Обратные задачи монодромии с дополнительными характеристиками особенностей

Актуальность темы

В работе изучается цикл задач аналитической теории линейных дифференциальных уравнений, тесно связанных с классической проблемой Римана-Гильберта и ее модификациями.

Основы аналитической теории линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами были заложены в середине XIX столетия в работах Б. Римана и JL Фукса. Б. Риман исследовал скалярные уравнения, уделив особое внимание классу скалярных уравнений второго порядка с тремя особыми точками (полюсами коэффициентов), обладающих следующим свойством: решения в этих точках имеют не более, чем степенной рост.1 Такие точки называются регулярнымиособыми^ точками (поскольку &bdquo-решения, вообще говоря, многозначные функции, то мы говорим о росте при стремлении аргумента внутри некоторого сектора). JL Фукс исследовал скалярные уравнения произвольного порядка.2 Одно из наиболее известных его достижений состоит в том, что он полностью описал класс регулярных уравнений, то есть уравнений, все особые точки которых регулярны.

См. Риман Б. Сочинения. Гостехтеоретиздат, 1948.

2 См. Fuchs L. Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coefficienten // Journal fur Math. 1866. V. 66. P. 121−160., 1868. V. 68. P. 354−385.

Систематическое исследование линейных систем вида t=w с мероморфной матрицей B (z) коэффициентов (заданной на всей сфере Римана или в некоторой области комплексной плоскости) началось несколько позже. JI. Соваж, А. Пуанкаре, Д. Гильберт, И. Племель, JI. Шлезингер, Дж. Биркгоф и другие математики рубежа XIX—XX вв.еков начали исследования этих систем с различных точек зрения. И.А. Лаппо-Данилевский в конце 20-х и начале 30-х годов XX века построил теорию таких систем на основе предложенного им метода матричных рядов.3 Их исследования получили свое дальнейшее развитие во второй половине прошедшего столетия в связи с применениями метода изомонодромных деформаций к задачам математической физики. Здесь можно выделить таких математиков современности как А.Х. М. Левель, Б. Мальгранж, Й. Сибуйя, Ж-П. Рамис, М. Зингер. Особо отметим имя А. А. Болибруха, внесшего наибольший вклад в исследование обратных задач аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. Среди полученных-им результатов основным является отрицательный ответ на вопрос 21-ой проблемы Гильберта [13] (проблему Римана-Гильберта) о возможности построения фуксо-вой системы линейных дифференциальных уравнений с заданной монодромией.4 Фуксовой называется система, особые точки матрицы B (z) коэффициентов которой суть полюса первого порядка. Монодромия системы описывает характер ветвления решений в особых точках.

3Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Гостехтеоретиздат, 1957. 456 с.

4Болибрух А. А. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. М.: МЦНМО, 2000.

Для решения 21-ой проблемы Гильберта А. А. Болибрух использовал сочетание результатов о локальном устройстве фундаментальной матрицы решений системы линейных дифференциальных уравнений, полученных А.Х. М. Левелем, 5 и геометрических методов, позволяющих связать локальные системы в глобальную. Для этого он использовал голоморфные векторные расслоения с мероморфными связностями. Так, логарифмическая (формы которой имеют только простые полюса) связность в тривиальном расслоении эквивалентна фуксовой системе, верно и обратное — фуксова система определяет логарифмическую связность в тривиальном расслоении. А. А. Болибрух построил семейство Т всех возможных пар: голоморфное расслоение с логарифмической связностью, каждый элемент семейства Т имеет заданную монодромию и набор особых точек. После этого решение проблемы Римана-Гильберта сводится к задаче отыскания тривиального расслоения в семействе Т.

В последнее время теория обратных задач монодромии стала активно применяться к исследованию нелинейных уравнений и различных моделей математической физики. Многие известные уравнения математической физики, такие как: уравнения Пенлеве, уравнения Кортевега-де-Вриза, системы Гар-нье и др., могут быть представлены как условия совместности семейств линейных систем дифференциальных уравнений с заданной монодромией.

Цель работы. Целью работы является получение положительных решений некоторых вариантов проблемы Римана-Гильберта, а также получение необходимых и достаточных условий положительной разрешимости классической проблемы.

5Levelt А. Н. М. Hypergeometric functions. II // Proc. Konikl. Nederl. Acad. Wetensch. Ser. A. 1961. V. 64. P. 373−385.

Римана-Гильберта (21-ой проблемы Гильберта).

Методы исследования. В работе применяются методы аналитической теории дифференциальных уравнений, комплексного анализа и геометрические методы теории расслоений и связностей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

• Доказано, что любое представление может быть реализовано как прямое слагаемое в представлении монодромии фук-совой системы.

• Получено условие при котором фуксова система с вполне приводимым представлением монодромии вида х — Xi (c)X2 всегда имеет такой же вполне приводимый вид. На основе этого результата предложен новый метод построения контрпримеров к проблеме Римана-Гильберта в любой размерности. Приведена серия таких контрпримеров.

• Указан эффективный критерий проверки положительной разрешимости проблемы Римана-Гильберта для фуксовых систем с неприводимым набором коэффициентов. На основе этого получены наиболее сильные достаточные условия положительной разрешимости проблемы Римана-Гильберта.

• Доказано, что любое представление можно реализовать как представление монодромии регулярной системы, фуксовой везде, кроме одной точки, матрица коэффициетов которой имеет в этой точке полюс порядка не выше, чем (р — 1)(п — 1) + 1, где р — размерность, а п — число особых точек.

• Доказано, что линейную систему в окрестности иррегулярной особой точки можно привести мероморфным преобразованием к полиномиальному виду степени не выше гр, где р — размерность, а г — ранг Пуанкаре исходной системы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к аналитической теории дифференциальных уравнений и могут применяться к исследованию дифференциальных уравнений современной математической физики. Теорема 4.1 и предложение 4.2 четвертой главы нашли применение в работе [25]6. При их помощи получены оценки порядков полюсов подвижных особенностей уравнения Шлезингера для случая, когда монодромия деформируемой системы приводима.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

— На семинаре Отдела дифференциальных уравнений МИ-АН под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д.ф.м.н., профессора Ю. С. Ильяшенко в 2006 году.

— В Отделе дифференциальных уравнений МИАН на семинаре по аналитической теории дифференциальных уравнений под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д.ф.м.н. В. П. Лексина в 2003;2008 годах.

— На семинаре кафедры динамических систем механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика РАН А. А. Болибруха, академика РАН Д. В. Аносова, д.ф.м.н., профессора В. М. Закалюкина в 2003 году.

6Гонцов P.P. О решениях уравнения Шлезингера в окрестности 0-дивизора Мальгранжа // Матем. заметки. 2008. Т. 83. В. 5. С. 779−782.

— На семинаре математического факультета университета RICE (г. Хьюстон, США) в 2007 году.

— На семинаре «Динамические системы» под руководством д.ф.м.н., профессора Ю. С. Ильяшенко в 2008 году.

— На XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (Москва, 12−16 апреля 2004 года).

— На международной конференции «Особенности дифференциальных уравнений, интегрируемые системы и квантовые группы» (Страсбург, Франция, 24−27 ноября 2004 года).

— На международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10−15 июля 2006 года).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [26, 27, 28].

Структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объем диссертации — 106 страниц.

1. Anosov D.V., Bolibruch A A. The Riemann-Hilbert problem. Aspects of Mathematics. Braunschweig: Vieweg, 1994.

2. Болибрух А. А. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. М.: МЦНМО, 2000.

3. Болибрух, А А. 21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем М.: Наука, 1994. (Тр. МИАНТ. 206).

4. Болибрух, А А. Проблема Римана-Гильберта на компактной римановой поверхности // Тр. МИРАН. 2002. Т. 238. С. 55−69.

5. Болибрух, А А. К вопросу о существовании фуксовых систем с данными асимптотиками // Тр. МИРАН. 1997. Т. 216-С. 32−44.

6. Болибрух, А А. Обратные задачи монодромии аналитической теории дифференциальных уравнений // Математические события XX века. М.: Фазис, 2004. С. 53−79.

7. Bolibruch A.A.j Malek S., Mitschi С. Оп the generalized Riemann-Hilbert problem with irregular singularities // Exposition Math. 2006. No. 24, 235−272.

8. Esnault H.} Viehweg E. Chern classes of Gaus-Manin bundles of weight 1 vanish // arXiv: math/201 038.

9. Esnault Н., Hertling С. Semistable bundles on curves and reducible representation of the fundamental group // arXiv: math. AG/10 1194vl. 2001.

10. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкно-веннх дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.

11. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1950. 436 с.

12. JIanno-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Гостехтеоретиздат, 1957. 456 с.

13. Гильберт Д. Избраные труды. Т.2 М.: Факториал, 1998. 607 с.

14. Gladyshev A.I. On the Rieman-Hilbert Problem in dimention 4 // J. Dyn. Control Syst. 2000. V. 6. N. 2, P. 219−264.

15. Rostov V.P. Fuchsian systems on CP1 and the Riemann-Hilbert Problem // C.R. Acad. SciParis- 1992; Ser 1. 315. P. 143−148.

16. Malek S. Systemes fuchsiens a monodromie reductible // C.r. Acad. sci. Paris. 2001. Ser. 1. V. 332. N. 8. P. 691−694.

17. Malek S. On Fuchsian systems with decomposable monodromy // Proceedings of the Steklov Institut of Mathematics. 2002. Vol. 238.

18. Malek S. Fuchsian systems with reducible monodromy are meromorphically equivalent to reducible Fuchsian systems. //Proceedings of the Steklov Institut of Mathematics. 2002. Vol 236.

19. Malek S. On reducible monodromies realized by reducible Fuchsian systems. //J. Dyn. Control Syst. 1999. Vol. 5, No. 4.

20. Balser W. Formal power series and linear systems of meromorphic ordinary differential equations. Springer-Verlag, New York, 2000.

21. Бальзер В. Проблема приведения Биркгофа // УМН. 2004. Т. 59. Вып. 6. С. 41−54.

22. Balser W., Bolibruch A. Transformation of reducible equations to Birkhoff standard form // Ulmer Seminare — Funktionalanalysis und Differentialgleichungen. 1997. N. 2. P. 73−81. Available at http://www.mathematik.uni-ulm.de/m5/balser/papers.html.

23. Брюно А. Д. Мероморфная приводимость линейной треугольной системы ОДУ // ДАН. 2000. Т. 371. N. 5. С. 587 590.

24. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004.

25. Гонцов P.P. О решениях уравнения Шлезингера в окрестности ©—дивизора Мальгранжа // Матем. заметки. 2008. Т. 83. В. 5. С. 779−782.

26. Вьюгин И. В. О конструктивных условиях разрешимости проблемы Римана-Гильберта // Матем. заметки. 2005. Т. 77. В. 5. С. 643−655.

27. Вьюгин И. В. Неразложимая фуксова система с разложимым представлением монодромии // Матем. заметки. 2006. Т. 80. В. 4. С. 501−508.

28. Вьюгин И. В., Гонцов P.P. О дополнительных параметрах в обратных задачах монодромии // Матем. сб. 2006. Т. 197. В. 12. С. 43−64.

29. Вьюгин И. В. О конструктивных условиях разрешимости проблемы Римана-Гильберта // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 2004. С. 50−52.

30. Вьюгин И. В. О фуксовых системах с разложимой моно-дромией // Тезисы докладов XXVI Кофнеренции молодых ученых МГУ. 2004. С. 32−33.

31. Вьюгин И. В. О приведении мероморфной линейной системы к полиномиальному виду // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 2006. С. 62−63.