Моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне водоема

Актуальность темы

Среди многообразия природных явлений особое место принадлежит процессам, протекающим в прибрежных водных системах. Исторически сложилось, что на побережьях водоемов концентрировались населенные пункты, экономические и транспортные объекты. В условиях развития производственной и социальной сфер деятельности человечества, сопровождающихся усложнением промышленных технологий, возрастания антропогенной нагрузки реализация концепции устойчивого развития прибрежной зоны возможна с учетом всех факторов и процессов, определяющих состояние линии берега и прибрежного рельефа.

Наиболее значимыми факторами формирования береговой линии является действие волны и прибойного потока. Потоки воды при подходе волн под острым углом к берегу образуют вдольбереговые течения, проникающие до самого дна и переносящие вдоль берега по дну массы наносов. Процесс перемещения наносов волнового поля вдоль берега относят к одному из важнейших явлений прибрежной зоны водоема. При конструктивном преобразовании рельефов следует учитывать динамику процессов образования берега, исследовать формирование профиля дна в прибрежной зоне водоема под воздействием волновых процессов.

Для достоверного прогноза динамических явлений береговой зоны возникает необходимость в построении математических моделей процессов переноса вещества на мелководье под воздействием поверхностных гравитационных волн, играющих важную роль в прогнозировании возможного вмешательства в экосистему, в анализе текущей ситуации, в принятии оперативных решений по преодолению антропогенных воздействий.

При исследовании береговой зоны можно наблюдать проявления самых разнообразных физических закономерностей. Так, процессы переноса наносов определяются широким спектром масштабов движения водных потоков от низкочастотных гравитационных волн до мелкомасштабной турбулентности. Значительная часть мелкозернистых наносов переносится во взвешенном состоянии. Для достоверных расчетов потока наносов становится необходимым понимание закономерностей их взвешивания и особенностей пространственного распределения.

В настоящее время существует значительное число исследований динамических процессов, протекающих в прибрежной зоне водоемов. Существенный вклад в развитие системного берегового учения принадлежит.

B.ГТ. Зенковичу, П. А. Каплину, O.K. Леонтьеву, В. И. Лымареву, В. В. Логинову, Г. А. Сафьянову, A.C. Судольскому и др. [31, 33−35, 52, 56, 69, 89].

Интенсивно развивающейся научной отраслью, достигшей определенных успехов, становится математическое моделирование водных экосистем. Проблемам математического моделирования гидродинамических процессов посвящены работы отечественных исследователей В. В. Вайтмана, К. В. Гришанина, И. Г. Кантаржи, A.B. Караушева, С. Ю. Кузнецова, И. О. Леонтьева, Г. И. Марчука, А. Л. Чикина и мн. др [19, 20, 26, 40, 43, 51, 62, 63, 103]. Представлены они и в ряде зарубежных публикаций [117, 121, 125, 128].

Гидролитодинамические процессы береговой зоны на основе многочисленных натурных экспериментов изучены в работах.

C.М. Анцыферова, Р. Д. Косьяна, Н. В. Пыхова [4, 32, 43, 129, 130]. В данных исследованиях выявлены основные особенности распределения осредненных значений концентрации взвешенных частиц.

Проведение натурных экспериментов в условиях реального моря сопряжено со значительными трудностями, поэтому количественная оценка распределения взвешенных наносов в прибрежной зоне нередко производится путем математического моделирования с использованием параметров, полученных в лабораторных условиях. Достаточно полный обзор подобных моделей приведен в работе С. М. Анцыферова, В. К. Дебольского, Т. М. Акивис [4].

При исследовании гидродинамических процессов прибрежной зоны водоемов были выявлены некоторые общие черты руслового и волнового потоков при воздействии движущейся воды на донные наносы. Поэтому в ряде случаев, возможен перенос научных достижений гидродинамики рек на область береговых процессов в водоемах и наоборот. Значительный вклад в теорию формирования руслового рельефа и транспорта наносов внесён Н. И. Алексеевским, М. А. Великановым, Н. Б. Барышниковым, КВ. Гришаниным, A.B. Караушевым, К. И. Россинским, Р. С. Чаловым и др. [1, 9, 26,39−40, 74, 100,101].

Проведение исследований гидродинамических процессов на мелководье осложняется тем, что волна, отражаясь от берегов, где отмечается интерференция набегающих и отраженных волн, существенно подвержена влиянию дна. В районах, характеризующихся мелководностью, происходит смыкание нижнего пограничного слоя с верхним: всю толщу вод охватывает турбулентное перемешивание.

Процесс продуцирования турбулентной кинетической энергии, генерируемой деформированными и обрушающимися волнами, и ее влияние на взвешивание наносов, находятся в центре внимания отечественных и зарубежных исследований [5, 6, 13, 48, 49, 119−121, 124, 131, 138, 140]. Теоретическое обоснование теории турбулентности всесторонне изложено в работах Р. В. Озмидова, И. О. Хинце, A.M. Яглома и др. [68, 71, 99]. Численные методы исследования диффузии примеси в турбулентной среде развиты группой российских ученых под руководством Г. И. Марчука [65−67].

Широко известны исследования по изучению океанической турбулентности [67], моделированию циркуляции в океане [63]. Структурный анализ одного из важнейших направлений в исследовании турбулентных течений, связанного с конструированием моделей турбулентности, дан в работе И. А. Белова и С. А. Исаева [66], где рассмотрены методы теоретического и численного исследования турбулентных течений. Ретроспективный взгляд на алгебраический и статистический подходы моделирования турбулентного движения представлен в работах Ю. В. Лапина. Преимущественное внимание уделено вопросам применения моделей турбулентности в рамках сложившихся вычислительных технологий [48,49].

Следует отметить, что, несмотря на значительное число как экспериментальных, так и теоретических работ, направленных на изучение специфических динамических процессов береговой зоны, эффективность предлагаемых подходов далека от практически необходимой. К трудностям исследований относят узкую сферу применения моделей, построенных на основе лабораторных исследований, сложность проведения экспериментов в условиях реального моря и, как следствие, ограниченность данных комплексных натурных измерений. Получение аналитических решений, вследствие нелинейности и многомерности уравнений в частных производных Навье-Стокса, лежащих в основе рассматриваемых задач, возможно лишь в крайне ограниченном ряде случаев.

Одним из наиболее эффективных методов исследования реальных процессов гидродинамики в настоящее время становится численное моделирование. Для задач математического моделирования гидродинамических процессов в водоемах актуальной остается проблема построения и практического использования вычислительно-эффективных методов, применение которых позволяло бы получать достаточно точное приближенное численное решение. Математическое моделирование природных систем, в том числе мелководных водоемов, дополняет, а во многих случаях позволяет исключить дорогостоящие натурные эксперименты с реальной экосистемой. Использование математических моделей позволяет предсказать возможные последствия изменения рельефа дна в результате влияния природно-климатических условий или, антропогенного вмешательства в экосистему водоема. Развитие информационных технологий позволяет существенно увеличить область применения и повысить сложность моделируемых задач, расширить круг пользователей.

Проведенный анализ исследований по проблеме исследования показал, что.

— волновые процессы являются основным источником поступления энергии в прибрежную зону водоема, что существенно влияет на ее динамику. Режимы поверхностного волнения на внешней границе прибрежной зоны крайне нерегулярны и трансформируются в движения самых разных масштабов по мере распространения волн к берегу, вызывая перенос донных наносов, значительные изменения геометрии дна и береговой линии;

— в связи с тем, что успешные натурные эксперименты с природными системами затруднены, а лабораторное моделирование имеет узкую специализацию, математическое моделирование становится важным инструментом анализа и регулирования прибрежных водных систем;

— для прогноза динамических процессов береговой зоны возникает необходимость математического моделирования процессов перемещения наносов в районах, характеризующихся мелководностью под воздействием поверхностных гравитационных волн;

— не существует пространственно-двумерной модели транспорта наносов в мелководных водоемах, учитывающей пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, ветровые течения и трение о дно, пригодной для описания наносов при произвольном направлении транспорта наносов по отношению к береговой линии.

Проблемой данной работы является прогнозирование формирования профиля дна в прибрежной зоне водоема при образовании наносов под воздействием волновых процессов средствами численного моделирования.

Актуальность исследуемой проблемы очевидна. В связи с усиленным освоением мелководных береговых зон, с конструктивным преобразованием и изменением прибрежных рельефов возникает необходимость численного моделирования механизмов формирования поля взвеси и потока наносов.

Объектом исследования являются процессы перемещения наносов на мелководье под воздействием поверхностных гравитационных волн.

Цель работы заключается в построении и реализации одномерных и двумерных непрерывных и дискретных моделей транспорта наносов в прибрежных водных системах, описывающих переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц и удовлетворяющих основным законам сохранения.

В качестве входных данных задача содержит в себе основные параметры волны в прибрежной зоне водоема, а именно высоту волны, длину и период волны, необходимые для дальнейшего использованияпервоначальный уклон дна, пористость грунта и период времени для наблюдаемого процесса, необходимые для дальнейшего использования при нахождении результирующего профиля поверхности дна.

В соответствии с поставленной целью решены следующие задачи.

1. Исследование модели переноса многокомпонентной примеси в водной среде, учитывающей диффузию и конвекцию примесей, действие на примесь силы тяжести, взаимную трансформацию примесей различного типа, наличие дна и свободной поверхности. Доказано достаточное условие единственности решения соответствующей начально-краевой задачи.

2. Проведено построение и исследование пространственно-одномерной непрерывной и дискретной консервативной моделей, описывающих переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц. На основе исследования показана целесообразность использования модели движения водной среды, описываемой системой уравнений Навье-Стокса.

3. В области математического моделирования разработана пространственно-двумерная модель транспорта наносов в мелководных водоемах, позволяющая предсказать динамику изменения рельефа дна за счет движения воды и твердых частиц и учитывающая пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна, ветровые течения и трение о дно.

4. В области численных методов построен дискретный аналог двумерной модели транспорта наносов, выполнены аналитические исследования погрешности аппроксимации, устойчивости полученной модели. Разработан эффективный алгоритм ее численной реализации на основе метода поправки к давлению с использованием эффективных методов решения сеточных уравнений.

5. Создан комплекс программ, предназначенный для моделирования турбулентных потоков водной среды и транспорта наносов в прибрежной зоне, для прогнозирования возможных сценариев изменения геометрии донной области.

Научная новизна диссертационного исследования.

1. Исследована модель переноса многокомпонентной примеси в водной среде, учитывающей диффузию и конвекцию примесей, действие на примесь силы тяжести, взаимную трансформацию примесей различного типа, наличие дна и свободной поверхности. К новым результатам можно отнести достаточное условие единственности решения соответствующей начально-краевой задачи.

2. Разработаны пространственно-одномерная непрерывная и дискретная модели, описывающие переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц, служащие основой для разработки двумерной модели, при этом описание движения водной среды производилось на основе трех математических моделей (волновые модели, без учета нелинейных процессов и с учетом нелинейных процессов, модель, описываемая уравнением Навье-Стокса). В работе в отличие от других исследований на основе численных экспериментов показана целесообразность использования модели движения водной среды, описываемой системой уравнений Навье-Стокса.

3. Построена двумерная математическая модель транспорта наносов в мелководных водоемах, удовлетворяющая основным законам сохранения. Новизна полученных результатов состоит в том, что модель учитывает две пространственные переменные, а также следующие физические параметры и процессы: пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна и функцию возвышения уровня, ветровые течения и трение о дно.

4. Построена консервативная разностная схема, аппроксимирующая I разработанную двумерную модель транспорта наносов со вторым порядком относительно шага пространственной сетки и с первым порядком относительно временного шага и исследована устойчивость разработанной разностной схемы. Для решения сеточных уравнений применен адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа.

5. Разработан программный комплекс для расчета динамического изменения рельефа мелководных водоемов, областью применения которого является построение поля скоростей водной среды и прогнозирование возможных сценариев изменения геометрии донной области мелководных водоемов. На основе разработанного комплекса программ проведено численное моделирование гидрофизических процессов в прибрежной зоне водоема.

Методы исследования. Основой теоретического исследования служат:

— основы комплексного берегового учения (исследования гидродинамических процессов береговой зоны [21, 30−34, 51, 89, 101], теория донного влечения наносов [4, 42, 46, 52, 78, 79]);

— методология математического моделирования и вычислительного эксперимента [58, 61, 82, 86];

— математические методы численного и аналитического анализа моделей (уравнения математической физики [18, 44, 45], численные методы [14, 60, 62, 85, 90, 97], теория разностных схем [22, 24, 27, 81, 84, 92]);

— методы теоретического и численного исследования турбулентности [5, 13, 70, 72, 91, 100].

При разработке гидродинамической модели движения водной среды использована трехмерная гидростатическая модель, включающая уравнения: движения Навье — Стокса, неразрывности для несжимаемой жидкости, гидростатики. Построение и исследование дискретной консервативной модели, описывающей переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц, проведено интегро-интерполяционным методом. При исследовании аппроксимации гидродинамической модели использовался метод поправки к давлению, применены схемы с весами, устойчивость которых исследовалась на основе сеточного принципа максимума. Для решения уравнений (использован адаптивный попеременно-треугольный итерационный метод.

Программная реализация построенных численных алгоритмов базируется на языке «С++». Визуализация и анализ решений, компьютерные эксперименты с моделью проводились в среде разработки МАТНСАО.

Достоверность. Достоверность и обоснованность результатов исследования обусловлена корректной математической постановкой рассматриваемых задач, использованием математических методов построения моделей, их численного и аналитического анализа, корректностью применения апробированного математического аппарата (уравнения математической физики, численные методы, теория разностных схем, методы решения сеточных уравнений), корректностью использования апробированных специализированных программных сред.

Представленные в диссертации результаты имеют математическое обоснование: выполнены исследования погрешности аппроксимации, устойчивости дискретных моделей. Аналитически доказано, что пространственно-двумерная модель имеет второй порядок погрешности относительно шагов по пространственным координатам и первый относительно временного шага.

Результаты численных экспериментов, полученных на основе построенного комплекса программ, согласуются с реальными процессами переформирования дна в прибрежной зоне и подтверждаются их сравнением с результатами других авторов, аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Практическая значимость. Разработанные численные алгоритмы и реализующий их комплекс программ имеют практическую значимость: они могут быть использованы для исследования гидрофизических процессов в прибрежных водных системах, проверки гипотез и прогноза динамики донной области мелководных водоемов и береговой линии.

Возможно применение результатов исследований в целях планирования рационального природопользования: строительства сооружений и использования конкретного участка береговой линии, для прогноза возможных переформирований дна под воздействием турбулентных потоков водной среды и транспорта наносов в прибрежной зоне.

Практическое применение разработанных в диссертации подходов и полученных результатов связано не только с выполнением сценарных прогнозов при изменении природно-климатических факторов. Модели транспорта наносов в прибрежных водных системах могут оказаться полезными при работах, связанных с защитой от заносимости портов и каналов, со строительством гидротехнических сооружений, прогнозом силового воздействия на конструкции, для определения оптимальных трасс морских подходных каналов, прокладки трубопроводов и т. п.

Полученные выводы позволят улучшить существующие модели для прогнозирования изменений подводного рельефа и очертаний береговой линии.

Данная модель является одной из основных базовых ступенек на пути реализации более сложных многомерных моделей процесса переноса вещества.

В рамках сформулированной в работе проблемы на защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Пространственно-одномерная непрерывная и дискретная модели, удовлетворяющие основным законам сохранения и описывающие переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц.

2. Двумерная модель транспорта наносов в мелководных водоемах, включающая уравнения движения, неразрывности и перемещения наносов, учитывающая две пространственные переменные и следующие физические параметры и процессы: пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна и функцию возвышения уровня, ветровые течения и трение о дно.

3. Разностная схема, аппроксимирующая двумерную модель транспорта наносов со вторым порядком относительно шага пространственной сетки и с первым порядком относительно временного шага и алгоритм ее численной реализации.

4. Комплекс программ, предназначенный для моделирования турбулентных потоков водной среды и транспорта наносов в прибрежной зоне, для прогнозирования возможных сценариев изменения геометрии донной области мелководных водоемов.

Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на конференциях и научных семинарах: VII Международная научно-практическая конференция: Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике (Новочеркасск, 2 февраля 2007) — Пятьдесят третья научно-теоретическая конференция ГОУВПО «ТГПИ». Секция математики. (Таганрог, 22 января 2010) — Пятьдесят четвертая научно-теоретическая конференция ГОУВПО «ТГПИ». Секция математики. (Таганрог, 21 января 2011) — Международная научно-практическая конференция: Молодежь и наука: реальность и будущее. (Невинномысск, НИЭУП, 3 марта 2010) — Научный семинар кафедры ВМ ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2011).

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

По теме исследования опубликовано 11 печатных работ, из них 5 статей в отечественных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендованный ВАК.

В изданиях из перечня ВАК:

1. Проценко Е. А. Модель и алгоритмы решения задачи о транспорте наносов // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск: Актуальные проблемы математического моделирования. — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. № 8 (97). С. 71−75.

2. Проценко Е. А., Сухинов A.A. Достаточное условие единственности решения задачи транспорта многокомпонентной взвеси // Естественные и технические науки, -М.: изд-во Спутник+, 2010. № 5 (49). С. 511−518.

3. Проценко Е. А. Двумерная конечно-разностная модель формирования наносов в прибрежной зоне водоема и ее программная реализация // Электронный научно-инновационный журнал Инженерный Вестник Дона, Северо-Кавказский научный центр высшей школы ЮФУ. — Ростов-на-Дону, 2010. № 3. [Электронный ресурс]. Систем, требования: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n3y2010/224/.

4. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Проценко Е. А. Построение дискретной математической модели транспорта наносов // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск: Актуальные проблемы математического моделирования. — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. № 8 (121). С. 32−43.

5. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Проценко Е. А. Двумерная гидродинамическая модель, учитывающая динамическое перестроение геометрии дна мелководного водоема // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск: Актуальные проблемы математического моделирования. — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. № 8 (121). С. 159−166.

В других изданиях:

6. Проценко Е. А., Сухинов А. И. Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностной краевой задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа в прямоугольнике с линейной функцией источника // Методы и алгоритмы прикладной математик в технике, медицине и экономике: Материалы УП Международной научно-практической конференции. — Новочеркасск, 2 февраля 2007 г.: В 2 ч. / Юж. Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). — Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. -Ч. 1. С. 6−7.

7. Проценко Е. А. Исследование устойчивости разностной схемы при1 моделировании транспорта наносов на основе двумерной модели // Материалы III Международной научно-практической конференции: Молодежь и наука: реальность и будущее. В 6 томах. — Невинномысск: НИЭУП, 2010. Том V: Естественные и прикладные науки. С. 487−495.

8. Проценко Е. А. Пространственно-одномерная модель транспорта наносов в прибрежной зоне водоема // Актуальные проблемы социально-педагогических знаний: сборник научных статей. — Армавир: РИЦ АГТТУ, 2010. С.82−95.

9. Проценко Е. А. Исследование аппроксимации и устойчивости разностной схемы для одномерной модели перемещения наносов в прибрежной зоне // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. Физико-математические и естественные науки. Таганрог: Изд. отдел ГОУВПО «ТГПИ», 2010. № 1. С. 218−224.

10.Проценко Е. А. Сухинов А. А. Исследование единственности решения задачи транспорта многокомпонентных взвесей с взаимными трансформациями фракций // В рамках Конгресса по интеллектуальным системам и информационным технологиям «AISIT110». Научное изд. в 4-х томах. — М.: Физматлит, 2010. Т.2. С. 147−156.

11. Проценко Е. А. Решение задачи о транспорте наносов в прибрежной зоне водоема на основе двумерной модели // Материалы международной научной конференции Славянского государственного педагогического университета. Украина, — Славянск, 2011, № 11. — Т. 1. С. 109−118.

Личный вклад соискателя в работах, опубликованных в соавторстве: [2, 10] — на основе разработанной модели переноса многокомпонентной примеси в водной среде получено достаточное условие единственности решения для задачи транспорта взвесей в случае выполнения условия несжимаемости жидкости. [4] — построение сеточных уравнений для задачи транспорта наносов, разработка алгоритма расчета коэффициентов сеточных уравнений. [5] — на основе гидрофизической модели транспорта наносов в прибрежной зоне построена дискретная модель, проведен анализ результатов численных экспериментов. [6] - применен модифицированный попеременно-треугольный метод для решения разностной краевой задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа в прямоугольнике с линейной функцией источника.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, содержащего 151 наименование. Работа содержит 33 рисунка, 2 таблиц. Полный объем диссертации составляет 196 страниц.