Математическое моделирование в задачах о динамике вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций при дозвуковом обтекании

Повышение надежности и увеличение сроков эксплуатации конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, является важной народнохозяйственной проблемой. Необходимость решения такой проблемы возникает, в частности, в авиаракетостроении, турбо-компрессоростроении, приборостроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, мостовых конструкций, трубопроводных систем и т. д.

Воздействие потока на деформируемые части конструкций может приводить к возникновению неустойчивых колебаний и, тем самым, к их разрушению (рис. 1). В связи с этим, при проектировании конструкций, обтекаемых потоком жидкости или газа, важное значение имеет исследование устойчивости и определение параметров, обеспечивающих целостность конструкций и, тем самым, их успешное функционирование.

Рис. 1. Подвесной мост Такома Нэрроуз [115]. Разрушился из-за аэроупругих колебаний через 4 месяца после ввода в эксплуатацию.

Задача об исследовании динамической устойчивости может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему «газ-тело» (к основным параметрам относятся, в частности, скорость потока и приложенные усилия, действующие в связи с конструктивными особенностями) малым деформациям тела в начальный момент времени будут соответствовать малые деформации в любой момент времени Данный вопрос является существенным для многих прикладных задач, описываемых дифференциальными уравнениями, так как часто важно знать не столько конкретные значения решения этих уравнений, сколько характер поведения решения при изменении времени, в частности, при его неограниченном возрастании. В то же время для функционирования некоторых технологических устройств (например, вибрационных устройств, используемых для интенсификации технологических процессов) явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше как негативное, является необходимым.

Таким образом, проектирование различных конструкций, обтекаемых потоком газа (жидкости), приводит к решению задач, связанных с определением характеристик конструкций, позволяющих обеспечить надежность их эксплуатации и выполнение ими функциональных задач.

Под воздействием потока тонкостенные элементы могут изменять форму, что, в свою очередь, приводит к изменению поля скоростей и давлений жидкости (газа) около тела. Поэтому в теории аэрогидроупругости существенным является учет взаимного влияния деформаций тела и полей скоростей и давлений потока. В связи с этим, в задачах аэрогидроупругости используются методы механики деформируемого тела — с одной стороны, и методы аэрогидромеханики — с другой.

Теория аэрогидроупругости в настоящее время представляет собой хорошо развитый раздел механики сплошной среды.

Большие успехи достигнуты в исследовании динамики и статики несущих поверхностей. Результаты этих исследований нашли применение в авиастроении и турбо-компрессоростроении. Данной теме посвящены работы Белоцер-ковского С.М. [8−11], Гроссмана Е. П. [86], Кочеткова Ю. А. [8], Красовского A.A. [8], Келдыша М. В. [86], Марина Н. И. [86], Новицкого В. В. [8], Самойло-вичаГ.С., Смирнова А. И. [111, 112], Степанова Г. Ю. [113], Фершинга Г. [117], Фына Я. Ц. 120] и др. Существенным здесь является предположение о малой относительной толщине профиля, что позволяет применять линейную теорию течения.

При исследовании поведения упругих тел в потоке возникают более слож ные, в смысле движения и взаимодействия, модели, что обусловлено более сложной формой деформирования тел. В этих задачах предполагается малая толщина стенок, и при сопряжении решений для двух сред контактная поверхность отождествляется со срединной поверхностью. Это допущение вместе с предположением о малых возмущениях течения позволяет использовать линейную теорию движения жидкости (газа). Результаты, полученные в этом направлении, представлены в работах Алгазина С. Д., Амбарцумяна С. А., Антонова В. Н. [119], Багдасаряна Г. Е., Белубекяна М. В., Бисплингхоффа P.JI. [12], Болотина В. В. [14, 121, 125, 135], Буйвола В. Н. [15], Вольмира A.C. [35−37], Гонтке-вича B.C. 41], Григолюка Э. И. [44−46], Губановой И. И. [104], Доуелла Е. Х. [128−131], Ильгамова М. А. [49, 77−79], Ильюшина A.A. [80, 81], Кийко И. А. [80], Лампера Э. И., Дж. Майлса [95], Мовчана А. А. 97, 98], Новичкова Ю. Н., Пановко Ю. Н. [104, 105], Фершинга Г. [117], Фролова К. В. [119], Фына Я. Ц. [120], Халфмана P.JI. [12], Шандарова Л. Г., Швейко Ю. Ю., Эшли X. [12] и др.

Задачи взаимодействия деформируемых тел с жидкостью рассматривались также в работах С. В. Челомея [121], В. И. Феодосьева, В. А. Светлицкого, К. П. Андрейченко, Л. И. Могилевича [99, 100], Ю. Э. Сеницкого [110].

Поведение конструкций при набегании волн давления исследовалось в работах Бабаева А. Э. [48], Вестяка A.B. [34], Галиева Ш. У. [38, 39], Горшкова А. Г. [34, 42, 45, 46], Григолюка Э. И. [43−46], Гузя А. Н. [47, 48], Кармишина A.B. [84], Кубенко В. Д. [47,48, 92], Мнева Е. И. [96], Перцева А. К. [96], Скурла-това Э.Д. [84], Старцева В. Г. [84], Тарлаковского Д. В. [34], Фельдштейна В. А. [84] и др.

Отметим также работы, посвященные задачам аэрогидроупругости [82, 101, 122] и вопросам расчёта, устойчивости и оптимизации деформируемых тел [2,5,6,88, 121].

Существенное влияние на прочностные характеристики деформируемых тел оказывает старение материала (изменение с течением времени механических свойств). Хорошо разработана модель стареющего вязкоупругого тела, согласно которой напряжение в любой точке тела зависит от предыстории деформирования материала в данной точке, а связь между напряжением и деформацией подчиняется уравнению Вольтерра-Фойхта. Фундаментальные результаты в теории вяузкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел изложены в работах Александрова A.B. [1], Арутюняна Н. Х. [3, 4], Дроздова А. Д. [3, 19], Ильюшина A.A. [80, 81], Качанова JI.M. [85], Клюшникова В. Д. [87], Колмановско-го В.Б. [4, 19, 26], Колтунова М. А. [90], Кравчука A.C., Майбороды В. П., Паль-мова В.А. [103], Победри Д. Б., Постникова B.C., Потапова В. Д. [1], Работнова Ю. Н. [106−108], Ржаницина А. Р., Уржумцева Ю. С. и др.

Исследования по устойчивости деформируемых тел при аэрогидродинамическом воздействии проводятся в течение двух десятилетий в Ульяновском техническом университете на кафедре «Высшая математика». Среди опубликованных членами кафедры работ отметим работы Вельмисова П. А., Решетникова Ю. А., Маценко П. К. и др. [16−33, 139, 147, 148].

Отличительной особенностью рассматриваемых в диссертации задач является учет вязкоупругих свойств (старения) тел, что приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов. Кроме того, в задачах аэрогидроупругости невозможно определить силовое воздействие потока на обтекаемое тело до решения задачи об определении деформации тела. Математически это выражается в том, что совместное движение тела и жидкости (газа) описывается связанной системой дифференциальных уравнений для функций деформаций и аэрогидродинамических функций. Все это увеличивает сложность решения соответствующих задач, не позволяет использовать стандартные для расчета деформаций упругих элементов методы и требует разработки специальных методов решения.

Выше сказанное позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.

Целью диссертационной работы является создание на основе математического моделирования математических методов исследования динамики и устойчивости некоторых деформируемых тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1. Построение и усовершенствование математических моделей в задачах о динамике вязкоупругих элементов, обтекаемых дозвуковым потоком жидкости (газа), таких классов тонкостенных конструкций, как тонкие профили и защитные экраны.

2. Разработка методик решения обратных краевых задач аэрогидромеханики, позволяющих свести решение соответствующих задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформаций элементов.

3. Разработка аналитических и численных методов решения начально-краевых задач для этих уравнений и исследование на их основе динамики и устойчивости вязкоупругих элементов конструкций.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение

.

1. Построены новые и усовершенствованы некоторые известные математические модели в задачах дозвукового обтекания вязкоупругих элементов тонких профилей (в том числе крыловых), защитных экранов, подвесных и плавучих мостов. Во всех моделях количество вязкоупругих элементов и места их расположения произвольные.

В разработанных моделях учитывается широкий спектр механических свойств объектов и характер их взаимодействия. Производится одновременный учет старения (вязкоупругости) материала деформируемых элементов, воздействия потока жидкости (газа) и вязкоупругого основания, а также влияния сжимающих (растягивающих) продольных усилий.

2. Разработана методика для решения класса плоских задач аэрогидромеханики с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов деформируемых элементов, позволяющая исключить аэрогидродинамические функции и свести решение связанных задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформаций.

3. Создан новый численный метод, на основе которого в каждой из задач проведено численное моделирование на ЭВМ динамики деформируемых элементов и в плоскости (v, P) построены области устойчивости. Выведены условия непрерывной зависимости решения от начальных условий и параметров задач. Численно исследована сходимость галёркинских приближений. ь.

Проведён сравнительный анализ полученных численных решений с точными частными решениями и с численными решениями, полученными с помощью математического пакета Maple.

4. Разработан новый аналитический способ исследования асимптотической устойчивости вязкоупругих элементов конструкций, на основе которого в каждой задаче в плоскости (v, P) построены области динамической устойчивости и получены оценки первых приближений. Проведено сравнение полученных аналитических результатов с результатами численного эксперимента.