Регулярные алгоритмы определения базиса ядра линейного оператора

Специальный класс составляют задачи, решение которых неустойчиво к малым изменениям исходных данных. Интенсивное развитие методов решения таких задач началось с работ М. М. Лаврентьева, А. Н. Тихонова, В. К. Иванова. Результаты исследования этих авторов и их учеников изложены в tЗб], 1411, 1бз]. Ссылки на работы других авторов можно найти в I 64].

Рассмотрим задачу решения уравнения I рода.

А, а =? (o.i) где, А линейный непрерывный оператор, действующий из банахова пространства U в банахово пространство F.

Определение I. Говорят, что задача (0.1) является некорректно поставленной (по Адамару), если нарушается хотя бы одно из условий:

1) Область значений оператора A R (A) = F.

2) А взаимно-однозначный оператор.

3) Оператор, А 1 непрерывен.

Фундаментальным понятием, позволяющим устойчиво решать некорректно поставленные задачи, является понятие регуляризи-рующего алгоритма введенного А. Н. Тихоновым в 161 Регуляризи-рующие алгоритмы строятся на основе итерационных методов [ 9], [ II], [l9], [ 65 J (библиография по итерационным методам есть в [63] на стр. 59). Регулярные методы можно строить, заменяя оператор, А близким к нему [44]. Широкое распостранение получили вариационные методы построения регуляризирующих алгоритмов: метод А. Н. Тихонова [б2], метод квазирешений [34], метод невязки [зз]. метод обобщенной невязки [27].

Регуляризирующие алгоритмы позволяют использовать дополни — 1 тельную информацию о точном решении, которая часто задается с помощью вполне непрерывного взаимооднозначного оператора В, действующего из банахова пространства 2 в V. При этом требуется, чтобы точное решение уравнения (0.1) принадлежало R (В)" что равносильно [27], [бб] некоторой гладкости точного решения. Регуля-ркзующие алгоритмы в пространстве функций ограниченной вариации впервые были построены в С 29], 130 3. В этих работах была доказана сходимость приближенных решений в Lp. В дальнейшем в работах [2б], [45], [47], [52] и независимо в работе автора [i], удалось доказать равномерную сходимость приближенных решений. Заметим, что в регуляризирующих алгоритмах, использующих вариацию, на точВ ное решение накладываются достаточно слабое требование: Vcui[Uj.

Необходимо отметить, что регуляризирующие алгоритмы позволяют получать приближение только одного решения задачи (0.1), как правило, & -нормального решения (смотри, например, [il], [49], [бо] .

Определение 2. Элемент Ц>реализующий.

WHIIB-'UII: AU -$, U€ R (B)}, (0.2) называется 3 ~ нормальным решением уравнения (0.1).

Это значит, что если выполняется условие 2), либо нам требуется В — нормальное решение уравнения (0.1), то применение регуляризирующих алгоритмов эффективно. Иначе необходимо привлекать дополнительную информацию об искомом решении.

Обширная литература в теории обратных задач посвящена дока.

1. Тезисы этой работы были опубликованы ранее в кн.: Всесоюз. конф. по некорректно поставленным задачам.: Тезисы докл. Фрунзе, сентябрь 1979. — Фрунзе: ИЛИМ. — 1979. — с.З. тельству того, что, А взаимно-однозначный оператор [42], [43] (оператор, А нелинейный). Для линейного оператора критерии выполнения условия 2) сформулированы в [б], [2l], [Зб]. В случае нарушения условия 2) для задач гравиметрии и магнитометрии в [20], [57] описаны все решения задачи (0.1), (А — нелинейный точно заданный оператор). Обзор работ такого рода есть в [54].

Для оператора, являющегося сужением оператора, А на R (В), обратимость равносильна условию КегА П R (B)=CoJ. Для получения общего решения (0.1) в R (8) достаточно знать Внормальное решение (0.1) и базис в Kei, А П R (В)(если точное решение U0eR (B)). В приложениях возникают уравнения, у которых КедА П R (B)*{o|h для этих уравнений необходимо определять все или некоторое множество решений. Эта задача представляет также общематематический интерес. При этом, задача определения базиса в КедАО R (B) по оператору, А ^ НАЛк Ik (i является неустойчивой, если область значений оператора R (A) не замкнута в F .

Основная цель диссертации — построение регулярных алгоритмов определения базиса в KfilAOR (B) по оператору А^ .

1) Для задачи определения базиса в гильбертовых пространствах впервые построены аналоги метода А. Н. Тихонова и метода невязки. Установлена связь этих методов. Для метода А. Н. Тихонова выписан аналог уравнения Эйлера, что позволяет свести построение приближенных решений к задаче определения собственных функций оператора Q0i '.

2) Построены регуляризирущий алгоритм для решения задачи (0.1), использующий вариацию, и соответствующий регулярный алгоритм определения базиса в.

Кед, А 0 R (B).

3) В терминах аппарата дискретной сходимости получены достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям соответствующих бесконечномерных задач.

4) Исследованы свойства функции У (ос) = (8*+ 01 X1) / J*(<*) С/Ча) — минимальное собственное число оператора Q<* = А* А + «(В-1)* В 1) — основной оценочной функции [ 72 ] погрешности оптимального на компакте М г = { U :

II В'1 U II 4 1} метода и модуля непрерывности обратного к, А оператора.

Оценками точности регуляризирующих алгоритмов занимались многие авторы. Неравномерные оценки получены в [ 25 ] (в [б4 ] есть ссылки на другие работы). Как показал В. К. Иванов в [ 31 ] для линейного вполне непрерывного оператора, А равномерные оценки точности возможны только на ограниченно компактном множестве. Оценки погрешности на компакте Мг для нелинейного оператора проводились в [ 13 X [ 24 ], [ 58], для линейного точно заданного оператора в [ю], [и], Г 60 J (оценки в случае, когда КегА П R (B)*{°J получены в [59 J). В случае линейного возмущенного оператора оценки точности строились в [il], [бв]. Оптимальные на Мг методы строились в [бб]. Связь этих вопросов с задачей С. Б. Стечкина Г 55 ] изучалась в [el.

Согласно [72] минимум функции Yfa) совпадает с их8> г) — модулем непрерывности обратного к, А оператора, функция.

CJ (S, l) играет важную роль при оценке погрешности ре1уляри-зиругощих алгоритмов на Мг. Общие методы вычисления cv (S, z) рассматривались в [ 7 ], [в], Г 32], [4о], [ 73 ].

Следует отметить, что основная цель при исследовании задачи определения базиса в КегА П R С В) и задачи вычисления погрешности оптимального метода является общей, а именно, построение регулярного алгоритма решения соответствующей задачи. Для некоторых операторов, А эти задачи можно решить аналитическим. Модуль непрерывности^О (8, l) обычно выражают через спектр оператора А* А. При этом требуется, чтобы оператор А*А коммутировал с (B'D* В, в то время как, для применения алгоритма вычисления uj (8, ъ) коммутируемости операторов А*А и (В л)* В 1 не требуется,.

А * Л не требуется также знание спектра оператора, А А .

Перейдем к изложению материала по главам. В главе I для линейного непрерывного оператора Д, для случая, когда I/, F, Ъ гильбертовы пространства, построен регулярный алгоритм восстановления специального базиса в /Се г АЛ.

R (В) по оператору A h,. Описание расчетов и обеувдение результатов по применению алгоритма, построенного в этой главе, приводятся в приложении.

В § 1 обсуждаются вопросы корректности задачи восстановления базиса в К ег, А П R (В) по оператору, А к «введен специальный базис в К е. 1А П R (В) и исследованы его свойства.

В § 2 рассмотрена последовательность экстремальных задач wife IIA*. ullp +a|IB-" u||*: U6I/I, IIU//V-1}, (о.з) где Ui=R (B), a Ui={UeR (B) '(= «.. • L «i j — решения (0.3) полученные ранее }.

Последовательность задач (0.3) является аналогом метода А.Н. г i.

Тихонова. Далее доказано, что ь Jt = i совпадает с последовательностью собственных функций оператора.

Qa-AkA^^ClfB) By занумерованных так, что соответствующие собственные числа упорядочены по возрастанию. Доказана теорема сходимости CuV" }^ к специальному базису в К ех, А П R (В) (введенному в § 1) при О у.

Ь?7(Х О. Также установлена сходимость С U? ^ к базису в ЬСе г, А П R (В) при, а О, k->o, kl/a * const. В случае, если КегА П RC8) = ?o} доказано, что II В'1 оо при OL о, К. ~> О.

В § 3 формируется последовательность конечномерных задач и в терминах дискретной сходимости (С 12], [70 ], [ 7l], С 74 j, смотри также, [ 16],) сформулированы достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям задач (0.3) (другой общий подход к изучению конечномерных аппроксимаций описан в [58]). В результате для определения базиса в К е. г, А 0 R (B) достаточно найти собственные функции, отвечающие малым собственным числам симметричной положительно определенной матрицы.

В главе 2 определен вполне непрерывный оператор вложения банахова пространства L V = { U e L рса, ез: v&i?u].

Рассмотрен метод А. Н. Тихонова решения уравнения (0.1) с этим оператором В (оператор, А, вообще говоря, нелинейный) и аналог метода А. Н. Тихонова определения базиса в Kei, А П R (8) (для линейного оператора, А). Этот базис в часности. может состоять из разрывных функций.

В § 1 построен регуляризирующий алгоритм для решения уравнения (0.1) и рассмотрены его конечномерные аппроксимации.

В § 2 определен специальный базис в КегА Л L. V и исследованы его свойства.

В § 3 введена последовательность экстремальных задач.

In $ { || Ак U + а u] s ueUt, II и11"мЗ, (0.4) где Ui = L V, Uc — { Ue L V: (U, Ujk) = 0, <5 «19 — • t — 1, U. г — ранее найденные решения.

0.4)}. f и0″ .

Доказана теорема о сходимости • I w-i Ji = i к специальному базису (введенному в § 2) в КегАП R (8) при & -> О) k О > h!/Я —> О. Также рассмотрены конечномерные аппроксимации задач (0.4) и сформулированы достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям задач (0.4).'.

В главе 3 в гильбертовых пространствах U, F, Z рассмотрены две задачи. Сначала исследуется функция V4<*) строго монотонна.

Далее рассмотрен регулярный алгоритм восстановления специального базиса в К СЛ, А П R (В) по оператору ¦ А к. Этот алгоритм можно назвать методом «невязки». Установлена связь с введенным ранее в § 2 главы I регулярным алгоритмом определения базиса в Кег, А П R (В).

Введены конечномерные аналоги метода «невязки» и сформулированы достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям соответствующих бесконечномерных задач-. ,.

В § 1 сначала доказаны леммы, которые используются затем на протяжении всей 3 главы. В этих леммах изучаются свойства функций J<(ol), ЧЧ <*) = II A U* UpVllB^UjI^- SVl*.

II A Ucl Ир). И В Uot ||г, где Uoi — собственная функция оператора Q* •> отвечающая J*(<*) () минимальное собственное число)} такая, что II U" llv= 1. Затем для точно заданного оператора (k — О) дано другое доказательство основных результатов [ 72 ] и установлены свойства функции Vta) В § 2 определена последовательность экстремальных задач.

Ulf { II В" 1 U Иа: U eUc, II U llv =1, II, А к UllF" L}, (0.5) где Ui — R (В), Ut =? it* U, i (U, U.}) =0, 1,.. • t-1, Uj1 — функции удовлетворяющие (0.5)}.

Доказана теорема сходимости t^t к специальному базису в КетА Л К (В) при к —> О. Установлено, что при выполнении некоторого условия для всех i * Ы существует.

А такое, что множество решений задачи (0.5)' совпадает с множеством функций, удовлетворяющих условию //U<*//= К, и являющихся решением задачи.

II AkiillZF +allB-1utz: UeVcJIU/^1}, (0.6) где Vih={Ue R (B): (U, и,. .. 1−1} то же множество, что и в задаче (0.5).

В § 3 с помощью аппарата дискретной сходимости рассмотрены конечномерные аппроксимации задачи минимизации Wo) и задач (0.5). Обсуждается применение метода штрафных функций для снятия ограничения U е U^ в задаче (0.6).

Приложение содержит расчеты, иллюстрирующие применение алгоритма из § 2 главы I для восстановления базиса в КегАП R (B) по оператору Ah • Эти расчеты показывают, что интегральное уравнение Фредгольма I рода, возникающее в методе рентгеноспектрального структурного анализа (Е X A FS), имеет неединственное решение. Метод? X A FS служит для определения функции радиального распределения атомов, которая является важной характеристикой внутреннего строения аморфных тел. Работа по созданию методики обработки данных рентгеноспектрального структурного анализа (Е X A F S) и дифракции проводилась совместно ШМ и ИММ УНЦ АН СССР.

В приложении также, на примере уравнения, возникающего в методе Е X A F S, обсужцаются особенности решения уравнений, имеющих не единственное решение. Рассматривается уравнение возникающее в методе дифракции, которое имеет единственное решение.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах член-корреспондента АН СССР В. К. Иванова в Уральском государственном университете в г. Свердловске (1978 — 1984), на всесоюзной конференции по некорректно поставленным задачам (Фрунзе, 1979), на конференции молодых ученых в г. Ленинграде (ЛОМИ, 1980), на жоле-ееминаре по теории некорректно поставленных задач (Самарканд, 1983), на школе молодых ученых в г. Новосибирске (1984).

Автор выражает благодарность своему руководителю к.ф.-м.н. В. В. Васину за постоянную помощь и внимание.

Г Л, А В A I.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ БАЗИСА ЯДРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Таким образом, для оператора, заданного с ошибкой, в условиях нарушения корректности по Адамару, по-видимому, впервые построены регулярные методы определения базиса ядра линейного оператора.

1. Для задачи определения базиса ядра линейного оператора в гильбертовых пространствах построен аналог метода А. Н. Тихонова.

2. Обоснован способ выбора параметра регуляризации в методе А. Н. Тихонова «по невязке» (для задачи определения базиса ядра линейного оператора).

3. В пространствах функций с ограниченной вариацией построен аналог метода А. Н. Тихонова, который позволяет, в часности, восстанавливать разрывные элементы базиса ядра линейного оператора.

4. Бесконечномерные алгоритмы, упомянутые выше, сведены к своим конечномерным аналогам.

5. Для задачи оценки оптимального на компакте метода исследованы свойства оценочной функции.

6. Рассмотрены приложения построенных алгоритмов определения базиса ядра линейного оператора к исследованию вопроса о оГ" неединственности решения интегральных уравнении I рода, возникающих при обработке рентгеновских спектров.