Особые случаи обратных краевых задач для аналитических функций

Диссертация посвящена решению обратных краевых задач /ОКЗ/ теории аналитических функций для односвязных и бесконечносвяз-ных областей, а также вопросам однолистной разрешимости этих задач.

Основные результаты в теории аналитических функций с многочисленными приложениями изложены в монографиях Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина /Т.З, ТЛ /, М. Т. Нужина и Н. Б. Ильинского /Н.З/, Р.Б.Сали-мова /С.к /, обзорной статье Ф. Г. Авхадиева и Л. А. Аксентьева /А.б/, обзоре /А. 13/.

Начало развитию ОКЗ в нашей стране положила работа Г. Г. Тумашева /Т.2 /, М. Т. Нужин в работе /Н.1 / дал общую постановку ОКЗ, сформулировав ее впервые как задачу для аналитических функций.

Приведем постановку основной ОКЗ, являющейся модельной в теории /А. 13/.

Определить область в плоскости комплексного переменного и функцию У (Л), аналитическую в этой области, если награнице, известны значения функции: где § -дуговая абсцисса точки контура «отсчитываемая от некоторой точки этого контура в положительном направлении, при котором область остается слева- ?(0)= ?(6), Ч'(0) = ?(6).

Различают внутреннюю и внешнюю задачу в зависимости от того, внутри или вне кривой расположена область. Предполагается, что соотношение (0.1) является уравнением замкнутой жордановой кривой «расположенной в плоскости.

В предположении гельдеровости производных ^'(s) и Tfc) М. Т. Нужиным было доказано существование и единственность решения внутренней задачи, ф.Д.Гаков показал существование решения внешней задачи /Г. 1, Г. 2 / для случая, когда величина WC00)=W0 заранее не задается. Если производные S^Cs) и Ч^Св) не удовлетворяют условию Гельдера в отдельных точках или же имеют общие нули, то гладкость контуров Lz и Lw может нарушаться. Исследование особых точек контуров проведено оЗ.Д.Гаховым и И. М. Мельником / Г. З, ГЛ / и рядом других авторов /Т.2, Р.3, А.10,КЛ /.

Ф.Д.Гахов /П 1 / и С. Н. Андрианов /4.14/ исследовали ОКЗ для односвязных областей при наиболее широких предположениях относительно задаваемых функций 44s) и ЧТО • Ими было доказано, что если заранее не требовать непрерывность функции ч/'OL) вплоть до границы, то решение задачи существенно не единственно.

В силу физической сущности многих ОКЗ большое значение приобретают исследования однолистной разрешимости задач. Роль условий однолистности была подчеркнута С. Н. Андриановым /Д.М/ и Ф. Д. Гаховым /Г. i /. Первые достаточные условия однолистности решений ОКЗ были получены в работах И. С. Красновидовой и B.C. Рогожина /К.2 /, В. С. Рогожина /Р. 2 /, Л. А. Аксентьева / А.7, А. В/, С. Н. Кудряшова /К.4 /. Обзор результатов по этой проблеме содержится в /АЛ / и /А. 13/.

Обратным краевым задачам по параметрам, отличным от S, посвящены тэаботы М. Т. Нужина, /Т.4, Н.2 /, Р. Б. Салимова /С. 1, Г. 2, С. 4 / и других авторов /АЛЪ/.

В случае, когда в качестве параметра выбрана декартова координата л: точки контура, граничные значения задаются в виде:

V/ -ч/|(х)? ^(хыч- (х)} о^х^а,.

V/" + (0.2) причем (х) > Ч^ (X) «^'=4,2 1 -однозначные функции, относящиеся к различным сторонам отрезка [0, а] .При дополнительных условиях гладкости на функции иЧ^(Х) М. Т. Нужиным было доказано существование и единственность решения внутренней, а Р.Е.Салимо-вымсуществование решения внешней ОКЗ. Вопрос однолистной разрешимости внутренней задачи по параметру х исследуется с помощью результатов У. Каплана /К. 1 /, Л. А. Аксентьева /А.И /, Ф. Г. Авхадиева /А.2 /, Е. А. Широковой /Ы.1/. В случае внешней задачи искомая отображающая функция %(?) «реализующая конформное преобразование круга Е 8 |?|< 11 в плоскости? = на искомую область «выражается формулой /С. 1 /: г% где хС0) -функция, определяемая по начальным данным, С = А + 1В-произвольная комплексная постоянная.Р. Б. Салимов доказал /С. 1 / существование выпуклой области значений параметров Л и В, при которых искомая область будет однолистной.

Теория ОКЗ нашла широкие приложения в различных областях математической физики, в частности, гидромеханике. Одним из важнейших направлений такого приложения являются задачи построения гидродинамических решеток. Сформулируем постановку одной из этих задач /А. 13 /.

Определить форму конгруэнтных профилей, составляющих прямую однорядную решетку постоянного шага, если при обтекании этой решетки потенциальным установившемся потоком несжимаемой идеальной жидкости, распределение скорости на этих профилях выражалось бы заданной функцией дуговой абсциссы, отсчитываемой от точки разветвления потока.

Области течения с разрезами, соединяющими точки схода потока с точкой? = ^ вдоль линии тока, соответствует область в плоскости V/ с периодическими полубесконечными разрезами параллельными оси 9.

Решение поставленной задачи различными методами впервые получили Вейниг /V/. 2 / и Г. Г. Тумашев /Т. 1 /. Решение задачи для случая круговой решетки получено в работах /9.1, Б. 1 /.Обзор результатов содержится в /А. 13/.

Целью диссертации является исследование ОКЗ в случаях: I/ особенностей либо искомого контура, либо искомой аналитической функции- 2/ решетки искомых контуров.

В настоящее время теория ОКЗ представляет собой интенсивно развивающуюся область исследований, представляющих важное теоретическое и прикладное значение. Ряд таких задач рассмотрен в данной диссертации. Этим объясняется ее актуальность.

Диссертация состоит из двух глав, разбитых на десять параграфов. Нумерация утверждений единая по всей работе, формулы пронумерованы по параграфам.

1. Авхадиев Ф. Г. Радиусы выпуклости и почти выпуклости некоторых интегральных представлений, — 1,1ат.заметки, 1970, т.7,вып.5,с.581−592.

2. Авхадиев Ф. Г. К достаточным условиям однолистности решений обратных краевых задач.-Докл. АН СССР, 1970, т. 190,.аЗ, с.495−498.

3. Авхадиев Ф. Г. К слабой и сильной проблемам однолистности в обратных краевых задачах.- Тр. семинара по краевым задачам/ Казан, ун-т, 1973, выпЛ0,с.3−10.

4. Авхадиев Ф. Г. О методе локально гомеоморшного продолжения в теории достаточных условий однолистности.-Тр. семинара по краевым задачам/ Казан, ун-т, 1983, вып.20,с.3−10.

5. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций.- Успехи матем. наук, 1975, т.30,вып.4,с.3−60.

6. Аксентьев Л. А. Достаточные условия однолистности решений трех обратных краевых задач.-Учен.зап./Казан, ун-т, 1957, т.117,кн.2, с. ЪХ-55.

7. Аксентьев Л. А. Некоторые классы однолистных иункций.-Учен.зап./ Казан. ун-т, 1957, т.117,кн.2,с.27−31.

8. Аксентьев Л. А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач.-Тр.семинара по краевым задачам/ Казан. ун-т, 1974, вып. П, с.9−18.

9. Аксентьев Л. А. «Ильинский Н. Б., Букин 1.1.Т. и др. Теория обратных краевых задач для аналитических функщгй и ее приложения.- В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т.18.-М., Ж1ИТИ, 1980, с.64−124.

10. Гахов Ф. Д. Об обратных краевых задачах.-Згчвн. зап./ Казан, ун-т, 19 53, т. 113, кн. 10, с. 9−2 0.

11. Гахов Ф. Д. «Мельник И.1Л. Особые точки контура б обратной краевой задаче теории аналитических функции.-Укр.матем.нурн., 1959, т. II, №, с. 25−37.

12. Гахов &.Д., Мельник И. М. Об особенностях контура в обратной краевой задаче теории аналитических функций.-В сб.:Исслед. по соврем.пробл. теории функции комплексы, переменного.-М.:?измат-гиз, 1960, с.324−332.

13. Нужин LI.Т. Теория и приложения обратных краевых задач.-Учен.зап./Казан.ун-т, 1955, т.115,кн.10,с.24−28.

14. Кужин LI.Т., Ильинский Н. Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации.-Казань:Кзд-во Казан. ун-та, 1963.-I3S с.

15. Н1шольскш1 С.?я. Курс математического анализа.Т.I.-Li.:Наука, 1973,-431 с.P.I.Решетников D.A. Достаточные условия однолистности регулярных функщп! в круговом кольце. -Изв. вуз ов. ТЛатеыатика, 1982, J," 12, с. 73−75.

16. Рогозин B.C. Достаточные условия однолистности решения обратных краевых задач гидромеханики.-Тр. 3-го Всес.мат.съезда.Т.I. -Ы.:Ш СССР, 1956, с.210−2II.

17. Рогожин B.C. Достаточные условия однолистности решения обратных краевых задач.-Прикл.мат. и мех., 1958, т.22,Г.6,с.804−807.

18. Салимов P.E. Отдельные случаи обратных краевых задач.-Изв. вуз ов. Мат ематпка, 1968, ." 8, с. 73−79.

19. Салшлов P.E. К вычислению сингулярных интегралов с ядром Гильберта.-Изв.вуз ов. Математика, 1968, Ш2,с.93−96.

20. Салшлов P.E. Некоторые основные задачи об изменении контуров в теории аналитических функций и их приложения к механике жидкости. -Казань: йзд-во Казан.высш. командно-шшенер. училища, 1970.364 с.

21. Салимов P.E. Ii вопросу о поведении производной функции, реализующей конфортлное отображение, вблизи угловой точки границы области. -Изв. вуз ов. 1−1ат ематпка, 1977, с. 100−110.

22. Тумашев Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления.-Згчен.зап./Казан. ун/т, 1952, т.112,кн.3,с.3−24.