Асимптотические разложения и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве

Широкий спектр приложений, где используются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, способствует увеличению интереса к изучению абстрактных функцио-нальнр-дифференциальных уравнений.

Число разнообразных прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в наследственной механике, физике, биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках.

Наибольшее применение нашла эта теория в современной технике, где имеются колебательные процессы в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе, например, может существенно сказаться на ходе процесса. Могут возникнуть самовозбуждающиеся колебания и даже неустойчивость системы.

Основы теории операторно-дифференциальных уравнений были заложены в конце 40-х, начале 50-х годов в работах Э. Хилле и Р. Филлипса [42], К. Иосиды [23], Т. Като [25]. Хилле и Иосида получили первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения х' = Ах с неограниченным оператором, А в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. В работе Като была получена теорема существования решения задачи Коши для уравнения х' = А (Т)х с переменным неограниченным оператором А (Ч).

В последующие 15 лет эта теория превратилась в большую самостоятельную область исследования. Ей посвящены целый ряд монографий отечественных и зарубежных математиков, занимающихся данными вопросами. Назовем здесь Э. Пинни [39], Р. Беллмана, К. Кука [17], Дж. Хейл [41], А. Д. Мышкис [36] и др. 2.

Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргументом в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А. Д. Мышкис [36,37], а с 50-х годов А. Э. Эльсгольц [43], Н. Н. Красовский [30], С. Б. Норкин [38]. Ими изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящены работы Ю. Л. Далецкого, М. Г. Крейна [21], С. Г. Крейна [31]. «Одной из движущих сил при исследовании дифференциальных уравнений в банаховых пространствах является теория уравнений с частными производными, дающая наиболее естественные примеры уравнений с неограниченными операторами» [31].

Позже исследование в этом направлении продолжили такие математики, как В. Б. Колмановский [26], В. Г. Курбатов [32], Г. А. Каменский, А.Л. Скуба-чевский [24] и т. д.

С 60-х годов теорию уравнений с отклоняющимся аргументом успешно начала развивать группа математиков под руководством Н. В. Азбелева [1].

Одной из важных проблем при изучении дифференциальных уравнений и их приложений является проблема описания характера поведений решений при больших значениях независимой переменной и по отношению к возмущениям начальных данных.

Из работ, посвященных асимптотическому поведению решений в случае скалярного уравнения, укажем на монографию Р. Беллмана, К. Кука [17], в которой установлена связь между распределением корней характеристического квазиполинома и поведением решения при больших I для случая уравнения с запаздывающим аргументом а0и'(Т) + Ь0иО:) + ^(Ч — со) = 0, I € (-со,+со), где, а о, Ь0, — действительные числа и со > 0.

Вопросы асимптотического поведения решений в случае операторного уравнения 3.

— Аи (0 = О, I е (-00,4−00), где Ц = - —, А — некоторый постоянный оператор^ рассмотрены в работе 1 сИ.

Ш. Агмона и Л. Ниренберга [44]. В этой статье выведены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста при условии, что спектр оператора, А состоит из собственных значений, расположенных (за исключением разве лишь конечного числа) в некотором двойном угле меньшем п, содержащем мнимую ось. <

Эти результаты были распространены А. Пази [51] на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые.

Для решений параболических и эллиптических краевых задач в цилиндре подобные асимптотические формулы были получены В. А. Кондратьевым [28,29].

Для уравнения.

Б{и (0-А (1)и (1) = 0, I е (-оо,-ко),.

1 <�н в случае, когда переменный оператор А (1-) стремится при 1 -" оо в некотором слабом смысле к постоянному оператору, А были получены асимптотические формулы М. А. Евграфовым. Им же получены условия устойчивости по Ляпунову и различные их обобщения в случае уравнения с постоянными и переменными операторными коэффициентами [22]. Вопросы устойчивости уравнения Бги (0-А (0и (0 = 0, 1е (-оо,+оо), в случае, когда 1А (1) является производящим оператором полугруппы или ограниченным оператором рассмотрены в работах Ю. Л. Далецкого, М. Г. Крейна [21] и С. Г. Крейна [31].

Дифференциальному уравнению произвольного порядка вида 4 адЬ^зОХО + ^А^ДОгиСО^О, I е (-со,-ко), ] = 0,., п.

Н> У* с неограниченными операторными коэффициентами, ] = 0,., п -1 в гильбертовом пространстве посвящены совместные работы В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневский [33], Б. А. Пламеневский [40]. Они обобщили асимптотическую формулу Агмона-Ниренберга на случай операторов с переменными коэффициентами и распространили теорему Евграфова на уравнения произвольного порядка.

В последние годы вопросы устойчивости решений скалярных уравнений с т запаздыванием вида х'(0 = ах (1-) —^Ькх (Ч — гк (1-)), I > О, к=1 где а, Ьк-вещественные числа, причем Ьк>0, гк — измеримые, неотрицательные, ограниченные функции рассматривались в работах В. В. Малыгиной [34].

Вопросами разрешимости и изучением свойств решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах занимается В. В. Власов [19,20].

Операторно-дифференциальное уравнение первого порядка с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве т.

1е (-оо,+оо), (0.0.1) о в пространствах с экспоненциальным весом изучено Р. Г. Алиевым [1−4]. Получены асимптотические разложения решений этого уравнения. В этих же пространствах изучено уравнение первого порядка с линейным отклонением аргумента вида т.

О^О-ХА^Ма^ВД.

И0.

5 ' и получены асимптотические разложения решений этого уравнения. В работе [7] рассматриваются частные случаи уравнения (0.0.1): т И т 3=0.

Получены условия, при которых решения этих уравнений являются ограниченными и устойчивыми. '.

Глубокое исследование таких уравнений стало возможным, благодаря успешному применению к ним методов функционального анализа, метода преобразования Фурье и методов, подсказанных спецификой уравнений с отклоняющимся аргументом, впервые примененных в этих работах.

Целью настоящей диссертации является получение асимптотических разложений решений и исследование на устойчивость решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка.

1 ш.

Ьрои (0 = - X + Ач (1)]8ьч+ьч (4)^и (1:) = ОД к=о з=о с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Аналогичные вопросы рассмотрены для случая уравнения с линейным отклонением аргумента.

В основу получения результатов были положены методы, разработанные Р. Г. Алиевым, методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории устойчивости, теории линейных операторов, а также метод преобразования Фурье.

В диссертационной работе доказаны теоремы об асимтотическом разложении решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве и уравнения с линейным отклонением аргумента, получены ус6 ловия, при которых решения исследуемых уравнений являются ограниченными и устойчивыми.

Приведем необходимые определения, обозначения, формулировки результатов, используемые в диссертации.

X, У — гильбертовы пространства, X <= У, |||х >|||у.

Z (X, У) — множество линейных ограниченных операторов из X в У.

Z0 (X, У) — множество линейных замкнутых операторов из X в У.

Ъ^ (X, У) — множество линейных вполне непрерывных операторов из X в У.

С — плоскость комплексного переменного.

С°° (О)-множество бесконечно-дифференцируемых на открытом множестве О функций.

Носителем определенной и непрерывной на открытом множестве О е И. функции и (0 называется множество^: и (1) Ф о}п в.

Функция и (1:) еХ называется сильно непрерывной в точке если ||и (1)-и (10)||х при.

Ь2 СС^о оо), У) — пополнение множества сильно-непрерывных функций с.

00 компактными носителями и со значениями в У по норме = |р" (Х)||ус11-. о.

10,+®).

Введем пространства:

Х2'^ -пополнение множества функций и^), и (1:) = 0,1:<1:0, с компакточными носителями и со значениями в X, имеющие сильно непрерывные вторые производные в У по норме 7.

11 = ехр (2о1)([и (1)| +||и'(0||2х +||и" 0)||2у)(11 а = сош! е К.

У0-" -пополнение множества я}? сильно непрерывных функций и (1:), и (1:) = 0,1:<1:0, с компактными носителями и со значениями в У по норме ехр (2с*)(||и (0||^.

Щмножество абсолютно-непрерывных в 1сЯ скалярных функций 11(1-), причем в точках существования производной < г < 1, I е X 811(0и (1) = и (1 -11(1)). й (Я) = (и (I)) — преобразование Фурье функции и (1:).

Под решением уравнения Ьрои (1-) = ^^ понимается функция и (1-), имеющая сильную абсолютно-непрерывную производную в У и удовлетворяющая уравнению почти всюду.

Рассматривается основная начальная задача для уравнения.

1 т.

Ь0и (г)зО?и = Б* = (0.0.2) k=0j=0 {01 и (к)(0 = Е (к)(0, к = 0,1, ц<�а0, (0.0.3) где (I) — заданные функции. Предполагается, что и^(1:0 + 0) = g (-k)(1:0). Решение задачи (0.0.2), (0.0.3) обозначим через 1^(^(1:), где Е (0 = (81(0,В2(0).

Решение и^ (0 задачи (0.0.2), (0.0.3) назовем устойчивым, если для любого 8 > 0 существует ¿-^(«Мо) > 0 такое, что из неравенства.

— к = 0,1, для любой другой начальной функх ции (р{х) = (срх 0), (р2 (I)), следует неравенство и §({) (I) — и (I).

Тривиальное решение и (Ч) = 0 соответствующей однородной задачи (0.0.2), (0.0.3) называется устойчивым, если для любого б >0 существует с5″ 10) > 0 такое, что неравенство и^^) <? будет выполнено при всех.

1>1−0, если только (Щ <�д к = 0,1, при ^^.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение:

Лемма, А (лемма 2.1 [6]). Если, А е (У, У) п Ъ^ (X, У), то для любого е > 0 существует Хк (?) > чт0 имеет место неравенство.

Аи||у < ?||и|[х + Ха для ЛК>бого и е X <= У.

ХА (?") называется характеристической функцией оператора А.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА.

Преобразование Фурье [23] функции f еЬ (Я, Н), где Нгильбертово пространство, определяется как (Я) = Li. nL ~т== [ехр (-ШЖ1)(Й,.

ТЧГ^гг,. Г) тг Л n N.

Под 1л.ш. понимается предел по Ь (Я, Н) — норме. Преобразование Фурье для всякой функции f еЬ (К, Н) определяется формулой.

1 00 [ехр (-Ш)^)<�к. л/2л- -1.

— 00.

Теорема Планшереля [23]. Если f е Ь (Я, Н), то функция.

1 N.

1) = ii.ni. ,—- ехр (-Ш)^)с!1 существует и? еЬ2(11,Н). При.

N->"^/2 п *т этом n.

— оо —со ^ —N.

Из этой теоремы следует, что если ЗтЛ = а ^ 0, то.

2 00.

Л)|| <�Ц= {ехр (2аО||ВД||*<�к.

ЗтЛ=а.

Теорема Пели-Винера [23]. Целая голоморфная функция является преобразованием Фурье со л/2~п ии функции Г е Сд (К), носитель которой содержится в отрезке ^ < а пространства Я тогда и только тогда, когда для любого целого N существует положительная постоянная Ск такая, что (1 +1/1|)-14 ехр (а|1тЯ|). ' н.

Лемма Римана Лебега [17]. Если е 1^(11,11), то.

Нт ш^и^сН- = Ит щОсозр!^ =0 г"—^оп * п—^оп «р—>00 «р->00 -00 —00.

Приведем некоторые сведения из теории операторов [31], используемые в диссертации. Пусть X, Унормированные пространства.

Оператор А: X —" У называется замкнутым, если из хп —> х, хп е X, Ахп —" у при п —со следует, что х е X, Ах = у.

Оператор А: X —"У называется ограниченным, если для любого иеХ выполнено неравенство? Аи|х < с (|и||у. Наименьшее значение константы с называется нормой оператора, А и обозначается через ||А||Х. Ограниченный оператор непрерывен.

Непрерывный линейный оператор, определенный на всем пространстве X, ограничен.

Замкнутый оператор, определенный во всем пространстве, ограничен.

Если оператор, А замкнут и имеет обратный А-1, то А-1 — замкнут.

Если, А — замкнутый оператор, то А+В, где Вограниченный на области определения оператора, А оператор, также замкнутый оператор.

Если оператор, А имеет ограниченный обратный, то, А — замкнут.

Вместе с оператором, А замкнут или незамкнут оператор (А — ЛЕ) (с областью определения D (A)), поэтому, если существует ограниченный обратный оператор (А — ЛЕ)" 1, то оператор, А замкнут.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченное в X множество в компактное множество в Y.

Ограниченный линейный оператор A (t) называется сильно непрерывным, если ||A (t + h) — A (t)|| Y -" 0 при h -> 0.

Оператор-функция R (/l) называется регулярной функцией AeGcC, если в окрестности каждой точки Л0 е G имеет место разложение в сходящийся по равномерной норме степенной ряд оо.

R (A) = ?Bk (A — А0) к, где Вк — ограниченные операторы. к=0.

Если в каждой ограниченной части плоскости R (A) регулярна за исключением, быть может, конечного числа полюсов, то R (/l) называется мероморфной функцией.

Функция, регулярная во всей комплексной плоскости, называется целой функцией.

Целая аналитическая функция f (z), удовлетворяющая неравенству blzl f (z) < се 1 1, где b — const, называется функцией экспоненциального типа.

Теорема Коши [35]. Если i{z) аналитична в некоторой полосе, а < 1тЛ < Ь, причем f (г) равномерно стремится к нулю при |?| -> оо в этой полосе, то контур интегрирования можно произвольно деформировать в этой полосе.

В частности, все контуры 1тг=с эквивалентны между собой, то есть интеграл не зависит от с при, а < с < Ъ.

1пк=с.

Формула Коши Г35]. Пусть ^(г) регулярная функция внутри ограниченной области Б, непрерывная в замкнутой области Б = Б и Г. Тогда функция f (:ъ) имеет производные всех порядков всюду в области Б, которые выражаются п! г ?(?•)(!?• 2 т1(6-х)п+х п = 1,2.).

Основная теорема теории вычетов [35]. Пусть Г (г) является аналитической функцией всюду в замкнутой области в за исключением конечного числа изолированных особых точек — полюсов гк, к = 1,.п, лежащих внутри в. Тогда п.

Ю к=1.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Объектом исследования диссертации является функционально-дифференциальное уравнение второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.

1 т,. к=0 ]=0.

0.0.4).

Коэффициенты Akj, Akj (t): Y —> Y — замкнутые неограниченные операторы, hkj +hkj (t)>0, hkj (t) e HR, hkj (t) < r < 1, j = 0, l,., m, k = 0, l, t>t0. Пусть X такое подпространство Y, что Akj, Akj (t): XY — ограниченные операторы. Предполагается выполненным для норм в этих пространствах неравенство.

Их — Ну'.

Рассматриваются вопросы получения асимптотических разложений решений уравнения (0.0.4), а также вопросы ограниченности и устойчивости его решений.

Отдельно рассматривается случай уравнения с линейным отклонением аргумента.

1 m.

Lu (t) — D? u (t) — X? MWM = f (t), k=0 j=o где Ak0 (t) = Ak0 = const, ak0 = 1, k = 0,1, 0 < akj < 1, j = 1, m, |Akj (t)u (t) и также получены асимптотические разложения решений этого уравнения. Рассмотрены частные случаи уравнения (0.0.4): уравнение с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

1 m.

Lpu (t)SD?u (t)-X XAkjShkjDN (t) = f (t), (0.0.5.) k=0 j=0 уравнение с переменными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

1 m.

L0u (t)^D2u (t)-2] ZAkj (^j (t)Dt^t) = f (t) — (0−0.6.) k=0 j=0.

В класс таких уравнений входят уравнения с частными производными с отклоняющимся аргументом и бесконечные системы уравнений. к exp {-at}||u (t)||x, а = const, к = 0,1, j = 0, m.

13 .

Чтобы рассматриваемые уравнения содержали в себе дифференциальные уравнения без отклонения аргумента, полагаем также, что Ик0 (1) = Ик0 = 0, к=0,1.

Для любых фиксированных значений Л е Я, Л е С определим оператор

1 т.

Кро (Я, 1)^(Я2ЕХЕ^ + АкзаЖкехрНЯ (Ьк] +Икз (0)})" 1, (0.0.7) к=оз=о называемый резольвентой оператора.

1 ш.

Ьро = о? — Е 2>ч + Акз (0]8Ьк.+Ьк.(0в*. к=о.

Для операторов.

1 т к=0 3=0 1 т к=0 3=0 частными случаями резольвенты оператора (0.0.7) будут.

1 т цл) = (Л2Е-ХЕ4/ ехр тх,' к=0 >0.

1 ш.

Я0(Л, I) — (Я2Е —? ]Г Ак](1)Лк ехр{-Шк]О)})" 1. к=оз=о.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Сформулируем основные результаты первой главы.

1. Азбелев Н. В. и др.

Введение

в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. — М.: Наука, 1991.

2. Алиев Р. Г. Асимптотические разложения решений уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховом пространстве. // Математические заметки.-1973.-Т.13.-№ 6.-С. 829−838.

3. Алиев Р. Г. Об асимптотическом разложении решений начальной задачи в банаховом пространстве. // Математические заметки.-1974. Т. 16. № 5.-С. 725−730.

4. Алиев Р. Г. Об асимптотическом поведении решений уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве. // Дифференциальные уравнения. -1981. Т. 17. № З.-С. 558−562.

5. Алиев Р. Г. Существование, единственность и асимптотическое поведение решений уравнения с линейным отклонением аргумента в гильбертовом пространстве. // Известия вузов. Математика. -1981.-12 (235).- С. 4−7.

6. Алиев Р. Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами: Учеб. пособие,-Махачкала: 1982.

7. Алиев Р. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве: Учебн. пособие.-Махачкала: 1984.

8. Алиева Л. М. Асимптотическое поведение решений функционально-дифференциального уравнения п-го порядка в гильбертовом пространстве. Тезисы докладов Четвертой Северо-Кавказской региональной конференции.-Махачкала: 1997.-С.12−13.

9. Алиева Л. М. Об устойчивости решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Вестник ДГУ. Естественные науки, — Махачкала: ИПЦ ДГУ, 1998.85вып. 1.-С. 109-И 4.

10. Алиева Л. М. Асимптотическое поведение решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. // Вестник ДГУ. Естественные науки. Махачкала: ИПЦ ДГУ, 1999.-вып. 1.-С.36−41. ,.

11. Алиева Л. М. Об устойчивости решения дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Метод функций Ляпунова и его приложения. Тез.докл. Пятой Крымской Международной математической школы.- Алушта, 2000. С.25−26.

12. Асила М. К вопросу о разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка. -Тезисы докладов XII республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Дагестана. Махачкала: ДГУ им. Ленина, 1988.-С.290.

13. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.-М: Изд. иностранной литературы, 1954.

14. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. -М.: «Мир», 1967.

15. Валеев К. Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от параметра. // Сиб. матем.журнал.-1964.-Т.5. № 2.-С. 290−309.

16. Власов В. В. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. // УМН. -1994.-Т.49.-№ 3. С.175−176.

17. Власов В. В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве. //Изв.вузов. Математика.- 1993. № 5. С.24−35.

18. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1970.

19. Евграфов М. А. Структура решений экспоненциального роста для некоторых операторных уравнений. //Тр.' матем. ин-та им. В. А. Стеклова, -1961.-№ 10.-С. 145−180.

20. Иосида К. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1967.

21. Каменский Г. А., Скубачевский А. Л. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд-во МАИ, 1992.

22. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир, 1972.

23. Колмановский В. Б., Носов В. П. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

24. Колмогоров А. Н., Фомин С. З. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 1981.

25. Кондратьев В. А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях. //Труды Моек, матем. общества.- 1966. № 15.

26. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. //Труды Моск. матем. общества.-1967.-№ 16.87.

27. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М.: Гостехиздат, 1959.

28. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

29. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990.

30. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.// Изв. АН СССР. Сер.матем.- 1972.-Т. 36 .-№ 5.

31. Малыгина В. В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием.// Изв.вузов. Математика.-1993. № 5.

32. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций.- М.-.1968. Т.1- 2.

33. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1972.

34. Мышкис А. Д. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.// УМН. -1977.-Т.ХХХН.- Вып.2(193) С.173−202.

35. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1965.

36. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения.- М.: ИЛ, 1961.

37. Пламеневский Б .А. О существовании и асимптотике решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространтсве. // Изв. АН СССР. Сер.матем.-1972. T.36.-№ 6.

38. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1984.

39. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. ИЛ, 1962.

40. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

41. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equa tiosin Banach Spase. Comrn on Pure and Appl.Math.-1963 .-vol. 16.-P, 121 239.

42. Kato T. On linear differential equations in Banach Spaces. Comm on Pure and Appl.Math.-1956.-vol.9.-P.479−486. ,.

43. Kato Т., Vcleod J. The functional-differential equationy'(x) = ay (x) + ву (Ях) -Bull. Amer.Math. Soc.- 1971.-yo1.77.-#6. -P.891−937.

44. Mahler K. On a special functional equation.- J. London Math.Soc.-1940.-vol.15.-#58.-P.l 15−123.

45. Mclead J.B. The functional-differential equation y'(x) = ay (Ax) + ey (x) and generalizations.-Lect.Notes.Math.- 1972.-280.-P.308−313.

46. Ockendon J.B., Tauler A.B. The dynamics of current collection system for and electric licomotive. Proc.Poj.Soc London.- 1971. A322. #1551,-P.447−468.

47. Pandolfi L. Some observations on the asymptotic bevavior of the solutions of the equations x'(t) = A (t)x (Xt) + B (t)x (t), Л> 0. -J.Math.Anal.and Appl.-1979.-vol.67.-P.483−489.

48. Pasy A. Asymptotic expansions of the solutions of ordinary differential equa tion in Hilbert Spase. Arch.Rat.Mech. and Amal.-1967. vol.24.3.-P.193−218.