Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Неравенства Гамильтона-Якоби в задачах оптимального управления дискретно-непрерывными системами

Диссертация: Неравенства Гамильтона-Якоби в задачах оптимального управления дискретно-непрерывными системами
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

ПМ для задач управления с промежуточными фазоограничениями из не вполне завершен: не установлено существование универсальных множителей Лагранжа, соответствующих оптимальному процессу задачи (что интерпретировалось как «явление распадения ПМ»). В последствии автор естественным образом модифицировал свое доказательство и устранил недостаток. тимизации дискретно-непрерывных (гибридных) динамических… Читать ещё >

Содержание

  • 0. 1. Монотонные ¿-функции: определения и критерии в форме неравенств Гамильтона-Якоби
  • 1. Бипозиционные решения неравенств Гамильтона-Якоби в классической задаче оптимального управления
    • 1. 1. Постановка задачи
    • 1. 2. Канонические достаточные условия оптимальности. Сравнение с альтернативными подходами
      • 1. 2. 1. Базовые К-достаточные условия оптимальности
      • 1. 2. 2. Модифицированные достаточные условия Кротова с множеством ¿-функций. ^
      • 1. 2. 3. Модифицированные достаточные условия Каратеодори
    • 1. 3. Бипозиционные ¿-функции и канонические условия оптимальности
      • 1. 3. 1. Оценки и точное описание интегральных воронок
      • 1. 3. 2. Оценки множества соединимых точек
      • 1. 3. 3. Необходимые и достаточные условия оптимальности
    • 1. 4. Анализ достаточных условий оптимальности
    • 1. 5. Условия оптимальности с бипозиционными ¿-функциями в неклассической линейно-квадратичной задаче оптимального управления
    • 1. 6. Производящие функции и нестандартная двойственность
    • 1. 7. Примеры
  • 2. Канонические условия оптимальности в задачах управления дискретно-непрерывными системами
    • 2. 1. Постановка задачи
    • 2. 2. Необходимые и достаточные условия оптимальности с бипо-зиционными L -функциями
    • 2. 3. Достаточные условия в форме принципа максимума Понтря-гина
    • 2. 4. Макроэкономическая модель оптимизации перехода к новой технологии
    • 2. 5. Связь общих достаточных условий оптимальности с биэкс-тремалями системы и принципом максимума Понтрягина
    • 2. 6. Теоретические
  • приложения, обобщения и примеры
    • 2. 6. 1. Задачи с разрывной зависимостью по времени
    • 2. 6. 2. Исследование экстремалей с разрывным управлением
    • 2. 6. 3. Использование производящих функций
  • 3. Монотонность, достижимость и оптимальность в задачах управления дискретными системами
    • 3. 1. Монотонные L -функции для дискретных систем
    • 3. 2. Внешние оценки множества соединимых точек (Достаточные условия оптимальности
    • 3. 3. Анализ достаточных условий оптимальности и примеры
    • 3. 4. Достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума
    • 3. 5. Необходимые условия оптимальности со слабо монотонными и производящими функциями
      • 3. 5. 1. Применение слабо монотонных L-функций
      • 3. 5. 2. Производящие функции в задаче оптимизации, линейной по состоянию
    • 3. 6. Оптимизация дискретно-импульсных систем

    • Неравенства Гамильтона-Якоби в задачах оптимального управления дискретно-непрерывными системами (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

    Актуальность работы. Дискретно-непрерывные динамические системы различной природы (составные, многоэтапные, импульсные) в последнее время стали объектом пристального внимания специалистов по динамике систем и оптимальному управлению. Объясняется это богатыми приложениями в механике, робототехнике, оптике, экономике, экологии и в других областях науки, которые потребовали применения сложных моделей, объединенных собирательным термином «гибридные». Системы этого широкого класса характеризуются наличием двух типов динамики — дискретной и непрерывной, и являются интересными с точки зрения математических свойств. Данная работа посвящена качественному исследованию задач оптимального управления дискретно-непрерывными системами.

    Необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина (ПМ) для различных классов гладких дискрет по непрерывных задач оптимального управления были получены в целой серии работ. Их систематическое изложение дано в монографии Л. Т. Ащепкова [9]. В ней в качестве базовой модели выбрана задача оптимального управления с промежуточными (многоточечными) фазовыми ограничениями. Она оказалась достаточно удобной и универсальной не только для дискретно-непрерывных задач динамической оптимизации, но и для задач оптимизации разрывных систем. На это впервые обратил внимание В.В. Вели-ченков указанной монографии этот факт последовательно раскрыт и реализован. Отметим, что в ней (и во многих других работах) доказательство ПМ основано на довольно трудоемкой технике многоточечного игольчатого варьирования управления1. В недавних работах A.B. Дмитрука и А. М. Кагановича [26,122] детально показано, что намного более короткое и естественное доказательство принципа максимума может быть получено, если свести дискретно-непрерывную задачу оптимального управления к классической с общими (не разделенными) концевыми ограничениями. Это сведение достигается путем «размножения» фазовых и управляющих переменных, восходящего к работам Ю. М. Волина и Г. М. Островского [17], в комбинации с заменой времени. Иная техника вывода ПМ использована A.B. Арутюновым и А. И. Околевичем [103] для дискретно-непрерывных задач оптимизации со смешанными ограничениями (в отсутствие включения ueU).

    Большая серия работ Ф. Кларка, Р. Винтера, Г. Зуссмана, М. Гаравелло, Б. Пиколли и др. [118,119,132,147,148] посвящена «гибридному» принципу максимума для негладких дискретно-непрерывных задач оптимального управления. Исследуемые в них модели обладают большой общностью и требуют изощренной техники негладкого и вариационного анализа. Однако в гладких вариантах этих моделей полученные принципы максимума сводятся к уже упомянутым выше (и, в конечном счете, к классическому ПМ).

    Отметим также задачи оптимального импульсного управления, которые в некоторых постановках имеют дискретно-непрерывный (гибридный) характер, но весьма специфичны как по методам анализа, так и результатам (их достаточно обстоятельное изложение до уровня принципа максимума и обзор литературы см. в [68]).

    Обратим внимание, что во всех работах по дискретно-непрерывным задачам оптимального управления вопрос об обращении ПМ в достаточное условие оптимальности рассматривается только для линейно-выпуклых задач и нормальных экстремалей (например, в [9,68]). Для гораздо более общих задач и экстремалей такое обращение получено в диссертации.

    Достаточные условия оптимальности для различных классов задач оп.

    1ПМ для задач управления с промежуточными фазоограничениями из [9] не вполне завершен: не установлено существование универсальных множителей Лагранжа, соответствующих оптимальному процессу задачи (что интерпретировалось как «явление распадения ПМ»). В последствии автор естественным образом модифицировал свое доказательство и устранил недостаток. тимизации дискретно-непрерывных (гибридных) динамических систем получались путем обобщения метода В. Ф. Кротова [60,136] (в зарубежной литературе аналогичные результаты часто связываются с родственным методом проверочных функций К. Каратеодори [102,114,144,156]) и метода динамического программирования Р. Беллмана [16,115] — через использование квазивариационных неравенств для субрешений одноименного уравнения. Отметим здесь цикл работ, выполненных под руководством В. И. Гурмана [24], А. Б. Куржанского [54] (оптимальный синтез в линейно-выпуклых задачах), Ж.-П. Обена [104,105] (примыкающих по технике оперирования функциями типа Ляпунова), М. С. Браникки (M.S. Branicky) [111], а также Р. Винтера с Г. Гелбрайтом [131], Л. Т. Ащепкова [9] и др. [10,11, 24, 32, 34,110,131,133,134] (ввиду широты проблематики этот перечень отнюдь не полон).

    Значительная часть диссертации выполнена в русле этих исследований, но отличается следующими особенностями:

    • в соответствии с канонической теорией оптимальности Гамильтона-Якоби [3,29,33,35−38,123,140,141], достаточные и необходимые условия формулируются в терминах множеств функций типа Ляпунова (Lфункций) — сильно и слабо монотонных решений соответствующих квазивариационных неравенств Гамильтона-Якоби (в общем случае не гладких) — эти функции используются для построения внешних и внутренних оценок достижимых состояний управляемой динамической системы2;

    • используется новый класс решений неравенств Гамильтона-Якоби, параметрически зависящих от начальной (или финальной) позиции.

    В первой главе диссертации показано, что введение этого класса функций, названных бипозиционными, естественно уже для классических задач оптимального управления с общими концевыми ограничениями. В этой же главе установлено, что канонические достаточные условия оптимальности эффективнее условий Каратеодори и Кротова даже в модифицированных вариантах — с использованием множеств сильно монотон.

    2Для классических задач оптимального управления с закрепленным концом траекторий близкий подход развивался в работах М. М. Хрусталева [99,100], а также В. И. Гурмана [24], Г. Н. Константинова [58] (в части достаточных условий), но с единственным решением неравенств Гамильтона-Якоби. ных Ьфункций. Естественно, что это свойство должно наследоваться и дискретно-непрерывными задачами. Поэтому развитие канонических условий оптимальности для задач оптимизации дискретно-непрерывных систем является актуальным.

    Цель диссертационной работы состоит в получении необходимых и достаточных условий оптимальности дискретно-непрерывных процессов путем обобщения канонической теории оптимальности Гамильтона-Якоби на новые классы задач.

    Объектом исследования являются задачи оптимального управления дискретно-непрерывными системами с включением в анализ базовых составляющих: классических и дискретных задач оптимального управления с общими концевыми ограничениями на траекторию.

    Поясним, что как гибридный принцип максимума, так и условия оптимальности кротовского типа характеризуют оптимальную непрерывную динамику задач управления гибридной системой, оставляя в тени дискретную (которая не допускает классического вариационного анализа)3. Чтобы нивелировать этот крен, в условиях оптимальности второй главы диссертации акцент сделан на анализе непрерывной динамики, а дискретная «снесена» во вспомогательную дискретно-концевую экстремальную задачу. В третьей главе (теми же методами) исследуются уже дискретные задачи оптимизации, которые охватывают возможные варианты дискретно-концевых задач4.

    Методы исследования базируются на свойствах сильной и слабой монотонности обобщенных решений неравенств Гамильтона-Якоби, оценках множеств соединимых точек управляемых систем, канонической теории оптимальности в оригинальных вариантах, принципе максимума Понтрягина и теории экстремальных задач.

    Научная новизна. Для качественного исследования оптимизационных и позиционных задач теории управления дискретно-непрерывными системами введен новый класс бипозиционных решений неравенств (и урав.

    3Лишь в нескольких работах «перекос» сделан в сторону дискретной динамики.

    4Конечно, не всенапример, рассматриваемые в [75] задачи требуют специальных подходов. нений) Гамильтона-Якоби, параметрически зависящих от начальной или финальной позиции управляемой системы. Доказано, что этот класс Ь-функций (типа Ляпунова) необходим для обоснования канонической теории оптимальности уже в классических задачах оптимального управления с не разделенными концевыми ограничениями. Полученные условия локальной и глобальной оптимальности дискретно-непрерывных процессов с множествами бипозиционных Ьфункций существенно усиливают известные аналоги. В частности, из них выводятся наиболее общие достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для дискретно-непрерывных задач оптимизации без априорных предположений выпуклости, нормальности исследуемой экстремали, единственности соответствующих ей наборов множителей Лагранжа. Представляют интерес необходимые и достаточные условия оптимальности, усиливающие принцип максимума для дискретных задач оптимального управления в линейных системах с управляемыми коэффициентами. Переход к бипозици-онным решениям неравенств Гамильтона-Якоби позволил получить способ построения субоптимальных бипозиционных управлений по нижней огибающей разрешающего множества Ьфункций, что невозможно в традиционном классе решений.

    Теоретическая и практическая значимость работы. Развитые в работе методы могут применяться для качественного анализа и решения различных классов задач оптимального управления и для оценки достижимых состояний управляемых систем при общих концевых ограничениях. Исследованные многомерные модели оптимизации перехода экономики к новой технологии и распределения ресурсов иллюстрируют эффективность предлагаемых методов и условий оптимальности. Конструкция позиционного управления, экстремального к разрешающему множеству бипозиционных решений неравенств Гамильтона-Якоби, близка к традиционной и вполне реализуема в численных методах решения задач управления. Это относится и к необходимым условиям оптимальности с позиционными контруправлениями для задач оптимизации дискретных систем, линейных по состоянию.

    Исследования по теме диссертации проводились в рамках проекта по программе СО РАН «Нелокальные методы в теории управления динамическими системами» (№ гос. регистрации 1 201 001 345), интеграционного проекта СО-УрО РАН № 85 «Качественный и численный анализ эволюционных уравнений и управляемых систем» и грантов РФФИ (проекты 07−01−741-а, 11−01−672-а, 09−01−16 002-мобзрос, 10−01−9 370-мобз).

    Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

    1. Доказаны достаточные условия сильного и глобального экстремума с бипозиционными решениями неравенств Гамильтона-Якоби для классических, дискретных и дискретно-непрерывных задач оптимального управления с общими концевыми ограничениями и целевыми функционалами.

    2. Получены достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для невыпуклых задач оптимального управления дискретными и дискретно-непрерывными системами.

    3. Доказаны необходимые условия глобальной оптимальности с бипозиционными и производящими функциями для классических, дискретных и дискретно-непрерывных задач оптимального управления.

    Структура и объем диссертации

    Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 155 наименования. Общий объем диссертации составляет 153 страницы.

    Заключение

    .

    В работе получены следующие результаты.

    Во-первых, доказаны достаточные условия сильного и глобального экстремума с бипозиционными решениями неравенств Гамильтона-Якоби для классических, дискретных и дискретно-непрерывных задач оптимального управления с общими концевыми ограничениями и целевыми функционалами. Эти условия основаны на внешних оценках интегральных воронок и множеств соединимых точек соответствующих управляемых систем.

    Во-вторых, получено обращение принципа максимума Понтрягина в достаточное условие оптимальности для невыпуклых задач оптимального управления дискретными и дискретно-непрерывными системами. Эти условия оптимальности не требуют нормальности исследуемой экстремали, единственности соответствующего нормированного набора множителей Лагранжа и применимы в случаях плохо управляемых систем.

    Наконец, доказаны необходимые условия глобальной оптимальности с бипозиционными и производящими функциями для классических, дискретных и дискретно-непрерывных задач оптимального управления.

    Показать весь текст

    Список литературы

    1. , В.М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, C.B. Фомин, — М.: Наука, 1979. — 432 с.
    2. , Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении / Р. Анрион. — М.: Наука, 1979.— 208 с.
    3. , Н.В. Линейные функции Ляпунова-Кротова и достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума /Н.В. Антипина, В. А. Дыхта // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 12. — С. 11−21.
    4. , A.B. Оптимальное управление: нелокальные условия, вычислительные методы и вариационный принцип максимума /
    5. A.B. Аргучинцев, В. А. Дыхта, В. А. Срочко // Изв. вузов. Математика. 2009. — № 1. — С. 3−43.
    6. , В. И. Математические методы классической механики /
    7. B.И. Арнольд. М.: Наука, 1989. — 472 с.
    8. , A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи / A.B. Арутюнов, — М.: Изд-во «Факториал», 1997. — 256 с.
    9. , A.B. Принцип максимума Понтрягина и достаточные условия локальной оптимальности для нелинейных задач / A.B. Арутюнов // Дифференциальные уравнения. — 2003.— Т. 39, № 12.—1. C. 1587−1595.
    10. , A.B. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения / A.B. Арутюнов, Г. Г. Магалир-Ильяев, В. М. Тихомиров. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2006. — 144 с.
    11. , Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами / JI.T. Ащепков. — Новосибирск: Наука, 1987. — 227 с.
    12. , В.А. Многоэтапные процессы и методы улучшения в задачах оптимального управления / В. А. Батурин, A.A. Лемперт // Вычислительные технологии. — 2003. — Т. 8. — С. 102−108.
    13. , В.А. Метод слабого улучшения первого порядка для задач оптимального управления логико-динамическими системами /
    14. B.А. Батурин, Н. С. Малтугуева // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. математика. 2009. — Т. 2, № 1. — С. 83−93.
    15. , В. Г. Оптимальное управление дискретными системами / В. Г. Болтянский. — М.: Наука, 1973. — 448 с.
    16. , М.З. Задача динамического использования истощаемого ресурса / М. З. Борщевекий // Вопросы прикладной математики.— Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1977.- С. 120−131.
    17. , С.Н. Метод сравнения в анализе систем. I, II / С. Н. Васильев // Дифференциальные уравнения. — 1981.— Т. 17, № 9, 11. —1. C. 1562−1573, 1545−1554.
    18. , С.Н. Метод сравнения в анализе систем. III, IV / С. Н. Васильев // Дифференциальные уравнения. — 1982. — Т. 18, № 2, 6. — С. 197−205, 938−947.
    19. , Ф.П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. — М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
    20. , Ю.М. Принцип максимума для разрывных систем и его применение к задачам с фазовыми ограничениями / Ю. М. Волин, Г. М. Островский // Изв. вузов. Радиофизика. — 1969. — Т. 12, № 11. — С. 1609−1621.
    21. , Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. М.: Наука, 1971. — 508 с.
    22. , Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи / Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 320 с.
    23. , Ф.Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Ф.Р. Гантмахер- Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с.
    24. , И.М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, C.B. Фомин. — М.: Физматлит, 1961. — 228 с.
    25. , И. В. Некоторые связи между функциями Беллмана и Кро-това для задачи динамического программирования / И. В. Гирсанов // Вестник Московского ун-та. — 1968.— № 2. — С. 56−59.
    26. , В. И. Вырожденные задачи оптимального управления / В. И. Гурман. М.: Наука, 1977. — 304 с.
    27. , В.И. Принцип расширения в задачах управления. 2-е изд., перераб. и доп. / В. И. Гурман. — М.: Наука, Физматлит, 1997. — 288 с.
    28. , Х.Г. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения, их производные и применение к задачам управления / Х. Г. Гусейнов, В. Н. Ушаков // Дифференциальные уравнения. 1990. — Т. 26, № 11. — С. 1888−1894.
    29. , A.B. Принцип максимума для задач оптимального управления с промежуточными ограничениями / A.B. Дмитрук, A.M. Каганович // Нелинейная динамика и управление: Сб. науч. тр. — М.: Наука, 2008. Т. 6. — С. 1−40.
    30. , А.Я. Дискретный принцип максимума / А.Я. Дубовиц-кий // Автоматика и телемеханика. — 1978. — № 10. — С. 55−71.
    31. , В.А. Условия локального минимума для особых режимов в системах с линейным управлением / В. А. Дыхта // Автоматика и телемеханика. — 1981. — № 12. — С. 5−10.
    32. , В. А. Принцип расширения в качественной теории управления / В. А. Дыхта // Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения / Под ред. В. И. Гурмана, Г. Н. Константинова. — Новосибирск: Наука, 1990. — 190 с.
    33. , В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых процессов / В. А. Дыхта // Сибирский математический журнал. — 1994.— Т. 35, № 1.— С. 70−82.
    34. , В.А. Вариационный принцип максимума для классических задач оптимального управления / В. А. Дыхта // Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 4. — С. 47−54.
    35. , В.А. Неравенство Ляпунова-Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении / В. А. Дыхта // Итоги науки и техники. Совр. математика и ее приложения. — 2006. — Т. 110. — С. 76−108.
    36. , В.А. Достаточные условия оптимальности в задачах импульсного управления / В. А. Дыхта // Вестник Тамбовского ун-та. Сер. Естественные и технические науки. — 2007. — Т. 12, № 4. — С. 443−445.
    37. , В.А. Инвариантность, достижимость и оптимальность в управляемых динамических системах / В. А. Дыхта // Труды XIV Байкальской междунар. школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». — Т. 2: Оптимальное управление. — 2008. — С. 35−47.
    38. , В. А. Некоторые приложения неравенств Гамильтона-Якоби в оптимальном управлении / В. А. Дыхта // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. математика. — 2009. — Т. 2. — С. 183−196.
    39. , В.А. Анализ достаточных условий оптимальности с множеством функций типа Ляпунова / В. А. Дыхта // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 5. — С. 66−75.
    40. , В.А. Неравенства Гамильтона-Якоби в оптимальном управлении: гладкая двойственность и улучшение / В. А. Дыхта // Вестник Тамбовского ун-та. Сер. Естественные и технические науки. — 2010. Т. 15, № 15. — С. 405−425.
    41. , В.А. Достаточные условия оптимальности для задач импульсного управления / В. А. Дыхта, Н. В. Антипина // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 4. — С. 76−83.
    42. , В.А. Оптимальное импульсное управление с приложениями /
    43. B.А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. — М.: Физматлит, 2003.— 256 с.
    44. , В.А. К сравнению достаточных условий оптимальности, основанных на решениях неравенства Гамильтона-Якоби / В. А. Дыхта,
    45. C.П. Сорокин // Тез. докл. школы-семинара «Нелинейный анализ и экстремальные задачи», — Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2008. С. 24−25.
    46. , В. А. Каноническая теория Гамильтона-Якоби в задачах с общими концевыми и многоточечными ограничениями на траектории /
    47. B.А. Дыхта, С. П. Сорокин // Proc. V Int. Symposium «Generalized Statements and Solutions of Control Problems-2010». — Ulaanbaator, Mongolia: 2010. C. 94−98.
    48. , В.А. Неравенства Гамильтона-Якоби и условия оптимальности в задачах управления с общими концевыми ограничениями / В. А. Дыхта, С. П. Сорокин // Автоматика и телемеханика. — 2011.- № 9.- С. 13−27.
    49. , В.А. О реализации нестандартной двойственности в задачах оптимального управления / В. А. Дыхта, С. П. Сорокин // Вестник Тамбовского ун-та. Сер. Естественные и технические науки. — 2011. Т. 16, № 4. — С. 1071−1073.
    50. , В.А. Позиционные решения неравенств Гамильтона-Якоби в задачах управления дискретно-непрерывными системами / В. А. Дыхта, С. П. Сорокин // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 6. —1. C. 48−63.
    51. , В.А. Управляемые системы: условия экстремальности, оптимальности и идентификация алгебраической структуры / В. А. Дыхта, С. П. Сорокин, Г. Н. Яковенко // Труды МФТИ. 2011, — Т. 3, № 3.- С. 122−131.
    52. , С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С. Т. Завалищин, А. Н. Сесекин. — М.: Наука, 1991. — 256 с.
    53. , ММ. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении / М. И. Зеликин, — М.: Изд-во «Факториал», 1998.- 351 с.
    54. , Л.Ф. Многомерный синтез и теоремы о магистрали в задачах оптимального управления / Л. Ф. Зеликина // Вероятностные проблемы управления в экономике / Под ред. В. И. Аркина. — М.: Наука, 1977.-С. 33−114.
    55. Избранные труды A.B. Куржанского / Под ред. А. Н. Дарьина, И. А. Дигайлова, И. В. Рублева. — М.: Изд. Моск. ун-та, 2009. — 756 с.
    56. , Л .Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. — М.: Наука, 1974. — 480 с.
    57. , Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк. — М.: Наука, 1988. 280 с.
    58. , Т.Н. Нормирование воздействий на динамические системы / Г. Н. Константинов, — Иркутск: Изд-во ИГУ, 1983, — 197 с.
    59. , H.H. Управление динамической системой /H.H. Красов-ский. М.: Наука, 1985. — 518 с.
    60. , В. Ф. Методы и задачи оптимального управления / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман. М.: Наука, 1973. — 448 с.
    61. , Е.С. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями / Е. С. Левитин, A.A. Милютин, Н. П. Осмоловский // Успехи математических наук. — 1978. — Т. 33, № 6. — С. 85−148.
    62. , A.C. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи: Учеб. пособие / A.C. Матвеев, В. А. Якубович.— СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2003. — 540 с.
    63. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М.: Физматгиз, 1961.- 388 с.
    64. , В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. — М.: Физ-матлит, 2001. — 384 с.
    65. , В.М. Метод сравнения в математической теории систем / В. М. Матросов, Л. Ю. Анапольский, С. Н. Васильев. — Новосибирск: Наука, 1980. 480 с.
    66. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. A.A. Воронова, В. М. Матросова. — М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1987.- 312 с.
    67. , В.М. Метод разрывной замены времени в задачах управления дискретно-непрерывными системами / В. М. Миллер // Автоматика и телемеханика. — 1993. — № 12. — С. 3−32.
    68. , В.М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями / Б. М. Миллер, Е. Я. Рубинович. — М.: Наука, 2005. — 429 с.
    69. , М. С. О достаточности принципа максимума Понтрягина в некоторых оптимизационных задачах / М. С. Никольский // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. — 2005. № 1. — С. 35−43.
    70. Оптимальное управление / Э. М. Галеев, М. И. Зеликин, C.B. Конягин, и др.- Под ред. Н. П. Осмоловского, В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2008. 320 с.
    71. Оптимальное управление в линейных системах / A.A. Милютин, А. Е. Илютович, Н. П. Осмоловский, C.B. Чуканов. — М.: Наука, 1993. 268 с.
    72. , А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А. И. Пропой. М.: Наука, 1973. — 256 с.
    73. , Б.Н. Необходимые условия экстремума / Б. Н. Пшеничный. М.: Наука, 1982. — 141 с.
    74. , А.Н. Экстремальные задачи маршрутизации с ограничениями / А. Н. Сесекин, A.A. Ченцов, А. Г. Ченцов. — Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. 66 с.
    75. , С. П. Достаточность гибридного принципа максимума / С. П. Сорокин // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2009. — Т. 2, № 2. — С. 37−40.
    76. , С. П. Монотонные решения неравенств Гамильтона-Якоби в оптимальном управлении / С. П. Сорокин // Вестник Тамбовского ун-та. Сер. Естественные и технические науки. — 2009. — Т. 14, № 4. С. 800−802.
    77. , С. П. Условия глобальной оптимальности в задачах управления с общими концевыми ограничениями / С. П. Сорокин // Материалы конференции «Ляпуновские чтения». — Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2009. С. 49.
    78. , С. П. Сильно и слабо монотонные функции типа Ляпунова в задачах управления гибридными системами / С. П. Сорокин // Тез. докл. II Междунар. школы-семинара «Нелинейный анализ и экстремальные задачи». Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2010. — С. 67.
    79. , С. П. Достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума понтрягина для задач управления гибридными системами /' С. П. Сорокин // Сибирский журнал индустриальной математики. 2011. — Т. 14, № 1. — С. 102−113.
    80. , С. П. Каноническая теория оптимальности в задачах управления дискретными системами / С. П. Сорокин // Материалы конференции «Ляпуновские чтения». — Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2011, — С. 44.
    81. , С. П. Монотонные функции типа Ляпунова и условия глобальной оптимальности для задач управления дискретными системами / С. П. Сорокин // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2011. — Т. 4, № 3. — С. 132−145.
    82. , А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби / А. И. Субботин. М.: Наука, 1991.-216 с.
    83. , А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации / А. И. Субботин. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 336 с.
    84. , H.H. Принцип максимума и субдифференциал функции цены /H.H. Субботина // Проблемы управления и теории информации. 1989. — Т. 18, № 3. — С. 151−160.
    85. Тер-Крикоров, A.M. Оптимальное управление и математическая экономика / A.M. Тер-Крикоров. — М.: Наука, 1977. — 216 с.
    86. , А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов, — М.: Наука, 1985.— 216 с.
    87. , М.М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана /М.М. Хруеталев // Доклады АН СССР. 1978. — Т. 242, № 5. — С. 1023−1026.
    88. , М.М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в методе динамического программирования / М. М. Хруеталев. Деп. в ВИНИТИ, № 4573−81. М., 1981.
    89. , М.М. Точное описание множеств достижимости и условие глобальной оптимальности динамических систем. I. Оценки и точное описание множеств достижимости и управляемости / М. М. Хруеталев // Автоматика и телемеханика. — 1988. — № 5. — С. 62−71.
    90. , М.М. Точное описание множеств достижимости и условие глобальной оптимальности динамических систем. II. Условия глобальной оптимальности / М. М. Хрусталев // Автоматика и телемеханика. — 1988. № 7. — С. 70−80.
    91. , Г. Н. Теория управления регулярными системами / Г. Н. Яковенко. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 264 с.
    92. Янг, Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления / Л. Янг. М.: Мир, 1974. — 488 с.
    93. Arutyunov, А. V. Necessary optimality conditions for optimal control problems with intermediate constraints / A.V. Arutyunov, A.I. Okoulevitch // J. of Dynamical and Control Systems. — 1998. — Vol. 4, no. 1, — Pp. 49−58.
    94. Aubin, J.-P. Lyapunov functions for impulse and hybrid control systems / J.-P. Aubin // Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. — Sydney, NSW: 2000.-Pp. 466−471.
    95. Aubin, J.-P. Viability Theory / J.-P. Aubin. — 2nd edition. — Birkhauser, Boston, 2009. 572 pp.
    96. Aubin, J.-P. Differential Inclusions / J.-P. Aubin, A. Cellina. — Berlin: Springer-Verlag, 1984. — 342 pp.
    97. Bacciotti, A. Differential inclusions and monotonicity conditions for nonsmooth Lyapunov functions / A. Bacciotti, F. Ceragioli, L. Mazzi // Set Valued Analysis. 2000. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 299−309.
    98. Bacciotti, A. Lyapunov functions and stability in control theory / A. Bacciotti, L. Rosier.— Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005.— 235 pp.
    99. Bardi, M. Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations / M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta. — Boston: Birkhauser, 1997. — 570 pp.
    100. Bortakovskii, A.S. Optimal and suboptimal control for sets of trajectories of deterministic continuous-discrete systems / A.S. Bortakovskii // J. of
    101. Computer and Systems Sciences International. — 2009. — Vol. 48, no. 1. — Pp. 14−29.
    102. Branicky, M. A unified framework for hybrid control: Model and optimal control theory / M. Branicky, V. Borkar, S. Mitter // IEEE Transactions On Automatic Control. 1998. — Vol. 43. — Pp. 31−45.
    103. Cannarsa, P. Some characterizations of optimal trajectories in control theory / P. Cannarsa, H. Franko wska // S I AM J. Control Optim. — 1991. Vol. 29. — Pp. 1322−1347.
    104. Cannarsa, P. Semiconcave functions, Hamilton-Jacobi equations and optimal control. Progress in nonlinear differential equations and their appications / P. Cannarsa, C. Sinestrari. — Boston: Birkhauser, 2004. — Vol. 58. 304 pp.
    105. Caratheodory, C. Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First Order / C. Caratheodory. — AMS Chelsea Publishing, 1999. — 412 pp.
    106. Cesari, L. Optimization — Theory and Applications. Problems with Ordinary Differential Equations. Applications of Mathematics. / L. Cesari. — New York: Springer-Verlag, 1983. — Vol. 17 of Applications of Mathematics. — 542 pp.
    107. Clarke, F.H. The synthesis of universal feedback pursuit strategies in differential games / F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, A.I. Subbotin // SI AM J. Control Optim. 1997. — Vol. 35. — Pp. 552−561.
    108. Clarke, F.H. Nonconvex duality in optimal control / F.H. Clarke, C. Nour // SIAM J. Control Optim. 2005. — Vol. 43. — Pp. 2036−2048.
    109. Clarke, F.H. Applications of optimal multiprocesses / F.H. Clarke, R.B. Vinter // SIAM J. Control Optim. 1989. — Vol. 27, no. 5. -Pp. 1048−1071.
    110. Clarke, F.H. Optimal multiprocesses / F.H. Clarke, R.B. Vinter // SIAM J. Control Optim. 1989, — Vol. 27, no. 5.- Pp. 1072−1091.
    111. Dmitruk, A.V. The hybrid maximum principle is a consequence of Pontryagin maximum principle / A.V. Dmitruk, A.M. Kaganovich // Systems and Control Letters. 2008. — Vol. 57. — Pp. 964−970.
    112. Dykhta, V.A. Lyapunov-Krotov inequality and sufficient conditions in optimal control / V.A. Dykhta // J. Math. Sci— 2004, — Vol. 121. — Pp. 2156−2177.
    113. Dykhta, V.A. Sufficient optimality conditions for classical and impulsive optimal control problems / V.A. Dykhta, N.V. Antipina // Proc. 10th IEEE Mediterranean Conf. on Control and Automation (MED2002).— Lisbon, Portugal: 2002.
    114. Dykhta, V.A. Some applications of Hamilton-Jacobi inequalities for classical and impulsive optimal control problems / V.A. Dykhta, O.N. Samsonyuk // European Journal of Control— 2011, — Vol. 17, no. 1. — Pp. 55−69.
    115. Dykhta, V.A. Sub- and supersolutions of Hamilton-Jacobi equation in optimal control theory / V.A. Dykhta, S.P. Sorokin // Abstracts 8th International ISAAC Congress 2011.— Moscow: Peoples' Friendship University of Russia, 2011.— P. 367.
    116. Ekeland, I. Nonconvex minimization problems / I. Ekeland // Bull. Am. Math. Soc. 1979. — Vol. 1, no. 3. — Pp. 443−474.
    117. Frankowska, H. Value function in optimal control / H. Frankowska // Mathematical Control Theory / Ed. by A.A. Agrachev. — Trieste, Italy: ICTP, 2002. Vol. 8, no. 2 of ICTP Lecture Notes Series. — Pp. 515−654.
    118. Galbraith, G.N. Optimal control of hybrid systems with an infinite number of discrete states / G.N. Galbraith, R.B. Vinter // J. of Dynamical and Control Systems. — 2002. — Vol. 9. — Pp. 563−584.
    119. Garavello, M. Hybrid necessary principle / M. Garavello, B. Piccoli // SIAM J. Control Optim. 2005. — Vol. 43, no. 5. — Pp. 1867−1887.
    120. Hedlund, S. Optimal control of hybrid systems / S. Hedlund, A. Rantzer // Proc. 38th IEEE Conf. on Decision and Control. — Phoenix, AZ, USA: 1999. Pp. 3972−3977.
    121. Impulse differential inclusions: a viability approach to hybrid systems / J.-P. Aubin, J. Lygeros, M. Quincampoix et al. // IEEE Transactions On Automatic Control 2002. — Vol. 47, no. 1. — Pp. 2−20.
    122. Krasovskii, N.N. Game-Theoretical Control Problems /N.N. Krasovskii, A.I. Subbotin. — Berlin: Springer-Verlag, 1988. — 517 pp.
    123. Krotov, V.F. Global Methods in Optimal Control Theory. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. / V.F. Krotov. — New York: Marcel Dekker, 1996. Vol. 195. — 384 pp.
    124. Lakshmikantham, V. Vector Lyapunov Functions and Stability Analysis of Nonlinear Systems / V. Lakshmikantham, V.M. Matrosov, S. Sivasundaram. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. — 172 pp.
    125. Marchai, C. Second-order tests in optimization theories / C. Marchai // Journal of Optimization Theory and Applications. — 1975. — Vol. 15, no. 6. — Pp. 633−666.
    126. A maximum principle for hybrid optimal control problems with pathwise state constraints / P.E. Caines, F.H. Clarke, X. Liu, R.B. Vinter // Proc. 45th IEEE Conf. on Decision and Control. San Diego, USA: 2006. -Pp. 4821−4825.
    127. Milyutin, A.A. Calculus of variations and optimal control / A.A. Milyutin // Proc. Internat. Conf. on the Calculus of Variations and Related Topics. — Vol. 411. — Haifa: Chapman and Hall/CRC Research Notes in Mathematics Series, 2000. Pp. 159−172.
    128. Milyutin, A.A. Calculus of Variations and Optimal Control /
    129. A.A. Milyutin, N.P. Osmolovskii. — Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1998.- 372 pp.
    130. Molinary, B.P. Nonnegativity of a quadratic functional /
    131. B.P. Molinary // SIAM J. Control Optim.- 1975.- Vol. 13, no. 4.-Pp. 792−806.
    132. Mordukhovich, B.S. Variational Analysis and Generalized Differentiation I & II. Fundamental Principles of Mathematical Sciences / B.S. Mordukhovich. — Berlin: Springer, 2006.- Vol. 330 & 331.611 & 580 pp.
    133. Nonsmooth Analysis and Control Theory / F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern, P.R. Wolenski. New York: Springer-Verlag, 1998. — Vol. 178 of Grad. Texts in Math. — 276 pp.
    134. Pachter, M. Revisit of linear-quadratic optimal control / M. Pachter // Journal of Optimization Theory and Applications. — 2009. — Vol. 140. — Pp. 301−314.
    135. Sorokin, S.P. Canonical optimality theory for a linear-quadratic optimal control problem with a general cost functional / S.P. Sorokin // Материалы конференции «Ляпуновские чтения». — Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2010. С. 45.
    136. Sussmann, H.J. A maximum principle for hybrid optimal control problems / H.J. Sussmann // Proc. 38th IEEE Conf. on Decision and Control. Phoenix, AZ, USA: 1999. — Pp. 425−430.
    137. Sussmann, H.J. A nonsmooth hybrid maximum principle / H.J. Sussmann // Lecture Notes in Control and Information Sciences.—1999. — no. 246.- Pp. 325−354.
    138. Vinter, R.B. Weakest conditions for existence of Lipschitz continuous Krotov functions in optimal control theory / R.B. Vinter / / SI AM J. Control Optim. 1983. Vol. 21. — Pp. 215−234.
    139. Vinter, R.B. Dynamic programming for optimal control problems with terminal constraints / R.B. Vinter // Lecture Notes in Math. — 1985. — Vol. 1119.-Pp. 190−202.
    140. Vinter, R.B. Convex duality and nonlinear optimal control / R.B. Vinter // SIAM J. Control Optim. 1993, — Vol. 31.- Pp. 518 538.
    141. Vinter, R.B. Optimal Control / R.B. Vinter.— Boston: Birkhauser, 2000. 520 pp.
    142. Vinter, R.B. A necessary and sufficient condition for optimality of dynamic programming type, making no a priori assumptions on the controls / R.B. Vinter, R.M. Lewis // SIAM J. Control Optim. 1978. -Vol. 16. — Pp. 571−583.
    143. Vinter, R.B. A verification theorem which provides a necessary and sufficient condition for optimality / R.B. Vinter, R.M. Lewis // IEEE Transactions on Automatic Control — 1980. — Vol. 25, no. 1.— Pp. 8489.
    144. Vinter, R.B. Hamilton-Jacobi theory for optimal control problems with data measurable in time / R.B. Vinter, P. Wolenski // SIAM J. Control Optim. 1990. — Vol. 28. — Pp. 1404−1419.
    145. Wolenski, P.R. Proximal analysis and the minimal time function / P.R. Wolenski, Yu. Shuang // SIAM J. Control Optim.— 1998. — Vol. 36.-Pp. 1048−1072.
    Заполнить форму текущей работой

    На отлично!