Абелево-регулярные положительные полукольца

Диссертация посвящена изучению одного из классов полуколецабелево-регулярных положительных полуколец (агр-полуколец), являющихся своеобразным симбиозом дистрибутивных решеток и полутел и допускающих вполне удовлетворительное структурное описание.

Общая теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия и в настоящее время является активно развивающимся разделом современной алгебры. Это связано от части с успешным применением ее в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики [22, 44, 46]. Ей посвящены монографии Голана [44, 45], Хебиша и Вай-нерта [46], обзор Глазека [43], обзоры [9, 36, 48]. Среди публикаций последнего десятилетия следует отметить работы И. И. Богданова [2, 3], Е. М. Вечтомова [7, 8,10], С. Н. Ильина [15], М. А. Лукина [21], А.В. Рят-тель [24], А. Н. Семенова [25, 26], В. В. Чермных [35, 39], А.В. Чера-невой [33], касающиеся строения различных классов полуколец и полутел. Гомологические вопросы полуколец и полумодулей изучались в [16, 19, 30, 31, 32, 41, 45, 47, 49].

Частными случаями полуколец являются ассоциативные кольца, ограниченные дистрибутивные решетки, полутела.

Многие полукольца имеют хорошие функциональные (пучковые) представления [34−39]. Это делает актуальным изучение полуколец непрерывных функций. Систематическим изучением колец, полуколец и полуполей непрерывных функций занимаются Е. М. Вечтомов и его ученики [5, 9, 48, 50]. Результаты этих исследований отражены в кандидатских диссертациях В. И. Варанкиной [4], И. А. Семеновой [27],

М.Н. Подлевских [23], Д. В. Широкова [40].

Полукольцом называется алгебра (5, +, 0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения если (S, +, 0) — коммутативный моноид, {S, •) — полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон и тождественно 0 • х = х • 0 = 0.

Полукольца образуют широкий класс алгебраических объектов. Поэтому для успешного изучения полуколец на них накладываются естественные дополнительные условия, ограничения, позволяющие выделить важные классы полуколец. В ряде случаев это позволяет сводить исследование полуколец к более известным, достаточно хорошо изученным объектам, например, кольцам или дистрибутивным решеткам. В дальнейшем рассматриваемые полукольца, если не оговорено особо, содержат единицу, отличную от нуля. Полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом.

Коммутативные arp-полукольца впервые рассматривались Е.М. Ве-чтомовым в 1992 году [6, замечание 3]. Под названием ПРС-полукольца они введены в докладе [13]. Структурная теория arp-полуколец была развита в работе Е. М. Вечтомова, А. В. Михалева и В. В. Чермных [11].

Агр-полуколъцо — это положительное (элемент, а + 1 обратим в S для любого, а Е S), регулярное (для каждого, а? S уравнение ах, а = а разрешимо в S) полукольцо, каждый идемпотент е (е2 = е) которого централен. Этот класс полуколец достаточно обширен, он содержит все дистрибутивные ограниченные решетки и все полутела. А rp-полукольца находят применение в теории матриц над полукольцами [15], при исследовании полутел и полуколец непрерывных функций.

С каждым ш^мюлукольцом S связана тройка (L (5), U (S), < Ь ab = a. U (S) — множество всех обратимых элементов S, являющееся полутелом без нуля относительно операций сложения и умножения в S. Отображение tpsL (S) ConU (S) — антигомоморфизм решетки L (S) в решетку конгруэнций ConU (S) полутела U (S), сопоставляющий каждому идемпотенту е G L (S) конгруэнцию <�р (е): u (p (e)v ей = ev, u, v Е U (S).

Возникает естественно вопрос о восстановлении arp-полукольца по абстрактной тройке {L, U, <�р), состоящей из ограниченной дистрибутивной решетки L, полутела без нуля U и решеточного антигомоморфизма (р: L —)• ConU, переводящего 0 в 1 и 1 в 0. Тройка вида (L (S), U (S), tps) для некоторого arp-полукольца S называется индуцированной. Индуцированные тройки (Li, Ui,(pi) и (½, U2, 2) называются изоморфными, если существует пара (/3,7) таких изоморфизмов /3: L —ь L2) 7: U U2, что равносильно 7(w)^2(/?(e))7(v).

В [11] сформулированы следующие вопросы:

1) Всякая ли тройка (L, U,(p) индуцируется некоторым агр-полукольцом?

2) Из изоморфизма индуцированных троек следует ли изоморфизм соответствующих атр-полуколец?

В [И, пример 3.2] была приведена неиндуцированная тройка и установлено, что для индуцированности тройки (L, U, (р) достаточно, чтобы Im (р содержался в некоторой булевой подрешетке решетки ConU (теорема 3.3). Второй вопрос был положительно решен для предбулевых полуколец, т. е. для arp-полуколец, у которых Im^s является булевой подрешеткой в решетке ConU (S), и для идемпотентных агр-полуколец

11, теорема 4.1 и теорема 5.6]. В общем случае вопрос оставался открытым. Были также изучены некоторые свойства предбулевых и идем-потентных полуколец в терминах индуцированных троек, в частности, описаны конгруэнции на предбулевых полукольцах.

В диссертации решены указанные принципиальные задачи для произвольных arp-полуколец. Основными результатами можно назвать следующие:

1. Завершено описание структуры arp-полуколец, начатое в работе [11]. Показано, что любое arp-полукольцо однозначно с точностью до изоморфизма восстанавливается по своей индуцированной тройке. Дан критерий индуцированности произвольной абстрактной тройки. Перенесены и уточнены результаты, известные для предбулевых полуколец.

2. Получено функциональное описание атр-полуколец.

3. Дано описание конгруэнций и гомоморфизмов произвольных агр~ полуколец в терминах индуцированных троек. Установлено, что решетка конгруэнций Соп5 полукольца S является подпрямым произведение решеток ConL (S) и ConU (S) и ретрактом решетки ConL (S) х ConU (S).

4. Описаны инъективные идеалы атр-полуколец.

5. Рассмотрены различные характеризации обобщенных атр-полуколеи

В работе используются методы, идеи и конструкции теории полуколец, теории решеток, теории колец и модулей, универсальной алгебры.

Диссертация состоит из 3 глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы.

1. Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984.

2. Богданов И. И. Полимиальные соотношения в полукольцах. Дис.. канд. физ.-матем. наук. Москва: МГУ, 2003.

3. Богданов И. И. Об аддитивной структуре полутел // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. № 1. С. 48 50.

4. Варанкина В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций. Дис.. канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1996.

5. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундаментальная и прикладная матем. 1998. Т. 4. № 2. С. 493 510.

6. Вечтомов Е. М. Аннуляторные характеризации булевых колец и булевых решеток // Матем. заметки. 1993. Т. 53. Вып. 2. С. 15 24.

7. Вечтомов Е. М.

Введение

в полукольца. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000.

8. Вечтомов Е. М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули (Томск). 2000. Вып. 15. С. 17 23.

9. Вечтомов Е. М. Полукольца непрерывных отображений // Вестник ВятГГУ. 2004. № 10. С. 57. 64.

10. Вечтомов Е. М. О трех радикалах для полумодулей // Вестник ВятГГУ. 2005. № 13. С. 148 151.

11. Вечтомов Е. М., Михалев А. В., Чермных В. В. Абелево-регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. Т. 20. С. 282 309.

12. Вечтомов Е. М., Семенов А. Н. О решетке конгруэнций полутел // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета. М.: МГУ, 2004. С. 27 29.

13. Вечтомов Е. М., Чермных В. В. Полукольца, близкие к дистрибутивным // Международная конференция &bdquo-Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е. С. Ляпина. Тезисы докладов. СПб.: РГГИ, 1995. С. 90 91.

14. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.

15. Ильин С. H. Критерий регулярности полных матричных полуколец // Матем. заметки. 2001. Т. 70. Вып. 3. С. 366 374.

16. Ильин С. Н. Полукольца, над которыми любой полумодуль инъ-ективен (проективен) // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2006. Вып. 8. С. 50 53.

17. Каш Ф. Модули и кольца. М.: Мир, 1981.

18. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.

19. Корниенко В. С. О самоинъективных дистрибутивных структурах // Сибирский математический журнал. 1979. Т. 20. № 3. С. 579 -585.

20. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.

21. Лукин М. А. Дизъюнктное полу кольцевое объединение кольца и тела // Чебышевский сборник. 2005. Том 6. Вып. 4 (16). С. 138 -148.

22. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Наука, 1994.

23. Подлевских М. Н. Полукольца непрерывных функцией с топологией поточечной сходимости. Дис.. канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1999.

24. Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела. Дис. канд. физ.-матем. наук. Киров: ВятГГУ, 2002.

25. Семенов А. Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. С. 105 107.

26. Семенов А. Н. О решетке конгруэнций полутел // Вестник ВятГГУ. 2003. № 9. С. 92 95.

27. Семенова И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций. Дис. канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1998.

28. Семенова И. А. Максимальные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций // Фундаментальная и прикладная матем. 2000. Т. 8. Вып. 1. С. 305 310.

29. Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.

30. Тюкавкин Jl. В. Коммутативные полукольца с плоскими модулями // Вестник Моск. ун-та. Серия математика, механика. 1978. С. 60 62.

31. Фофанова Т. С. Инъективность полигонов над булевыми алгебрами // Сибирский математический журнал. 1972. Т. 13. N2 2. С. 452 -458.

32. Фофанова Т. С. О проективности полигонов над дистрибутивными структурами // Упорядоченные множества и решетки. Саратов, 1977. Вып. 4. С. 123 129.

33. Черанева А. В. О конгруэнциях на полутелах // Чебышевский сборник. 2005. Том 6. Вып. 4 (16). С. 164 171.

34. Чермных В. В. О полноте пучковых представлений полуколец // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. Ш 1. С. 167 — 177.

35. Чермных В. В. Полукольца. Киров: Изд-во ВГПУ, 1997.

36. Чермных В. В. Полукольца сечений пучков // Вестник ВятГГУ. 2005. № 13. С. 151 158.

37. Чермных В. В. Представления полумодулей сечениями пучков // Фундаментальная и прикладная матем. 2007. Т. 13. Вып. 2. С. 195— 204.

38. Чермных В. В. Редуцированные риккартовы полукольца и их функциональные представления // Фундаментальная и прикладная матем. 2007. Т. 13. Вып. 2. С. 205 215.

39. Чермных В. В. Функциональные представления полуколец и полумодулей. Дис.. док. физ.-матем. наук. Киров: ВятГГУ, 2007.

40. Широков Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций. Дис.. канд. физ.-матем. наук. Киров: ВятГГУ, 2005.

41. Широков Д. В. Инъективность по Бэру для полуколец непрерывных неотрицательных функций // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2005. Вып. 7. С. 94 104.

42. Dauns J., Hofmann К. Н. The represention of biregular rings by sheaves // Math. Z. 1966. Vol. 91. № 2. P. 103 123.

43. Glazek K. A Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mathematics and Information Sceinces. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2002.

44. Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Longman scientific and technical. Harlow, 1992.

45. Golan J. S. Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999.

46. Hebisch U., Weinert H. J. Semirings. Algebraic theory and applications in computer science. World Scientific Publishing. Singapore, 1998.

47. Katsov Y. Tensor products and injective envelopes of semimodules over additively regular semirings // Algebra Colloquiun. 1997. 4:2. P. 121 -131.

48. Mikhalev A. V., Vechtomov E. M., Artamonova L. L., Chermnykh V. V., Varankina V. I. Semirings: sheaves and continuous functions // Semigroups with applications, including semigroup rings. Sankt-Peterburg. 1999. P. 23 58.

49. Sokratova 0. Projective semimodules // Algebra Universalis. 2002. 48. P. 389 398.

50. Vechtomov E. M. Rings of continuous functions with values in topological division ring // J. Math. Sciences (USA). 1996. V. 78. № 6. P. 702 753.Публикации автора по теме диссертации

51. Старостина О. В. К теории абелево-регулярных положительных полуколец // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Информатика. Математика. Язык. 2005. № 3. С. 156 -159.

52. Старостина О. В. Конгруэнции и гомоморфизмы абелево-регулярных положительных полуколец // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2005. № 13. С. 175 179.

53. Старостина О. В. Строение абелево-регулярных положительных полуколец // Чебышевский сборник: Том VI. Выпуск 4(16). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. JI.H. Толстого, 2005. С. 154 — 163.

54. Старостина О. В. Об идеалах агр-полуколец // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. 9−14 октября 2006 г., г. Орел. Т. 1. Орел: Изд-во ОГУ, 2006. С. 191 -193.

55. Вечтомов Е. М., Старостина О. В. Структура абелево-регулярных положительных полуколец // Успехи математический наук. 2007. Т. 62. Вып. 1. С. 199- 200.

56. Старостина О. В. Инъективные идеалы абелево-регулярных положительных полуколец // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Информатика. Математика. Язык. 2007. № 4. С. 197 199.

57. Старостина О. В. Функциональные представления абелево-регулярных положительных полуколец // Математика. Образование: Материалы XV международной конференции. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2007. С. 250.