Теория нелинейных упругих волн в твердотельных волноводах

Солитон в физике твердого тела, по-видимому, впервые был найден Я. И. Френкелем и Т. М. Конторовой в 1938 г. в форме уединенной волны в одномерной цепочке масс, связанных пружинами. Анализ модели показал, что уединенные волны в цепочке идеальных атомов почти не рассеиваются и потому могли бы использоваться в приложениях для переноса энергии и/или информации на большие расстояния без заметных потерь.

Создать непротиворечивую и пригодную для верификации в физических экспериментах континуальную модель длинных нелинейных волн в твердом теле долго не удавалось.

Позднее, в нелинейной акустике были найдены высокочастотные нелинейные упругие волны, огибающая которых обладает свойствами солитона, однако, прямого аналога для длинных нелинейных волн в жидкости в физике твердого тела не было. Противоречие между единством моделей физики и механики конденсированных сред и полным отсутствием наблюдений нелинейных волн деформации стало основным мотивом нашего исследования, необходимо было критически оценить имевшиеся данные, предложить новую теорию, понять, каким образом на основе теории рассчитать параметры эксперимента, создать в твердом теле импульс упругой деформации, достаточный, чтобы преобразовать его в уединенную волну, ко при этом не разрушить сам волновод, предложить прямой способ регистрации длинной уединенной волны солитона) деформации, и исследовать его свойства.

После первых попыток описания продольных волн деформации в твердотельном волноводе стало ясно, что опыты, рассчитанные на основе КдВ-модели не дают результата, не годятся ни ультразвуковой способ возбуждения солитона как длинной волны, ни элементарные теоретические оценки параметров этой волны, ни имевшиеся методы регистрации.

Традиционно теория нелинейных волн в стержне строилась на основе упрощающих гипотез о характере упругой деформация, а не путем математического анализа исходных многомерных уравнений и граничных условий. При этом есть вероятность того, что не все физические факторы были учтены при постановке задачи, например, в силу того, что нелинейные уравнения теории упругости различны в деформированной и ведеформированвой системах координат, см. [39]. Казалось, что при упругих, т. е. очень малых (порядка одной тысячной) относительных деформациях возможные уточнения моделей, равно как и различие в теоретических описаниях задачи в разных системах координат будут тоже малыми и не смогут привести к качественным эффектам, как это часто бывает в статике. Однако, в нелинейной динамике существует такой момент времени, начиная с которого малые поправки приводят к большим эффектам в процессе распространения волны. Формально говоря, специфика нелинейной задачи динамики волн заключается в том, что уравнение, определяющее функциональный вид нулевого приближения асимптотического решения исходной системы уравнений, возникает в последующих приближениях, в которые как раз и могут войти действительно малые изменения в исходной модели.

Цель работы состояла в построении теоретических моделей, достоверно описывающих свойства длинных нелинейных упругих волн в твердотельных волноводах и пригодных для всесторонней проверки в реальных физических экспериментах. Для этого были поставлены и решены основные задачи:

— построение теории нелинейных волн в твердотельных упругих волноводах с последующей прямой экспериментальной проверкой результатов;

— построение способа интегрирования нелинейных уравнений с дисперсией и диссипацией и получение явных точных решений нелинейных уравнений с дисперсией и диссипацией;

— расчет параметров экспериментов по возбуждению и регистрации длинной нелинейной волны — солитона деформации в одномерном однородном стержне,.

— получение прямых экспериментальных доказательств того, что такая волна является уединенной, действительно сохраняет свою форму и амплитуду при распространении по волноводу на большие расстояния и обладает другими свойствами солитона плотности;

— теоретическое предсказание, вывод уравнений фокусировки солитонов и регистрация усиления солитона в неоднородном волноводе;

— теоретическое предсказание, вывод уравнений, расчет параметров и регистрация солитона деформации в двумерном волноводе — упругой пластине.

— теория распространения нелинейных волн деформации в упругом слое, помещенном на упругое полупространство;

— разработка схем численного моделирования и визуализации нестационарных нелинейных волн деформации в сложных и неоднородных волноводах;

Научная новизна. Проведенные теоретические и экспериментальные исследования позволили получить следующие основные результаты.

— Построена теория распространения продольных волн деформации в одномерном (стержень) и двумерном (пластина) твердотельных волноводах. В 1981 г. было получено новое нелинейное уравнение с двумя дисперсиями (УДД), описывающее распространение продольных волн деформации (объемных солитонов плотности) в одномерном твердотельном упругом волноводе (стержне) и корректно определяющее параметры волн.

— Для оценки роли диссипации предложен новый метод' интегрирования нелинейных уравнений с дисперсией и диссипацией, позволяющий строить некоторые точные решения в виде бегущих волн в явном виде. Впервые найдены явные решения УДД с диссипацией, уравнений Кортевегаде Вриза — Бюргерса, модифицированного уравнения КдВ-Б, уравнений Буссине-ска, нелинейной реакции-диффузии и др.

— Построена новая теория распространения нелинейных волн деформации в упругом слое, помещенном на упругое полупространствополученные решения совпали с экспериментальными данными, ранее не имевшими объяснения.

— Разработана схема численного моделирования и визуализации нестационарных нелинейных волн деформации в неоднородных волноводах, впервые в результате численных экспериментов показана возможность интроскопии твердых тел на основе длинных нелинейных воли.

Эксперименты по исследованию процесса генерации солитона деформации в твердотельном волноводе ведутся в ФТИ им. А. Ф. Йоффе РАН с 1985 г, когда в Отделении акад.В.Е, Го-ланта была создана экспериментальная установка, основой которой является топографический интерферометр на базе импульсного рубинового лазера и лазерный генератор для создания исходной ударной волны. В период с 1986 по 2000 г. на основании построенной теории и при участии автора были получены следующие экспериментальные результаты:

— впервые удалось возбудить и зарегистрировать длинную нелинейную встану — солитон деформации в одномерном однородном волноводе — стержне. В дальнейшем было экспериментально доказано, что такая волна действительно сохраняет свою форму и амплитуду при распространении по волноводу на большие расстояния. Параметры солитона хорошо согласуются с теоретически рассчитанными для условий эксперимента.

— впервые зарегистрировано теоретически предсказанное автором усиление (фокусировка) солитона в геометрически неоднородном сужающемся стержне.

— впервые зарегистрирован теоретически предсказанный автором солитон деформации в двумерном волноводе — упругой пластине.

— впервые исследован процесс отражения солитона деформации от свободной и жестко закрепленной границ волновода. Доказано, что при отражении от свободной границы солитон меняет полярность и быстро затухает. При отражении от жестко закрепленной гравицы впервые зарегистрирован теоретически предсказанный автором отраженный солитон, движущийся в обратном направлении и имеющий практически те же параметры, что и падающий. Научная и практическая значимость работы.

Работа содержит результаты как математического анализа, так и комплексного теоретического, численного и экспериментального исследования процессов генерации и распространения длинных уединенных волн продольной деформации в, нелинейно-упругих твердотельных волноводах.

Среди возможных приложений теории и методов возбуждения уединенных волн (солито-нов) деформации в механике и физике твердого тела можно выделить задачи неразрушающего контроля и интроскопии протяженных конструкций (трубопроводы, мосты), оптических волокон, аморфных веществ, проблемы передачи энергии деформации без значительных потерь в химических реакторах, при создании ударопрочных или ударопрозрачных материалов, новые подходы к виброударным технологиям для бесконтактной передачи энергии при обработке новых сверхтвердых материалов, задачи измерения модулей упругости высокого порядка, где ошибки достигают сотен процентов. Предложенный в работе метод вывода основных нелинейных уравнений и построения их точных решений может использоваться для исследования широкого круга нелинейных задач теоретической и математической физики, физики и механики твердого тела. Для решения нелинейных уравнений с диссипацией важным представляется развитие предложенного метода построения решений в терминах эллиптических функций, проверка с помощью этих решений результатов численного моделирования и исследование начально-краевых задач.

Достоверность результатов и выводов обеспечивается использованием формально обоснованных математических методов решения поставленных задач, проведением всесторонних проверочных физических экспериментов и численного моделирования нестационарных задач. Основные пбложения, представленные к защите.

— Теория распространения продольных волн деформации в одномерном и двумерном твердотельных упругих волноводах. Вывод и решение нелинейного уравнения с двумя дисперсиями (УДЦ), описывающего распространение продольных волн деформации (объемных солитонов плотности) в одномерном твердотельном упругом волноводе.

— Вывод и решение системы нелинейных уравнений, описывающих распространение бегущих продольных волн деформации (объемных солитонов плотности) в двумерных твердотельных упругих волноводах (пластинах из различных материалов).

— Теория распространения продольных волн деформации в нелинейно упругих волноводах, помещенных в диссвпативную или активную упругую среду. Вывод и точные решения нового нелинейного УДЦ с диссипацией, описывающего распространение продольных волн деформации в волноводах с диссипацией.

— Разработка нового подхода к интегрированию различных нелинейных уравнений с дисперсией и диссипацией, позволяющего строить в явном виде точные решения в виде бегущих волн. Построение точных решений в явном виде для УДЦ с диссипацией, уравнений Кортевега-де Вриза — Бюргерса, модифицированного уравнения КдВ-В, нелинейных уравнений Буссине-ска, нелинейной реакции-диффузии и др.

— Постановка и решение задачи распространения нелинейных волн деформации в упругом слое, помещенном на упругое полупространство, получение точных решений, объясняющих накопленные экспериментальные данные.

— Разработка схемы численного моделирования и визуализации нестационарных нелинейных волн деформации в неоднородных волноводах. Исследование применения результатов численных экспериментов для интроскопии твердых тел на основе длинных нелинейных волн.

— Демонстрация возможности экспериментального исследования и генерации солитонои деформации в твердотельном волноводе.

— Теоретическое исследование возбуждения и регистрации длинных нелинейных волн в однородном стержне. Расчет параметров эксперимента для доказательства того, что такая волна действительно сохраняет свою форму и амплитуду при распространении по волноводу на большие расстояния.

— Теоретическое предсказание и оценки параметров для регистрации усиления солитона в геометрически неоднородном сужающемся стержне, впервые проведенной в ФТИ.

— Теоретическое предсказание и оценки параметров регистрации для солитона деформации в двумерном волноводе — упругой пластине, впервые проведенной в ФТИ.

— Теоретическое предсказание и оценки для регистрации отражения солитона деформации от свободной и жестко закрепленной границ волновода, впервые проведенной в ФТИ.

— Теоретическое предсказалие и оценки параметров эксперимента по регистрации солитона деформации в волноводе, помещенном в упругую среду, впервые проведенного в ФТИ. Апробация работы. Результаты работы были представлены на конгрессах и съездах.

International Congress in Theoretical and Applied Mechanics ICTAM-2000 (Chicago, 2000), Internationa] Congress for Industrial and Applied MathematicsICIAM'99 (Ed'mburgh, 1999), 8-м Всероссийском Съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), 7-м Всесоюзном Съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), на симпозиумах и конференциях:

8-th International Conference on mechanica! behaviour of materiais, (Victoria, Canada, 1999), International Conference and Exhibition op High Performance Computing and Networking: HPCN-98 Europe, (Amsterdam, 1998), 3d, 2nd European Solid Mechanics Conferences, (Stockholm, Sweden, 1997; Genoa, Italy, 1994), lst Pan-China Conference on differential equations, (Kunming, China, 1997), 12th Canadian Symposium on Fluid Dynamics, (Winnipeg, 1996), 4th International Conference on Hyperbolic Problems, (Taormina, Italy, 1992), 2nd European Non-linear Oscillations Conference.

Prague, Czech Republic, 1996), 14th, 13th and 12th International Symposia on Non-linear Acoustics — ISNA (Nanjing, China, 1996; Bergen, Norway, 1993; Austin, USA, 1990), 16th Conference of CAMS (Winnipeg, Canada, 1996), International Conference «Non-linear Coherent Structures in Physics and Biology», (Edinburgh, Great Britain, 1995), International Symposium «KdV '95», (1995, Amsterdam, The Netherlands), 2nd European Fluid Mechanics Conference (Warszawa, Poland, 1994), 2nd International Conference on Experimental Fluid Mechanics — ICEFM (Torino, Italy, 1994), International Symposium 'Non-linear oscillations, waves and vortices in fluids (NOWVIF)', (St.Petersburg, Russia, 1994), IUTAM Symposium on Non-linear Waves in Solids (Victoria, Canada, 1993), NATO-ASI Conference 'Future directions of non-linear dynamics in physical and biological systems' (Lyngby, Denmark, 1992), 4th, 3d and 2nd International Workshops on Non-linear and Turbulent Processes in Physics (Kiev, 1989; 1987; 1985), 6-й, 4-й и 3-й Всесоюзных конференциях по оптимальному проектированию (Тарту, 1989; Москва, 1982; Киев, 1979), Всесоюзной конференции по колебаниям в механических системах (Горький, 1987), Всесоюзной конференции молодых ученых (Тарту, 1982), 2-й Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Фрунзе, 1985), 14-й Всесоюзной конференции во акустоэлектронике и физической акустике (Кишинев, 1989), на международных совещаниях и коллоквиумах:

EUROMECH 419 (Prague, Czech Rep., 2000), 386 (Loughborough, Great Britain, 1998), 306 (Prague, Czech Rep., 1993), 270 (Reggio Calabria, Italy, 1990), 240 (Bologna, Italy, 1988), 241 (Tallinn, Estonia, 1988), 169 (Siegen, Germany, 1982), «Nonlinear Lattice Structures and Dynamics», (Dresden, 2001), «Non-linear Waves in Solids», (Hong Kong, 2000), ежегодных международных семинарах «День дифракции», С.-Петербург, (с .1995 по 2001 гг.), а также на семинарах и совещаниях в ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН, СПб Отделении Математического Института им. В. А. Стеклова РАН, Научном Совете РАН по нелинейной динамике, Институте проблем механики РАН, Институте проблем машиноведения РАН, СПб ГУ, СПб ГТУ, МГУ, ИГиЛ и ИПТМ СО РАН, ЦАГИ, Нижегородском Университете, Германском центре информационных технологий (Бонн, Германия), Университетах Бонна, Зигена, Кельна, Регенсбурга, Байрейта, Дармштадта. (Германия), Эдинбурга, Лидса, Лафборо, Кембриджа (Великобритания), Дюкона (Франция), Мессины, Болоньи (Италия), Остина, Южной Калифорнии (США), Гонконга (Китай),.

Публикации. По теме диссертации опубликованы монография на английском языке, 42 статьи в реферируемых отечественных и международных журналах, кроме того, результаты опубликованы в Трудах 43 международных и всероссийских конференций, защищены 5 авторскими свидетельствами. Общее число публикаций — 91.

Структура работы и объем. В основу диссертации положена написанная автором монография: Alexander М Samsonov, «Strain solitons in solids and how to construct them,», ?4S pp., Chapman&Hall/CRC Press, London, Boca Raton, Washington, 2001, опубликованная на английском языке. Книга состоит из предисловия, введения, 6 глав, заключения и приложения, содержит 63 рисунка, 9 таблиц, список литературы включает 214 работ. Личный вклад автора. Все работы по теме диссертации написаны при личном участии автора, из них 30 и монография — без соавторов. Работы, по материалам которых написаны пп.3.2−3.6 выполнены на паритетных началах с соавторами, в остальных работах автору принадлежат постановка задач, методы теоретического анализа и равное участие в его проведении, работы, положенные в основу Раздела 5 выполнены под научным руководством автора диссертации.

Исследования по теме проводились при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты 94−01−061а, 98−01−1 109), Международного Научного Фонда (проекты R56000, R56300), ДААД (проект 95−325) и программы ИНТАС (проект 99−167).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Диссертация состоит из Введения с общей характеристикой работы, 5 Разделов, соответствующих основным целям работы, Заключения и списков литературы.

Заключение

.