Несимплектические обобщения и вариационные принципы гамильтоновой механики
Полностью инвариантная формулировка вариационного принципа в гамильтоновой механике может применяться для всех симплектических гамильтоновых систем (что было ранее невозможно). Эта формулировка вариационного принципа справедлива даже в случае неточных симплектических форм (на языке алгебраической топологии это означает, что симплектическая форма реализует ненулевой класс двумерных когомологий… Читать ещё >
Содержание
- 1. Вариационные принципы в гамильтоновой механике
- 1. 1. Вариационные принципы
- 1. 2. Проблема ковариантной формулировки вариационного принципа
- 1. 3. Случай «неправильных» граничных условий
- 1. 4. Вариационные принципы и квантовая механика
- 1. 5. Проблема граничных условий
- 2. Инвариантный вариационный принцип в гамильтоновой механике
- 2. 1. Нетривиальные фазовые пространства
- 2. 2. Случай точной симплектической формы
- 2. 3. Инвариантный вариационный принцип
- 2. 4. Примеры и обсуждения
- 3. Несимплектические обобщения гамильтоновой механики
- 3. 1. Гамильтопова механика и «нелагранжевы» системы
- 3. 2. Особенности обобщенной гамильтоновой механики
- 3. 3. Модели
- 3. 4. Обсуждение
- 4. Многообразия Федосова и магнитный монополь
- 4. 1. Многообразия Федосова
- 4. 2. Магнитный монополь
Несимплектические обобщения и вариационные принципы гамильтоновой механики (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
1. Постановка проблемы и её актуальность. Диссертация посвящена изучению основ гамильтоновой механики и ее обобщений. Гамильтонова механика сыграла важнейшую роль при построении квантовой механики, но важно еще и то, что она допускает нетривиальные обобщения. В частности, в диссертации найдено обобщение гамильтоновой механики, позволяющее включить в формализм так называемые «пелагранжевы» системы, долгое время остававшиеся за рамками возможностей стандартной механики. Еще в 1896 году Пуанкаре изучал подобные уравнения — это уравнения движения заряженной частицы в поле магнитного монополя [1]. Данное направление исследований актуально, поскольку развитие физики привело к необходимости выявления наиболее общих законов механики, что важно для изучения физики на планковских расстояниях [2, 3, 4, 5]. О фундаментальном характере гамильтоновой механики, ее важности в поиске наиболее общих законов природы свидетельствует и тот факт, что именно с модификацией механики связаны попытки решения проблемы темной материи. Довольно давно было предложено обобщить второй закон Ньютона для малых ускорений (а <С Ю-8 см/с2), известный как MOND (modified Newtonian dynamics) [6, 7, 8]. Несмотря на нерелятивистскую формулировку, модель объясняет некоторые нетривиальные особенности излучения галактик [9]. Имеется обобщение, связанное с релятивизацией MOND (теория TeVeS [9, 10]).
При аксиоматическом формулировании гамильтоновой механики необходимо знание теории симплектических многообразий. Тот факт, что содержательная геометрия может базироваться и на антисимметричном тензоре, был осознан только в середине XX в [11, 12, 13]. Пространства, которые помимо 2-формы оснащены связностью, называются пространствами Федосова [14, 15]. Они играют особую роль при деформационном и геометрическом квантовании [16, 17, 18, 19].
Оказывается, что даже отказ от симплектичности многообразия (фазового пространства) ведет к физически содержательным теориям. Например, это позволяет описать диссипативные системы в рамках общей идеологии гамильтоновой механики [20, 21, 22]. Применительно к гравитационному полю это ведет к появлению космологического члена А, что открывает новые возможности в решении проблемы темной энергии [2, 23]. Обращение к физике на планковских расстояниях проясняет природу амплитуд вероятности (квантовая механика) [2]. В диссертации рассмотрены и другие несимплектические обобщения гамильтоновой механики.
Различные варианты гамильтоновой механики могут получаться друг из друга с помощью деформации скобок Пуассона, т. е. модификацией симплектической формы. Вопрос изучен достаточно плохо, поэтому приходится рассматривать лишь простейшие примеры. В работе [24] на примере двух гармонических осцилляторов был рассмотрен случай собственных модификаций гамильтоновой механики, т. е. модификаций с различными симплектическими структурами и гамильтонианами, но с неизменными уравнениями движения. Наиболее известные примеры — несобственные деформации, такие, как переход к д-осцилляторам [25] (в [26] имеются и другие примеры подобных деформаций).
Поэтому не удивителен тот факт, что вариационный принцип в гамильтоновой механике также подвергся пересмотру. Стандартный вариационный принцип не удовлетворителен с геометрической точки зрения, так как не обладает свойством ковариантности. Изначально геометрическая (ковариантная) формулировка гамильтоновой механики предполагает существование инвариантного действия с заданной симплектической матрицей. В литературе не описан общий случай вариационного принципа для нетривиальной симплектической формы (проблема ковариантной формулировки обсуждается в [24, 27], но при этом игнорируется проблема граничных условийсм. также [21], где в качестве фазового пространства берётся кэлерово многообразие). Между тем данная проблема достаточно важна. Например, системы с гироскопическими силами не могут быть описаны обычным способом как гамильтоновы системы с точными симплектическими формами (т.е. глобально не существует 1-форма 7 такая, что симплектическая форма ш = 7). Проблему можно решить переходом к некоторой нетривиальной симплектической структуре [28, 29]. .
.До сих пор свойства этих обобщений и их взаимные связи были очень плохо изучены. Некоторые из перечисленных проблем решены в диссертации. Найдено несколько несимплектических обобщений гамильтоновой механики [30], которые включают в рассмотрение такие системы, как заряженная частица в поле магнитного монополя, движение твердого тела в идеальной, несжимаемой, покоящейся на бесконечности жидкости (уравнение Кирхгофа) и др. Уравнение заряженной частицы в поле магнитного монополя было получено несколькими способами: за счет выбора 2-формы и за счет модификации фазового пространства с введением в теорию нефизических переменных, т. е. в теорию со связями.
Рассмотрены простейшие случаи переноса информации из симплектической формы в гамильтониан и наоборот (при тех же уравнениях движения) [30]. Иногда при таком переносе может получиться весьма необычная механика (с несохраняющейся энергией!), хотя в исходной теории энергия сохраняется. Как выяснилось, возможны модификации 2-формы с неизменным гамильтонианом, которые оставят уравнения движения также неизменными.
Построено обобщение пространств Федосова на случай не замкнутых 2-форм (несимплектические многообразия) [31]. С помощью построенной конструкции изучено фазовое пространство системы «заряженная частица в поле магнитного монополя» .
Сформулировано четыре варианта ковариантного вариационного принципа [32, 33]. Решена проблема граничных условий. Отмечена разница между вариационными принципами в лагранжевом и гамильтоновом формализмах. Построен вариационный принцип в случае неточных симплектических форм (нетривиальные фазовые пространства) [34].
В диссертации не затрагиваются обобщения, связанные с механикой Остроградского (теории с высшими производными) [35], механикой Намбу (теории с несколькими гамильтонианами) [36], теориями не на многообразиях [37].
2. Основной целью работы является изучение различных обобщений гамильтоновой механики: исследование свойств различных деформаций скобок Пуассонанахождение новых обобщений, которые позволяют включать в рассмотрение так называемые «нелагранжевы» системыпостроение обобщенной конструкции Федосова на случай несимплектических многообразийизучение системы «заряженная частица в поле магнитного монополя» (включая обобщение конструкции.
Федосова) — решение проблемы формулирования ковариантного вариационного принципапостроение вариационного принципа в случае неточных симплектических форм.
3. Научная новизна. В диссертации впервые решены проблема ковариантного формулирования вариационного принципа и проблема граничных условий в гамильтоновой механике [32, 33]. Их решение полностью согласуется с квантовой механикой. Отмечается принципиальное различие между вариационными принципами в лагранжевой и гамильтоновой механиках. Сформулированы четыре варианта ковариантного вариационного принципа, в том числе с использованием комплексных канонических переменных [32, 33].
В диссертации впервые построен инвариантный вариационный принцип в общем случае, т. е. с включением неточной симплектической формы (нетривиальное фазовое пространство) [34]. С геометрической точки зрения действие задается на двумерной поверхности в «сверхрасширенном» фазовом пространстве (фазовое пространство дополняется двумя координатами: ось времени и ось «энергии»). Построено инвариантное действие без использования внешних дифференциальных форм в явном виде [34].
Далее найдено несимплектическое обобщение гамильтоновой механики, которое позволяет включить в рассмотрение «нелагранжевы» системы [30]. Некоторые «нелагранжевы» уравнения получены в рамках гамильтоновой механики со связями (модификация фазового пространства) и стандартной симплектической структурой. При этом существует две модели: в одной гамильтониан с учетом связей равен нулю, а во второй отличен от нуля.
Рассмотрены ыростейшие случаи переноса информации из симплектической структуры в гамильтониан и наоборот (при тех же уравнениях движения). В одном из примеров получена весьма необычная механика (с несохраняющсйся энергией), но с неизменными уравнениями движения (в исходной теории энергия сохраняется) [30]. Собственные модификации гамильтоновой механики, т. е. дающие одни и те же уравнения движения, ранее были рассмотрены в работе [24] на примере двух осцилляторов.
Строится обобщение многообразия Федосова на случай незамкнутых 2-форм (несимплектические многообразия) [31]. С помощью построенной конструкции изучается структура фазового пространства системы «заряженная частица в поле магнитного монополя» .
4. Практическая значимость работы. Поскольку диссертация касается основ физики, фундаментальных законов движения, то ее практическая значимость представляется очевидной. Результаты, касающиеся ковариантного вариационного принципа в гамильтоновой механике, позволяют избежать недоразумений и возможных ошибок при рассмотрении вариационных задач механики в целом [32, 33].
Полностью инвариантная формулировка вариационного принципа в гамильтоновой механике может применяться для всех симплектических гамильтоновых систем (что было ранее невозможно) [34]. Эта формулировка вариационного принципа справедлива даже в случае неточных симплектических форм (на языке алгебраической топологии это означает, что симплектическая форма реализует ненулевой класс двумерных когомологий де Рама [38]). Таким образом, данный принцип может оказаться полезным и в теории динамических систем [39, 40, 41], и в симплектической топологии [42]. Например, фазовое пространство систем типа Кирхгофа после редукции имеет структуру кокасательного расслоения сферы [29], т. е. структуру пространства с нетривиальной топологией. К системам типа Кирхгофа относятся уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой в осесимметричном силовом поле, уравнение Леггетта для магнитного момента в низкотемпературных фазах 3Не (ядерный магнитный резонанс) и др. [29]. Помимо систем Кирхгофа, фазовое пространство с нетривиальной топологией может появиться в калибровочных теориях, например, уже в простейших случаях фазовое пространство имеет структуру конуса [26, 43].
Можно надеяться на прогресс в понимании собственных и несобственных модификаций гамильтоновых механических систем с учетом полученных в работе [30] моделей. Построенные обобщения гамильтоновой механики [30] позволяют изучать различные «нелагранжевы» системы, долгое время остававшиеся за рамками общей теории. Кроме того, некоторые системы со связями могут быть сведены к «нелагранжевым» системам [30], что имеет существенное значение в калибровочных теориях [26, 44].
С помощью построенной обобщенной конструкции Федосова становится возможным квантование «нелагранжевых» систем в рамках деформационного квантования [45]. •.
5. Краткое содержание диссертации. Предметом первой главы является ковариантный вариационный принцип в гамильтоновой механике. Выясняется, что в гамильтоновой механике к вариационному принципу следует относится с учетом её специфики. Во-первых, как к утверждению о свойстве уравнений движения: если (?), — решения уравнений движения, то действие будет минимально на решениях уравнений движения. Во-вторых, как к средству для получения уравнений движения. В лагранжевой механике эти два аспекта эквивалентны. В гамильтоновой механике первое условие остается неизменным, а второе требует выполнения дополнительных условий, т.к. сталкивается с проблемой граничных условий, а именно, требуется зафиксировать в два раза больше числа возможных независимых граничных условий. Более детальный анализ был получен с помощью квантовой механикив результате сформулировано четыре варианта ковариантного вариационного принципа. .
.В Главе 2 строится инвариантный вариационный принцип, который справедлив глобально даже в случае неточных симплектических форм (фазовое пространство с нетривиальной топологией). Действие рассматривается в расширенном фазовом пространстве с добавленной к нему осью «энергии». Данный вариационный принцип сильно отличается от стандартного тем, что варьируется некоторая двумерная поверхность в «сверхрасширенном» фазовом пространстве, а уравнения получаются для границ поверхности. Далее строится функционал действия, явно не использующий внешние формы («полностью динамическая версия»). В качестве примера рассмотрены некоторые механические системы с нетривиальной топологией.
Глава 3 посвящена различным несимплектическим обобщениям гамильтоновой механики. Сформулированы главные особенности несимплектической гамильтоновой механики: невыполнение тождества Якобинеприменимость теоремы Дарбугамильтонов фазовый поток не сохраняет инвариантов Пуанкаре, кроме фазового объема (теорема Лиувилля) — для таких теорий неизвестен вариационный принцип. Далее рассмотрен ряд простейших примеров нестандартных гамильтоновых механик: магнитный монополь, твердое тело с закрепленной точкой, твердое тело в идеальной, покоящейся на бесконечности жидкости (уравнения Кирхгофа), теория на алгебраическом многообразии и др.
Выявлено, что модификация гамильтоновой механики за счет выбора 2-формы (которая позволяет получить «нелагранжевы» уравнения движения) в некоторых случаях может быть рассмотрена в рамках стандартной гамильтоновой механики, но с модифицированным фазовым пространством, а именно, с введением в теории нефизических переменных, т. е. в теорию со связями. При этом существует две модели: в одной гамильтониан с учетом связей равен нулю, а во второй не равен пулю.
Показано, что модификация 2-формы допускает теорию с неограниченным снизу, явно зависящим от времени гамильтонианом. Соответствующая теория включает в себя такие уравнения, как уравнения Эйлера и Кирхгофа.
Рассмотрены простейшие случаи переноса информации из симплектической структуры в гамильтониан и наоборот (собственные модификации гамильтоновой механики). В одном из таких переносов была получена весьма необычная механика — с несохраняющейся энергией, хотя в исходной теории энергия сохраняется.
В Главе 4 строится обобщение конструкции Федосова на случай несимплектических многообразий. Согласованность незамкнутой 2-формы со связностью накладывает ограничение на последнюю, а именно, связности не могут быть симметричными. В стандартной конструкции Федосова рассматриваются симметричные связности. В результате все обобщенные многообразия Федосова имеют ненулевой тензор кручения. Далее изучаются свойства тензора кривизны. Доказано, что для любого многообразия Федосова скалярная кривизна равна нулю. Затем с помощью построенной конструкции изучается структура фазового пространства такой системы, как заряженная частица в поле магнитного монополя. Имеются две моделисобственные модификации гамильтоновой механики. У первой модели, в отличие от второй, имеются ненулевые элементы тензора Риччи. Для второй модели найдены все 54 ненулевых элемента тензора кривизны.
В заключение кратко сформулируем основные результаты и выводы диссертации:
1) Сформулировано четыре варианта ковариантного вариационного принципа в гамильтоновой механике. Выяснено, чаю в гамильтоновой механике к вариационному принципу следует относиться с учетом ее специфики: во-первых, как к утверждению о свойстве уравнений движения (действие принимает минимум на решениях уравнений движения) — во-вторых, как к средству для получения уравнений движений. Решена проблема граничных условий.
2) Построен инвариантный вариационный принцип в гамильтоновой механике, справедливый (глобально!) в случае любых симплектических форм (даже неточных форм). Представлено две формулировки вариационного принципа: с использованием внешних дифференциальных форм в «сверхрасширенном» фазовом пространстве и без использования внешних форм («полностью динамическая версия»).
3) Найдено несимплектическое обобщение гамильтоновой механики (за счет выбора 2-формы), которое позволяет рассматривать «нелагранжевы» системы. Представлен анализ данного обобщения. Рассмотрено несколько характерных примеров.
4) Получены уравнения движения заряженной частицы в поле магнитного монополя не только за счет выбора 2-формы, но и в рамках стандартной гамильтоновой механики с модифицированным фазовым пространством за счет введения в теорию нефизических переменных, т. е. в теории со связями. Представлено две модели: в одной гамильтониан с учетом связей равен нулю, а во второй не равен нулю.
5) Рассмотрены простейшие случаи переноса информации из 2-формы в гамильтониан и наоборот (при тех же уравнениях движения). Одна из рассмотренных моделей при таком переносе демонстрирует весьма необычную механику (с несохраняющейся энергией!), хотя в исходной теории энергия сохраняется.
6) Построено обобщение многообразий Федосова на случай незамкнутых 2-форм (несимплектические многообразия), когда связности, согласованные с соответствующей 2-формой, не могут быть симметричнымив таких теориях фазовые пространства оснащены ненулевым тензором кручения. Найдено две симметрии тензора кривизны по двум первым и последним нижним значкам. Доказано, что скалярная кривизна, как и у стандартных многообразий Федосова, равна нулю.
7) На языке обобщенных многообразий Федосова изучена структура фазового пространства системы «заряженная частица в поле магнитного монополя». Имеются две модели — собственные модификации гамильтоновой механики. В первой модели, в отличие от второй, имеются ненулевые элементы тензора Риччи. Для второй модели найдены все 54 ненулевых элемента тензора кривизны.
Содержание диссертации базируется на работах [30, 31, 32, 33, 34].
Список литературы
- Poincare Н. Remarques sur une experience de M. Birkeland. Compt. rend., Vol. 123. P. 530 (1896).
- Прохоров JI. В. О физике на планковских расстояниях. Пространство как сеть. ЭЧАЯ, Т. 38. С. 696 (2007).
- Прохоров Л. В. О физике на планковских расстояниях. Квантовая механика. ЯФ, Т. 67. С. 1322 (2004).
- Прохоров Л. В. Квантовая механика и кинетика. Вести. СПбГУ. Сер. 4, Вып. 4. С. 3 (1983).
- Прохоров Л. В. Пространство как сеть. СПб.: НИИХ СПбГУ, 2004.
- Milgrom М. A modification of the Newtonian dynamics as a possible alternative to the hidden mass hypothesis. Astrophys. J., V. 270. P. 365 (1983).
- Milgrom M. A modification of the Newtonian dynamics—implications for galaxies. Astrophys. J., V. 270. P. 371 (1983).
- Milgrom M. A modification of the newtonian dynamics—implications for galaxy systems. Astrophys. J., V. 270. P. 384 (1983).
- Bekenstein J. D. Relativistic gravitation theory for the modified Newtonian dynamics paradigm. Phys. Rev. D., V. 70. P. 83 509 (2004).
- Dodelson S., Liguori M. Can Cosmic Structure form without Dark ¦ • Matter? Phys. Rev. Lett., V. 97. P. 231 301 (2007) — препринт astro-ph/608 602.
- Lee H. C. A kind of even-dimensional geometry and its application to exterior calculus. Am. J. Math., V. 65. P. 433 (1943).
- Лемлейн В. Г. О пространствах симметричной почти-симплектической связности. Докл. АН СССР, Т. 115. С. 655 (1957).
- Tondeur Ph. Affine zusammenhange auf mannigfaltigkeiten mit fast-symplectischer struktur. Commun. Math. Helvetici, V. 36. P. 234 (1961).
- Fedosov В. V. A simple geometrical construction of deformation quantization. J. Diff. Geom., V. 40. P. 213 (1994).
- Gelfand I., Retakh V., Shubin M. Fedosov manifolds. Advan. Math., V. 136. P. 104 (1998) — препринт dg-ga/9 707 024.
- Deligne P. D’eformations de l’Algebre des Fonctions d’une Varifete Symplectique: Comparison. Selecta Mathematica. New Series, V. 1. P. 667 (1995).
- Si-Cong Jing, Tai-Hua Heng, Bing-Sheng Lin Deformation quantization for coupled harmonic oscillators on a general noncommuta-tive space. Mod.Phys.Lett., A23. P. 445 (2008) — препринт math-ph/0902.3769.
- Habermann K. Basic properties of symplectic Dirac operators. Commun. Math. Phys., V. 184. P. 629 (1997).
- Damien Calaque, Giovanni Felde, Andrea Ferrario, Carlo A. Rossi. Bimodules and branes in deformation quantization. Препринт math. QA/0908.2299v4.
- Santilli M. Foundations of Theoretical Mechanics. Vol. I, II. Berlin: Springer, 1978, 1983.
- McEwan J. A complex formulation of generalized Hamiltonian (Birkhoffian) theory. Found, of Phys., V. 23. P. 313 (1993).
- Прохоров JI. В. Гамилътонова механика и ее обобщения. ЭЧАЯ, Т. 39. С. 1565 (2008).
- Prokhorov L. V. Quantum Mechanics and the Cosmological Constant. Препринт gr-qc/602 023.
- Martinez-Merino A. A., Montesinos M. Hamilton-Jacobi theory for Hamiltonian systems with non-canonical symplectic structures. Ann. Phys., V. 321. P. 318 (2006) — препринт gr-qc/601 140.
- Shabanov S. V. The Poisson bracket for q-deformed systems. J. Phys. A: Math. Gen., V. 25. P. L1245 (1992).
- Прохоров JT. В., Шабанов С. В. Гамилътонова механика калибровочных систем. М.: КомКнига, 2006.
- Sergi A. Variational principle and phase space measure in non-canonical coordinates. Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti Classe di Seienze Fisiche, Matematiche e Naturali., V. 83. C1A0501003 (2005) — препринт cond-mat/508 193.
- Souriau J. M. Structure des systemes dynamiques. J. Phys. A: Math. Gen., V. 25. P. L1245 (1992). Paris, Dunod, 1970.
- Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. Усп. Мат. Наук, Т. 37. С. 1 (1982).
- Прохоров Л. В., Ушаков А. С. Несимплектические обобщения гамилътоновой механики. Вестн. СПбГУ. Сер. 4, Вып. 1. С. 29 (2010).
- Ushakov A. S. The Fedosov manifolds and Non-Lagrangian monopoletype systems. Preprint IJTP4108, Принято в Int. J. Theor. Phys. (2010) — ArXiv: math-ph/1004.3776.
- Прохоров Л. В., Ушаков А. С. Вариационный принцип в гамилътоновой механике. ДАН: Мат. Физ., Т. 423. С. 308 (2008).
- Прохоров Л. В., Ушаков А. С. О вариационном принципе в гамилътоновой механике. Вестн. СПбГУ. Сер. 4, Вып. 2. С. 135 (2009).
- Golovnev A., Ushakov A. Invariant variational principle for Hamil-tonian mechanics. Journ. of Phys. A: Math. Theor., V. 41. P. 235 210 (2008) — препринт math-ph/0710.2990.
- Ostrogradsky M. Les equations differentielles relatives au probleme des isoperimetres. Mem. Ac. St. Petersburg, V. 4. P. 385 (1850).
- Nambu Y. Generalized Hamiltonian Dynamics. Phys. Rev. D., V. 7. P. 2405 (1973).
- Покорный Ю.В. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004.
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.
- Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т.1. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.
- Дубровин Б.А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы I. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Т. 4. С. 179 (1985).
- Ольшанецкий М.А., Переломов A.M., Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы II. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Т. 16. С. 86 (1987).
- Hofer H., Zehnder Е. Symplectic Invariance and Hamiltonian Dynamics. Birkhauser, 1994.
- Прохоров JI.В. Фазовое пространство в теориях с калибровочной группой. ЯФ, Т. 35. С. 229 (1982).
- Прохоров Л.В. Вопросы теории калибровочных полей. Изд. СПбГУ, 2007.
- Kontsevich М. Deformation quantization of Poisson manifolds. Lett. Math. Phys., V. 66. P. 157 (2003) — препринт q-alg/9 709 040.
- Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
- Арнольд В.И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002.
- Rabinowitz Р.Н. Periodic solutions of Hamiltonian systems. Comm. Pure Appl. Math., V. 31. P. 157 (1978).
- Rabinowitz P.H. Periodic solutions of a Hamiltonian system on a prescribed energy surface. J. Diff. Eq., V. 33. P. 336 (1979).
- Conley C.C., Zehnder E. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conjecture of V.I. Arnold. Invent. Math., V. 73. P. 33 (1983).
- Chisolm E.D. Generalizing the Heisenberg uncertainty relation Am. J. Phys., V. 69. P. 368 (2001) — препринт quant-ph/11 115.
- Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. Москва&Ижевск, 2003.
- Golovnev A.V., Prokhorov L.V. Uncertainty relations in curved spaces J. Phys. A, V. 37. P. 2765 (2004) — препринт quant-ph/306 080.
- Birkhof? G.D. Dynamical Systems. AMS, 1927, 1983.
- Cieliebak K., Floer A., Hofer H. Symplectic homology II: A general construction Math. Zeit., V. 218. P. 103 (1995).
- Noether E. Invariante Variationsprobleme Koniglich Gesellschaft der Wissenschaften Gottingen Nachrichten Mathematik-physik Klasse, V. 2. P. 235 (1918).
- Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике, пер. с англ. М.: Мир, 1968.
- Helmholtz Н. Ueber die physikalische bedutung des princips der kleinsten Wirkung Journ. f. d. reine u. angew. Math., V. 100. P. 137 (1887).
- Darboux G. Lesons sur la Theorie Generale des Surfaces. Paris, Gauthier-Villars, 1894.
- Douglas J. Solution of the inverse problem of the calculus of variations Trans. Ainer. Math. Soc., V. 50. P. 71 (1941).
- Marmo C., Saletan E. Ambiguities in the Lagrangian and Hamiltonian formalism: Transformation properties Nuovo cimento, V. 40. P. 67 (1977).
- Hojman S.A., Shepley L.C. No Lagrangian? No quantization! J. Math. Phys., V. 32. P. 142 (1991).
- Cortese I., Garcia J. Equation of motion, noncommutativity and quantization. Препринт hep-th/0605.156.
- Bateman H. On Dissipative Systems and Related Variational Principles. Phys. Rev., V. 38. P. 815 (1931).
- Feshbach H., Tikochinsky Y. Quantization of the damped harmonic oscillator. Trans. N. Y. Acad. Sci., Ser. II, V. 38. P. 44 (1977).
- Dekker H. Classical and quantum mechanics of the damped harmonic oscillator. Phys. Rep., V. 80. P. 1 (1981).
- Celeghini E., Rasetti M., Vitello G. Quantum dissipation. Ann. Phys., V. 215. P. 156 (1992).
- Banerjee R., Mukherjee P. A canonical to the quantization of the damped harmonic oscillator. J. Phys. A, V. 35. P. 5591 (2002).
- Blasone M., Jizba P. Bateman’s dual system revisited: quantization, geometric phase and relation with the ground-state energy of the linear harmonic oscillator. Ann. Phys., V. 312. P. 354 (2004).
- Gitman D.M., Kupriyanov V.G. Canonical quantization of so-called Non-Lagrangian systems. Eur. Phys. J. С, V. 50. P. 691 (2007) — препринт hep-th/605 025.
- Gitman D.M., Kupriyanov V.G. On the action principle for a system of differential equations. J. Phys. A, V. 40. P. 10 071 (2007) — препринт arXiv:0710.4532.
- Havas P. The range of application of the Lagrange formalism. Nuovo Cimento Suppl., V. 3. P. 363 (1957).
- Sarlet W. Invariance and conservation laws for Lagrangian systems with one degree of freedom. J. Math. Phys., V. 19. P. 1049 (1978).
- Sarlet W. The Helmholtz conditions revisited. A new approach to the inverse problem of Lagrangian dynamics. J. Phys. A: Math. Gen., V. 15. P. 1503 (1982).
- Hojman S., Pardo F. Lagrangians for differential equations of any order. J. Math. Phys., V. 33. P. 584 (1992).
- Wigner E.P. Do the Equations of Motion Determine the Quantum Mechanical Commutation Relations? Phys. Rev., V. 77. P. 11 (1950).
- Okubo S. Does the equation of motion determine commutation relations? Phys. Rev. D, V. 22. P. 919 (1980).
- Henneaux M., Shepley L. Lagrangians for spherically symmetric pao-tentials. J. Math. Phys., V. 23. P. 2101 (1982).
- Cislo J., Lopuzanski J. To what extent do the classical equations of motion determine the quantization sheme? J. Math. Phys., V. 42. P. 5163 (2001).
- Alfinito E., Leo R., Soliani G., Tempesta P. Quantum models related to fouled Hamiltonians of the harmonic oscillator. J. Math. Phys., V. 43. P. 3583 (2002).
- Арнольд В.И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. Ижевск: Удмуртский университет, 2000.
- Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1957.
- Невзглядов В.Г. Теоретическая механика. М.: Физматгиз, 1959.
- Барбашов Б.М., Нестеренко В. В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат, 1987.
- Cabibbo N., Ferrari Е. Quantum electrodynamics with Dirac monopoles. Nuovo cimento, V. 23. P. 1147 (1962).
- Wu T.T., Yang C.N. Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields. Phys. Rev. D, V. 12. P. 3845 (1975).
- Dirac P.A.M. Quantized singularities in the electromagnetic field. Proc. Roy. Soc. A., V. 133. P. 69 (1931).
- Dirac P.A.M. The Theory of Magnetic Poles. Phys. Rev., V. 74. P. 817 (1948).
- Райдер Jl. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987.
- Дирак П.A.M. Лекции по теоретической физике. Ижевск, 2001.
- Martin J. L. Generalized classical dynamics, and the «classical analogue «of a Fermi oscillator. Proc. Roy. Soc. A., V. 251. P. 536 (1959).
- Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. M.: Мир, 1964. .
- Дубровин Б.А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2001.