Спектральные свойства сингулярных дифференциальных операторов в вырожденном случае

• 1. 1. Введение
• 1. 2. Преобразование уравнения (1.1)
• 1. 3. Асимптотика решений уравнения (1.1)

• 2. 1. Введение
• 2. 2. Преобразование уравнения (2.1)
• 2. 3. Асимптотика решений уравнения (2.1)

• 0. 1. Основные понятия и определения

Одной из основных задач в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов является задача исследования их спектральных свойств в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Исследованию этой задачи посвящен ряд работ [1−17, 24−28]. Дадим необходимые в дальнейшем определения.

Как известно (см. [12]), самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами четного порядка необходимо имеет вид: где з = 0, п — вещественные функции.

Определение

Выражение 1у, рассматриваемое на конечном интервале (а, Ь) при а, Ь), называется самосопряженным регулярным дифференциальным выражением. В противном случае выражение 1у называется сингулярным самосопряженным дифференциальным выражением.

Определение

Квазипроизводные функции у, соответсвтующие выражению 1у, определяются формулами: условии, что коэффициенты суммируемы во всем

Из определения квазипроизводных непосредственно следует, что ку = г/Н

Мы будем считать, что выражение имеет смысл для данной функции у, если все квазипроизводные функции у до (2п — 1)-го порядка включительно существуют и абсолютно непрерывны в каждом конечном подынетервале [а, /3] интервала (а, 6).

Рассмотрим линейное дифференциальное выражение

У = (-1)+ Е (-^(р"-*^^, 0 < ж <оо, (2) где Рк{х)> к — 1, п — дважды непрерывно-дифференцируемые вещественные фукнции. Введем в рассмотрение пространство ½(0, оо). Дифференциальное выражение 1у, рассматриваемое на всех допустимых функциях у, определяет в этом пространстве оператор. Рассмотрим сужение этого оператора на множество всех финитных достаточно гладких функций, обращающихся в нуль при х > Л, Я > 0 (выбор Я вообще говоря различен для различных у). Обозначим замыкание сужения указанного оператора через

Определение

Оператор называется минимальным оператором, порожденным дифференциальным выражением 1у в Ь2(0,00).

Сопоставим уравнению

1у = А у (3) следующий многочлен по /

F (x, Л,/г) = /i2n + + (~1)п (Рп — А).

Определение

Уравнение

F{x, A,/i) = 0 (4) будем называть характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному выражению 1у.

Определение

Система дифференциальных уравнений первого порядка

У — (Л (®-) + D (x))Y, рассматриваемая на некотором промежутке (0, оо) называется L-диагональной, если матрица Л является диагональной, причем ее элементы локально суммируемы, разность их действительных частей знакопостоянна, а все элементы матрицы D — суммируемые на (0, оо) функции.

Пусть L — симметрический оператор в гильбертовом пространстве Н, и пусть Л — произвольное комплексное число, но такое, что ImA ф 0. Обозначим через R и R^ области значений операторов (L — XI) и (L — XI), где I — тождественный оператор. Очевидно, что R и Rj -подпространства Д", причем не обязательно замкнутые.

Определение

Ортогональные дополнения N = Н — R и Nj — Н — Rj называются дефектными подпространствами оператора L.

Известно, ([12], с. 165), что при любом комплексном Л из верхней полуплоскости сПтА/д = сПтАГг, с11тЛ/д = сИпиУ-.

Определение

Положим т = сНтЛ^, к =

Пара чисел (т, к) называется: индексами дефекта симметрического оператора Ь, а сами числа гп, к — его дефектными числами.

Известно, ([12], с.202−203), что индексы дефекта оператора > порожденного самосопряженным дифференциальным выражением с вещест-веннозначными коэффициентами, одинаковы (га, т) и удовлетворяют оценке: п < т < 2п.

Введенные понятия дефектных подпространств и индексов дефекта применяются для построения самосопряженных расширений симметрического оператора Ьд и анализа спектра этих расширений.

Для нахождения индексов дефекта оператора Ьо применяют два метода. Первый, используемый в основном английской школой Э. Ч. Титчмарша [17], состоит в том, что квадратичная форма (1у, у) интегрируется по частям на полупрямой (0, оо) и исследуется поведение обынтегрирован-ных членов при х -" оо. Недостатком этого метода является то, что он применим только в случае т = п. Во всех остальных случаях он не дает точных индексов дефекта.

Второй метод состоит в исследовании асимптотического поведения при х —)¦ оо фундаментальной системы решений уравнения 1у — Ху.

Этот метод берет свое начало в работах^{Ьеушзоп} [9]. Затем указанный метод был существенно усовершенствован в работах М. А. Наймарка [12], И. М. Рапопорта [13] и М. В. Федорюка [25].

В работах ]М.Ьеут80п изучались регулярные дифферециальные операторы. В этом случае т = п. Заметим, что случай суммируемых коэффициентов хорошо изучен, и основную трудность представляет случай растущих коэффициентов дифференциального выражения 1у. Выражение Р (х, А,/х) можно переписать в виде

1 (Х~рп{х))к1п

А -Рп (х)у/^'

Последняя формула содержит неоднозначность в выборе корня из комплексного числа. Будем здесь и везде далее считать, что выбрано главное значение корня.

Асимптотика решений уравнения 1у = Ху исследовалась до нас в следующих ситуациях: рк (х) lim -:—., .- = 0, к = 1, п — 1. рп[х)к/п

В этом случае говорят, что промежуточные коэффициенты pk (x) к = 1, п — 1 в смысле роста подчинены коэффициенту при нулевой производной рп (х). В этом случае дифференциальное выражение 1у при х —У оо эквивалентно дифференциальному выражению:

1у = (-1)пуАп +рп{х)у.

2. При х —> оо п. п ^ Ыж) 1 ^ Гг где 6*1, С*2 постоянные.

В этом случае все коэффициенты дифференциального выражения вносят одинаковый вклад в асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения (3).

3. Основной вклад в асимптотические формулы для решений уравнения (3) вносят промежуточные коэффициенты рк{%), к ф п, либо группа таких коэффициентов. Этот случай называется вырожденным и является наиболее трудным. В этом случае, в отличие от случаев 1) и 2), часть корней характеристического уравнения (4) являются растущими, а часть стремится к нулю при х —" оо.

В работе [16] исследовался вырожденный случай, когда рп (х) = О, рп-{х) ф 0, при некоторых условиях регулярности на функции Рк (х), к = 1, п — 1 и при существенном ограничении на рост функции |рп1(ж)| <А ¦ х2+е, где А> 0, е > 0 — постоянные. В работе [2] рассматривалось дифференциальное выражение у = у{2п) + (-1)1а.х°(у®) при условии, а > ^ ¦ В работе [1] рассматривалось дифференциальное выражение четвертого порядка в вырожденном случае

Iу = у (4) — а ха (у')' + Ъ ха~2у, а>0.

В настоящей работе мы рассматриваем минимальный дифференциальный оператор Ьо, порожденный в ?2(0,00) дифференциальным выражением следующего вида:

1у = (-1 Ту (2п) + Е (-1)кЬ>п-кШк)){к 0 < ® < оо. (5)

Ввиду того, что рп (х) = рп- 1(2) =. = рп-1+1 = 0, этот случай является вырожденным и обобщает случай, рассматриваемый в [16].

0.2 Содержание главы

Глава 1. настоящей диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения при х —^ оо фундаментальной системы решений уравнения

1у = А у, ЬпЛ ф 0 (6) в случае, когда коэффициенты дифференциального выражения являются «медленнорастущими» в следующем смысле. На коэффициенты уравнения (6) накладываются условия регулярности типа Титчмарша-Левитана, смысл которых состоит в том, что функции к =

1, п — I могут расти, но при этом не могут осциллировать. Также предполагается, что растущие корни характеристического уравнения в одну силу и разность действительных частей корней характеристического уравнения не меняет знак для достаточно больших х. На порядок роста функций рк (х), к = 1, п-/ накладываются некоторые условия под-чиненения функции рп^(х), в частности, функции Рк (х), к = 1, п — I могут расти не быстрее некоторой степени функции рп-1(х).

Медленнорастущими" будем называть функции, удовлетворяющие следующим условиям: при этом функция р’п1(х) не меняет знак для достаточно больших х. Очевидно, что последние условия выполнены, например для функций вида где а^ < к/(п — I), апг < 2/, — постоянные.

Вводя столбец из квазипроизводных, уравнение (6) можно переписать в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Оказывается, что характеристическое уравнение для матрицы Л) совпадает с уравнением (4). Исследуя корни уравнения (4), получаем, что ровно 21 из них убывают при х —> оо (/хх,., /¿2г) > остальные же неограниченно возрастают при х —> со (/?гг+ъ. > /-¿2п)

Известно, [12], что если систему дифференциальных уравнений 1-го порядка можно представить в Ь-диагональном виде ьи^)-р¹/2гмн о, 00 О I

Рп-1{х) = А ха, где, А > О, 0 < а < 21 — постоянные, или же

Рк{х) = Ск ¦ хак1пРкх,

У = А{х,)У.

У = (А + Я) У, то асимптотика фундаментальной системы решений уравнения (8) в главном совпадает с фундаментальной системой решений уравнения таким образом, элементы матрицы В не вносят вклад в главный член асимптотики фундаментальной системы решений системы (8).

Чтобы привести систему (7) к Ь-диагональному виду требуется провести ряд замен переменной. После замены где Т (ж, А) — матрица, диагонализующая матрицу .А (ж, А), приходим к системе где С = Т~~1Т', которая еще не является Ь-диагональной, однако порядок роста элементов матрицы С ниже порядка роста элементов матрицы А, что позволяет стандартной заменой и = В г, где В —> I при х —> оо, I — тождественная матрица, получить ¿-диагональную систему. При выполнении описанных условий на коэффициенты дифференциального выражения /у, для фундаментальной системы решений уравнения (6) получены асимптотические формулы при х —> оо :

У = ЛУ,

Г = Ти и = (А — С), у[?+к](х, А) ~ сф, АК^(?, А)? (-1 ГРк-т (х)х

Из данных асимптотических формул в частности видно, что элементы матрицы С (ж, Л) не влияют на главный член асимптотики фундаментальной системы решений системы (7). Заметим, что полученные асимптотические формулы имеют вид, аналогичный известным формулам в [25].

0.3 Содержание главы

Предметом рассмотрения данной главы диссертации ялвяется случай, когда условия медленного роста для функции не выполнены.

Если функция рп/(ж) удовлетворяет ограничению и функция р’п1(х) не меняет знак для достаточно больших ж, то очевидно, что

Такие функции будем называть «быстрорастущими». Очевидно, что таковыми являются, например функции вида рп-1(х) = А ¦ ха, где, А > 0, а > 21 — постоянные, или же рп-1(х) > А -х21+£, А> 0, е > О,

Рп-1(х) -Рп-1 «(з)|→+оо,

1+½/

Рк{х) = ск ¦ хак^кХ, где о^, с*, > 0 — вещественные постоянные.

Основная трудность в рассмотрении данного случая состоит в том, что полученная после диагонализации матрицы А{х, А) матрица С (х, Л) содержит элементы, порядок роста зсоторых при х —> оо выше порядка роста элементов матрицы Л, а именно далее будет показано, что при выполнении описанных условий регулярности и подчинения для коэффициентов дифференциального выражения 1у в данном случае при х —оо справедливо соотношение

Цж, А) — ¿¿¿(ее, А) в силу чего для приведения системы к ¿-диагональному виду требуется производить иные, более сложные преобразования. При этом элементы матрицы С будут вносить вклад в главный член асимптотики для решений фундаментальной системы (7), соответствующих убывающим корням характеристического уравнения. А именно, справедливы следующие асимптотические формулы :

Ш I 21−2″ + к] I 21−2г + 1

Уг%-{х, А) — аф, Х)^(х, Х) рп14' (ж), г — 1,1, к = 0, п,

Г I 7 1 г ^ п 21−2> + гп- О

1 — 1,1, к = 1, п — 1,

X) ~ а7-(ж, Х)^(х, Л) ехр J А)<�з!?, г = 21 + 1,2 п, к = 0, п, ^(а, Л) ~ оф, Л)/2Г*(х, Л)? Л) ехр А) сЙ, т=0 жо

2 = 2Г+ 1, 2гг, к = 1,72 — 1.

Асимптотические формулы теорем 1 и 2 позволяют в ряде случаев находить индексы дефекта минимального дифференциального оператора > порожденного дифференциальным выражением (5). Их исследованию посвящена

глава 3.

0.4 Содержание главы

В третьей главе диссертации исследуются индексы дефекта минимального дифференциального оператора 5 порожденного самосопряженным выражением (5) в ряде частных случаев. Пример 1.

Пусть Рп-1{х) — положительная дважды непрерывно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям 2) и 3) теоремы 1. Пусть для к = 1, п — I + Т

Рк{х) = ск 2С, г (ж)} где Ск ~ вещественные постоянные. Очевидно, что в этом случае выполнены условия 1) и 4)-6) теоремы

1.2. Полагая в := /л-рп (ж), уравнение (4) можно переписать в виде з2М + Е (-1)*сь ¦ = (-1г4г. (7)

I ^) Рп

Ровно 21 корней этого уравнения стремятся к нулю при х —У оо, а остальные корни ] = 21 + 1,2тг ведут себя при х —у со как решения уравнения с постоянными коэффициентами:

82(п-1) + ^ (1)*СА. Л2(п-1-к) = о^ (8) обозначим ИХ

Обозначим так же число чисто мнимых решений уравнения (9) через 2 г. Справедлива следующая:

Теорема 3.1.

Пусть рк (х) = Рп-? 1х) и выполнены условия 2), 3) теоремы 1. Тогда индексы дефекта минимального дифференциального оператора порожденного в Ь2[хо, оо) дифференциальным выражением (5) суть (п + г, п + г), если интеграл о? ап

РпТ21№ (9) сходится, и (гг, п), если этот интеграл расходится. Пример 2.

Пусть рп-1(х) — положительная, начиная с некоторого достаточно большого жо, быстрорастущая, дважды непрерывно-дифференцируемая функция, и пусть для & = 1, п — / -Ь рк (х) = ск где сь, — вещественные постоянные. Очевидно, что в этом случае выполнены условия регулярности и справедлива следующая теорема:

Теорема 3.2.

Индексы дефекта минимального дифференциального оператора Ьц, порожденного в Х-2[жо, оо) дифференциальным выражением (5) суть (п + г, п + г).

Замечание 1.

Аналогично рассматривается случай, когда х) — отрицательная, начиная с некоторого ж о, функция. Замечание 2.

Результаты теорем 3.1 и 3.2 остаются справедливыми, если предположить, что рпг (ж) — положительная дважды непрерывно-дифференцируемая функция, и для к = 1, п — / 4- 1 выполняется

-рпЦ1{х) = ск, где сь — вещественные постоянные.

Пример 3. Рассмотрим двучленное дифференциальное выражение у = (^ту2п + (-^)рп-1{х)у[ч1) ¦ (п)

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению

1у = Ху, имеет довольно простой вид: в2(п-0 + = о, Рпг (ж) >0, Я > 30,

52(га-г) + (-1)"~/+1 = 0, рп-1{х) <0, ®> ®-о, и его нетрудно исследовать. Для дифференциального выражения (11) получены следующие результаты. В случае, когда рп-1(%) ~ положительная, начиная с некоторого жо, дважды непрерывно дифференцируемая: и для нее выполнены условия медленного или быстрого роста, индексы дефекта минимального дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением (11) суть (п, п).

Пусть рп1(х) — отрицательная, начиная с некоторого жо" дважды непрерывно дифференцируемая и для нее выполнены условия медленного или быстрого роста. Тогда индексы дефекта минимального дифференциального оператора Х-о, порожденного дифференциальным выражением (11) суть (п + 1, п + 1), если интеграл (10) сходится и (п, п), если интеграл (10) расходится.

Из последних двух утверждений нетрудно получить следствие для следующего частного случая. Пусть рп/(ж) = а ¦ ха, о- > 0. Тогда при, а > 0 индексы дефекта оператора суть (и, п), при, а < 0 индексы дефекта оператора Ь0 суть (п, п), если, а <, и (п + 1, п + 1), если

Следующий пример 4 показывает, что существуют операторы, для которых уравнение (10) имеет чисто мнимые корни. Пример 4.

Пусть п = 5, / = 3, С2 = 4, с = — 5. В этом случае минимальный дифференциальный оператор ¿о, порожден дифференциальным выражением

1у = -у[Щ + Ыр1! х)уМ)М — 4М%(3))(3)

Следовательно, при выполнении условий регулярности индексы дефекта оператора Lq равны (7, 7), если интеграл P~Ht)dt х сходится и (5,5), если данный интеграл расходится.

В примере 5 рассмотрен оператор четвертого порядка в вырожденном случае при условии, что функция р (х) является медленнорастущей. Выписаны асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения 1у — X у, исследованы индексы дефекта соответствующего минимального дифференциального оператора.

0.5 Содержание главы

В данной главе даны

приложения результатов глав 1−3 к исследованию спектра самосопряженных расширений минимального дифференциального оператора и доказан ряд теорем. В случае примера 1:

Теорема 4.1.

Пусть выполнены все условия теоремы 1 и интеграл (10) сходится. Тогда если I — четное, то непрерывный спектр всякого самосопряженного расширения Lu оператора Lq, порожденного дифференциальным выражением (5) на отрезке [жд, оо) заполняет всю ось X, если I — нечетное} то непрерывный спектр заполняет ось X signpni (x) <О, дискретный спектр находится на оси X signpn-i{x)> 0.

Теорема 4.2.

Пусть выполнены все условия теоремы 1 и интеграл (10) расходится. Тогда

1) если I — четное, либо уравнение (9) имеет 2 г чисто мнимых корней, то непрерывный спектр всякого самосопряженного расширения Lu оператора Lq, порожденного дифференциальным выражением (5) на отрезке [жо, оо) заполняет всю ось А-

2) если I — нечетное, и уравнение (8) не имеет чисто мнимых корней, то непрерывный спектр всякого самосопряженного расширения Ьи оператора Lq, порожденного дифференциальным выражением (5) на отрезке [жо, оо) заполняет ось Л — sign pn^i{x) <0, а дискретный спектр находится на оси А sign pn-i(x)> 0.

В случае примера 2:

Теорема 4.3.

Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда спектр всякого самосопряженного расширения Lu оператора, порожденного дифференциальным выражением (5) на отрезке (0,оо) дискретен, резольвента R во всех точках регулярности Л является интегральным оператором с ядром Гильберта-Шмидта.

Автор выражает благодарность за помощь в подготовке диссертации своему научному руководителю проф. Султанаеву Я.Т.

1 Исследование асимптотического поведения фундаментальной системы решений уравнения 1у = у. Случай медленнорастущей фукнции pni (x).