. В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Диффер. уравн. 1987. Т. 23, № 1. С. 136 143.
  50. А. И., Тихонов И. В. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении // Изв. РАН. Сер. Математика. 1994. Т. 58, № 2. С.167−188.
  51. А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболических уравнений и единственность решений обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2003. Т. 43, № 4. С. 562−570.
  52. В. Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения // Мат. заметки. 1976. Т. 19, вып. 4. С. 595−600.
  53. В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1973.
  54. В. Г. Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения // Докл. АН СССР. 1972. Т. 207, № 5. С. 1051−1053.
  55. Е. Г. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1995. Т. 340, № 5. С. 595−596.
  56. Е. Г. О задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1995. Т. 344, № 5. С. 597−598.
  57. Е. Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 1. С. 177−185.
  58. В. В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения // Диффер. уравн. 1989. Т. 25, № 9. С. 1577−1583.
  59. Anikonov Yu. E. Multidimensional inverse and ill-posed problems for differential equations. Utrecht: VSP, 1995.
  60. Anikonov Yu. E. Formulas in inverse and ill-posed problems. Utrecht: VSP, 1997.
  61. Anikonov Yu. E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. Utrecht: VSP, 2001.
  62. Anikonov Yu. E. and Belov Yu. Ya. On unique solvability of an inverse problem for a parabolic equation // Sov. Math. Dokl. 1989. V. 39, No. 3 P. 601−605.
  63. Anikonov Yu. E. and Belov Yu. Ya. Determining two unknown coefficients of the parabolic type equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2001. V. 9, No. 5. P. 469−488.
  64. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations // J. Inverse III-Posed Probl. 1993. V. 1, No. 4. P. 283−305.
  65. Belov Yu. Ya. and Shipina T. N. The problem of determining the source function for a system of composite type // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1998. V. 6, No. 4. P. 287−308.
  66. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.
  67. Cannon I. R. and Lin Y. Determination of a parameter p (t) in some qiuasi-linear parabolic differential equations // Inverse Problems. 1988. V. 4. P. 35−45.
  68. Herglotz G. Uber die elastizitat der erde bei borucksichtigung inter vari-ablen dichte // Zeit schr. fur Math, und Phys. 1905. Bd. 52, No. 3. S. 275 299.
  69. Ivanchov M. Inverse problems for equation of parabolic type. Math. Studies. Monograph Series. V. 10. Lviv: WNTL Publishers, 2003.
  70. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.
  71. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problems for parabolic equation with coefficient and right-hand side, I // J. Inverse 111-Posed Probl. 2002. V. 10, No. 6. P. 611−630.
  72. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problems for parabolic equation with coefficient and right-hand side, II // J. Inverse 111-Posed Probl. 2003. V. 11, No. 5. P. 505−522.
  73. Pilant R. and Rundell W. An inverse problem for nonlinear parabolic eqution // Comm. Partial Differ. Eq. 1986. V. 11, No. 4. P. 445−457.
  74. Riganti R. and Savateev E. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Rapporto Interno. No. 25. Torino: Politecnico di Torino, 1991.
  75. Riganti R. and Savateev E. Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Comm. Partial Differ. Eq. 1994. V. 19, No. 9−10. P. 1611−1628.
  76. Riganti R. and Savateev E. Inverse problem for the nonlinear heat equation with final overdetermination // Rapporto Interno. No. 7. Torino: Politecnico di Torino, 1995.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!