Аппроксимация полугрупп гомоморфизмами специального вида

Актуальность темы

.

Аппроксимация алгебраических систем относительно тех или иных предикатов к настоящему времени представляет собой одно из актуальных направлений в исследовании алгебраических систем.

Аппроксимация — замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, — является одним из основных методов математики. Этот метод позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диафантовы приближения, в геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики, в сущности, целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения и интерполирования функции, числовые методы анализа.

Широкое применение аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А. И. Мальцева. В его работах сформулировано общее понятие аппроксимируемости алгебраических систем относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов. С начала СО-х годов XX века по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем различных классов, прежде всего групп колец и алгебр. Интерес к этим вопросам нашел отражение в работах как российских (М. И. Каргаполов [7], А. Ю. Ольшанский [26], В. П. Платонов [27], В. Н. Ремесленников [30], А. Кемер, С. И. Кублановский, Зайцев, Канель-Белов и других), так и зарубежных (G.Baumslag [37], N. Blacburn [38], W. Magnus [47], R. McKenzie [48], Ph. Holl [43] и других) алгебраистов.

Аппроксимация полугрупп относительно предикатов также привлекла внимание многочлислснных исследователей и превратилась сейчас в обширную развивающуюся область теории полугрупп. Формированию этого направления способствовало рассмотрение гомоморфизмов полугрупп в полугруппы с заданными свойствами, в частности, наложение на полугруппы тех или иных условий конечности позволяет изучать бесконечные полугруппы сведением их к конечным полугруппам. Аппроксимации полугрупп посвящены работы J. Gerhard, Э. А. Голубова, С. И. Кублановского,.

G. Lallement, М. М. Лесохина, С. Г. Мамиконяна, М. В. Сапира и многих друр гих исследователей.

Важность введенного академиком А. И. Мальцевым понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами. Как отметил А. И. Мальцев, финитная аппроксимируемость конечно определенной алгебраической системы в многообразии, заданном конечным набором тождеств относительно некоторого предиката, влечет алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе [23]. Например, аппроксимационными методами С. И. Кублановским был положительно решен вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп [9]. М. В. Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства слов и финитной аппроксимируемости конечно определенных полугрупп [321.

Как уже отмечалось выше, целесообразно рассматривать гомоморфизмы полугрупп в те полугруппы, свойства которых хорошо известны, например, периодическая часть мультипликативной полугруппы коилексных чисел. Вопросам аппроксимации полугрупп комплексными характерами посвящены работы Ст. Шварца, E. Hewitt и H. Zukerman, М. М. Лесохина, Э. П. Арояна и других.

Ст. Шварц [34] нашел необходимые и достаточные условия аппроксимации конечных полугрупп комплексными характерами, Е. Hewitt и Н. Zukerman [44] нашли необходимые и достаточные условия аппроксимации коммутативных полугрупп комплексными характерами, М. М. Лесохин исследовал отделимость подполугрупп комплексными [13], а Э. П. Ароянвещественными характерами [1].

Выбор того или иного предиката обусловлен ролью, которую он играет в теории определенных классов алгебраических систем. Так например, в группах важнейшими предикатами являются: предикат равенства, регулярной сопряженности, предикат вхождения элемента в подгруппу, в конечно порожденную подгруппу. В кольцах и алгебрах важную роль играют предикаты равенства, нильпотентности, вхождения элемента в подкольцо (подалгебру). В полугруппах исследовались предикаты делимости, отношения Грина, предикаты равенства и вхождения элемента в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппу, подгруппу и т.н.).

Указанные предикаты явились объектом многочлисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих предикатов, и с точки зрения аппроксимации. В полугруппах особо значимым является предикат делимости. На языке делимости определяются отношения Грина, регулярность и ее модификации распознаваемости и другие важные свойства полугрупп. Следует отметить, что последнее свойство распознаваемости полугрупп систематически изучается целым рядом алгебраистов, таких, как G. Lallement [4G], S. Rankin [51], С. Reis [51], Т. Tamura [52], G. Thierrin [51] и других в связи с потребностями теории кодирования.

В последние десятилетия широко ведется изучение свойств алгебраических систем, наделенных дополнительными структурами, в частности топологической. В теории полугрупп такое систематическое изучение началось с выходом монографии А. В. Paalman-de-Miranda «Topological semigroups» в 19G4 году [49]. Вопросами аппроксимации топологических полугрупп занимались М. М. Лесохин [16], Л. Б. Шнеперман [3G], Н. С. Расулов [29] и другие. Интерес к изучению топологических полугрупп объясняется тем, что наличие топологической структуры обеспечивает присутствие некоторых свойств, отсутствующих в общем абстрактном случае. Так например, всякая компактная топологическая полугруппа имеет идемпотент.

Цель работы. Целью данной диссертации является нахождение необходимых и достаточных условий финитной аппроксимации полугруппы идеальными гомоморфизмами относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, идеал, подгруппу, относительно предикатов Гринаисследование условий аппроксимации независи$ мого произведения полугрупп, нахождение критериев аппроксимации полугруппы комплексными характерами и критериев аппроксимации компактной топологической полугруппы непрерывными комплексными характерами относительно единично идеальных предикатов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе использованы методы аппроксимации полугрупп, метод разложения полугруппы в коммутативную связку неразложимых компонент (теорема Tamura-Petrich), метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты диссертации представляют интерес для исследований по теории аппроксимации полугрупп, они могут быть использованы при подготовке спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I международной конференции «Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца» в честь Е. С. Ляпина (июнь 1995 года, Санкт-Петербург), на III международной конференции по теории чисел (сентябрь 1996 года, Тула), на международной алгебраической конференции памяти.

Д. К. Фаддеева (июнь 1997 года, Санкт-Петербург), на Герценовских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена (апрель 1997 года, Санкт-Петербург), на городском алгебраическом семинаре по теории полугрупп (апрель, октябрь 1998 года, октябрь 1999 года, Санкт-Петербург), на II международной конференции «Полугруппы: теория и приложения» в честь профессора Е. С. Ля-пина (июль 1999 года, Санкт-Петербург), на алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева в ПОМИ РАН (апрель 2008 года).

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 71 странице машинописного текста, состоит из введения и двух глав, содержащих шесть параграфов. Библиография включает 60 работ российских и зарубежных авторов.

1. Ароян Э. П. Об отделимости подполугрупп вещественными характерами // Математика: межвуз. сб. науч. трудов / Ереванский гос. ун-т, 1985, вып. 3. С. 157−162.

2. Бурмистрович И. Е. Коммутативные связки полугрупп // Сиб. мат. ж., т. 6, N?2, 1965. С. 284−299.

3. Голубов Э. А. Полугруппы с некоторыми финитно отделимыми подполугруппами // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 7, тетр., 1, 1969. С. 35−51.

4. Голубов Э. А. Финитная отделимость в полугруппах // Сиб. мат. ж., т. И, № 6, 1970. С. 1247−1263.

5. Голубов Э. А. Свободное произведение и сплетение финитно аппроксимируемых полугрупп // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 8, тетр. 1, 1971. С.3−15.

6. Голубов Э. А. О прямом произведении финитно отделимых полугрупп // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 8, тетр. 3, 1972. С. 28−34.

7. Каргополов М. И., Мерзляков Ю. И. Бесконечные группы // Итоги науки. Алгебра. Топология. М., 1968. С. 57−90.

8. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: пер. с англ.: в 2-х т. Мин, 1972 — 712 с.

9. Кублановский С. И. О финитной аппроксимируемости предмногооб-разии полугрупп относительно предикатов // Современная алгебра. Группоиды и их гомоморфизмы. Л., 1980. С. 58−88.

10. Кублановский С. И. Финитная аппроксимируемость и алгоритмические вопросы // Алгебраические действия и упорядоченности. JL, 1983. С.59−78.

11. Лесохин М. М., Голубов Э. А. О финитной аппроксимируемости коммутативных полугрупп // Мат. зап. Уральского ун-та, т5, тетр. 3, Свердловск, 1966. С. 82−90.

12. Лесохин М. М. Об аппроксимиции полугрупп // Уч. зап. ЛГПИим. А. И. Герцена, т. 328, 1967. С. 147−171.

13. Лесохин М. М. Об отделимости подполугрупп комплексными характерами // Мат. сб., т. 74 (116), № 2, 1967. С. 314−320.

14. Лесохин М. М. Об аппроксимации полугрупп относительно предикатов // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 464, 1971. С. 56−108. *.

15. Лесохин М. М. О некоторых алгоритмических вопросах теории полугрупп // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 541, 1972. С. 118−128.

16. Лесохин М. М. Об аппроксимации полугрупп относительно предикатов // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 404, 1971. С. 191−219.

17. Ляпин Е. С. Полугруппы. Физматгиз. М., 1960.

18. Ляпин Е. С. Независимость подполугрупп полугруппы // ДАН СССР, т. 185, № 6, 1969. С. 1229−1231.

19. Ляпин Е. С. Пересечение независимых подполугрупп полугруппы // Известия ВУЗов. Математика. N-4, 1970. С. 67−73.

20. Ляпин Е. С. Единично идеальные подполугруппы // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 7, тетр. 3, 1970. С. 119−128.

21. Ляпин Е. С. Единично идеальные элементы полугруппы // Теория полугрупп и ее приложения. Сб. статей, вып. 2, Саратов, 1971. С. 41−50.

22. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

23. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Уч. зап. Ивановского пед. ин-та, т. 18, 1958. С. 49−60.

24. Мамиконян С. Г. О гомоморфизмах полугрупп в абелевы группы с внешне присоединенным нулем // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 404, 1971. С. 233−239.

25. Мамиконян С. Г. Полугруппы с финитно отделимыми подполугруппами // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 404, 1971. С. 240−245.

26. Ольшанский А. Ю. Многообразия финитно аппроксимируемых групп // Изв. АН СССР. Математика, т. 33, № 4, 1969. С. 915.

27. Платонов В, П. Подгруппа Франттини линейных групп и финитнаяаппроксимируемость // Докл. АН СССР, т. 171, NM, 1968. С. 798−801.

28. Поптрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973 520с.

29. Расулов Н. С. Об аппроксимации компактной топологической полугруппы непрерывными бихарактерами // Сб. статей. Полугруппы и частичные группоиды, 1987. С. 87−105.

30. Ремесленников В. Н. Финитная аппроксимируемость метабелевых групп // Алгебра и логика, т. 7, NM, 1968. С. 106−113.

31. Рябухин Ю. Н. Алгебры без нильпотентных элементов // Докл. АН СССР, т. 187, № 1, 1969. С. 43−46.

32. Саиир М. В. Многообразие с конечным числом подквазимногооб-разий // Сиб. матем. ж., № 6 (130), 1981. С. 168−187.

33. Смирнов Д. М. К теории финитно аппроксимируемых групп // Укр. матем. ж., т. 15, № 4, 1963. С. 453−457.

34. Шварц Ст. Характеры коммутативных полугрупп как функции классов // Чехосл. матем. ж., т. 4 (79), 1954. С. 219−247.

35. Шеврин Jl. Н., Овсянников А. Я. Полугруппы и их подполугруппо-вые решетки. Изд-во Уральского ун-та, Сврдловск, 1991, часть 1 246 с.

36. Шнеперман Л. Б. К теории характеров локально бикомпактных полугрупп // Мат. сб., т. 77, № 4, 1968. С. 508−532.

37. Baumslag G. Automorphism groups of residually finite groups. J. London. Math. Soc. 1963, 38, p. 117−118.

38. Blacburn N. Conjugacy in nilpotent groups Proc. Amer. Math. Soc., 1965, 16, p. 143−148.

39. Fuchs L. Abelian groups. Budapest, 198.

40. Gerhard J. A. Some subdirectly irreducible idempotent semigroups. -Pacific. J. Math., 1971, 39, p. 669−676.

41. Groves J. R. J. Om some finiteness conditions for varieties of metanilpotent groups. Arch. Math. 1973, 24, N³, p. 252−268.

42. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble froups. Proc.1.ndon Math. Soc. 1957, 3 (7), № 25, p. 29−62.

43. Holl Ph. On the finiteness of certain soluble groups. Pros. London Math. Soc. 9, 1959, p. 595−622.

44. Hewitt E., Zukerman H. The 1-algebra of commutative semigroups. Trans. Amer. Math. Soc., v. 83, N-l, p. 70−97.

45. Hirch K.F. On infinite soluble groups. J. London Math. Soc. 1952, 27, p. 81−85.

46. Lallement G. On nilpotency and residual finireness in semigroups. -Pacific J. Math., 1972. V.42, N³.

47. Magnus W. Residually finite groups. bull. Amer. Math. Soc. 1969, 75, p.305−316.

48. McKenzie R., Freese R. Residually small varieties with modular congruence lattices. Trans. Amer. Math. Soc. 1981, 264, N², p. 419−430.

49. Paalman-de-Miranda A. B. Topological semigroups. Math! Centr. Amsterdam, 1964.

50. Petrich M. Introduction to semigroups. Columbus, Ohio, 1973.

51. Rankin S.A., Reis С. M., Thierrin G. a-recognizable semigroups. -Proc. Amer. Math. Soc. 1978, 70, N?2, p. 93−99.

52. Tamura T. J. Binary systems all subsets of which are cognizable. J. Algebra, 1982, 76, № 4, p. 42−83.

53. Снетков О. A. SHI-финитная аппроксимация полугрупп // Тезисы докл. Международная конференция по алгебре в честь Е. С. ЛяпинаСПб., 1995.-С.67.

54. Лесохин М. М., Снетков О. А. Аппроксимация полугрупп вместе с их делителями // Тезисы докл. III Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула, 1996. — С. 93.

55. Лесохин М. М., Снетков О. А. SHI-финитная аппроксимация полугрупп // Современная алгебра. Межвузовский сборник научных трудов. -Ростов-на-Дону, 1996. С. 76−85.

56. Снетков О. А. SHI-анпроксимация полугрупп комплексными характерами // Тезисы докл. Международная алгебраическая конференция памяти Д. К. Фаддеева. СПб., 1997. — С. 283−284.

57. Снетков О. А. SHI-аппроксимация полугрупп вещественными характерами // Современная алгебра. Межвузовский сборник научных трудов. Ростов-на-Дону, 1997. С. 75−78.

58. Снетков О. А. SHI-аппроксимация полугрупп относительно предикатов Грина // РГПУ им. А. И. Герцена. СПб., 1998. 8с. — Деп. в ВИНИТИ. 06.03.98, N?632 — В 98.

59. Снетков О. А. Отделимость единично идеальных элементов в полугруппах // Объединенный научный журнал. Москва, октябрь 2007.-С.66.

60. Снетков О. А. Аппроксимация независимого произведения полугрупп // Вестник Ижевского государственного технического университета, №-1 (37), Ижевск, январь-март 2008. С. 95−96.