Двусторонние дифференциальные и дифференциально-функциональные неравенства и их применение

Важным пунктом аналитических методов исследования вопросов качественной теории уравнений является проблема оценки решения уравнения. При оценке решения важная роль принадлежит теоремам типа теорем O.A.Чаплыгина.Применения такого рода теорем в качественных методах весьма разнообразны. Как отмечает Н. В. Азбелев [13], такие теоремы используются, например, при исследовании вопросов существования и единственности решений уравнений, непрерывной зависимости от параметров, при выборе начальных приближений и т. д.

Оценки, полученные изт€юрем о дифференциальных неравенствах, привели к значительным результатам в качественной теории уравне-ний.Т.Важевский, В. В. Немыцкий, М. А. Красносельский и С. Г. Крейн отмечали, что более общие и глубокие теоремы о дифференциальных и интегральных неравенствах должны привести к дальнейшему развитию качественных методов.

Среди большого количества итеративных процессов выделился широкий класс двусторонних процессов, которые монотонно снизу и сверху аппроксимируют искомые решения уравнений.

С.А.Чаплыгин на основе установленных им теорем о дифференциальных неравенствах[97]построил новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, обладающий квадратичной сходимостью.

Исследование академиком Н. Н. Лузиным?60]метода С. А. Чаплыгина послужило началом для многих исследований этого метода и его многочисленных применений к уравнениям высшего порядка и системам уравнений.

Н.Н.Лузин в своей работе [60] отмечает важный результат Б.Н.ПЕ" трова[80] о неприменимости теоремы С. А. Чаплыгина для некоторых нелинейных уравнений второго порядка и ставит вопрос о промежутке применимости указанной теоремы к системам уравнений первого порядка. В работе Н. В. Азбелева и др. 18] содержится пример системы двух уравнений первого порядка, к которым теорема С. А"Чаплыгина не применима. Исследованием метода С. А. Чаплыгина и определением промежутка его применимости в различных видах уравнений занимались многие. Важные результаты, полученные при решении этих вопросов, содержатся в работах Н.В.Азбелева[1−5] «Н. В. Азбелева и Л.§.Рахматуллиной[6,7], Н. В. Азбелева и З. Б. Цалюка?9−14] «Б. Н. Петрова [?9,80], Б. Н. Бабкина [19], Я. Д. Мамедова [62−64], С. Н-Слугина [85−87] и др. Из зарубежных авторов в первую очередь следует отметить работы Й. Шарского[126], В. Вальтера[130,131] «Т.Важевскошг [132], В. Лакшмикантама и С. Леелы[ПЗ], К.0леха[П7].

Приведем известную теорему С. А. Чаплыгина для дифференциального уравнения первого порЕццка: пусть функция ¡-(-¿-, Х) непрерывна на промежутке [О, Т] по совокупности переменных, функции и непрерывно дифференцируемы на промежутке [о/ Т] ,.

ОС ¿-Орешение уравнения.

Х’И)-а удовлетворяет неравенству причему (о) = ЭС (о) .Тогда на всем промежутке [Т].

Если Х (£), }С+, Эс) векторь-функции, т. е. уравнение ^С-'(^) = /С^/Эс) представляет систему уравнений, то теорема С. А. Чаплыгина на всем промежутке, вообще говоря, не верна. Более того, без каких-либо ограничений на функцию ^(¿-/Эс.) теорема может иметь «нулевой промежуток» применимости, т. е, вообще не верна [8]. Одним из условий применимости теоремы для системы уравнений являются условия Камке-Важевского, так называемая внедиагональная монотонность: для уравнения.

Функция не убывает по: переменным Хк, Kft .В случае.

2с ({) G ?} [OjT]*? «где? -банахово пространство, задача еще усложняется. Установлению достаточных условий для выполнения теоремы С. А. Чаплыгина в банаховом пространстве с конусом посвящены работы Н. В. Азбелева, В. Вальтера[131], Фолькмана [128,129], Я. Д. Мамедова[63]и др. Многие известные доказательства теорем о диффференциальных неравенствах используют интегральные неравенства. Достаточные условия для выполнения интегральных неравенств содержатся в работах Н. В. Азбелева и З.В.Цалюка/см.напр. [9,12,13] /, В•А.Бондаренка[23,24], Ю.В.КОмленка и Л.В.Чичкина[39], П. П. Логинова [55,56], Я. Д. Мамедова и др. I62?66], а также в работах зарубежных авторов [103,111,113,126,127,130,135]. Аналогичными вопросами для интегро-дифференциальных уравнений занимались Т. Аманкулов[15], Ю.В.Комленко[36], В.С.ручинский/82,83] и другие. Следует отметить монографии Я.Д.Мамедова[63,64], Н. С. Курпеля и Б. А, Щувара[51] «В.Вальтера [130], В. Лакшмикантама и С. Леелы[ПЗ], Р. Рабчука [120]"которые содержат важные результаты исследований дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных неравенств.

Выделился класс неравенств, обобщающих результат Гронуолла, опубликованный им в 1918 г. 107], и Беллмана. и известный под названием леммы Рронуолла-Беллмана.Такие неравенства применяютя при оценке решений в теории устойчивости. Среди многочисленных обобщений леммы следует отметить работы К.Г.Валеева[25], В.Н.Лалтин-CKoroi52], a также работы зарубежных авторов [97,99,101,102,114, 116,118,122,134] .

В последние годы особенно появилось значительное число работ о дифференциально-функциональных неравенствах"Установлены некоторые теоремы сравнения решений, известные ранее для дифференциальных неравенству получены новые результаты. Среди работ, содержащих теоремы сравнения для решений уравнений и неравенств с отклоняющимся аргументом, имеются работы ЩВ. Азбелева и Л.Ф.Рахма-туллиной[6,7.]"Ю.Г.Борисовича и Л, В. Кибенка[22], Г. М.Дцанова[29,30} Ю.И.Зубко[31,32], Э*И.Клямко [34], Ю.В.Комленко[38]А.И*Логунова[57, 58], М.ГГ.Михайловой и В.В.Подгорнова[68Д.Д.Мшкиса ?69,70] и др.

Как уже отмечалось, промежуток применимости теории С. А. Чаплыгина для уравнений /7 -го порядка вида в общем ограничен или даже «нулевой» .Установлению достаточных условий /ограничений для / /для применимости теоремы на конеч*-ном промежутке /0,Т* ] ^ [О, Т] определению этого промежутка и исследованию случаев, когда теорема применима на всем промежутке [0,Т] «посвящены работы Н.В.Азбелева/см.напр. 1−5]/, Б.С.Без-домникова и Ю.В.Комленка[201, П.А.Кащеева[33], А.Ю.Левина[53.], П. ЩЛогинова[56], С. А. Пака и Е.С.Чичкина[74], Б.Н.Петрова[79,807, С.Н.Слугина[871и зарубежных авторов [96,98,100,105,108,111,119, 121,123,1251 .

Сравнение решений для общих операторных уравнений и неравенств и обобщения метода С. А. Чаплыгина содержатся в работах Н.С.Курпеля[41−43], Н. С. Курпеля и Б. А. Щуварв. [49,50].

Заметим, что в теории о дифференциальных нескалярных неравенствах первого порядка одним из основных направлений развития является установление достаточных условий выполнения теоремы, менее ограничительных, чем уже известные. Например, условие монотонности функции по ЭС, 00 временем было заменено условием ¿-, х /или / т. е.требованием монотонности функции ^ (Ч, X) .В работе [128] теорема доказывается для более широкого класса функций, чем функции, обладающие условием ¿-х. .С другой стороны, некоторые известные результаты для скалярных уравнений обобщаются наконечные системы или на уравнения в банаховом пространстве .При этом выполнение многих теорем: о дифференциальных неравенствах существенно зависит оке того, единственное или неединственное решение задачи Коши для уравнения Х’Ю^Ш^М) в точке (¿-«, Хо) •.

В теории о: дифференциальных неравенствах высшего порядка возникли такие задачи: а/ установление типа уравнений, к которым теорема С •А.Чаплыгина вообще применима /хотя бы на ограниченном отрезке /- б/отыскание промежутка применимости теоремыв/выделе* ние типа уравнений,": которым теорема применима на всем промежутке определения и непрерывности функции /.

Целью настоящей диссертационной работы является:

— установление условий, менее жестких, чем уже известные, при ко>-торы^теорема С. А «Чаплыгина имеет место для нескалярных уравнений первогопорядка на всем промежутке существования;

— исследование уравнений высших порядков, к которым теорема С. А. Чаплыгина может быть применена хотя бы на ограниченном промежутке;

— установление условий, при которых теорема С. А. Чаплыгина верна для уравнений с запаздыванием аргумента;

— применение теорем о дифференциальных неравенствах к построению и «исследованию сходимости монотонных итерационных процессов.

При формулировке большинства теорем предполагается, что задача Коши соответствующего уравнения имеет^решение и, вообще говорите единственное.

В процессе работы над диссертацией получены следующие результаты.

В главе I сравниваются решения дифференциальных уравнений и неравенств первого порядка в банаховом пространстве? .Рассматриваются двустронние неравенства вида и’а) $ к+ли*>мщ на промежутке [О, Т] и уравнение.

Х'(*) — Ж*), эх*)), * б [о, г?.

Установлены достаточные условия для выполнения неравенств.

ЫЦг) ¿-хш, Ъ^юл ;

I/ г/ з/ приведем одну из теарем § I.

Теорема 1.1.4.Пусть функция: [о/Т]х?хЕ? непрерывна по) совокупности переменных, квазимонотонно не убывает, по-) переменной рС при фиксированном ф-в? квазимонотонно не возрастает поо при фиксированном «функции ЬСС^) и.

•' Щ Т]? непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют неравенства.

Ы (о) * 1/(0) и'1±-) — Ш, и, Р) * - К*,*, и).

4/ на промежутке [ О, Т] .Тогда выполняется неравенство исц.

Заметим, что условие квазимонотонности /см.определение на стр. 2 2 / менеее ограничительное чем условие или Ь2 .

В § I этой главы показано, что > существуют, функции квазимонотонные ^ но не удовлетворяющие условию ?1 .Теорема 1.1.4.обобщает результат тех теорем, где применяется условие, а также результат работы [128] на случай двусторонних неравенств.

Теорема 1.1.5. содержит достаточные условия для выполнения неравенств /3/ при условиях квазимонотонности.

Теорема 1.2.1. обобщает результат работы [123] «полученный для линейных уравнений, результат работы [124] «полученный для систем скалярных уравнений на нелинейные уравнения в банаховом пространстве с К-лине алом [27] .Приведены примеры на существенность условий теоремы 1.2.1.

Исследования, изложенные в § 3,посвящены доказательству неравенства типа леммы ГронуоллЕ-Беллмана: пусть (c)(?) &? удовлетворяет неравенству ем * >ь в[0>Т2>

С*)ъА>о ±А<�о)} к (1г)>оСШ<�о), где ш скалярные функции, ¿-(О? ? .Все функции непрерывные. Тогда выполняется неравенство: где ГО .

Неравенство, полученное в работе [1031 «следует из неравенства /5/, если, А -1, при менее жестких ограничениях / в работе [103] требуется ЭЦ) у 0, к (£)>0, ???)> О — }-№) -монотонно возрастает,.

Показано одно из применений теорем о дифференциальных неравенствах. Построен алгоритм.

— Rt, UM^UV) tai, W+hM&H (ti-X*l?)UhhMf U, (Su tt), If. w) + ur) UuЩ.

Ibjoj* Un. t (oj = Xo.

6/.

Указаны условия, при которых процесс последовательных приближений сохраняет монотонность и сходится к решению уравнения /2/. Заметим, что простые итерации в этом случае, вообще говоря, дают последовательности немонотонные и не обязательно сходящиеся.

В случае Jl?, К^) — f /для скалярных функций/получаем алгоритм, рассмотренный Я. Д. Мамедовым [62], при условии, что 4tL*tlО не убывает по Ы. Случай i (e (U)—[0,Т]х?, j-te (U) -монотонно не убывает по UI U? t / рассмотрен в работе С. Атдаева и С. Аширова ?16j и следует из алгоритма /6У при условии А/ = }2 = О J = f (*, Uj / см. ?71J /.

В § 5 исследуется алгоритм для построения последовательных приближений к-решению интегральных уравнений. Доказывается его сходимость.

1. Азбелев H1. Q приближенном решении обыкновенных дифференциальных уравнений Иго> порядка на основе метода С. А. Чаплыгина.-Докл. АН СССР, 1952,83,№ 4,с*517−519.

2. Азбелев ЩВ. О границах применимости теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.-Докл. АН* СССР, 1953,89,№ 4, с.589−591.

3. Азбелев HIB. Об одном достаточном условии применения метода. С. А. Чаплыгина к уравнениям высшего порядка.-Докл.АН: СССР, 1954,99,Р 4, с.493−494.

4. Азбелев HIB. К вопросу О) распространении метода Чаплыгина за. границы применимости теоремы оз дифференциальных неравенствах. -Докл.АН СССР, 1955,102,Р 3, с.429−430.

5. Азбелев №"В". О границах применимости теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.-Мат.сб., 1956,39 /81/,№ 2, с.161−168.

6. Азбелев ЩВ., Рахматуллина Л. Ф. О линейных уравнениях с отклоняющимся аргументом. -Дифференц.уравнения, 1970, Р 4, с.616−628.

7. Азбелев Н1.В., Рахматуллина Л. Ф. Задача Коши для дифференциальных уравнений с. запаздывающим аргументом.-Дифференц.уравнения, 1972,8,Р 9, с.1542−1552.

8. Азбелев Н. В., Рахматуллина Л. Ф., Цалюк З. В. О распространении решения задачи Чаплыгина, за границу применимости теоремы сг дифференциальных неравенствах.-Шучн.докл.высш.школы, ф-т науки, 1958, Р 5, а. З-5.

9. Азбелев Н. В., Цалюк З. Б. Об одном обобщении теоремы Чаплыгина cd дифференциальных неравенствах.-Труды 3-го Всесоюз. съезда, т.2, М., 1956,05.126.

10. Азбелев Н^В., Цалюк" З.Б. 0 задаче Чаплыгина.-Укр.мат.журн., 1958,10,Р I, с.3−12.

11. Азбелев Н*В., Цалгок З. Б. Некоторые условия разрешимости задачи Чаплыгина длясистем обыкновенных дифференциальных уравнений.-Научн.докл.высш.школы, ф-т. науки, 1958,6,с.30−35.

12. Азбелев Н-В., Цалюк З. Б. Об интегральных неравенствах, I.-Мат.сб., 1962,56с: 3, с.325−342.

13. Азбелев Н. В., Цалюк З. Б. Об интегральных и дифференциальных неравенствах.-Труды 4-поз Всесоюз.мат.сьезда, 1961, т.2.Л.: Наука, 1964, с.384−391.

14. Азбелев Н-В., Цалюк З. Б. К вопросу о. дифференциальном неравенстве. -Дифференц. уравнения, 1965,1, Р 4, с.431−438.

15. Аманкулов Т. К решению задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения нейтрального типа с отклоняющимся аргу-ментом.-В кн.:Труды Киргизского гос. ун-та, серия матем., вып.9,Фрунзе, 1974, с.64−69.

16. Атдаев С., Аширов С. О сходимости некоторых итерационных процессов в банаховом пространстве с. конусом.-Изв.АНГ 1Урк. ССР, 1976, Р 5,.

17. Ахмедов К. Т., Якубов М. А., Вейсов И. А. Некоторые интегральные неравенства.-Изв. АНУЗ. ССР, сер. ф-м., 1972, Р I, с. 16−22.

18. Аширов 0., Мамедов Я. Д. Замечание к методу С. А. Чаплыгина.В кн. :Вопросы прикладной мат. и киберн. /Уч.зап.Азерб.ун-та/, Баку, 1973, с.63−67.

19. Бабкин Б. Щ К теореме С. А. Чаплыгина о дифференциальном неравенстве.-Мат.сб., 1958,46,№ 4,с.389−398.

20. Бездомников B.C., Комленко Ю. В. К вопросу об оценке промежутка применимости теоремы Чаплыгина .-Дифференц.уравнения, 1966,2,Р 9, с. И70-П75.

21. Блинчевский B.C. О существовании нулевого чаплыгинскогоприближения при. решении обобщенной задачи Коши.-Мат.заметки, 1971,10,Р 4, с.447−452.

22. Борисович Ю. Г., Кибенко A.B. Об односторонних оценках для обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием.-Док л. АН УССР, 1964,7, с.853−856.

23. Бондаренко В. А. Об интегральных неравенствах с: немонотонными функциями.-Дифференц.уравнения, 1969,5,Р 3, с.565−567.

24. Бондаренко: В. А. Интегральные неравенства, для уравнения Вольтерраи в банаховом пространстве с-конусом.-Мат.заметки, I97I, 9, P 2, c. I5I-I60.

25. Вулих Б. З.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств.-М.:Шизматгиз, 1961.-407 с.

26. Данфорц Нь, Шварц Ж. Т. Линейные операторы, общая теория.-М.:Изд-во иностр.лит., 1962.-895 с.

27. Жданов Г. М. О приближенном решении системы дифференциальных уравнений первого порядка с запаздывающимаргументом.— Успехи мат. наук, 1961,16> вып. I, с. 143−148.

28. Дцанов Г. М. Приближенное решение одногокласса нелинейных интегральных уравнений с: запаздывающим аргументом.-Уч.запи Ташк. пед. ин-та, 1963,38, вып. 2, с. 127−132.

29. Зубко Ю.й. О дифференциальных неравенствах для-линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.-Дифференц.уравнения, 1972,8,Р 3, с.534−538.

30. Зубко? Ю.И., Вшкевич В. А. К вопросу о положительности функции Коши.-Дифференц.уравнения, 1973,9,Р 7, e. I207-I2I4.

31. Кащеев H.A. Точная: граница применимости теоремы Чаплыгина для линейных уравнений.-Докл.АН? СССР, 1956, III,№ 5,с.937−940.

32. Клямно Э. И. Некоторые применения метода Чаплыгина кприближенному решению дифференциальных уравнений с запаздывани-ем.-Успехи мат. наук, 1957,12:4 /76/, с.305−312.

33. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная матема-тика.-М. :Мир, 1969. -447 с.

34. Комленко Ю. В. Об одной двусторонней оценке решения интепро>-дифференциального уравнения.-Докл.III-й Сибирск. конференции по) мат. и мех., I964, c. I20-I2I.

35. Комленко Ю. В. К вопросу о> методе Чаплыгина для задачи Ко>-ши.-Дифференц.уравнения, 1965, I, Р 7, с.903−907.

36. Комленко Ю. В. Теорема Чаплыгина для линейного дифференциального уравнения второго) порядка с: запаздывающим аргументом. -Мат. заметки, 1967,2,Ш 3, с.301−306.

37. Комленко: Ю.В., Чичкин A.B. Об одном: методе оценки решения интегральных уравнений. -йзв. вузов. Математика, 1966,3, с.68−72.

38. Красносельский М.А.и др. Приближенное решение операторных уравнений.-М.:Наука.-455 с.

39. Курпель ЩС. Некоторые методы построениядвусторонних приближений ж решениям операторных уравнений.-В кн. ¡-Вопросы теории и истории дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968, с. 131 -1461.

40. Курпель HLC. Про, деяк: модф кац методу С.О.Чаплиг1 на наближеного нтегрування диференц альних р внянь.-Доп^АН УРСР. (Сер. А, 1969, № 4,с.303−306.

41. Курпель HLC. Некоторые обобщения и модификации метода С. А. Чаплыгина.-В кн.?Приближенные и качественные методы в теории дифференциальных и интегральных уравнений, К.:Иннг математики АШ УССР, 1971, с. 51−72.

42. Курпель НЮ", Гречко В. И. О некоторых модификациях метода С .А. Чаплыгина для: уравнений в полуупорядоченных пространствах. -Укр.мат.журн., 1973,25,Р I, с.39−45.

43. Курпель Н*С., Охрончук В. И. О дифференциальных неравенствах вбанаховых пространствах.,-В кн.:Методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений.К. :Ин-т математики АН УССР, 1973, с.124−129.

44. Курпель Н (.С., 0хрончук В. И. Двусторонние оценки решений интегро-дифференциальных уравнений с: отклоняющимся аргументом.-В кн.?Качественные методы теории дифференциальных уравнений с: отклоняющимся аргументом.К. :Инг-т. математики АН! УССР-1977,с.50−56.

45. Курпель Н. С., Тивончук В. И. Об одном: двустороннем методе приближенного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.-Укр.мат.журн., 1975,27,№ 4,с.528−534.

46. Курпель ЩС., Тивончук: В. И. Построение монотонных процессов последовательных приближений с помощью модификаций алгоритма М.Пиконе. -Изв. вузов. Математика, 1977, Р 6', с. 126−130.

47. Курпель Нт.С., П^гвар Б.А. 0 двусторонних операторных неравенствах для уравнений типа Вольтерра.-В кн. Нелинейные краевые задачи математической физики.К. :Инг-т математики Ж УССР, 1972, с.264−285.

48. Курпель НъС., Щувар Б. А. Об операторных и интегральных неравенствах.-Укр.мат.журн., 1973,25,№ 3,с.386−390.

49. Курпель Н*С., Щувар Б. А. Двусторонние операторные неравенства и их применение.-К. :Наукова думка, 1980.-267 с.

50. Лаптинский В. Н- 0 дифференциально-матричном неравенстве Гронуолла-Беллмана.-Укр.мат.журн., 1970,22,№ 5, с.690−691.

51. Левин А. Ю. Об одном. принципе сравнения для дифференциальных уравнений второго порядка.-Докл.АН СССР, 1960,135:4,с.783−786.

52. Лиманский В. Г. Теоремы Осравнении для некоторых дифференциально-операторных уравнений.-Докл.АН СССР, 1971,200,№ 5, с.1030−1033.

53. Логинов П. П. Метод Чаплыгина в. интегральных уравнениях.-Уч.зал.Ташк.пед.ин-та, 1959,7,с.31−38.56* Логинов П. П. Интегральные неравенства для линейных дифференциальных уравнений высшего порядка.-Уч.зап. Ташк.пед. ин-та, 1963,38,с.95−101.

54. Логунов А. И. 0 сравнении решений интегральных уравнений Вольтерра с: запаздывающим, аргументом.-Уч.зап.Удмпе д. ин-та выпи 17. Математика, 1968, с.54−58.

55. Логунов В. И. Об оценке решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. -Уч. зал .Удм. пед. ин-та, вып. 17. Математика, 1963, с.59−66.

56. Лозинский С. М. Оценка погрешности приближенного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.-Докл.АНг СССР, 1953,92,№ 2,с.225−228.

57. Лузинг НШ. О методе приближенного интегрирования акад.С. А. Чаплыгина.-Успехи мат. наук, 1951,6,вып.6' /46/, с. З-27.

58. Маловиков В. И. О дифференциальных неравенствах.-В кн.:Методы и модели управления, вып-6,Рига:Пол.ин-т, 1973, с.27−30.

59. Мамедов Я. Д. О сходимости некоторых итерационных процессов для решений дифференциальных уравнений. -Дифференц. уравнения, 1968,4,Р 8, с.1387−1395.

60. Мамедов Я. Д. Односторонние оценки в условиях исследования решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.-Баку: Элм, 1971, ИЯ.-118 с.

61. Мамедов Я. Д. Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.-Баку:Маариф, 1974.-175 с.

62. Мираков В. Е. Об условиях разрешимости задачи Чаплыгина.-Док л. АН ССОР, 1966,170:4, с. 776−779.

63. Михайлова М. П., ПодгорновВ. В* 0 дифференциальных неравенствах для. уравнений © запаздывающим аргументом.-Дифференц. уравнения, 1965,1,№ 9,с.1183−1189.

64. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим. аргументом. -М. -Л. гГостехиздат, 1951. -255 с.

65. Мышкис А. Д. Замечание к: статье Г. М. Жданова «О приближенном решении системы дифференциальных уравнений с. запаздывающим аргументом». -Успехи мат. наук, 1961,16, вып. 2, /98/, с. 131−133.

66. Охрончук В. И. Об одном итерационном процессе для решения дифференциальных уравнений. -В кн.: Науч. конф. «Вычислит. матем. В: соврем. научно техн. прогре с с е «, 1974, выпт.2.Канев, 1974, с:. 109−115.

67. Охрончук В. И. О дифференциальных неравенствах второгопорядка в. банаховом пространстве.-Укр.мат.журн., 1975,27,Р I, с.117−121.

68. Охрончук В. И. О дифференциальных неравенствах для нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.-Укр.мат.журн., 1975,27,Р 2, с.256−262.

69. Охрончук В. И. О сравнении решений нелинейных дифференциальных уравненийго порядка с. запаздывающим аргументом.-В кн. качественные методы теории дифференциальных уравненийс отклоняющимся аргументом.К. :Ин-т математики АН УССР, 1977, с.83−90.

70. Охрончук В. И. Применение дифференциальных неравенств к: ре^-шеюго задачи КОши.- /X школа по: теории операторов в. функциональных пространствах. Тезисы докладов.Тернополь, 13−19 сентября 1984 г., с.106−107.

71. Перов А. И. О принципе неподвижной точки с двусторонними оценками. -Докл .АШ СССР, 1959,124:4, с.756−759.

72. Петров Б. Н. Неприменимость теоремы © дифференциальном неравенстве Чаплыгина к некоторым нелинейным уравнениям с обыкновенными производными второго порядка.-Докл.АН СССР, 1946,51, Р 7.

73. Прокопненко А. В. Применение метода Чаплыгина к: решению нелинейного интегро-дифференциального уравнения типа Валь-терра.-Доял.АН Уз. ССР, 1972, Р Ю, с.7−9.

74. Ручинский B.C. Об одном способе построения оценок решений нелинейной системы.-Вестник Моск. унгта, 1972, № 5,с.83−87.

75. Ручинский B.C. К вопросу об оценках решений нелинейных систем. -Мат. записки Уральского ун-та, 1974,8,Р 4, с.85−90.

76. Сает D.A. Сравнение решений дифференциальных уравнений инеравенств в банаховом пространстве с конусом.-В кн.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1974, вып. 2, с. 129−140.

77. Слугин С. Н. К теории методов Ньютона и Чаплыгина.-Докл.АН СССР, 1958,120:3, с.472−474.

78. Слугин С. Н. Некоторые применения методов двусторонних приближений. -Изв .вузов.Математика, 1958, Р 6, с.244−257.

79. Слугин С. Н. Неограниченно применимый метод типа Чаплыгина для обыкновенных дифференциальных уравненийroe порядка.-Докл.АН1СССР, 1956, НО, с.936−939.

80. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений.-М. :ГИТТЛ, 1953.-468 с.

81. Фолькманн П. Заметка об интегральных неравенствах типа Воль-терра. -Укр * мат.журн., 1984,36,Р 3, с.393−395.

82. Хартман Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М. :Мир, 1970.-720 с.

83. Чаплыгин С. А. Собрание сочинений, т.I.-M.-Л.:ГИТТЛ, 1948.

84. Чаплыгин С .А. Новый метод приближенного: интегрирования дифференциальных уравнений.-М.-Л. :Гостехиздат, 1950.-102 с.

85. Щувар Б. А. Применение некоторых модификаций метода С. А. Чаплыгина ш. дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом.-В кн.: Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.К. :Киевск.пед.ин-т, 1973, с.200−217.

86. Эльспольц Л. Э., Норкин C.B.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.-М.:Наука, 1971.295 с.:

87. Bertolino M. Inegalites differentielles lineares de Tchap-liguine de l’ordre arbitraire dans l’intervalle infiniti.-Ann. mat. pura ed appl., 1970, 85, N 4-, p. 185−199.

88. Bertolino M. Beskonecna granica primenljivosti nekih diferencio alnich. ne jednakosti" «¦ t>?CH 1970, 7, li 4, p. 529−542.

89. Bihari I. A generalisation of a lemma of Bellman and its applications to uniquenness problems of differential equations.- Acta Math., Acad.Sci.Hungar, 7, 1956, p. 81−94.

90. Bobisud L. Comparison, and Oscillation Theorem for Nonlinear second-Order Differential Equation and Inequalities.- J. Math. Anal, and Appl., N I, 32, 1970, p. 5−14.

91. Chu S.C., Metcalf F.T. On Gronwall inequality. Proc.Amer. Math. Soc., 1967, 18, N 3, p. 439−440.

92. Das K.M. Comparison and monotonity theorems for second order non-linear differential equations. Acta Math., Acad. Sci. Hung., 1964, 15, N4, p. 449−455.

93. De Franco. Gronwall’s Inequality for systems of multiple Volterra integral equations. Funkcialaj Ekvacioj (serio internacia), v. 19, IT I, 1976, p. 1−9.

94. Deo S.G., Murdershwar M.G. A note on Gronwall’s inequality. Bull. London Math. Soc., 1971, 3, N I, p. 34−36.

95. Dhongade U.D., Deo S.G. Pointwise estimates of solutions of some Volterra integral equations. J.Math.Anal, and Appl., 45, N 3, 1974, p. 615−628.

96. Gollwitzer H.E. A note a functional inequality. Proc. Amer. Math. Soc., 23, 1969, N 3, p. 642−647.

97. Gregus M., Abdel Karim R.I.I. On the properties of the solutions of special differential equations of the third order.- Period, math. Hung., 1973, 3, N 3−4, p. 135−201.

98. Grimmer E.G., Waltman P. A comparison theorem for a class of non-linear differential inequalities.- Monatsh. Math., 1968, 72, N 2, p. 133−136.

99. Gronwall E. A Note on the Derivatives with Respect to a Parameter of the Solutions of a System of Differential Equations." Ann. Math., 20, 1918, p. 292−296.

100. Horst H. Ein Vergleichssatz fiir komplexe lineare Differentialungleichungen, Math.Zeit., 1972, 126, N I, S.91−94.

101. Horst H. Vergleichssatz fur die Losungen linearer Differentialungleichungen. Ann. pol. math., 1973, 27, N 3, S.323−327.

102. Kreith K. A comparison theorem for n-th order differential equations. Math. Zeit., 115, N 5, 1970, p. 357−358.

103. Kreith K. Comparison theorems for nonselffadjoint differential equations based on integral inequalities.- Proc. Amer. Math. Soc., 1972, 34, N I, p. 105−109.

104. Lakshmikantham V. A variation of constants formula and Bell-man-Gronwall-Reid inequalities.- J.Math.Anal, ana Appl., 1973, 41, N I, p. 199−204.

105. Lakshmikantham V., Leela S. Differential and integral inequalities, v. I,-New York: Acad. Press, 1969," 390 p.

106. Losonci L. A Generalization of the Gronwall lemma and its Applications. J.Math.Anal.and Appl., 44, N 3, 1973, p.701−709.

107. Mlak W. A Note on Abstract Differential Inequalities and Chaplighin method. Ann.pol.Math., 1961,10,N 3, p.253−270.

108. Murdeschwar M.G. A note on Growall’s inequality.- Bull. London Math.Soc., 1971, 3, I, p. 34−36.

109. Olech C. Remarks concerning criteria for uniqueness of solutions of ordinary differential equations. Bull.Acad.Pol. Sei., v.8, N 10, I960, p. 661−666.

110. Pachpatte B.G. A note on Gronwall-Bellman inequality.- Math. Anal. Appl., 44, N 3, 1973, p. 758−762.

111. Pelliciaro E.J. A representation formula for the solutions of the second order linear differential equation. Math. Mag., 1970, 43, N 2, p. 77−80.-140 120. Rabczuk R. Elementy nierownosci rozniczkowych. Warszawa: PWN, 1976. — 276 s.

112. Radasin Z. Granica primenljivosti capliginovih nejednakos-ti u teoriji linearnih diferentijalnih jednacina.- «n, 1973, 10, N I, s. 75−81.

113. Rassmusen L. Gronwall’s inequality for functions of two independent variables.- J.Math.Anal, and Appl., 55″ N 2, 1976, p. 407−4-17″.

114. Russman H. Uber einen Vergleichssatz fur lineare gewohnliche Differentialgleichungen.- Math.Zeit., 112, 1969, S. 219−220.

115. Schneider A. Bemerkung zu einem Vergleichssatz fur Gewohnliche lineare Differentialgleichungen.- Manusc. Math., v.7j I, 1972, S. 83−86.

116. Schreider K. A note on second order differential ineqiali-ties.-Eroc.Amer.Math.Soc., 1968, 19, N 5, PI007-I0I2.

117. Szarski J. Differential Inequalities, Mongraphie Matematy-cne. Warszawa: FAN, 1965″ 248 p.

118. Talpalaru P., Inegalites differentielle’s pour une certaine e’quation fonctionelle de Volterra.- Ann. Stiint. Univer., Jasi, sect. IA, 1968, 14, N 2, p. 313−319.

119. Volkman P. Gewohnliche Differentialungleichungen mit quasimonoton wachsenden Functionen in topologischen Vektorrdt/men. Math. Zeit., 1972, 127, N 2, S. 157−164.

120. Volkman P. Uber die Invarianz konvexer Mengen und Differentialungleichungen in einem normierten Raume. Math.Ann., 1973, 203, 3, S.201−210.

121. Walter W. Differential and integral inequalities.- Berlin-Heidelberg-Kew York: Springen, 1970. 355p.-141 131. Walter W. Ordinary differential inequalities in ordered Ba-nach spaces.- Diff. Equat., 1971, 9, N 2, p. 253−261.

122. Wazewski T., Sur un systeme des inegalites integrale ordinaires nonlineaires. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math., astr. et phys., 1969, 17, N4, p. 225−229.

123. Willet D. A generalization of Capligin’s inequality with ap-lications to singular boundary value problems.- Can. J. Mathv 1973, 25, N 5, P. 1024−1039.

124. Ziebur A.D. On the Gronwall-Bellman lemma.- J.Math.Anal.Appl., 1968, 22, F I, p. 92−95. /3f. ilzjoUlU fl. JzdncuUAHC^ paaMQKOu HeJUHeofHt Ukrer/oc*jf ((L JeptHouLuRe fcojiTe/ouHor /uhcl,. -JUor • e>ec".} { 315} foC2S) tc. 3*-YY.