Методика аксиоматического введения в курс геометрии восьмилетней школы

В ходе последней реформы математического образования курс математики был подвергнут значительной перестройке. Это было вызвано прежде всего тем, что особенности современного развития нашего общества требовали, чтобы школа давала своим ученикам знания соответствующие новейшим достижениям науки и техники. «Человек, имеющий полное среднее образование, не был знаком с величайшими достижениями науки XX в., не имел представления об изменении роли математики в современном мире, что не давало возможности модернизировать и другие курсы — физики, химии, биологии» (22).

Реализация столь продвинутой реформы не могла обойтись без определенных издержек, большинство из которых были выявлены в течение ряда последних лет" (117).

Важные общие вопросы, вытекающие из анализа итогов перехода ицсолы на новое содержание преподавания, были поставлены на обсуждение в статье академиков В. С. Владимирова, Л. С. Нонтрягина, А. Н. Тихонова (24), в последующих статьях академиков Л. В. Канторовича и С. Л, Соболева (47), академика АПН СССР А. И. Маркушевича (67). Проблемы преподавания математики стали предметом заинтересованного обсуждения в печати. Так в известной статье академика Л.С.Понтря-гина (94) на страницах журнала «Коммунист» указывалось, что в ряде школьных учебников математики искажены правильные представления о природе математических знаний и предмете математики, устанавливаются неправильные соотношения теоретических и практических аспектов, формальных и содержательных подходов. Неоправданное преувеличение роли и места теоретико-множественного подхода привело к чрезмерной общности рассмотрений, существенно перегрузило учебники и сделало их трудными для понимания и усвоения.

Особенно сложное положение сложилось с преподаванием геометрии. Как известно, в учебных пособиях (58) и (54) по геометрии была реализована теоретическая концепция построения курса на основе геометрических преобразований. Однако она не получила адекватного методического воплощения: по мнению общественности, учебники оказались чрезмерно сложными и мало доступными для учащихся массовой школы. Особенно большую критику вызвал начальный этап изучения геометрии, связанный с изучением аксиом, определений и доказательством первых теорем.

Поэтому все чаще и чаще стали высказываться мнения о возвращении к традиционной системе преподавания геометрии, реализованной на более высоком научном уровне.

Это вполне соотносится с требованиями к школьным учебникам, выдвинутыми в ходе реформы общеобразовательной и профессиональной школы. Выступая на апрельском (1984 г.) Пленуме ЦК КПСС, Генеральный секретарь ЦК КПСС, Председатель Президиума Верховного Совета К. У. Черненко сказал: «Сегодня весь учебный процесс должен в гораздо большей мере стать носителем мировоззренческого содержания. Разгружая учебные программы, создавая новые, толковые учебники, нельзя облегчать их идейно, снижать научный уровень преподавания» (2, с.7).

Одним из таких пособий по геометрии, написанных еще при переходе на новое содержание преподавания, стало учебное пособие «Геометрия 6−10» академика Л. В. Погорелова (90). а) учебное пособие А. В. Погорелова реализует традиционную схему построения школьного курса геометрии, когда в основу изложения положены свойства равенства для простейших фигур (отрезков, углов, треугольников). Основным аппаратом доказательства является использование признаков равенства треугольниковб) в то же время оно написано на высоком научном уровне и впервые основная линия школьной геометрии здесь выстроена строго дедуктивно на основе весьма экономной системы естественных аксиомв) пособие А. В. Ногорелова обладает и интересными педагогическими особенностями (например, оно написано в соответствие с концепцией краткого учебника, содержит в себе оригинальную систему вопросов для повторения и др.).

Начиная с 1979;1980 учебного года проводилась экспериментальная проверка этого пособия, в которой диссертант принимал непосредственное участие. Одной из целей эксперимента на завершающем его этапе яЪилась разработка методического обеспечения учебного процесса в массовой школе при преподавании по пособию А. Б. Погорелова. С этой целью при активном участии автора диссертации проводились Исследования математических и педагогических особенностей пособия, разрабатывалась и внедрялась методика обучения.

Особенно это 'относилось к начальному этапу изучения систематического курса геометрии, строящегося на аксиоматической основе — этапу введения аксиом, основных понятий и разворачиванию на их основе курса, до получения основного аппарата доказательств. Процесс осуществления этого этапа назван нами аксиоматическим введением.

Общеизвестно, какими трудностями сопряжено начало изучения систематического курса геометрии восьмилетней школы.

Этому вопросу посвящены многие исследования. Однако, часть этих исследований (например, Г. А. Буткина (21), С. А. Кузьминой (63), Е. Ф. Даниловой (37), Т. Н. Нестеренко (78), В. С. Пономарева (93) и др.) относится к методике обучения по учебникам А. П. Киселева или Н. Н. Никитина. В указанных учебниках, как известно, хотя и представлен систематический курс геометрии для школы, но он не строится на аксиоматической основе. Поэтому и методика, представленная в этих исследованиях не адекватна учебникам, написанным на аксиоматической основе.

Другая часть исследований (например, А. М. Абрамова (5), С. Г. Губы (35), В. М. Давода (36), Н. А. Копытова (62), З. П. Мотовой (77), З^И.Новосельцевой (87), Г. И. Саранцева (106) и др.) посвящена методике работы по пособию под редакцией А. Н. Колмогорова. Понятно, что методика изучения геометрии, когда основной стержень изложения различен, должна быть различной.

Кроме того, этот этап в пособии А. В. Погорелова не имеет аналогов в методической литературе. Более того имеются высказанные авторитетными лицами возражения против построения школьного курса геометрии на аксиоматической основе, начиная с У1 класса.

Поэтому задача разработки эффективной методики аксиоматического введения выходит на первый план в методике обучения геометрии по пособию А. В. Погорелова.

Этим и обуславливается актуальность темы нашего исследования.

Проблема исследования состояла в выявлении и обосновании педагогических условий успешного осуществления процесса введения аксиом, понятиядоказательства первых теорема также в создании и обосновании методики аксиоматического введения, адекватной выявленным педагогическим условиям.

Решение поставленной проблемы потребовало рассмотрения ряда частных задач:

— Определить роль и значение этапа аксиоматического введения при обучении геометрии в восьмилетней школе.

— Выявить и обосновать педагогические условия успешного осуществления аксиоматического введения.

— Разработать методику изучения аксиом и определений при осуществлении аксиоматического введения.

— Разработать методику обучения доказательствам при аксиоматическом введении.

Для решения поставленной проблемы использовались следующие методы исследования:

— изучение трудов классиков марксизма-ленинизма, материалов партийных съездов, директивных документов партии и правительства о школе;

— анализ психолого-педагогической, методической и математи ческой литературы по проблеме исследования;

— анализ программ, действующих и пробных учебных пособий по геометрии;

— анализ личного опыта преподавания в качестве учителя математики средней школы (12 лет) и его обобщение с целью более глубокого раскрытия исследуемой проблемы;

— изучение и анализ практики преподавания учителей по учебному пособию А. В. Погореловапроведение педагогического эксперимента по разработанной методике.

Экспериментальной базой исследования послужили школы г. Харькова и Харьковской области, участвующие в экспериментальной проверке учебного пособия А. В. Погорелова.

Общая цель диссертационного исследования заключалась в разработке эффективной методики обучения начальным разделам систематического курса геометрии, построенного на аксиоматической основе. Эта методика должна быть непосредственно применима к организации обучения по пособию А. В. Погорелова.

Научная новизна исследования состоит в том, что на основе анализа и обобщения целей обучения геометрии определены педагогические условия успешного осуществления аксиоматического введения в систематический курс геометрии восьмилетней школы. Впервые разработаны методика аксиоматического введения (рекомендации по организации изучения аксиом и определений и обучению доказательствам на начальном этапе обучения геометрии) и методическое обеспечение аксиоматического введения (системы вспомогательных задач, средств обучения).

Теоретическая ценность исследования заключается в том, что в нем предложено последовательное раскрытие целевых установок осуществления аксиоматического введения в ходе обучения геометрии и определены педагогические условия успешного осуществления этого процесса^.

Практическая значимость заключается в том, -что в исследовании предложена методика, обеспечивающая эффективное осуществление этапа аксиоматического введения в геометрии при обучении по действующему учебному пособию А. В. Погорелова. Эта методика внедрена при непосредственном участии диссертанта в практику преподавания геометрии в школах страны через систему методических пособий и статей.

Апробация и публикация результатов исследования осуществлялись в виде докладов и обсуждений на различных семинарах и конференциях: на заседаниях комиссии по экспериментальной проверке учебного пособия А. В. Погорелова при Харьковском ИУУ, членом которой являлся диссертант (1979;1982 гг.)" на Совете Харьковского ИУУ (1979;1983 гг.), на Всесоюзном совещании-семинаре «О мерах по улучшению преподавания математики в 1981/82 и последующие годы» (г. Харьков, 1981 г.), на республиканском совещании-семинаре методистов Украины (г.Сумы, 1982 г.), на семинарах-практикумах и курсах повышения квалификации учителей при Харьковском ИУУ (19 791 984 гг.), на заседаниях лабораторий прикладной математики и обучения математике НИИ СиМО АПН СССР (1979;1984 гг.).

Экспериментальные материалы исследования были представлены на заседаниях, посвященных экспериментальной проверке учебного пособия А. В. Погорелова в Ш СССР, Президиуме АНН СССР.

Предварительные и окончательные результаты исследования нашли отражение при подготовке методического обеспечения преподавания геометрии по пособию А. В. Погореловаотражены в ряде методических писем (82), (83) МП СССР и (114) МП УССР, научных отчетах по итогам экспериментальной проверки учебного пособия А. В. Погорелова, подготовленных Харьковским ИУУ, НИИ педагогики УССР, НИИ СиМО АПН СССР.

Основные положения и результаты исследования представлены в 6 публикациях.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

— 191 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В ходе проведенного исследования были решены. все поставленные задачи и получены следующие основные результаты:

1. Систематизированы и обобщены цели обучения геометрии в средней школе. Установлено, что ведущей целью обучения, определяющей содержание, структуру и методическую систему изложения курса геометрии, является цель формирования научно-теоретического мышления школьников. Обосновано соотнесение этой цели с другими целями обучения геометрии: знакомство с геометрическими формами, их заданием, измерением и построениемразвитие пространственных представлений учащихсяразвитие их логического мышления.

2. Выявлены роль и значение этапа аксиоматического введения при обучении геометрии в восьмилетней школе. Роль этапа аксиоматического введения заключается в ознакомлении учащихся с основными геометрическими понятиями, осуществлении введения системы аксиом и первоначальном обучении дедуктивным рассуждениям. Значение этапа аксиоматического введения определяется тем, что его осуществление создает предпосылки для формирования представлений учащихся об аксиоматическом методе и его использовании при построении научной теории.

3. Выявлены педагогические условия эффективного осуществления аксиоматического введения в курс геометрии: слитное, компактное изложение аксиомиспользование конструктивных определенийповышение уровня строгости при доказательстве первоначальных утвержденийизложение материала по основной линии курса без логических пробелов и недосказанных утвержденийпреимущественное использование репродуктивных методов обучения и т. п. Установлены требования к математической структуре курса, вытекающие из указанных педагогических условий.

— 192.

4. Разработана методика изучения аксиом и определений в аксиоматическом введении к систематическому курсу геометрии. Выделены основные этапы изучения аксиом и определений (начальное введение усвоение содержания, закрепление) — разработаны методические рекомендации по организации изучения аксиом и определений. С целью методического обеспечения изучения аксиом и определений разработаны: I) система заданий, позволяющих актуализировать предшествующий опыт учащихся до введения аксиом- 2) система средств наглядности и заданий для введения и первичного закрепления аксиом и понятий, система заданий для усвоения терминологии начального курса геометрии, задания, позволяющие раскрыть конструктивный характер некоторых определений.

5. Разработана методика обучения доказательству геометрических утверждений на этапе аксиоматического введения в систематический курс геометрии. Выделена последовательность методических задач, решаемых в ходе обучения доказательствам: I) изучение готовых доказательств, формирование умения их воспроизводить- 2) самостоятельное построение доказательства по аналогии с изученными- 3) поиск и изложение доказательств указанным учителем способом- 4) самостоятельный поиск и изложение учащимися доказательств математических предложенийосуществлено распределение этих задач по этапам аксиоматического введениявыделены формы проведения доказательств и обосновано их применениеразработано методическое обеспечение обучения доказательствам: система задач, направленная на выработку умений первых арлументированных рассуждений с использованием аксиом и определенийсистема задач на закрепление содержания теоретического материала и подготовительные упражнения для доказательства сложных теоремсистема содержательных задач, позволяющая организовать обучение поиску доказательств с помощью анализасистема дидактических средств, позволяющих организовать работу по обучению доказательствам.