Приведение краевых задач к начальным и исследование концентрации напряжений в тонкостенных конструкциях мультипликативным методом

Механика деформирования тонкостенных конструкций, в основании которой находится теория оболочек, пластин, тонкостенных шпангоутов и стрингеров, сформировалась как наука в трудах многих ученых, а в нашей стране, главным образом, на трудах В. Э. Власова, 100 лет со дня рождения которого широко отмечалось научной общественностью в 2006 году.

Проблемы прочности тонкостенных конструкций в широком смысле (прочности по напряженно-деформированному состоянию, устойчивости и определению собственных частот колебаний) постоянно возникают при проектировании, например, летательных аппаратов. Критические нагрузки устойчивости и собственные частоты — интегральные характеристики тонкостенных конструкций. Определяются они в задачах на собственные значения.

Проблемы прочности тонкостенных конструкций по напряженно-деформированному состоянию имеют ярко выраженную специфику. Весовое совершенство конструкций может быть достигнуто при равнопрочности всех их элементов. Однако задача такого совершенствования не может, иметь г окончательного решения в виду бесконечного многообразия возможных конструкций одного, например, целевого назначения, условий изготовления, эксплуатации и бесконечного числа возможных, порой непредсказуемых, внешних воздействий.

0.1. Физическая постановка задачи.

Практика эксплуатации тонкостенных конструкций показывает, что разрушение начинается в местах концентрации напряжений в их элементах с образования и катастрофического развития трещин. Явление это не интегральное и носит ярко выраженный локальный характер для конструкции. Из опыта испытаний и эксплуатации тонкостенных конструкций места концентрации напряжений, как правило, известны. Они обусловлены скачками же-сткостей, изломами геометрии тонкостенных элементов и, главным образом, локальными внешними воздействиями и локальной передачей усилий в конструкциях. Избежать локальных воздействий и локальной передачи нагрузок на тонкостенные элементы не удается. В таких случаях мы сталкивается с проблемой концентрации напряжений и определение их становиться неизбежным. Задача расчета сводится к определению размеров мест концентрации напряжений, характера распределения напряжений и, что часто бывает самым главным, к определению максимальных значений напряжений в этих местах.

A.M. Доценко, В. А. Коргопольцев, М. Н. Коган, А. Б. Корнилов, A.A. Орлов, В. Н. Семенов, JI.JI. Теперин, М. В. Устинов экспериментально в ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского показали, что использование нанотехноло-гий в местах концентрации напряжений для предотвращения появления и развития трещин увеличивает прочностной ресурс тонкостенных конструкций до 3-х раз.

Концентрация напряжений как физическое явление требует математического моделирования и анализа математических моделей в виде дифференциальных уравнений. Если в качестве математических моделей использовать линейные дифференциальные уравнения механики деформирования оболочек, то актуальной проблемой остается построение эффективной методики исследования линейных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек в местах концентрации напряжений с априори задаваемой погрешностью.

0.2. Математические модели.

Ограничимся исследованием замкнутых в окружном направлении оболочек, которые находят широкое применение в качестве элементов тонкостенных конструкций, сооружений, машин и аппаратов. Это позволяет нам использовать метод Фурье разделения переменных в дифференциальных уравнениях с частными производными механики деформирования оболочек и свести математическую модель к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Задача построения метода исследования такой математической модели упрощается.

Фундаментальные основы теории оболочек приводятся в работах В. З. Власова [84−87], С. П. Тимошенко [239], А. Л. Гольденвейзера [96, 97], В. В. Новожилова [180−182], А. Н. Лурье, И. Геккелера и получили развитие в работах многих других авторов, приведенных в списке литературы. Изучение напряженно-деформированного состояния оболочек при силовых и^ температурных воздействий получило развитие в работах И. А. Биргера [23], В. Л. Бидермана [19−22], В. В. Болотина [24], И. Н. Векуа [41], Я.М. Григорен-ко и А. Т. Василенко [107−112], А. Д. Коваленко, В. В. Мяченкова, [175, 176], К. Ф. Черных и многих других авторов, также приведенных в списке литературы.

В качестве математической1 модели механики деформирования оболочек нами принимаются дифференциальные уравнения, полученные-для анизотропных слоистых оболочек Я. М. Григоренко и А. Т. Василенко [108]. Они обладают в сравнении с многими другими известными тем свойством, что позволяют исследовать концентрацию напряжений в анизотропных, орто-тропных и изотропных оболочках классических форм. Важным является и то, что эти уравнения уточнены повторным выводом Ю. А. Гусевым [114]. Им обнаружено и исправлено более 10 существенных опечаток.

В диссертации используются также математические модели механики деформирования, полученные для изотропных оболочек в канонической форме В. Л. Бидерманом, а также полученные нами на ЭВМ с помощью символьной математики для изотропных оболочек в канонической форме на основе уравнений В. З. Власова. Сравнение математических моделей, например, механики деформирования изотропных цилиндрических оболочек, показывает, что они различны. Избегая громоздкости, ограничимся сравнением их характеристических уравнений.

Я8 + а316 + а2Я4 + а{Х2 +а0= О разрешающих обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных методом Фурье разделения переменных для цилиндрических оболочек.

— В. З. Власовым а0 = п4{п2 -1)2, а{ = -4п6 + 8и4 — 2цп4 — 2п2, а2 = 6п2(п2 -!) + (! +4к4), а3=-4п2 + /л.

— Б. Г. Галеркиным а0 = п6(п2 -1), ах = -4 л6 + (5 — 3/ф4 — (1 — 2/л)п2, а2 = 6п4-(4-/и)п2+ 4к4, а3 = -4п2 +2//;

— А. Л. Гольденвейзером а0=п4(п2−1)2, а1=-4п2(п2 -I)2, а2=6п4-Ъп2+2п2/л2+4к4, а3=-4п2;

— В. М. Даревским а0 = п4(п2−1)2, а^-Лп2²-!)2, а2=6п4 -1п2 +п21л2 +4к4, а3=-4п2;

— В. Флюгге.

2п4 — (4 — /и)п2 + (2 — //)!, а2 = 6и2(и2−1) + 4А:4, аъ=-2{2п2-ц), где за) л —, // - коэффициент Пуассона, п — номер гармоники в методе Фурье разделения переменных. я0 = гс4(и2−1)2, -2п2.

На различие математических моделей и, следовательно, коэффициентов в соответствующих характеристических уравнениях обратил внимание, вероятно впервые, в 1964 году Д. А. Рояк [220]. Однако анализ различных математических моделей с целью установления наиболее совершенной, адекватной реальному объекту, нам представляется непродуктивным. Более результативным и менее трудоемким представляется сравнительный количественный вычислительный эксперимент. Ожидается, что количественные параметрические исследования, обязательно с контролируемой погрешностью, дадут количественно мало отличающие результаты. Отличия, как показали наши некоторые решения для цилиндрической оболочки, не превышали 5%, что и предсказывал В. З. Власов [84]. Очевидно, что вычислительный эксперимент сталкивается с проблемой контроля погрешностей в результатах.

Требуется ответ и на другие вопросы, связанные с математическими моделями. Один из вопросов связан с правомерностью использования теории оболочек для исследования в них концентрации напряжений. Такой вопрос возникает при локальном воздействии на оболочки. Ответ дали В. И. Леонов и Х. С. Хазанов [153]. Они показали, что математические модели теории оболочек могут использоваться при исследовании в них напряжений, если радиус круглой площадки внешнего воздействия более половины толщины оболочки. Если площадка воздействия меньше, то концентрацию напряжений под ней и в малой её окрестности, не превышающей толщины оболочки, необходимо исследовать, решая трехмерную задачу.

Возникает вопрос о правомерности математических моделей при исследовании концентрации напряжений у мест крепления, скачков жесткости или изломов поверхностей оболочек. Если учесть, что определению напряжений у мест заделки края оболочки или сопряжения цилиндрической оболочки со сферическим днищем с использованием дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек учат студентов [244], то становится ясно, что вопрос решен давно и положительно.

Справедливости ради, необходимо вспомнить принцип Сен-Венана. Согласно принципа, проблемным является погранслой оболочки, размер которого не превышает толщины оболочки, где напряженное состояние трехмерное. Однако, из теории и практики известно, что место концентрации напряжений, где есть опасность возникновения микротрещин и развития магистральных, часто превышает десятки толщин оболочки. Поэтому погранс-лоями справедливо пренебрегают.

Отметим, что математические модели известных авторов использовались в исследованиях без каких либо изменений.

Необходимо обратить внимание еще на то, что в диссертации используется понятие концентрации напряжений, а не их локализации или понятие краевого эффекта:

— концентрироваться — собираться, скапливаться в каком-нибудь месте;

— локализоваться — сосредотачиваться в каком-нибудь, определенном месте, не выходя за его пределы.

Очевидно, что эти понятия синонимичны. Однако понятие «концентрироваться» у механиков ассоциируется не только с ограничением места, но и с I определенными по величине напряжениями, значительно превышающими те, которые находятся за пределами этих мест. По этой причине мы используем понятие «концентрироваться», включая в него знание не только места, но и значений больших напряжений.

0.3. Методы анализа.

Для научно обоснованного выбора метода анализа выбранной математической модели механики деформирования оболочек выполняется сравнение тех из них, которые получили широкое распространение при решении прикладных задач или являются новейшими и наиболее эффективными для исследования напряженно-деформированного состояния оболочек и тонкостенных конструкций.

Метод Ритца-Тшюшенко. Предложен В. Ритцем и распространён С. П. Тимошенко на задачи строительной механики. Он позволяет получить приближенное решение в перемещениях на основе вариационного принципа Ла-гранжа. Идея метода, определяющая его приближенный характер, связана с тем, что искомые перемещения отыскиваются в классе заранее заданных функций, которые выбираются на основе опыта, интуитивно или на основе решений более простых задач. Для построения приближенного решения перемещения" представляются в виде рядов заданных функций, коэффициенты которых определяются при решении системы алгебраических уравнений, полученной по принципу Лагранжа. При этом необходимо помнить требования к задаваемым функциям. Они должны быть дифференцируемыми и удовлетворять геометрическим граничным условиям задач. Возникает и чисто математический вопрос, связанный с полнотой заданных функций и сходимостью рядов к точному решению. Метод Ритца излагается в работе [215]. Свое развитие он получил в работе [239], посвященной изучению устойчивости упругих систем. Прочностной расчет многослойных пластин с помощью метода Ритца выполнялся в работе В. В. Болотина, Ю. Н. Новичкова [24]. Здесь же определяются частоты собственных колебаний многослойных плит.

Метод Бубнова-Галеркина. Метод был построен И. Г. Бубновым и широко использовался при решении различных задач строительной механики Б. Г. Галеркиным. Метод основан на принципе возможных перемещений и сведении задач к решению систем алгебраических уравнений. Искомые перемещения, как и в методе Ритца-Тимошенко, ищутся в форме рядов в классе заданных функции. Заданные функции должны удовлетворять геометрическим граничным условиям и быть непрерывными. Если приравнять нулю возможную работу на каждом из заданных перемещений, то получаем метод, принятый называть обобщенным методом Бубнова-Галеркина. Если же при выборе заданных функций потребовать, чтобы они удовлетворяли и статическим граничным условиям, то полученный таким образом метод называется методом Бубнова-Галеркина. При этом коэффициенты рядов решений могут определяться в соответствии с методом Ритца-Тимошенко или в соответствии с методом Бубнова-Галеркина. Теоретические основы и определение области применения метода Бубнова-Галеркина изложены в монографиях [143, 211, 232, 248]. Метод получил широкое применение для расчета оболочек и тонкостенных конструкций на прочность, устойчивость и колебания. Этим методом решались краевые задачи в работах [10, 143]. Необходимо отметить, что в задачах определения напряженно-деформированного состояния при нестационарном нагружении методы Ритца-Тимошенко и Бубнова-Галеркина, базирующиеся на глобальных базисных функцях, обладают существенными' недостатками. Решения, полученные с помощью этих методов, сильно зависят от конкретного вида базисных функций, аппроксимирующих перемещения.

Метод Власова-Канторовича. Метод был сформулирован В. З. Власовым для построения приближенного расчета тонкостенных пространственных систем и в те же годы JI.B. Канторовичем применительно к расчету изгиба пластики. Метод позволяет свести решение задачи не к системе алгебраических уравнений, а к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Трудоемкость расчета при этом возрастает, а точность увеличивается. По методу неизвестные перемещения (как правило, для двух функций) задаются в виде суммы произведений двух функций. Одно из семейств функций зависит только от одной координаты, а второе, зависящее от другой координаты, определяется в результате счета. Полная энергия при этом превращается в функционал. Минимум функционала в соответствии с принципом Лагранжа реализовывается уравнениями Эйлера-Лагранжа, а естественные граничные условия определяют обобщенные статические граничные условия. Метод Власова-Канторовича часто называется еще методом приведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Метод позволяет свести трехмерную задачу к системе двумерных уравнений.

Методы Ритца-Тимошенко, Бубнова-Галеркина и Власова-Канторовича обладают общими существенными признаками, которые определяют их приближенный характер: искомые перемещения ищутся в классе заранее заданных (аппроксимирующих) функций в виде рядов, постоянные коэффициенты которых определяются при решении системы алгебраических уравнений. Методы континуальные и при решении краевых задач определяют решения на всей области деформирования пластин, оболочек или тонкостенных конструкций, что не соответствует задачам исследования' напряжений только в местах их концентрации.

Метод Папковича-Треффца. — метод решения задач в напряжениях. Компоненты напряжений представляются в виде рядов с неизвестными постоянными коэффициентами, которые определяются из системы алгебраических уравнений, составленной с использованием принципа наименьшей работы. ПО’методу функции аппроксимирующие напряжения выбираются виде частных интегралов уравнении равновесия, удовлетворяющих условиям1' на поверхности. Для этого достаточно ввести три функции напряжений. Коэффициенты рядов решений согласно принципу наименьшей работы определяются из условия минимума дополнительной потенциальной энергии, которое приводит к системе алгебраических уравнений.

Приближенное решение задачи в напряжениях может быть построено и методом приведения к обыкновенных дифференциальным уравнениям, аналогично методу Власова-Канторовича. На основании принципа наименьшей работы из условия минимума дополнительной энергии можно записать систему дифференциальных уравнений типа Эйлера-Лагранжа-Острограцкого. Если аппроксимирующие функции для напряжений будут выбираться зависящими от двух координат, то уравнения Эйлера-Лагранжа будут обыкновенными, а если функции будут одномерными, то соответствующие уравнения будут включать две независимые переменные.

Дифференциально-разностный метод (метод прямых или полос). Вероятно впервые метод сформулирован М. Г. Слободянским [234] и развивался С. Г. Михлиным [172, 173], И. С. Березиным, Н. П. Жидковым [17, 18], А. П. Филиным [245, 246] и др [110]. По методу по одной из независимых переменных в двумерных задачах и по двум независимым переменным в трехмерных задачах производные заменяются разностными выражениями. Такая процедура обеспечивает замену краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных краевой задачей для обыкновенных дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения интегрируются пошаговыми методами [6], чаще всего методомРунге-Кутта четвертого порядка. Краевые условия по направлениям аппроксимации производных конечными разностями реализуются с использованием разностных аппроксимаций производных в краевых условиях. По направлению. численного интегрирования используются алгоритмы переноса краевых условий методом Коши, например, в произвольную точку краевого интервала встречной прогонкой. При этом преодолевается проблема устойчивости счета, например ортонормированием [94].

Дифференциально-разностный метод Виноградова. Впервые идея метода изложена в работе [66] и развивалась в работах [56]. Идея метода сводит дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным, а далее устойчивость счета по независимой переменной в обыкновенных дифференциальных уравнениях достигается делением заданного интервала на участки устойчивого счета, определением решений на каждом из участков по формулам, сопряжением участков устойчивого счета и сведением решения краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений. На систему алгебраических уравнений накладываются граничные условия. Решение алгебраических уравнений приводит к определению искомых величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние тонкостенных конструкций.

Вариационно-разностный метод. Авторов установить не удалось. Метод представляет собой сочетание вариационного и конечно-разностного методов и применяется для решения как одномерных, так и двумерных задач. По методу производные искомой функции, входящие в подынтегральное выражение функционала полной энергии, записываются^ в форме конечных разностей, а соответствующий интеграл заменяется суммой. Далее на основании соответствующего вариационного принципа определяются значения искомой функции в узлах сетки, соответствующие экстремуму дискретного аналога функционала. Алгебраические уравнения, из которых определяются эти значения, получаются из минимума дискретного аналога функционала полной энергии по значениям искомых функций в узлах сетки. Так как дискретный аналог функционала полной энергии зависит квадратично от значения искомой функции в узлах сетки, то условия минимума обеспечивают линейность алгебраических уравнений.

Метод коллокаций. Автора метода установить не удалось. Метод отноI сится к численным, так как его применение связано с сеточной аппроксимацией упругого тела. Решение задач этим методом дает результат в виде некоторых функций, удовлетворяющих заданным уравнениям в узловых сетках (точках коллокации) и граничным условиям. Таким образом метод коллока-ции является методом приближенного решения дифференциальных уравнений и заключается в сведении этого решения к решению систем алгебраических уравнений.

Метод «прогонки «Гелъфанда — Локуциевского. Впервые изложен в виде дополнения к книге [95]. Метод относится к методам переноса краевых условий, в основе которых лежат численные пошаговые методы интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер [6] отмечают, что при интегрировании жестких дифференциальных уравнений, к которым относятся и уравнения механики деформирования тонкостенных конструкций, возникают вычислительные трудности, связанные с неустойчивостью счета. Метод не всегда обеспечивает устойчивость счета. Особенно это проявляется при решении задач устойчивости и колебаний оболочек [21]. Метод Гельфанда-Локуциевского развивается в работах [47]: строятся его модификации, а также дискретный аналог, по существу алгоритма — новый метод.

Метод Абрамова переноса граничных условий. Метод предложен A.A. Абрамовым [2]. Всегда обеспечивает устойчивость счета при решении краевых задач механики деформирования.оболочек. Недостатком метода является увеличение в два раза порядка разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений с появлением сложных математических функций в преобразованных правых частях уравнений и, следовательно, неоправданный рост времени счета и необходимой оперативной памяти ЭВМ. При этом также теряется простой и понятный физический, смысл входящих в разрешаюч i «щую систему уравнений неизвестных. В работе [49] показано, что> устойчивость счета обеспечивается пошаговым ортонормированием в процессе интегрирования дифференциальных уравнений. -Метод Годунова. Метод численного решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые предложен С. К. Годуновым [94]. Он получил развитие применительно к решению задач прочности, устойчивости и колебаний пластин, оболочек и тонкостенных конструкций в работах В. Л. Бидермана [19−22], В. В Болотина, Ю.Н. Но-вичкова [24], Я. М. Григоренко, А. Т. Василенко, Е. И. Беспаловой [111], В. И. Мяченкова, И. В. Григорьева, В. П. Мальцева [175, 176] и др. На основании метода созданы и опубликованы пакеты прикладных программ для решения краевых задач теории оболочек и механики деформирования тонкостенных конструкций. Устойчивость счета при решении краевых задач обеспечивается предложенной С. К. Годуновым процедурой ортогонализации и нормиро — •. .¦ -17-^.: вания решений в. процессе интегрирования систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.

Метод Виноградова-Клюева. Метод численного и аналитического решения краевых задач механики деформирования тонкостенных конструкций сопряжением участков устойчивого счета. Метод предложен Ю. И. Виноградовым и развит Ю. И. Клюевым для решения задач устойчивости и колебаний оболочек и тонкостенных конструкций [57−65, 67, 68]. Метод можно считать численным, если решения" линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами определяются" с помощью матричного бинома Ньютона, а с переменными коэффициентами — с помощью^ мультипликативного интеграла Вольтерра, аналогаинтеграла как суммы* бесконечно малых [92]. Метод можно считать аналитическим., если решение: линейных: обыкновенных дифференциальных уравнению определяется? с помощью матричного рядя: Тейлора. Сопряжение участков устойчивого счета' приводит к системе алгебраических уравнений. При решении’системы алгебраических уравнений4учитываютсязаданные краевые условия и нагрузка на оболочку илитонкостенную конструкцию. Таким образомвариантные крае.? Л. вые задачи при различных внешних воздействиях решаются при повторном решении алгебраических уравненийв результате которых определяются искомые величины задач с априори назначенной погрешностью.

Мультипликативный метод Виноградова. Метод предложен Ю. И. Виноградовым [51]. Эффективные алгоритмы строились в работах А. Ю. Виноградова [45, 54, 55] и работах Ю. А. Гусева [114]. Идея метода состоит в переносе краевых условийв произвольную точку краевого интервала с помощью решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек, записанных в канонической форме. Решения дифференциальных уравнений определяются, с помощью матричного бинома Ньютона, определения мультипликативного интеграла Вольтерра или матричного ряда Тейлора. При этом определяются значения функций Коши.

Крылова, которые удовлетворяют произвольным начальным условиям задач и обладают мультипликативными свойствами. Устойчивость счета достигается построчным ортонормиронием краевых условий при значениях аргумента превышающих критические. В отличие от ортонормирования предложенного С. К. Годуновым ортонормирование по Ю. И. Виноградову не касается искомых величин задачи, что принципиально упрощает алгоритм метода и повышает его эффективность, сокращая затраты машинного времени и оперативной памяти ЭВМ и позволяют получать результаты с априори назначенной погрешностью.

Метод Виноградова А. Ю. и Виноградова Ю. И. Метод разработан Ю. И. Виноградовым и А. Ю. Виноградовым для решения краевых задач на основе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только чётные производные [42]. Многие прикладные задачи изгиба балок," изотропных, ортотропных, трехслойных пластин, круговых цилиндрических оболочек с уравнениями механики их деформирования Власова, Гольденвейзера, Новожилова, Флюгге, Бейларда, Даревского, Тимошенко-Лява, Доннелла-Власова-Лурье и также варианты полубезмоментных теорий, задачи механики деформирования оболочек на основе моментной технической теорииобщей моментной теории, теории пологих оболочек математически моделируются после разделения переменных линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, содержащими только четные производные [21, 177, 184]. Метод решения таких задач построен на идее сведения разрешающего дифференциального уравнения, содержащего только четные производные, к системе дифференциальных уравнений, каждое из которых второго порядка, и записи её в матричной форме. Решение такого матричного однородного уравнения определяется по известным [92] формулам через матричные синусы и косинусы, если дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты. Если коэффициенты переменные, то они осредняются на участках и строятся соответствующие алгоритмы решения краевых задач. Построено несколько модификаций метода, предлагаются рекуррентные формулы для сокращения затрат машинного времени на построение общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы Гельфанда-Локуциевского, Абрамова, Годунова, Виноградова-Клюева, Виноградова и Виноградовых предусматривают сведение дифференциальных уравнений с частными производными механики деформирования замкнутых в окружном направлении оболочек методом Фурье разделения переменных к обыкновенным, записи их в виде системы уравнений, каждое из которых первого или второго порядка и представлении системы в матричной форме. Методы строились и развивались, преодолевая проблему устойчивости счета и добиваясь повышения их эффективности (простоты реализации, сокращения затрат машинного времени и необходимого объема, оперативной памяти ЭВМ и, что особенно важно, контроля за погрешностями счета).

Методы Гельфанда-Локуциевского, Абрамова, Годунова при решении задач механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций использовали, главным образом, метод Рунге-Кутта четвертого порядка численного интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. По этой причине их относят к численным методам, погрешности которых определяется погрешностями численного интегрирования и контролю не поддаются.

Сравнивая метод Гельфанда-Локуциевского с методами Абрамова и: Годунова, замечаем, что в методе Гельфанда-Локуциевского, как и в методе Абрамова, переносится известное матричное уравнение условий на краю, в противоположность тому, что в методе Годунова переносится уравнения условий, которые известны и не известны на краю. В методах переносятся разные уравнения краевых условий. Следовательно, по смыслу переноса краевых условий метод Гельфанда-Локуциевского ближе к методу Абрамова, чем к методу Годунова.

Однако метод Гельфанда-Локуциевского и Годунова объединяет тот факт, что для начала вычислений они требуют начальные значения прого-ночной матрицы и вектора. Для метода Абрамова этого не требуется.

Устойчивость счета в методе Годунова достигается ортогонализацией и нормированием векторов фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений после их определения численным интегрированием в конце каждого участка критической длины. Такая дискретная ортогонализация и нормирование увеличивают затраты машинного времени и требования к оперативной памяти ЭВМ, естественно, усложняя составление программ решения краевых задач.

В работе [49] показано, что в методе Абрамова элементы прогоночной матрицы гарантированы от неограниченного роста. Показано, что при изменении аргумента векторы-строки прогоночной матрицы поворачиваются^в пространстве, не изменяя своей длины и взаимонаправленности. Таким образом, в методе Абрамова при численном интегрировании происходит фактически пошаговое ортонормирование.

Анализ численных методов Гельфанда-Локуциевского, Абрамова и Годунова показывает, что их алгоритмы решения краевых задач разработаны для определения напряженно-деформированного состояния во всей области тонкостенных конструкций, что не соответствует требованиям задач определения напряжений в местах их концентрации.

Методы Виноградова-Клюева, Виноградова и Виноградовых принципиально отличаются от других тем, что для дифференциальных уравнений решения определяются по формулам без учета краевых условий. Общим существенным признаком этих формул является то, что с их помощью определяются значения функций Коши-Крылова, удовлетворяющих произвольным начальным условиям задач. Если в основе алгоритмов используется матричный бином Ньютона и интеграл Вольтерра для определения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, то методы будут относиться к численным, так как при этом нет возможностей определения погрешностей методов. Если в основе тех же алгоритмов используются матричный ряд Тейлора или матричные сходящиеся ряды для определения матричных синусов и косинусов для определения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, то методы будут относиться к аналитическим, т.к. при этом решения дифференциальных уравнений определяются с помощью сходящихся рядов с контролируемой погрешностью. Эффективностьf этих методов в сравнении с методами Гельфанда-Локуциевского, Абрамова и Годунова по программной реализации очевидно проще, затраты, машинного времени сокращаются при решении одних и тех же задач на один-два порядка, значительно сокращаются требованиям оперативной памяти ЭВМ и, что принципиально важно, эти методы позволяют решать задачи механики деформирования тонкостенных конструкций с априори заданной погрешностью. Однако их алгоритмы построены для определения^ напряженно-деформированного состояния во всей области краевого интервала.

Метод граничных элементов (МГЭ). Широко используется при решении задач теории упругости. Основой МГЭ является интегральное представление решения системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта. Впервые такое представление в теории потенциала было получено А. Г. Грином [103]. Применительно к задачам теории упругости В. Д .Купрадзе [150] ввел некоторые интегральные уравнения на основе упругих потенциалов простого и двойного слоя, доказал существование решений этих уравнений и предложил приближенный метод решения статических задач для однородных упругих тел. Развитие метод получил в работах В. З. Партона, П. И. Перлина на основе упругих потенциалов. Прикладное значение решения задач статики теории упругости определено в работах Cruse Т.А., Rizzo F.Y. [147, 148]. В монографях [16, 28, 144, 168] суммируется опыт применения МГЭ в самых различных разделах механики. Достоинством МГЭ являются понижение размерности решаемой задачи за счет поиска неизвестных только на границе исследуемой области и возможность определения параметров напряженно-деформированного состояния во внутренних точках тела, а не в местах их концентрации.

Метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Универсальные численные методы. Используются при создании программных комплексов для решения многомерных задач параметрического анализа. В основе МКР — разностная аппроксимация производных с образованием разностных сеток при решении краевых и начально-краевых заач. В основе МКЭ, широко распространенном при исследовании механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций, — аппроксимация искомых величин с помощью конечного числа выбранных локализованных функций, чаще всего полиномов. Теоретическое обоснование МКР дано в работах С. К. Годунова, B.C. Рябенького [95], JI.B. Канторовича, В. Г. Крылова [135], А. А Самарского [226−231]. Этим методом решались краевые задачи статики, устойчивости и колебания пластин, оболочек и тонкостенных конструкций в работах Э. И. Григолюка, В. М. Толкачева [106], В. А. Иванова, Б. В. Гулина.

132], В. П. Баженова и др. [7−9, 32, 36- 216, 217]. Фундаментальные результа ты теории МКЭ получены в работах О. Зенкевича [127−129], С. Г. Михлйна [172, 173], К. Ректориса [213], J.T. Oden [188, 189], Стренг, Фикс Дж. [235]. Этим методом решались задачи механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций в работах А. И. Голованова [98−100], М.С. Корниши-на [141], Бате К., Вилсон Е. [11], Постнов В. А. 202−206], Р. Б. Рикардса [214] и др. [195, 219, 237]. Список таких работ велик и продолжает быстро увеличиваться. Развитие универсальных МКР и МКЭ идет по пути решения многомерных задач в автоматическом режиме путем распараллеливания алгоритма и организации вычислительного процесса в диалоговом режиме с использованием многопроцессорной техники, с обработкой многомерных массивов данных и визуализацией результатов счета. Программные комплексы совершенствуются в направлении расширения их возможностей и упрощения использования. В то же время мало внимания уделяется проблеме контроля за погрешностями счета [25, 26, 34, 102, 118, 121, 130- 131, 139, 159, 190, 221, 222, 253]. Универсальные МКР и МКЭ, как и выше описанные, которые можно отнести к специализированным, реализованные в программных комплексах, аппроксимируют оболочки или тонкостенные конструкции во всех их элементах, что не требуется при исследовании напряжений в местах их концентрации. Они особенно не надежны при повышенных требованиях к точности исследования концентрации напряжений* и определении их максимальных значений.

Конечно*разностные методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений используют конечно-разностные аппроксимации производных. В основе других, например, метода конечных элементов, метода Ритца-Тимошенко, метода Бубнова-Галеркина и метода. Власова>

Канторовича лежат попытки аппроксимировать решения дифференциальных уравнений конечными линейными комбинациями1 заданных функций: поли номов, тригонометрических функций и т. п.

В каждом из этих случаев центральной вычислительной проблемой является решении системы линейных алгебраических уравнений. Хотя для них системы строятся по узловым точкам заданного интервала изменения аргумента, природа решений этих систем совершенно различная. В конечно-разностных методах это — приближения к значениям решения дифференциальных уравнений в точках сетки. В других же — это коэффициент представления приближенного решения.

В смешанных численных методах, например, дифференциально-разностных методах Слободянского и Виноградова, численно-аналитических, таких как методы граничных элементов, и других используется различная природа известных подходов с целью объединения их свойств для повышения эффективности решения задач механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций.

Группа методов Гельфанда-Локуциевского, Абрамова, Годунова, Виноградова и Виноградовых, алгоритмы решения краевых задач которых связаны с переносом краевых условий в произвольную точку краевого интервала, по своей сути основаны на замене краевой задачи для одномерного процесса решением ряда задач с начальными условиями, то есть, решением ряда задач методом Коши. Идея решения, краевых задач методом начальных параметров весьма простая: известные краевые условия’или условия, дополненные в символическом виде неизвестными начальными параметрами, переносятся в произвольную точку краевого интервала. Совокупность начальных условий позволяет определить напряженно-деформированное состояние в произвольнойточке. Метод начальных параметров используется в строительной механике тонкостенных конструкций в виде различных модификаций, предложенных в разное время Коши, Клебшем, П. Ф. Папковичем [192], Ш. Е. Микеладзе [169], В. З. Власовым [84−87] и* другими. Метод начальных параметров при замене краевой задачи совокупностью задач Коши не обеспечивает устойчивости счета для1 жестких дифференциальных уравнений механики деформирования тонкостенных элементов конструкции. При этом добиться удовлетворительной точности численных расчетов становится весьма затруднительным.

Выполненный обзор численных и аналитических методов решения краевых задач по их научной основе и сравнительный анализ по эффективности позволяет выбрать мультипликативный метод Виноградова и метод Виноградова-Клюева для решения краевых задач с целью их развития для исследования концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных конструкциях.

Таким образом, из краткого обзора литературы по теме исследования следует, что математические модели механики деформирования оболочек для исследования в них концентрации напряжений разработаны.

Актуальной:проблемой является построение специализированных методов исследованиянапряжений в, местах их концентрации с априори контролируемой погрешностью;

Целью работы*является приведение краевых задач к начальным и построение эффективной методики исследования концентрации напряжений' вэлементах тонкостенных конструкций: мультипликативным методом с: контролируемой погрешностью.

Научную новизну, работы. составляют:

— простейшие алгоритмы приведениякраевых задач1 к начальным и исследование: концентрации напряжений в оболочках мультипликативнымметодом? с априори контролируемой погрешностью,.

— перенос краевых условий: к местам концентрации напряжений мультипликативным методом, (доказана, теорема) — формирование: соответствующих начальных условий и исследование концентрации напряжений в элементах тонкостенных, конструкциймультипликативным? методом* с: априори? контролируемой погрешностью,.

— перенос краевых условий к. местам< концентрации напряжений сопряжением: участков устойчивого счета и исследование концентрации напряжений в элементах тонкостенных конструкций: мультипликативным, методом с априори контролируемойшогрешностью,.

— простейшие алгоритмы приведения краевых задач к начальным: для оболочек из одного: или двух участков устойчивого счета и исследование концентрации напряжений мультипликативным методом с априори контролируемой погрешностью.

— исследование концентрации напряжений в тонкостенных элементах транс-портно пусковых стаканов летательных аппаратов:

Достоверность основных научных результатов обеспечивается ¦ строгостью математических выкладок, доказательством теоремы о возможности приведения краевых задач к начальным у места концентрации напряжений, решением тестовых задач и сравнительными вычислительными экспериментами.

Прикладная ценность работы состоит в:

— построенных программно реализованных алгоритмах приведения краевых задач к начальным у места концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных элементах конструкций,.

— построенном для использования на практике мультипликативном методе исследования напряжений в местах их концентрации,.

— построенных и программно реализованных простейших алгоритмах приведения краевых задач к начальным и исследовании концентрации напряжений в тонкостенных элементах конструкций мультипликативным методом,.

— возможности априори определять погрешности исследования концентрации напряжений,.

— программно реализованных алгоритмах исследования концентрациинапряжений в транспортно пусковых стаканах для летательных аппаратов,.

— в результатах параметрического исследования концентрации напряжений в транспортно пусковых стаканах.

Основные положения, выносимые на защиту.

— Простейшие методы исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом.

— Приведение краевых задач к начальным у места концентрации напряжений мультипликативным методом.

— Приведение краевых задач к начальным у мест концентрации напряжений сопряжением участков устойчивого счета.

— Методика исследования концентрации напряжений в тонкостенных конструкциях на примере воздействия на транспортно пусковые стаканы локальных сил и моментов, внутреннего давления и давления при запуске летательных аппаратов.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 3-й, 4-й, 5-й и 6-й Международных конференциях «Авиация и космонавтика — 2004, 2005, 2006 и 2007» (Москва, 2004,.

2005, 2006, 2007 г. г.) — Первой международной научно-технической конфе ренции «Аэрокосмические технологии» (Москва — Реутов, 2004 г.) — Международной конференции «DYNAMICAL SYSTEM MODELLING AND STABILITY INVESTIGATION» (Киев, 2005 г.) — XIV и XV Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным системам (Алушта, 2005 и 2007 г. г.) — Международном симпозиуме «Образование через науку» (Москва 2005 г.) — XII и XIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 2006 и 2007 г. г.) — 3-й Международной конференции «Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы» (Москва, 2007), кафедре «Аэрокосмические системы» МГТУ им. Н. Э. Баумана.

По теме диссертации опубликовано 17 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и краткого обзора литературы, 6-ти глав, заключения, списка литературы, включающего 263 наименования. Объем работы составляет 167 страниц машинописного текста и 38 страниц рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. В диссертации обсуждаются математические модели механики деформирования оболочек. Дается обоснованный выбор математической модели Я. М. Григоренко и А. Т. Василенко механики деформирования слоистых анизотропных оболочек, записанных в канонической форме, и технической моментной теории В. З. Власова механики деформирования изотропных оболочек как простейшей.

Предлагается матричный алгоритм приведения разрешающей системы дифференциальных уравнений в перемещениях как наиболее часто встречающейся в литературе к канонической форме с помощью символьной математики на ЭВМ. Приводится пример реализации алгоритма.

Исследования ограничиваются определением концентрации напряжений в замкнутых в окружном направлении оболочках и в аналогичных элементах тонкостенных конструкций.

2. Обсуждаются математические основы универсальных численных методов конечных разностей и конечных элементов, методов Ритца-Тимошенко, Бубнова-Галеркина, Власова-Канторовича, Папковича-Треффца, дифференциально-разностных методов Слободянского и Виноградова, вариационно-разностного метода, метода прогонки Гельфанда-Локуциевского, Абрамова и Годунова, метода Виноградова-Клюева, мультипликативного метода Виноградова, метода Виноградова А. Ю. — Виноградова Ю. И. и метода граничных элементов.

В сравнении обсуждаются достоинства и недостатки методов. Указывается на их общий недостаток, предусматривающий исследование напряженно-деформированного состояния оболочек и тонкостенных конструкций во всей области объектов при решении краевых задач.

Делается научно обоснованный выбор мультипликативного метода Виноградова и метода Виноградова-Клюева решения краевых задач механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций для их модификации с целью адаптации к задачам исследования концентрации напряжений в тонкостенных элементах конструкций, которые позволяют получать результаты с априори контролируемой погрешностью.

Уравнения в частных производных механики деформирования оболочек методом Фурье разделения переменных приводятся к обыкновенным, для которых решения определяются по формулам.

3. Решения дифференциальных уравнений, записанных в виде систем, каждое уравнения которых первого порядка, и представленных в матричной форме, определяются с помощью матричного ряда Тейлора, полученного Ю. И. Виноградовым. Определяются они с контролируемой погрешностью сравнением частичных сумм. При этом строятся аналитические алгоритмы исследования концентрации напряжений.

Решения дифференциальных уравнений в матричной форме могут определятся и с помощью мультипликативного интеграла Вольтерра или матричного бинома Ньютона. При этомалгоритмы исследования концентрации напряжений являются численными.

Решения дифференциальных уравнений находятся в виде функций Ко-ши-Крылова или их значений, обладающих замечательным свойством удовлетворять произвольным начальным условиям.

4. Построены простейшие в реализации алгоритмы исследования концентрации напряжений в оболочках.

Суть одного из них состоит в том, что с помощью решения дифференциальных уравнений способного удовлетворять произвольным начальным условиям, устанавливается связь между крайними сечениями оболочки в матричной форме. Полученное матричное уравнение восьмого порядка делится на два матричных алгебраических уравнения. Учитываются заданные краевые условия. Матричные алгебраические уравнения решаются относительно неизвестных параметров состояния оболочки на одном из краев и формируются на этом краю начальные условия, соответствующие заданным краевым. Концентрация напряжений затем исследуется мультипликативным методом.

Суть другого простейшего алгоритма исследования концентрации напряжений состоит в том, что в матричной форме записываются условия на краях оболочки. С помощью решения дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек условия на одном из краев переносятся на другой. Формируются соответствующие начальные условия для исследования концентрации напряжений мультипликативным методом.

Важной с вычислительной точки зрения особенностью простейших методов является то, что для их реализации не используются математические процедуры, например ортогонализации и нормирования, для обеспечения устойчивости счета. При этом установлены критические значения параметров оболочек, до которых счет устойчивый.

Для широкого диапазона параметров оболочек и локального воздействия исследованиями установлено, что напряжения концентрируются под площадками внешнего воздействия на оболочки и их малых окрестностях. При этом краевые условия для параметров оболочек, приближающихся к критическим, практически не влияли на величину концентрации напряжений. Такой результат придает практическую значимость простейшим методам исследования концентрации напряжений в оболочках.

5. Построен алгоритм исследования концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных конструкциях со значениями параметров, превышающими критические, когда для простейших алгоритмов устойчивость счета обеспечить не удается. Доказана теорема о возможности переноса краевых условий к местам концентрации напряжений с помощью функций Коши.

Крылова — решения матричного дифференциального уравнения механики деформирования оболочек. Краевые условия переносятся к местам концентрации напряжений мультипликативным методом Виноградова через участх ки, например, для цилиндрической оболочки — «1. При этом устойчивость Л счета обеспечивается построчным ортонормированием матриц без искажения значений искомых величин и, следовательно, без необходимости запоминать ортонормированные матрицы. С помощью перенесенных краевых условий у мест концентрации напряжений формируются соответствующие начальные условия. Напряжения исследуются мультипликативным методом.

6. Предложен алгоритм исследования концентрации напряжений в тонкостенных элементах конструкций с произвольными параметрами, устойчивость счета которого при переносе краевых условий к местам концентрации напряжений и формировании соответствующих начальных обеспечивается сопряжением участков устойчивого счета. Излагаются теоретические основы алгоритма. Приводятся уравнения механики деформирования шпангоутов, обладающих всеми жесткостными характеристиками. Предлагается математическая модель подкрепления оболочек шпангоутами. Алгоритмы вариантных исследований концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных элементах конструкций реализуются на этапе решения системы алгебраических уравнений и использовании мультипликативного метода.

Предлагаются простейшие алгоритмы приведения краевых задач к начальным, когда используется один или два участка устойчивого счета для исследования концентрации напряжений мультипликативным методом.

Тестовый вычислительный эксперимент подтвердил эффективность алгоритма, основанного на сопряжении участков устойчивого счета. Расчетная схема эксперимента представляла собой цилиндрическую консольно закрепленную оболочку, на свободном краю усиленную шпангоутом, к которому приложена радиальная сосредоточенная сила. Параметрические исследования концентрации напряжений в оболочке у сопряжения её со шпангоутом мультипликативным методом привели к тем же результатам, которые получены методом решения дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек, содержащих только четные производные, и приведены в литературе.

7. Приводятся результаты исследования концентрации напряжений в транспортно пусковых стаканах для летательных аппаратов. Транспортно пусковой стакан представляет собой цилиндрическую оболочку, сопряженную со сферическим днищем, в полюсе которого закреплен жесткий диск.

Методом Коши исследовалась концентрация напряжений в сферической оболочке — днище при локальном нагружении силой, направленной вдоль оси транспортно пускового стакана, и моментом, действующим в плоскости его осевого сечения. Площадки локального нагружения имели равные площади и ограничены окружностью и линиями главных кривизн.

Мультипликативным методом исследовалась концентрация напряжений у сопряжения цилиндрической и сферической оболочек при нагружении транспортно пускового стакана внутренним давлением.

Мультипликативным методом исследовалась концентрация напряжений в сферическом днище у сопряжения его с абсолютно жестким диском при запуске летательного аппарата.

Материал транспортно пускового стакана:

— титан;

— цилиндрическая оболочка — композиционный материал, сферическая оболочка — титан.

При исследовании концентрации напряжений использовались алгоритмы формирования начальных условий у мест концентрации напряжений и простейшие алгоритмы исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом.

При вычислительных экспериментах затраты машинного времени не превышали 1 минуты. При таких малых затратах машинного времени его экономия лишалась смысла. На этом основании решения матричных дифференциальных уравнений с помощью матричного ряда Тейлора вычислялись до тех пор, пока при сравнении частичных сумм не изменялись три значащих цифры для каждого номера гармоники разложения искомых величин в тригонометрические ряды.

В тригонометрических рядах для искомых величин удерживалось 50 членов. При сравнении частичных сумм для искомых величин оставались неизменными три значащие цифры. Таким образом, контролировалась погрешность результатов при исследовании концентрации напряжений.

В итоге совокупность простейших методов исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом, а также методов формирования начальных условий у места концентрации напряжений переносом краевых условий и сопряжением участков устойчивого счета для ис- * пользования мультипликативного метода при исследовании напряжений в тонкостенных элементах конструкций достигает цели работы, построения эффективной методики исследования концентрации напряжений в элементах тонкостенных конструкций мультипликативным методом с априори контролируемой погрешностью.