Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости

Актуальность темы

Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Однако, если по теории классов Харди в течение почти векового исследования получены результаты практически исчерпывающего характера, то ряд центральных задач теории классов Бергмана все еще ожидает своего решения.

Тем не менее, в последние десятилетия теория классов Бергмана бурно развивается. Свидетельством тому опубликованные в течение относительно короткого времени несколько монографий, посвященных указанному направлению (см., например, [30], [35], [32], [43]). Проблемы, рассматриваемые в данных работах, как правило, находят решение для классов функций, аналитических в круге или области с достаточно гладкой границей. Однако, как известно, специфика комплексного случая особенно проявляется при анализе задач в областях общего вида, в частности, областях, граница которых содержит угловые точки или имеет особенности других типов. Поэтому, можно сказать, что тематика диссертационной работы является весьма актуальной.

Исследования, проводимые в диссертационной работе, так или иначе, связаны с теорией сингулярных интегральных операторов. Начало развития этого направления можно отнести к классическим теоремам И. И. Привалова (см. [41]), А. Н. Колмогорова (см. [37], [36]) и М. Рисса (см. [42]) об ограниченности сингулярных интегральных операторов с ядрами Коши в различных пространствах функций.

Приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы, для этого введем необходимые обозначения и определения.

Пусть Я = {г е С: г < 1} - единичный круг на комплексной плоскости С,.

Т = {геС: |г| = 1} - его граница- (г — некоторая односвязная область на Сй (м!, дО) — расстояние от точки до границы 80. Пусть также Н{С), к{0) — множества всех аналитических и гармонических функций в О соответственноЬРр (О) — класс измеримых по Лебегу в области С функций / таких, что ы) рс1Р (м>, дС) с1т2(м>)<+оо, 0< р<+оо,/3>-, (0.1) в где с1т2 — плоская мера Лебега- /гд ((7) — множество гармонических в С функций и, для которых справедливо условие (0.1) — Ар (О) — подпространство пространства /^((7), состоящее из аналитических функцийIIр — класс Харди в единичном круге — кр — класс Харди гармонических в? функций. Обозначим, кроме того, Ьр (С?) = V (в), Ц (в) = кр (в), Ар © = Ар (в).

Для и е h (S) пусть также Мр{г, и) = 1 '. 'р u (re'°)p da.

Vя.

Из классической теоремы М. Риссаизвестно, что если ugJip, 1 <р< +°о, и v — гармонически сопряженная с и функция, v (0) = 0, то.

Мр (г, v)<�с{р)Мр (г, и), 0<�г<1,1<�р< +00. При 0 < р < 1 такая оценка неверна. Так, известная теорема А.Н.

Колмогорова утверждает: если и е /г1, тогда для сопряженной с ней функции v, v (0) = 0, справедливо неравенство.

Мр (г, v).

Г. Харди, Д. Литтлвуд доказали (см. [33]): если и, v — гармонически сопряженные функции в единичном круге S, v (0) = 0, и 0 < р < 1, то из условия sup Мр (г, и)<+ со вытекает.

0<г<1.

MJr, v).

1 ^.

1 -г р с>0.

Более того, существует функция u0(z) такая, что sup Мр (г, и0)<+ оо, но в то.

0<г<1 же время для функции v0(z), гармонически сопряженной с ней, справедлива 1 лУр оценка М (r, v0) > с0 In—, с0 > 0.

V 1 -rJ.

Вышеуказанная теорема М. Рисса эквивалентна ограниченности интегрального оператора с ядром Коши P (f)(z) =-i zgS, в.

2 mJT? -z пространстве LP (Т) при всех 1 < р < +оо.

В то же время, из результатов А. Н. Колмогорова следует, что интегральный оператор с ядром Коши не отображает пространство U (Т) в Н1.

В работе Д. Ньюмена [38] было установлено, что не только интеграл типа Коши не отображает пространство Ll (Т) на Нно и вообще не существует ограниченного линейного оператора, выполняющего указанное отображение.

Учитывая, что интегральный оператор с ядром Пуассона отображает пространство U (Т) в класс hl, вышеуказанный результат можно сформулировать следующим образом: не существует никакого ограниченного линейного интегрального оператора, отображающего hl на Н1.

В случае пространств типа Бергмана картина совершенно иная. Еще в 1981 г. Ф. А. Шамоян установил (см. [24], [23]), что можно построить линейный п (г ^ 2(77 + 1) (l-Id2)7 ограниченный интегральный оператор с ядром D = ———-г—. /, к (i-^ЧГ z,?<=S, отображающий пространство h^ (S) в А^ (S), /3>-1, при всех В +2.

0< р<, r?>—1. Для l< р < +со данный результат можно вывести Р непосредственно из вышеуказанной теоремы М. Рисса. Заметим, что ядра Dq (C, z) впервые были введены в работах М. М. Джрбашяна [4], [3].

Естественно, возникает вопрос: существует ли ограниченный линейный интегральный оператор, выполняющий вышеуказанные отображения в случае областей, отличных от единичного круга, и если существует, то при каких р ?

Изучению данных проблем при 1 < р < +со, то есть, по сути, обобщению вышеуказанной теоремы М. Рисса в случае областей с общими границами, посвящено большое количество работ. Обратим внимание по этому поводу на статьи П. Х. Татояна [12], A.M. Шихватова [25], [26], A.A. Соловьева [9], [10], Я. Бурбеа [28], X. Хеденмальма [34].

Отметим, что в вышеперечисленных работах рассматривались проекторы, строящиеся на основании ядра Бергмана K (w, ju) = — -, ju, weG,.

1 ysWiw) где у/ - функция Римана, конформно отображающая область G на единичный круг S, выполняющие отображения в пространствах Бергмана без веса, то есть в пространствах Ар (G).

Так, например, A.A. Соловьев анализировал проблему существования ограниченного проектора в случае односвязной области, граница которой является кусочно-гладкой кривойA.M. Шихватов — в областях с углами. Задача оказалась решена с существенными ограничениями для величины угла. Оказывается, если граница области G состоит из конечного числа гладких дуг, образующих между собой в точках стыка внутренние углы <а- <+оо, а, — 2 y' = l, 2,., m, m = m (G), a=mina—, то проектор Бергмана, отображающий.

1< j.

1 + а 1 -а если — < а < 1, и при 1 < р < +<х>, если, а > 1. 2>

В работе X. Хеденмальма [34] установлено, что оператор с ядром Бергмана действует из Ьр (Ст) в Ар {О) для произвольной односвязной области.

Ро.

G со спрямляемой границей, но только при р0<�р< —-—, где pQ е.

Ро~1 з',.

С вышеуказанной проблемой тесно связана задача оценки LPнормы аналитической функции через норму ее производной. В этой связи напомним известную теорему Харди-Литтлвуда (см., например, [31]): если / е H (S), 0<р< +со, /(0) = 0,? > —1, то при некоторых положительных постоянных сх, с2 справедливы неравенства.

C\f{z)PQ~z)? dm2{z)< s \fX4P — z)?+P dm2? c2\f{z)p (1 — z)? dm2 (z). s s.

Проблемы обобщения данной теоремы на области, отличные от единичного круга, рассматривались в работах как российских, так и зарубежных ученых.

Отметим, например, результаты Ж. Детраз (см. [29]), распространившую оценки для областей с границей класса С1- К. П. Исаева, P.C. Юлмухаметова (см. [6]), которые доказывают аналог оценки Харди-Литтлвуда для дополнения выпуклых ограниченных областей, но только при р = 2.

В диссертации исследуются 2/-весовые пространства аналитических и гармонических в односвязных областях функций. Рассматриваются вопросы, связанные с возможностью обобщения вышеуказанной теоремы Харди-Литтлвуда на области с границей более общего вида в пространствах аналитических функций с весом, представляющим собой степень расстояния до границы. Кроме того, решение указанной проблемы позволяет в явном виде построить ограниченные интегральные проекторы, действующие в LPвесовых пространствах аналитических и гармонических функций, при всех 0 < р < +оо.

Цель работы.

1) Получить обобщение теоремы Харди-Литтлвуда об Ьрвесовых оценках нормы аналитической функции через соответствующую норму ее производной для более широких классов областей.

2) Построить ограниченный проектор, отображающий Ьрвесовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей при всех 1 < р< +оо.

3) Построить ограниченный проектор, отображающий ¿-/-весовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех О < р < +оо в случае односвязной области с кус очно-гладкой границей и. в случае односвязной области' с асимптотически конформной границей.

Методика исследования. В работе" применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов посредством специальных воспроизводящих ядер.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1) Доказана оценка сверху Ьрнормы производной п-го порядка аналитической функции через соответствующую норму самой функции при всех' 0<р< +оо в весовом пространстве аналитических в произвольной области функций.

2) Получены оценки Vнормы аналитической функции через норму производной п-го порядка функции при всех 0 < р < +оо в весовом пространстве аналитических функций как в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей, так и в случае области с асимптотически конформной границей.

3) Построен ограниченный проектор, отображающий Ьрвесовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций при всех 1 < р < +оо в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.

4) Построен ограниченный проектор, отображающий Ьрвесовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех О < р < +со для областей вышеуказанных классов.

5) Описаны пространства, сопряженные к Ьрпространствам аналитических функций со степенным весом, в случае односвязных областей рассматриваемых классов.

Теоретическая значимость. В диссертации исследуются весовые пространства аналитических в односвязных областях функций: изучаются проблемы ограниченности интегральных операторов в данных пространствахвопросы оценки I/ -нормы аналитической функции через соответствующую норму ее производной в указанных весовых пространствахзадачи описания линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических функций.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в комплексном анализе, в гармоническом анализе, в теории операторов, в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов.

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов. Также они могут употребляться специалистами в области комплексного и функционального анализа при исследовании вопросов, связанных с тематикой диссертации.

Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием основных, общеизвестных положений и методов комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Весовая оценка сверху Ьрнормы производной п-го порядка аналитической функции через соответствующую норму самой функции в произвольной односвязной области при всех 0 < р < +оо, а также весовая оценка сверху и снизу Ьрнормы аналитической функции через аналогичную норму производной п-го порядка функции при всех 0 < р < +оо как в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей, так и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей, а также для дополнения ограниченной выпуклой области при 2 < р < +оо.

2) Построение ограниченного проектора, отображающего Ьрвесовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций при всех 1 < р < +оо в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.

3) Построение ограниченного проектора, отображающего Vвесовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех 0 < р < +оо в случае односвязной области с кус очно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского (2004 — 2009 гг.) — на апрельских конференциях преподавателей физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского (2004 — 2009 гг.) — на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2006 г.) — на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007 г.) — на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2008 г.) — на всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 91 научных работ: [13] — [21], четыре из них в соавторстве с научным руководителем. Работа [20] входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 116 страниц. Библиография содержит 43 наименования.

1. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции / Дж. Гарнетт. — М.: Мир, 1984.-469 с.

2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. М.: Наука, 1966. — 628 с.

3. Джрбашян М. М. К проблеме представимости аналитических функций / М. М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. 1948. — Вып. 2. — С. 3−35.

4. Джрбашян М. М. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге функций / М. М. Джрбашян // ДАН АрмССР. 1945. -Т. 3, № 1. — С. 3−4.

5. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами / В. К. Дзядык. М.: Наука, 1977. — 512 с.

6. Исаев К. П. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана / К. П. Исаев, P.C. Юлмухаметов // Известия РАН. Серия математическая. 2004. — Т. 68, № 1. — С. 5−42.

7. Макаров Н. Г. Вероятностные методы в теории конформных отображений / Н. Г. Макаров // Алгебра и анализ. 1989. — Т. 1, вып. 1. -С. 3−57.

8. Ронкин Л. И.

Введение

в теорию целых функций многих комплексных переменных / Л. И. Ронкин. М.: Наука, 1971. — 432 с.

9. Татоян П. Х. Связи между средними значениями гармонически сопряженных функций / П. Х. Татоян // Доклады АН АрмССР. 1969.Т. 49, № 1.-С. 3−8.

10. Ткаченко Н. М. Об оценках производной аналитической функции в Ьр-весовых пространствах / Н. М. Ткаченко // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. Брянск: РИО БГУ, 2006. — № 4. — С. 194−197.

11. Ткаченко Н. М. Ограниченные проекторы в весовых пространствах функций, гармонических в угловых областях / Н. М. Ткаченко // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки.- Брянск: РИО БГУ, 2007. № 4. — С. 67−71.

12. Ткаченко Н. М. Об оценках модуля производной аналитической в угловой области функции / Н. М. Ткаченко // Вестник Ижевского государственного технического университета. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2008. № 1 (37). — С. 96−98.

13. Шамоян Ф. А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций / Ф. А. Шамоян // Сибирский математический журнал. — 1990. Т. 31, № 2.С. 197−215.

14. Шамоян Ф. А. Приложения интегральных представлений М. М. Джрбашяна к некоторым вопросам анализа / Ф. А. Шамоян // ДАН СССР. 1981. — Т. 261, № з. с. 557−561.

15. Шамоян Ф. А. Теорема вложения и характеристика следов впространствах Нр (0 < р < +оо) / Ф. А. Шамоян // Мат. сборник. 1978. -Т. 107 (109), вып. 3. — С. 126−144.

16. Шихватов A.M. О пространствах аналитических функций в области с угловой точкой / A.M. Шихватов // Математические заметки. 1975.Т. 18, № 3.-С. 411−420.

17. Шихватов A. Ml Об LPпространствах функций, аналитических в области с кусочно-аналитической границей / A.M. Шихватов // Математические заметки. 1976. — Т. 20, № 4. — С. 537−548.

18. Bergman S. The kernel function and conformai mapping / S. Bergman // Amer. Math. Soc., Math. Sur. 1950. -№ 5. — P. 1−161.

19. Burbea J. The Bergman projection over plane regions / J. Burbea // Ark. for mat. 1980. — V. 18, № 1. — P. 207−221.

20. Detraz J. Classes de Bergman de functions harmoniques / Detraz J. // Bull. Soc. Math. France. 1981. — V. 109. — P. 259−268.

21. Djrbashian A.E. Topics in the theory of A§ spaces / A.E. Djrbashian, F.A. Shamoyan // Leipzig: Teubner-Texte zur Math. 1988. — V. 105. — 200 P.

22. Duren P. Theory of Hp spaces / P. Duren. New York: Academic Press, 1970.-292 c.

23. Duren P. Bergman spaces / P. Duren and A. Schuster // Math. Sur. and Monographs. 2003. — V. 100. — 298 P.

24. Hardy G.H. / Some properties of conjugate functions / G.H. Hardy, J.E. Littlewood // J. Reine Angew. Math. 1932. — V. 167. — P. 405−423.

25. Hedenmalm H. The dual of Bergman space1 on simply connected domains / H. Hedenmalm // J. d' Analyse Mathematique. 2002. — V. 88. — P. 311−335.

26. Hedenmalm H. Theory of Bergman spaces / H. Hedenmalm, B. Korenblum and K. Zhu // New York: Springer, 2000. 277 P.

27. Kolmogoroff A.N. Sur les fonctions harmoniques conjuguees et les series de Fourier / A.N. Kolmogoroff// Fund. Math. 1925. — V. 7. — P. 24−29.

28. Kolmogoroff A.N. Une serie de Fourier-Lebesgue divergente presque partout / A.N. Kolmogoroff// Fund. Math. 1923. -V.4. — P. 324−328.

29. Newman D.J. The nonexistence of projections from U to H1 / D.J. Newman //Proc. Amer. Math. Soc. 1961. -V. 12. — P. 98−99.

30. Pommerenke Ch. Schlichte Functionen und analytische Functionen von beschrankter mittlerer Oszillation / Ch. Pommerenke // Comment. Math. Helvetici. 1977. — V. 52. — P. 591−602.

31. Pommerenke Ch. On univalent functions, Bloch functions and VMOA / Ch. Pommerenke // Math. An. 1978. — V. 236. — P. 199−208.

32. Privaloff I.I. Sur les fonctions conjuguees / I.I. Privaloff. Bull. Soc. Math. France. — 1916. -V. 44. — P. 100−103.

33. Riesz M. Sur les fonctions conjuguees / M. Riesz // Math. Zeit. 1927. — V. 27.-P. 218−244.

34. Seip K. Interpolation and sampling in spaces of analytic functions / K. Seip // Amer. Math. Soc., Univ. lecture series. 2004. — V.33. — 132 P.