Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Развитие теории универсальных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания

Диссертация: Развитие теории универсальных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Вместе с тем, существуют и другие примеры универсальных регуляторов. Один из самых простых примеров такого регулятора — стандартный линейный регулятор, порождающий оптимальный процесс в задаче линейно-квадратичной оптимизации при произвольных неизвестных начальных данных объекта управления. Задолго до формирования теории адаптивного управления, в 1939 г. Г. В. Щипановым был поставлен вопрос… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Основные задачи и обзор известных результатов
    • 1. 1. Задачи инвариантности и асимптотического отслеживания
    • 1. 2. Универсальные регуляторы в задачах линейно-квадратичной оптимизации
  • 2. Параметризация стабилизирующих регуляторов
    • 2. 1. Основные понятия и обозначения
    • 2. 2. Общий вид стабилизирующего регулятора
    • 2. 3. Реализуемость стабилизирующих регуляторов
  • 3. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и асимптотического отслеживания
    • 3. 1. Некоторые понятия и обозначения
    • 3. 2. Решение задачи об инвариантности системы управления
    • 3. 3. Приближенное решение задачи инвариантности без измерения внешнего воздействия
    • 3. 4. Задача асимптотического отслеживания
  • 4. Универсальные регуляторы в линейно-квадратичных задачах оптимального отслеживания
    • 4. 1. Введение
    • 4. 2. Вспомогательные бесконечномерные задачи оптимизации
    • 4. 3. Универсальные регуляторы для отслеживания полигармонических внешних сигналов
    • 4. 4. Универсальные регуляторы в линейно-квадратичных задачах оптимального отслеживания стохастических сигналов

Развитие теории универсальных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Задачи управления неопределенными системами имеют чрезвычайно большое практическое значение, поскольку параметры и внешние условия функционирования любой реальной системы, как правило, неизвестны или известны неточно. Вопросы управления в условиях неопределенности послужили стимулом к развитию целого ряда разделов современной теории управления, в том числе минимаксной оптимизации, стохастического управления, адаптивного управления, теории абсолютной устойчивости и др.

Процессы неопределенной системы, удовлетворяющие цели управления, обычно зависят от неизвестных параметров и явно быть найдены не могут. Тем не менее, в некоторых задачах управления неопределенными системами существуют регуляторы (операторы обратной связи, формирующие управление по выходу системы), не зависящие от неизвестных параметров системы, но при этом обеспечивающие достижение цели управления при любых значениях этих параметров. Такой регулятор, решающий по сути одновременно целое семейство задач управления, будем следуя [72,97] называть универсальным (в данной задаче для данного класса неизвестных параметров).

Несмотря на то, что существование универсальных регуляторов кажется «исключительным» свойством, такие регуляторы удается построить для целого ряда важных задач. Большинство примеров регуляторов такого рода дает теория адаптивного управления. Применяя методы данной теории, удается построить универсальные регуляторы специальной структуры (содержащие контур «подстройки параметров»), называемые адаптивными, в целом ряде задач стабилизации, минимаксного и стохастического оптимального управления, фильтрации и др. с неопределенным объектом управления.

Точные постановки подобных задач, а также определение адаптивного регулятора могут быть найдены, например, в работах [59,61,94] и многих других (см. ссылки в указанных источниках).

Вместе с тем, существуют и другие примеры универсальных регуляторов. Один из самых простых примеров такого регулятора — стандартный линейный регулятор, порождающий оптимальный процесс в задаче линейно-квадратичной оптимизации при произвольных неизвестных начальных данных объекта управления. Задолго до формирования теории адаптивного управления, в 1939 г. Г. В. Щипановым был поставлен вопрос о существовании универсального 1 регулятора, обеспечивающего асимптотическую стабилизацию выхода системы при наличии в системе неизвестного внешнего возмущения. В этой задаче, получившей позже название задачи инвариантности, в роли неизвестного параметра выступает внешнее воздействие, то есть элемент бесконечномерного пространства.

Проблема инвариантности практически сразу привлекла к себе внимание специалистов и стала предметом серьезной дискуссии, продолжавшейся в течение нескольких десятилетий. Однако, несмотря на значительное число работ по этой проблематике, полного решения задачи инвариантности, которое включало бы условия разрешимости и полное описание множества универсальных регуляторов, решающих задачу, получено не было.

Получение полного описания универсальных регуляторов в задаче инвариантности, близкой к ней задаче асимптотического отслеживания и некоторых естественно обобщающих указанные проблемы линейно-квадратичных задачах оптимального управления и является целью настоящего диссертационного исследования.

1по терминологии Г. В. Щипанова [67] - «идеального универсального» .

Опишем содержание диссертационной работы. Первая глава является вводной, посвящена историческому обзору известных результатов и описанию рассматриваемых в дальнейшем задач. Раздел 1.1 посвящен истории задач инвариантности и асимптотического отслеживания, раздел 1.2 — линейно-квадратичным задачам оптимизации при неизвестных внешних сигналах.

В главе 2 приводятся вспомогательные утверждения о параметризации множества стабилизирующих линейного регуляторов для данного линейного объекта. Данная параметризация были установлена для основных случаев в работах В. А. Якубовича и несколько более удобна для применения в рассматриваемых задачах, нежели стандартные параметризации регуляторов. В параграфе 2.1 вводятся основные понятия и обозначения. Основным является раздел 2.2, где доказываются утверждения об общем виде стабилизирующего регулятора. Наконец, раздел 2.3 посвящен изучению вопроса о реализуемости (в различных смыслах) стабилизирующих регуляторов.

Глава 3 посвящена решению задач об инвариантности системы управления и асимптотическом отслеживании. В разделе 3.1 приводятся постановки задач и используемые в дальнейшем обозначения. В разделе 3.2 приводится полное решение задачи об инвариантности системы управления. В разделе.

3.3 рассматривается вопрос о возможности приближенного решения задачи инвариантности в ситуации, когда точное решение невозможно. Раздел.

3.4 посвящен задаче синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечивающего отслеживание произвольного (заранее неизвестного) задающего сигнала.

Глава 4 посвящена исследованию некоторые линейно-квадратичные задачи оптимального управления при наличии в системе внешних сигналов. Эти задачи естественно обобщают задачи инвариантности и отслеживания на случай, когда условия их разрешимости не выполнены. Универсальный регулятор в классе всевозможных внешних сигналов в подобных задачах оптимизации, как правило, не существует, однако сохраняется возможность построения универсального регулятора в более узком классе внешних сигналов. Раздел 4.1 содержит постановки двух таких задач: задачи об оптимальном отслеживании (с одновременным подавлением вынужденных колебаний) полигармонического сигнала с известным спектром, но с неизвестными амплитудами, и аналогичной задачи для стохастических стационарных сигналов с неизвестной, но быстро убывающей спектральной плотностью. Первая из этих задач решена в разделе 4.3, а вторая — в разделе 4.4. В разделе 4.2 исследуются вспомогательные задачи оптимизации в гильбертовом пространстве.

В Приложение вынесены некоторые критерии равномерной малости выхода линейной системы на установившемся режиме при произвольном ограниченном внешнем входе, которые используются при решении задачи о приближенной инвариантности.

Заключение

.

Как правило, в задачах управления неопределенными системами невозможно явно найти процесс системы, который удовлетворял бы целевым условиям, невозможно, поскольку такой процесс определяется неизвестными параметрами системы. Однако известны ситуации, когда задача управления в условиях неопределенности имеет решение в виде универсального регулятора. Так называются операторы обратной связи, которые не зависят от неизвестных параметров, и вместе с тем для любых значений этих параметров обеспечивают выполнение цели управления. По сути дела такой регулятор одновременно решает целое семейство задач управления.

Диссертационная работа посвящена изучению вопроса о существовании универсальных регуляторов в классических задачах инвариантности и асимптотического отслеживания (в обеих задачах неизвестным параметром является функция, поступающая на вход системы, в первом случае имеющая смысл «нежелательного» внешнего воздействия, а во втором — задающего сигнала). Несмотря на длинную историю этих задач, полного их решения до сих пор получено не было. Кроме того, строятся универсальные регуляторы в некоторых линейно-квадратичных задачах оптимального отслеживания и подавления вынужденных колебаний при неизвестных внешних сигналах.

Перечислим основные результаты работы:

1) Получено полное описание регуляторов, решающих задачу об инвариантности системы управления (показывается, в том числе, что для разрешимости задачи необходимо выполнение условия, близкого к минимальнофазо-вости объекта). Изучается важный вопрос о достижимости инвариантности в условиях, когда внешнее воздействие не измеряется.

2) Изучен вопрос о приближенном решении задачи инвариантности, когда точное решение без измерения внешнего воздействия невозможно. Показано, что если объект минимальнофазовый (или удовлевторяет близкому условию) и неизмеряемое внешнее воздействие ограничено или имеет ограниченную производную какого-либо порядка, то задачу инвариантности можно решить приближенно с произвольной точностью. Формулы для соответствующих регуляторов близки к формулам, предложенным М. В. Мееровым [35], однако в отличие от этой и других работ по приближенной инвариантности, доказывается равномерная малость «установившегося» выхода системы. Это свойство не следует из равномерной малости передаточной функции.

3) Получено полное описание регуляторов, решающих задачу об отслеживании неизвестного заранее задающего сигнала.

4) Изучена общая задача линейно-квадратичной оптимизации при наличии в системе полигармонических внешних сигналов с известным спектром, но неизвестными амплитудами. Данная задача включает в качестве частных случаев задачи оптимального отслеживания и оптимального подавления колебаний и является естественным обобщением задач инвариантности и отслеживания на случай, когда необходимые условия их разрешимости не выполнены. Доказано существование линейных универсальных регуляторов, которые при любых внешних сигналах из указанного класса порождют оптимальный (на очень широком множестве) процесс в задаче.

5) Рассмотрена аналогичная линейно-квадратичная задача для случая, когда внешние сигналы есть стационарные случайные процессы с неизвестной спектральной плотностью, для которой задана лишь мажорирующая ее быстро (например, экспоненциально) убывающая функция. Построен линейный регулятор, который при любой спектральной плотности из указанного класса порождает субоптимальный (на широком множестве) с заданным уровнем оптимальности процесс в задаче.

Отметим, что в отличие от предшествующих результатов, указанные в пунктах 1−3 задачи рассмотрены не только для обыкновенных дифференциальных уравнений, но и для систем с запаздываниями.

При решении упомянутых задач использованы, в частности, частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана) для однопараметрических Со-полугрупп, некоторые результаты М. Г. Крейна об аппроксимации функций, а также параметризация стабилизирующих регуляторов, предложенная для основных случаев В. А. Якубовичем и более удобная для рассматриваемых задач, чем стандартные параметризации.

Показать весь текст

Список литературы

  1. М.А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем, М., Изд-во АН СССР, 1963
  2. А.Л., Витт А. А., Хайкин С.Э.Теория колебаний, Физматлитиз-дат, 1959
  3. А.В. Прикладной функциональный анализ, М., Наука, 1980
  4. Барабанов А. Е. Синтез минимаксных регуляторов, СПб, Изд-во СПб-ГУ, 1996
  5. Р., Кук К.Дифференциально-разностные уравнения, М., Мир, 1967
  6. И.Н. К вопросу о выборе схемы регулирования теплофикационных турбин//За советское энергооборудование, 1934, вып.6, с.58−65
  7. И.Н. О причинах и схемах автоматического регулирования/ /Прикладная математика и механика, 1942, т.6, с.101−110
  8. Ф.Р. Теория матриц, М., Наука, 1971
  9. А.Х., Леонов Г. А., Якубович, В.А. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия, М., Наука, 1978
  10. И.М., Виленкин Я. Н. Обобщенные функции, вып.4: Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., Физматгиз, 1961
  11. Н., Шварц Дж.Т.Линейные операторы (общая теория), М., ИЛ, 1962
  12. Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения, М., Наука, 1983
  13. Г. Ф., Стеклов В.К. Комбинированные следящие системы, Киев, Техника, 1976
  14. Ивахненко А. Г. Техническая кибернетика, Киев, Гостехиздат, 1959
  15. К. Функциональный анализ, М., Мир, 1967
  16. А.Ю. О компенсации внешних возмущений, вызванных маневрированием в гироскопических системах// В кн.: Тр. Всесоюз. со-вещ. по теории инвариантности и ее применениям в автоматических устройствах. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. С. 81−92.
  17. Красовский А.А.(ред.) Справочник по теории автоматического управления, М., Наука, 1987
  18. М.Г. Об одном обобщении исследований Г.Сегё, В. И. Смирнова и А. Е. Колмогорова! J Доклады АН СССР, 1945, т.46, с.95−98
  19. B.C. О применимости принципа абсолютной инвариантности в физически реальных системах//ДАН СССР, 1948, т.60, N2, с.231−234
  20. B.C. Об основных задачах и методах повышения качества автоматических регулируемых систем// В сб.:Тр. 2-го Всесоюз. совещ. по теории автоматического регулирования, т.2, Изд-во АН СССР, 1955
  21. B.C. Высококачественные инвариантные системы регулирования// В сб.:Тр. Всесоюз. совещ. по теории инвариантности и ее применениям в автоматических устройствах. Киев: Изд-во АН УССР, 1959
  22. Кулебакин В. С .Теория инвариантности автоматически регулируемых и управляемых системI/ В сб.: Тр. I Международного конгресса ИФАК, М., Изд-во АН СССР, 1961
  23. B.C., Ларичев О. И. О полиинвариантности в системах автоматического регулирования//Известия ОТН, серия «Энергетика и автоматика», 1961, N5
  24. А.И. Проблема инвариантности в автоматике, Киев: Техника, 1963, 270с.
  25. А.И. Основные этапы формирования терии инвариантности//Автоматика, 1984, N2, с.3−13- 1985, N2, с.3−14- 1985, N6, с.3−14
  26. Лакота Н.А.(ред.) Основы проектирования следящих систем, М. Машиностроение, 1978
  27. В.Б., Науменко К. И., Сунцев В.Н. Спектральные методы синтеза линейных схем с обратной связью, Киев, 1971
  28. ЛезинаЗ.М., Лезин В.И.(сост.) Г. В. Щипаное и теория инвариантности, М., Физматлит, 2004
  29. А., Якубович В. А. Универсальные регуляторы для оптимального отслеживания сигналов в линейных дискретных системах.// Доклады РАН, 1998, т.361, N 2, с.177−180.
  30. A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем, М., Го-стехиздат, 1955
  31. A.JI., Якубович В. А. Частотная теорема для однопара-метрических полугрупп// Известия АН СССР, серия «Математика», N4, 1977, с.895−911
  32. А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, М., Гостехиздат, 1951
  33. Н.Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений/ / Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.3−66
  34. Н.Н., Кузнецов П. И. К абсолютной инвариантоности и инвариантности до е в теории дифференциальных уравнений, ч.1,2 //ДАН СССР, 1946, Т.51, N4, С.247−250 и N5, с.331−334.
  35. М.В., Синтез структур автоматического регулирования высокой точности, М., Физматгиз, 1959
  36. М.В., Системы многосвязного регулирования, М., Наука, 1985
  37. А.В. О методе проектирования регуляторов, предложенном Г.В.Щипановым //Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.129−143.
  38. Л.Н. Некоторые замечания относительно теории полной компенсации возмущений//Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.145−154
  39. Р.А. Методы исследования нелинейных систем, М., Наука, 1975
  40. Е.Л. О работе Г.В.Щипанова//Прикладная математика и механика, 1942, Т.6, вып.1, с.11−23.
  41. Первозванский А. А .Курс теории автоматического управления, М., Наука, 1986
  42. .Н. О реализуемости условий инвариантности //В кн.: Тр. Всесоюз. совещ. по теории инвариантности и ее применениям в автоматических устройствах. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. С. 59−80.
  43. Петров Б. Н .Принцип инвариантности и его применимость при расчете линейных и нелинейных систем//В кн.: Тр. I Международного конгресса ИФАК, М., Изд-во АН СССР, 1961
  44. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения, М. Судостроение, 1973
  45. В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования// Автоматика и телемеханика, 1961, т.22, N8
  46. В.М. Гиперустойчивость автоматических систем, М., Наука, 1970
  47. А.В. О построении регуляторов, обеспечивающих почти инвариантность системы управления//Вестник СПбГУ, 2002, вып.4, с.37−43
  48. А.В. О свойствах системы управления, обеспечивающих малость установившегося выхода//Вестник СПбГУ, 2004, вып.1, с.43−49
  49. А.В., Якубович В. А. Задача об инвариантности системы управления//Доклады РАН, 2003, т.389, N6, с.742−746
  50. А.В., Якубович В. А. Приближенное решение задачи об инвариантности системы управления//Доклады РАН, 2003, т.392 N6 с. 750−754
  51. А.В., Якубович В. А. Задача об абсолютной инвариантности для систем управления с запаздываниями/fjоклады РАН, 2004, т.397, N5, с.610−614
  52. А.В., Якубович В. А. Синтез стабилизирующего регулятора в задаче отслеживания//Доклады РАН, 2005, т.404, N3, с.321−325
  53. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление, М., Наука, 1978
  54. Рябов Б. А .Автоматическое регулирование постоянства подачи воздуха при подземной газификации углей//Автоматика и телемеханика, 1939, N4, с.26−35
  55. .А. Возникновение, развитие и состояние теории инвариантности/ / В сб. «Теория инвариантности в системах автоматического управления», М., Наука, 1964, с.10−18
  56. Уланов Г. М. Регулирование по возмущению, М., Госэнергоиздат, 1960
  57. У.М. Линейные многомерные системы управления, М., Наука, 1980
  58. А.А. Вычислительные устройства в автоматических системах, М., Физматгиз, 1959
  59. Фомин В. Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация, Изд-во ЛГУ, 1972
  60. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами, Изд-во ЛГУ, 1985
  61. В.Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами, М., Наука, 1981
  62. A.JI. Адаптивная стабилизация минималънофазового объекта с векторным входом без измерения производных выхода//Доклады РАН, 1994, т.337, N5, с.592−594
  63. Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений, М., Мир, 1984
  64. С.А., Гантмахер Ф. Р. Анализ основных положений работы Г.В.Щипанова «Теория и методы построения автоматических регуляторов «//Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.41−49.
  65. А.С., Якубович В. А. Оптимальное отслеоюивание гармонических сигналов в линейных системах при наличии помех в измерениях.// ДАН, 1997, т.353, N 1, с.29−33
  66. Щипанов Г. В. Гироскопические приборы слепого полета, Оборониз, 1938
  67. Г. В. Теория и методы построения автоматических регуляторов //Автоматика и телемеханика, 1939, N1, с.4−37.
  68. В.А. К теории адаптивных систем.//ДАН СССР, т.182, N 3, с.518−522
  69. В.А. Оптимизация и инвариантность линейных стационарных систем управления//Автоматика и телемеханика, 1984, N8, с.5−44
  70. В.А. Линейно-квадратичная задача оптимального гашения вынужденных колебаний при неизвестном гармоническом внешнем воздействии.// Доклады РАН. т.332, N2, 1993, с. 170−172.
  71. В.А. Оптимальное гашение вынужденных колебаний по заданному выходу системы.// Доклады РАН, т.337., N 3, 1994, с.323−327
  72. В.А. Универсальные регуляторы в стохастических задачах управления линейными стационарными объектами.// Автоматика и телемеханика, 1997, N6, с. 170−182
  73. В.А. Задача об оптимальном отслеживании детерминированных гармонических сигналов с известным спектром.// Доклады РАН, т.337, N 4, 1994, с.463−466.
  74. В.А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания// Доклады РАН, 1995, том 343, N 2, с.172−175
  75. В.А. Универсальные регуляторы в линейно-квадратичной задаче оптимального отслеживания.// Докл. РАН, 1996, т.348, N3, 313 317
  76. В.А. Универсальный регулятор для оптимального гашения вынужденных колебаний в линейных системах с запаздыванием.// Докл. РАН, 1996, т.346, N 3, с.319−323.
  77. В.А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия.// Докл. РАН, т.380, N 1, 2001, с. 27−30
  78. Astrom K.J. Introduction to Stochastic Control Theory Lund-N.Y.: Academic Press, 1970
  79. Brockett R. New Issues in the Mathematics of Control, In: Mathematics Unlimited 2001 and Beyond, Engquist B. and Schmid W. (Eds.), Springer, 2001, pp. 189−220
  80. Cruz J.В., Perkins W.R. Conditions for Signal and Parametrical Invariance in Dynamical Systems// IEEE Transactions on Automatic Control, 1966, pp.614−615
  81. E.J.Davison and A. Goldenberg, Robust control of a general servomechanism problem: The servo compensator//Automatica 11 (1975), 461 -471.
  82. E.J.Davison and B.M.Scherzinger, Perfect control of the robust servomechanism problem, IEEE Transactions on Automatic Control AC-32 (1987), 689 -702.
  83. Desoer C.A., Liu R.W., Murray J., Saeks R. Feedback system design: the fractional representation approach//IEEE Transactions on Automatic Control, AC-25, 1980, pp.399−412
  84. Desoer C.A., Vidyasagar M. Feedback systems: input-output properties, Academic Press, New York, San Francisco, London, 1975
  85. Francis B.A. Linear Multivariable Regulator Problem //SIAM J. Contr. and Opt., 1977, v.15, N3, pp.486−504
  86. Francis B.A. Course in H^ control theory, Springer-Verlag, New York, Berlin, Tokyo, 1988
  87. B.A.Francis and W.M.Wonham, The internal model principle of control theory Automatica 12 (1977), 457−465.
  88. Hoagg J.В., Bernstein D.S. Direct Adaptive Dynamic Compensation for Minimum Phase Systems with Unknown Relative Degree//Proceedings of 43rd IEEE Conference on Decision and Control, Atlantis, Paradise Island, Bahamas, 2004, pp. 183−188
  89. Lindquist A., Yakubovich V.A. Optimal Damping of Forced Oscillations in Discrete-Time Systems.// IEEE Transactions on Automatic Control, 1997, v.42, N 6, pp.786−802.
  90. Lindquist A., Yakubovich V.A. Universal Regulators for Optimal Tracking in Discrete-Time Systems Affected by Harmonic Disturbances./] IEEE Transactions on Automatic Control, AC-44, No 9, 1999, pp. 1688−1704.
  91. Makarov I.A., Zuber I.E., Yakubovich V.A. Trajectory Tracking Problem for Automatic Steering and Related Topics.// Transactions of French-Russian A.M.Liapunov Institute for Applied and Computer Science, Moscow, Russia, v.2, 2001, pp.5−19.
  92. Minorsky N. Directional Stability of Automatically Steering Bodies// J.Amer.Soc. Naval Eng., 1922, v.34, N2, pp.280−309
  93. Proskurnikov A.V. Universal regulators for optimal tracking of poly harmonic signals in delay systems, Preprints of 10th International Students Olympiade on Automatic Control (Baltic Olympiade), pp.7−11, St.-Petersburg, May 2004
  94. Sastry S., Bodson M. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness, Prentice Hall, New Jersey, 1989
  95. Wiener N., Hopf E. Uber eine Klasse Singularer Integral Gleichun-#en//Sitz.Acad.Bull., 1931, s.696−706
  96. Wonham W.M. Linear Multivariable Control: a Geometric Approach, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1980
  97. Yakubovich V.A. Universal Regulators in Linear-Quadratic Optimization Problem. In «Trends in Control: a European Perspective», Alberto Isidori (Ed.), 1995, pp.53−67.
  98. Youla D.C., Jabr H.A., Bongiorno, J.J. Modern Wiener-Hopf Design of Optimal Controllers, Part II j j IEEE Transactions on Automatic Control, AC-21, No 3, 1976, pp.319−338
Заполнить форму текущей работой

На отлично!