Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций

Диссертация посвящена разделу функциональной алгебры — полукольцам непрерывных функций. В ней исследуются конгруэнции на полукольцах непрерывных действительнозначных функций.

Пусть X — произвольное топологическое пространство. Рассматривается полукольцо С+(Х) всех непрерывных неотрицательных функций и полуполе I/(X) всех непрерывных положительных функций на X с поточечно определенными операциями сложения и умножения. Их кольцом разностей служит кольцо С (Х) всех непрерывных действительнозначных функций, заданных на пространстве X.

Изучение колец С (Х) началось во второй половине 30-ых годов XX века с работ М. Стоуна [25] и И. М. Гельфанда и А. Н. Колмогорова [10]. По теории колец непрерывных функций имеется большая библиография. Назовем монографию Гиллмана и Джерисона [22] и обзорные работы Е. М. Вечтомова [6,7,26,27]. Полукольца С+(Х) встречаются в литературе с 1955 г. [24,11,23]- они систематически изучались в диссертации В. И. Варанкиной [3] (см. также [2]). Полуполя и (Х) — новый алгебраический объект, изучение которого ведется с 1995 г. на алгебраическом семинаре Вятского госпедуниверситета [7,29,31−33].

В кольцах существует естественное взаимно однозначное соответствие между конгруэнциями и идеалами, в полукольцах же этого соответствия нет. Так, в полуполе 17(X) нет несобственных идеалов, но достаточно много конгруэнций. Впервые конгруэнции на полукольцах С+(Х) для тихоновских пространств X рассматривались в статьях [20,21] Сначала авторы показали, что пространство всех максимальных среди сократимых конгруэнций на С+(Х) гомеоморфно стоун-чеховской ком-пактификации X. Во второй работе было доказано, что пространство конгруэнции р на полукольце С+(Х), фактор-полукольца по которым изоморфны полуполю R+ неотрицательных действительных чисел, го-меоморфно хьюиттовскому расширению пространства X. В данной диссертации такие конгруэнции р охарактеризованы в терминах решетки Con С+(Х) всех конгруэнции на полукольце С+(Х)1 что позволило получить теорему определяемости хьюиттовских пространств X решетками Con С+(Х). Замкнутые конгруэнции на полукольцах С+(Х) и U (X) с топологией поточечной сходимости исследованы М. Н. Годлевских (Смирнова) [15]. Подалгебры в полукольцах С+(Х) и U (X) изучались в статьях [8,14].

Отметим, что полукольца непрерывных функций, их фактор-полукольца находят применение — через пучковые представления — в общей теории полуколец [16−18,9]. В свою очередь теория полуколец применяется в дискретной математике, топологии, идемпотентном анализе, теории оптимального управления [13,23].

При изложении работы я опиралась на книги [1,12,18,19,22,23].

В диссертации решены следующие основные задачи.

1. Описаны максимальные и пред максимальные конгруэнции на полукольцах С+(Х) (теоремы 2.1.1 и 2.2.2) и максимальные конгруэнции на полуполях U (X) (теорема 3.2.2).

2. Доказана определяемость любого хьюиттовского пространства X каждой из решеток конгруэнции Con С+(Х) и Con U (X) — теорема 2.3.3 и следствие 3.2.2.

3. Даны характеризации главных и идеальных (сократимых) конгру-энций на полуполях U (X) — теоремы 3.1.1 и 3.4.5.

4. Показано, что идеальность всех конгруэнций на U (X) эквивалентна псевдокомпактности пространства X (теорема 3.3.4).

Применяются методы и результаты теории полуколец и теории колец и полуколец непрерывных функций. В главе 1 рассмотрен метод соответствий между конгруэнциями на аддитивно сократимом полукольце и идеалами его кольца разностей — он работает в главах 2 и 3. В главе 2 существенно используется линейная упорядоченность фактор-колец кольца С (Х) по простым идеалам, а также каноническое соответствие между простыми идеалами полукольца С+(Х) и кольца С (Х). В главе 3 для исследования конгруэнции на полуполях II (X) применяется разработанная здесь техника главных конгруэнций.

Дадим краткий анализ содержания диссертации. Диссертация содержит введение, 3 главы, разбитых на 10 параграфов, и список литературы из 35 наименований.

1. Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984.

2. Варанкииа В. И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций // Фундам. и прикл. матем. 1995. — Т. I, N 4. — С. 923−937.

3. Варанкина В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций. Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-матем. наук. — Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1996.

4. Вечтомов Е. М. Дистрибутивные кольца непрерывных функций и^{-пространства} // Матем. заметки. 1983. — Т. 34, N. 3. — С. 321— 332.

5. Вечтомов Е. М. Вопросы определяемости топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. -1990. Т. 28. — С. 3−46.

6. Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций. Алгебраические аспекты // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. 1991. — Т. 29. — С. 119−191.

7. Вечтомов Е. М. О конгруэнциях на полутелах // Проблемы алгебры и кибернетики. Материалы межд. конф., поев, памяти акад. С. А. Чунихина. Гомель: гос. ун-т, 1995. — С. 38−39.

8. Вечтомов Е. М. Один класс максимальных подалгебр полуколец непрерывных функций // Вестник Вятского педуниверситета. Серия естеств. наук. Вып. 3. Матем., инф., физ. 1997. — С. 7−10.

9. Вечтомов Е. М., Михалев А. В., Чермных В. В. Абелево регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 1997. — Т.20. — С. 282−309.

10. Гельфанд И. М., Колмогоров А. Н. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // Докл. АН СССР. 1939. — Т. 22, N1.-0. 11−15.

11. Калмуцкий Л. И. Полукольца функций и характеристика Т1-пространств // Докл. АН БССР. 1986. — Т. 30, N 11. — С. 972−974.

12. Кон П. Универсальные алгебры. М.: Мир, 1971.

13. Маслов В. П., Колокольцов В. М. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М., Наука, 1994.

14. Семенов А. Н. О подалгебрах полуколец непрерывных функций // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. Вып.1. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1998. — С. 83−90.

15. Смирнова М. Н. О замкнутых конгруэнциях на полукольцах непрерывных функций // Тезисы докл. школы-конф., посвящ. 100-летию Б. М. Гагаева. Казань: Казанск. матем. общ-во, 1997. — С. 200−201.

16. Чермных В. В. Пучковые представления полуколец. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-матем. наук. М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1993.

17. Чермных В. В. О полноте пучковых представлений полуколец. // Фундам. и прикл. матем. 1996. -Т.2, N1. — С. 167−277.

18. Чермных В. В. Полукольца. Киров: Вятский гос. пед. ун-т., 1997.

19. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

20. Acharyya S. К., Chattopadhyay К. S., Ray G. G. Hemirings, congruences and the Stone-Cech compactification // Simon Stevin. 1993. -V. 67, Suppl. — C. 21−35.

21. Acharyya S. K., Chattopadhyay K. S., Ray G. G. Hemirings, congruences and the Hewitt realcompactification // Bull. Belg. Math. Soc. -1995. V. 2, N 1. — C. 47−58.

22. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous funstions. N.J.: SpringerVerlag, 1976.

23. Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. — 1992.

24. Slowikowski W., Zawadowski A. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand // Fund. Math. 1955. -V. 42, N 2. — P. 215−231.

25. Stone M. Applications of the theory of boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. 1937. -V. 41, N 3. — P. 375−481.

26. Vechtomov E. M. Rings and sheaves //J. Math. Sciences (USA). -1995. V. 74, N 1. — P. 749−798.

27. Vechtomov E. M. Rings of continuous functions with values in a topological division ring // J. Math. Sciences (USA). -1996. -V. 78, N 6. -P. 702−753.

28. Семенова И. А. Максимальные конгруэнции на положительных полукольцах // Тезисы докл. IV Международной конф. женщин-математиков. Волгоград: гос. ун-т, 1996. — С. 113.

29. Семенова И. А. Главные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций // Вестник Вятского педуниверситета. Серия естеств. наук. Вып. 1. Матем., инф., физ. 1996. — С. 14−16.

30. Семенова И. А. О конгруэнциях на полуполе U (X) // Тезисы докл. V Международной конф. женщин-математиков. Ростов-на-Дону: 1997. — С. 64.

31. Семенова И. А. О максимальных конгруэнциях на полуполе непрерывных положительных функций // Тезисы докл. школы-конф. посвященной 100-летию Б. М. Гагаева. Казань: Казанск. матем. общ-во, 1997. — С. 193.

32. Семенова И. А. Конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций и его строго выпуклые мультипликативные подгруппы // Вестник Вятского педуниверситета. Серия естеств. наук. Вып. 3. Матем., инф., физ. 1997. — С. 30−32.

33. Семенова И. А. Предмаксимальные конгруэнции на полукольцах непрерывных неотрицательных функций // Тезисы докл. VI Международной конф. женщин математиков. — Чебоксары: гос. ун-т, 1998. — С. 62−63.

34. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундам. и прикл. матем. 1998. -Т. 4, N 2. — С. 493 — 510.

35. Семенова И. А. Определяемость хьюиттовских пространств X решеткой конгруэнций полуколец непрерывных неотрицательных функций // Вестник Вятского педуниверситета. 1998. Вып. 5.