Конечномерные возмущения интегральных операторов с ядрами, имеющими скачки производных на диагоналях

Спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных, инте-^ тральных и интегро-дифференциальных операторов играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет много приложений. Так, например, данная теория традиционно применяется в граничных задачах математической физики, квантовой механике, в обратной задаче спектрального анализа и т. п. Исследования в этой области предполагают изучение вопросов обращения указанных операторов, асимптотического представления резольвенты при больших значениях спектрального параметра, расположения спектра, суммируемости разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.), % равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций, базисности, полноты системы из с.п.ф. и т. п.

Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по с.п.ф. конечномерных возмущений интегральных операторов, некоторая производная ядра которых имеет разрыв на диагоналях, и разложений в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также вопросу суммируемости обобщенных средних Рисса этого класса операторов.

Исследование равносходимости спектральных разложений предста-* вляет собой интенсивно развивающееся направление, начало которого было положено в работах В. А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаа-ра [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и Я. Д. Тамаркина [4], М. Стоуна [5] для дифференциального оператора произвольного порядка п-2.

1[у] = У{п) + 5>(*)Л Vk (x) G С[0,1], (0.1) к=0 с произвольными краевыми условиями п-1.

Щу) = Т, 1^у{к)(0) + W4)(1)] = 0, i = l,. (0.2) к=О удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], с. 66−67). Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в Uj (у) (после приведения их к нормированному виду ([6], с. 65−66)). Вообще говоря, условия регулярности снять нельзя.

Приведем один из результатов Я.Д. Тамаркина1. Теорема. Для оператора (0.1) с регулярными краевыми условиями (0.2) существует такая последовательность номеров {к{]} что для всякой f (x) Е ?[0,1] и любого 8 6 (0,½) 4 im\Skl (f)-ai (f)\c[5,i-S] = 0, (0.3) где Sk (f) и &k (f) ~ частичные суммы рядов Фурье функции f (x) по с.п.ф. и обычной тригонометрической системе (к — число членов).

Развитию спектральной теории операторов послужили многочисленные работы В. А. Ильина (основополагающие статьи [7]-[9]). Он разработал новый метод получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций.

Теорема равносходимости для интегрального оператора впервые была получена А. П. Хромовым [10]. Рассматривая оператор 1.

Af = f A (x, t) f (t) dt, он ввел следующие требования на ядро A (x, t): о.

В [5] М. Стоуном получен схожий результат при Рк (х) € L[0,1].

Qa+j а) производные Ах."(х, t) = t) (s, j = 0,., n) непрерывны при t < x и t > x 2- б) Psj (t) = AAxstj (x, t) x=t = AxUi (x, t) x=t+0 — Ax. tj (x, t) x=t-o e ecn~l~j[ 0,1] (j = 0,., n — 1- 5 = 0,., n) — в) A~l существуетг) AAxs (x, t) t=x = Axs (x, t) t=x-o-Ax,(x, t) t=x+o = 5s>ni (5 = 0,., n,^ij — символ Кронекера).

В работе [10] было показано, что условие в) необходимо для равносходимости, условия а) и б) точны, а условие г) говорит о каноническом виде интегрального оператора, для которого имеет место рассматри ваемая равносходимость.

В связи с отсутствием конструктивного перехода к каноническому виду встал вопрос о поиске других классов интегральных операторов, для которых имеет место указанная равносходимость. И такие классы были найдены. Начиная с 1998 года (см. [11]), стали исследоваться интегральные операторы, ядра которых или некоторые их производные имеют скачки не только на линии t = х, но и на линии t = 1 — х. В общем виде такие операторы записываются следующим образом: х 1.

Af{x) ="! J Ai (x, t) f (t) dt + a2 j A2(x, t) f (t)dt +.

0−4) A3(l-x, t) f{t) dt+ J A4(l-x, t) f{t) dt.

0 1-х.

Одним из основных требований (см. [10]) теоремы равносходимости является регулярность краевых условий. Но чаще всего коэффициенты краевых условий в явном виде получить не удается и поэтому проверить.

23десь и в дальнейшем в аналогичных ситуациях под непрерывностью f (x, t) при t < х понимаем следующее: f (x, t) непрерывна при t < х в обычном смысле, f (x, x — 0) существует, и если доопределить f (x, t) на линии t — х как f (x, x — 0), то f (x, t) становится непрерывной в обычном смысле в замкнутом треугольнике 0 < t < х < 1. Аналогично понимаем непрерывность f (x, t) при t > х. их регулярность затруднительно. Например, Е. Н. Назаровой [12] была получена теорема равносходимости для оператора (0.4) в случае, когда скачок имеет само ядро, но при этом регулярность краевых условий лишь предполагается. Поэтому вызывает интерес рассмотрение частных случаев оператора (0.4), когда возможна проверка регулярности краевых условий. Так в [13] А. П. Хромовым совместно с В. В. Корневым была получена теорема равносходимости для оператора (0.4) в случае, когда Ai (x, t) = Аз (х, Ь), а два других слагаемых отсутствовали:

1-х X.

Af (x) = J A{l-x, t) f (t)dt + a JA (x, t) f (t)dt. (0.5) о 0.

Отметим, что полученное ими основное соотношение теоремы равносходимости отличается от обычного, а именно, впервые сравнение разложений в ряд по с.п.ф. идет не с одним, а с двумя тригонометрическими рядами.

В диссертационной работе рассматривается оператор вида:

X 1-я.

Af (x) =с*11 A (x, t) f{t) dt + a2 J A (l — x, t) f (t)dt + о о (0.6) m J2(fivk)gk (x), x 6 [o, l], k=i i где (/, t/fc) = f f (t)vk (t)dt, vk (t) e Cn[0,1], gk{x) € Cn{0,1], системы о функций (я)}&tradeи линейно независимы, /3 = a — ф 0, ядро А (х, t) непрерывно дифференцируемо п раз по х и один раз по t и выполняется условие г).

Оператор (0.6) является одним из частных случаев оператора (0.4). Этот оператор замечателен тем, что в данном случае условия регулярности выписываются в явном виде, хотя и имеют более сложный вид, чем в случае оператора (0.5). Отметим также, что рассматривать че llxl 1 1-х тыре слагаемых нет необходимости, так как f = f — f и f = f — f, x 0 0 1-х о о.

1 171 a f можно добавить к J2(fivk)9k (x).

О к~1.

Теоремы равносходимости для оператора (0.6) при A (x, t) = 1 и = 1, = 0 были получены А. П. Хромовым в [14]. Но для обобщения этого результата нами был использован другой метод, развитый в [13].

Что касается вопроса суммируемости, то для интегрального оператора 1.

Af (x) = J A (x, t) f (t)dt, ®-е[0,1], о в случае, когда A (x, t) — функция Грина дифференциального оператора 71-го порядка с регулярными по Биркгофу краевыми условиями, М. Стоун [5] исследовал средние по Риссу спектральных разложений, представимых в виде а|=г и показал, что на каждом [а, Ъ] С (0,1) имеет место равносуммируе-мость их с такими же средними обычных тригонометрических разложений в ряды Фурье. Далее, А. П. Хромовым в [15] было установлено, что данный результат имеет место при достаточно больших I ив том случае, когда условия регулярности не выполняются, но ядро G (x, t, Л) резольвенты при больших |А| имеет рост, не выше некоторой степени |А|. В работах [16], [17] В. В. Тихомировым данный результат был перенесен на случай дифференциальных операторов, для которых основные требования не связаны с краевыми условиями, а формулируются в терминах ограничений на спектр и систему с.п.ф. такого же вида, что и в известных исследованиях В. А. Ильина по равносходимости спектральных разложений. В [18] А.П. ГУревичем и А. П. Хромовым были найдены необходимые и достаточные условия на f (x), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] средних вида J g (, r) Rxfd, (0.8).

А|=г где функция <?(А, г) удовлетворяет следующим условиям: а) д (А, г) непрерывна по Л в круге |Л| < г и аналитична по, А в круге |А| < г при любом г > 0- б) существует такая константа С > 0, что |#(А, г)| < С при всех г > 0 и |А| < гв) существуют положительные /3, и h такие, что.

0((pf), если |</>|.

0((р — irf), если (р — 7г| < h, п = 4щ + 2,.

— 11^), если <р — 11 < h, п — нечетное,.

0((р + 11¹), если ц> + 11 < h, п — нечетное g (rettp, r) = < оценки равномерны по г) — г) при фиксированном A lim g (, r) = 1. г-> 00.

Отметим, что (0.8) обобщают средние по Риссу (0.7).

Для оператора (0.6) в случае ядра А (х, t) = 1 результаты по суммируемости по Риссу были получены А. П. Гуревичем и А. П. Хромовым в [19].

Целью данной диссертационной работы является получение теорем равносходимости и исследование вопроса суммируемости по Риссу для оператора (0.6).

В работе используется метод, основанный на методе контурного интегрирования резольвенты Фредгольма оператора, А по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра.

Диссертация содержит 123 страницы, состоит из введения, трех глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы.

1. Hobson E.W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions Текст] / E.W. Hobson // Proc. London Math. Soc. 2. 1908. — Vol. 8. — P. 349 395.

2. Haar A.T. Theorie des ortogonalen Funktionen systeme Текст] / A.T. Haar // Math. Ann. 1910. — Vol. 69. — P. 331−371- - 1911. Vol. 71. P. 38−53.

3. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Текст] / Я. Д. Тамаркин.- Петроград, 1917.

4. Stone М.Н. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff / M.H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. — Vol.28, № 4. — P. 695 761.

5. Наймарк M.A. Линейные дифференциальные операторы Текст] / М. А. Наймарк. М.: Наука, 1969. — 528 с.

6. Ильин В. А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье Текст] / В. А. Ильин // Доклады АН СССР. 1975. — Т. 223, № 3. С. 548−551.

7. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I Текст] / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 5. С. 771−794.

8. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II Текст] / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 6. С. 980−1009.

9. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференци-альных и интегральных операторов Текст] / А. П. Хромов // Ма-тем. сб. 1981. — Т. 114(156). — № 3. — С. 378−404.

10. Хромов А. П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях Текст] / А. П. Хромов // Матем. заметки. 1998. — Т. 64, вып. 6. — С. 932−942.

11. Назарова Е. В. Теоремы равносходимости для интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях Текст]: Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук / Е. В. Назарова. Саратов, 2003. — 14 с.

12. Корнев В. В. О равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях Текст] / В. В. Корнев, А. П. Хромов // Матем. сб. 2001. — Т. 192. — № 10. С. 33−50.

13. Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования Текст] / А. П. Хромов // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2000. — № 2. — С. 21−26.

14. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов на конечном интервале Текст] / А. П. Хромов // Доклады АН СССР. Т. 146, № 6. — 1962. С. 1294−1297.

15. Тихомиров В. В. О средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора Текст] / В. В. Тихомиров // Ма-тем. сб. 1977. — Т. 102, № 1. — С. 33−55.

16. Гуревич А. П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов Текст] / А. П. Гуревич, А. П. Хромов // Дифференциальные уравнения. Т. 37, № 6. — 2001. С. 809−814.

17. Гуревич А. П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных опер-таоров Текст] / А.П. ГУревич, А. П. Хромов // Известия вузов. Сер. Математика. 2003. — № 2(489). — С. 24−35.

18. Халова В. А. Об обращении оператора гс-кратного интегрирования Текст] / В. А. Халова / Деп. в ВИНИТИ 29.10.99 № 3227-В99. 7 с.

19. Халова В. А. Задача обращения одного класса интегральных операторов Текст] / В. А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. — С. 125−127.

20. Халова В. А. Представление резольвенты для одного класса интегральных операторов Текст] / В. А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 138−141.

21. Халова В. А. О резольвенте одного класса интегральных операторов Текст] / В. А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. — С.149−152.

22. Халова В. А. Теорема равносходимости для одного класса интегральных операторов Текст] / В. А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С.126−129.

23. Халова В. А. Теорема равносходимости для одного класса интегральных операторов Текст] / В. А. Халова / Деп. в ВИНИТИ 15.07.04 № 1241-В2004. Саратов, 2004. — 63 с.

24. Халова В. А. Об обратимости оператора n-кратиого интегрирования Текст] / В. А. Халова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-й Саратовской зимней школы.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 146−147.

25. Халова В. А. Резольвента для одного класса интегральных операторов Текст] / В. А. Халова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 11-й Саратовской зимней школы.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. С. 220−221.

26. Халова В. А. О резольвенте Фредгольма для одного класса интегральных операторов Текст] / В. А. Халова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 12-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. — С. 190 191.

27. Халова В. А. Разложение по собственным функциям одного класса интегральных операторов Текст] / В. А. Халова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. — С. 239−240.

28. Белман Р. Дифференциально-разностные уравнения Текст] / Р. Белман, К. Кук. М.: Мир, 1967.