Дифференциальные включения, содержащие малый параметр

I.

Актуальность темы

работы.

Теория оптимального управления является сегодня интенсивно развивающимся разделом современной математики, интерес к которому обусловлен его прикладным характером и потребностями современной техники.

На практике реальные управляемые процессы исследуются на основе идеализированных математических моделей, нередко описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами. В частности, появление малых параметров может быть вызвано наличием в системе управления элементов, инерционные свойства которых отличаются на один или несколько порядков.

Для приближённого решения дифференциальных уравнений с малым параметром используются различные асимптотические методы [7,16,24, среди которых одним из самых распространённых и разработанных является метод усреднения. Этот метод широко применяется при исследовании систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными^, 6,7,17,19,20,22,30,32,49, 53,55-^j, часто встречающихся в приложениях: теория колебаний, вращение твёрдого тела, динамика космических полётов и т. д.

Актуальность исследований, выполненных в данной работе, определяется тем, что во многих задачах механики и техники, описываемых системами дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными, возникает необходимость в управлении процессом. При этом большой интерес представляет собой разработка различных схем усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными, так как применение этих схем позволяет свести решение исходной задачи оптимального управления к интегрированию усреднённой системы, которая существенно проще /например, содержит меньшее число уравнений и переменных/.

Тема диссертации входит в комплексную тему «Асимптотические методы исследования задач оптимального управления» /номер государственной регистрации 1 820 068 762/ разработкой которой занимается коллектив кафедры оптимального управления Одесского университета в соответствии с Республиканским планом важнейших работ в области естественных наук АН УССР на I98I-I985 гг.

2. Существующие подходы к усреднению управляемых систем с быстрыми фазами. Цель работы.

Впервые применение метода усреднения к исследованию управляемых систем с быстрыми фазами было рассмотрено в работе [32]] в предположении о медленном изменении функции управления. Для случая же, когда управление считается произвольным, наметились следующие две методики применения метода усреднения:

1. С помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина исходная задача управления системой с медленными и быстрыми переменными сводится к краевой задаче, для решения которой применяется метод усреднения.

В работах р, 22,55] с помощью этого подхода исследуются управляемые системы со скалярной фазой или системы, сводящиеся к такому типу. В данной работе подобная методика применяется в §§ 2,3 главы З. При этом, как и в вышеперечисленных работах исследован случай системы со скалярной фазой, но по сравнению с [55] предложен алгоритм усреднения, позволяющий избежать неединственности решения краевой задачи принципа максимума для процессов с нефиксированным временем.

2. На основе аппарата дифференциальных включений усредняются непосредственно уравнения управляемого движения, и решается задача оптимального управления для более простой усреднённой системы. Этот подход для систем стаццартного вида с медленными переменными был впервые рассмотрен в работах [34 — 3?] .В данной работе предложен алгоритм усреднения уравнений управляемого движения для систем с быстрыми фазами, и дано его обоснование в случае скалярной фазы.

Таким образом, целью данной работы является: построение и обоснование схем усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными, базирующихся на применении дифференциальных включений, а также получение некоторых результатов по теории многозначных отображений, лежащих в основе этр1х схем.

3. Научная новизна и практическая ценность работы.

Основные научные результаты работы состоят в следующем: I/ получено обоснование метода усреднения на конечном промежутке для дифференциальных включений с измеримой правой частью- 2/ доказана теорема о непрерывной зависимости по параметру и начальным данным решений дифференциального включения, правая часть которого удовлетворяет условиям Каратеодори- 3/ на основе теории кратного интеграла многозначного отображения предложена схема усреднения управляемых систем с быстрыми фазами- 4/ обоснована схема частичного усреднения в системах со скалярной фазой;

5/ предложена и обоснована схема усреднения уравнений управляемого движения, описываемого системой со скалярной фазойб/ доказана близость решений исходной и усреднённой краевых задач принципа максимума Л. С. Понтрягина для управляемых квазилинейных систем со скалярной фазой в задачах как с фиксированной, так и с нефиксированной продолжительностью процесса.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные и обоснованные в ней схемы усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными позволяют значительно упростить решение задач оптимального управления для таких систем.

4.Объём и структура работы.

Работа объёмом 110 страниц состоит из трёх глав. В первой главе помещены теоремы об усреднении на конечном промежутке и о непрерывной зависимости по параметру и начальным данным для дифференциальных включений с измеримой правой частью, а также некоторые вспомогательные сведения. Результаты этой главы служат теоретическим фундаментом для последующих глав.

Во второй главе вводится понятие кратного интеграла многозначного отображения и строится его теория. На базе этой теории предлагаются схемы усреднения управляемых систем с несколькими быстрыми фазами, которые иллюстрируются на модельных примерах.

Третья глава посвящена усреднению управляемых систем со скалярной фазой. Обосновываются схемы усреднения как непосредственно. уравнений управляемого движения/предложенные во второй главе^ так и краевых задач принципа максимума JI.C. Понтрягина. Рассматриваются случаи фиксированной и нефиксированной продолжительности процесса. С помощью предложенных схем решаются конкретные задачи из теории колебаний.

Внутри глав параграфы имеют самостоятельную нумерацию. Теоремы и формулы в пределах параграфа имеют одинарную нумерацию. При ссылках на результаты другого параграфа данной главы применяется двойная нумерация с указанием номера параграфа и теоремы /формулы/. Если ссылка делается на результаты другой главы, то используется тройная нумерация: номер главы, номер параграфа, номер теоремы /формулы/.

5.Общая методика исследования.

Основным аппаратом исследования в данной работе является метод усреднения^{6,7,17,19,20,25,30} — 32,34 — 40,49, 53, 5б] в сочетании с некоторыми результатами теории многозначных отображений [2 — 5,8,23,26,28,29,41,48,50 — 52,54,60,63 — 8б]. Кроме того, в третьей главе существенно используется методика усреднения краевых задач принципа максимума Л. С. Понтрягина, изложенная в работах [34,55]. о. Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на: Третьем республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям /Одесса, 1982/, Третьей республиканской конференции «Вычислительная математика в современном научно — техническом прогрессе» /Канев, 1982/, Всесоюзной школе — семинаре «Методы малого параметра и их применение» /Минск, 1982/, Четвёртой Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах /Москва, 1982/, республиканском семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям при Киевском государственном университете.

7. Публикации.

По теме диссертации опубликовано 8 работ l0 — 15, 38,39]. В опубликованных в соавторстве работах [J4,15,38,39] лично автору диссертации принадлежат следующие результаты:

14. Исследование схем усреднения нелинейных управляемых систем с медленными и быстрыми переменными.

15. Исследование многочастотной управляемой системы специального вида с помощью метода усреднения.

38. Обоснование метода усреднения на конечном промежутке для дифференциальных включений с измеримой правой частью.

39.

Введение

понятия кратного интеграла многозначного отображения и изучение его свойств, рассмотрение схем усреднения управляемых систем с быстрыми фазами на модельных примерах.

1. Акуленко Л. Д. Асимптотическое решение двухточечных краевых задач.- ГОШ, 1980, т.44,№ 4,с.632−639.

2. Аркин В. И., Левин В. Л. Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого выбора и вариационные задачи.- УМН, 1972, т.27,вып.3,с.21−77.

3. Благодатских В. И. Теория дифференциальных включений. Часть I, — М.:Изд-во МГУ, 1979.-89 с.

4. Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н. Метод асимптотического приближения для систем с вращающейся фазой и его применение к движению заряженных частиц в магнитном поле.- УМЖ, 1955, т.7,Р I, с.5−17.

5. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, — М.:Физматгиз, 1963.-410 с.

6. Борисович 10.Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., 0буховский В. В. Многозначные отображения.- Математический анализ.Т.19.

7. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР /.- М., 198I, с.127−231.

8. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями.- М.:Наука, 1977.-624 с.

9. Васильев А. Б. Обоснование одной схемы усреднения уравнений одночастотной управляемой системы.-Межобластная научнопрактическая конференция молодых учёных, посвящённая 60-й годовщине образования C00P. Тезисы докладов, Одесса, 1983, с.43−45.

10. Васильев А. Б. О непрерывной зависимости по параметру решений дифференциальных включений.- УМЗК, 1983, т.35,Р 5, с.607−611.

11. Васильев А. Б. О непрерывности по параметру решений дифференциальных включений.-III Республиканский симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям. Тезисы докладов, Одесса, 1982, с.68−69.

12. Васильев А. Б. Усреднение уравнений управляемого движения в системах с быстрыми фазами.-Всесоюзная школа-семинар «Методы малого параметра и их применение'.'Тезисы докладов, Минск, 1982, с. 75.

13. Васильев А. Б., Плотников В. А., Смирнова Н. А. Усреднение уравнений движения в задачах управления нелинейными колебаниями.-Четвёртая Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах. Тезисы докладов, Москва, 1982, с. 41.

14. Васильев А. Б., Плотников В. А., Смирнова Н. А. Усреднение уравнений движения при решении задач управления.-III Республиканская конференция «Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе'.'Тезисы докладов, Киев, 1982, с. 164−165.

15. Васильева А. Б., Бутузов в.ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений.- М.:Наука, 1973.-272 с.

16. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.- М.:Изд-во МГУ, 1971.-507 с.

17. Гихман И. И. По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова.- УМЖ, 1952, т.4,№ 2,с.215−219.

18. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем.- М.:Наука, 1979.-431 с. 20,21,22.