Математическое моделирование процессов массо-тепло переноса в мелководных водоемах на криволинейных сетках

Математическое моделирование природных систем, в том числе мелководных водоемов — дополняет, а во многих случаях позволяет исключить дорогостоящие и опасные натурные эксперименты с реальной экосистемой. Если мы можем рассчитать уровень воды в водоеме при различном ветре, то мы можем предсказать зоны возможного затопления прибрежных областей. Использование математических моделей позволяет предсказать возможные последствия искусственного изменения рельефа дна или другого вмешательства в экосистему водоема.

Актуальность.

Для задач математического моделирования гидрофизических процессов в водоемах актуальной является проблема построения и практического использования вычислительно-эффективных методов, базирующихся на применении оптимальных криволинейных сеток, в том числе нерегулярных и построение сходящихся итерационных алгоритмов решения задач массо-тепло переноса для существенно изменяющейся плотности водной среды. Переход в методах дискретизации задач математической физики, связанный с использованием вместо прямоугольных, сеток криволинейных, в том числе нерегулярных треугольных сеток, позволяет существенно сократить количество расчетных ячеек при заданной точности или значительно повысить точность моделирования при данном количестве ячеек. Применение криволинейных сеток при ограничениях на оперативную память вычислительных систем позволяет значительно лучше аппроксимировать сложную форму береговой линии и повысить реальную точность расчетов в случае существенно изменяющихся температур и соленостей, что определяет и подтверждает актуальность данной работы. В случае сеток высокого разрешения, а также при проведении расчетов в реальном времени актуальной является рассмотренная в работе параллельная реализация численного алгоритма на кластере распределенных вычислений. Проведенные численные эксперименты на реальном кластере под управлением MPI показали достаточно высокую эффективность параллельного алгоритма на умеренном числе процессоров.

Целями диссертационной работы являются:

1. Разработка и исследование алгоритмов построения нерегулярных треугольных сеток, являющихся более экономичными по сравнению с регулярными сетками для реальных водоемов со сложной границей расчетной области.

2. Построение итерационно-разностных алгоритмов эффективного решения задач гидродинамики транспорта тепла и соли для мелководных водоемов, в том числе с существенно изменяющейся плотностью.

Для достижения поставленных целей в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) построение нерегулярных треугольных расчетных сеток для численной реализации гидродинамической модели;

2) построение, исследование и численная реализация двумерной гидродинамической модели методом осреднения по вертикальным направлениям в случае не существенно изменяющейся плотности водной среды;

3) построение, исследование и численная реализация двумерной модели распределения скоростей, температур и солености в случае существенно изменяющейся плотности водной среды;

4) численное моделирование распределения скоростей и температур в Азовском море и Таганрогском заливе применительно к реальным погодным условиям.

Научная новизна результатов исследования отражается в следующих исследованиях и разработках:

1) разработаны алгоритмы построения нерегулярных треугольных расчетных сеток для численной реализации гидродинамической модели, которые в отличие от регулярных сеток гораздо более просты в построении и легко адаптируются к сложной геометрии области;

2) разработан итерационный алгоритм сглаживания нерегулярных треугольных расчетных сеток, позволяющий получить сетку более высокого качества;

3) построены и исследованы конечно-элементные модели гидрофизики водоемов, использующие нерегулярные треугольные сетки и базирующиеся на методе расщепления по физическим процессам;

4) построен итерационно-разностный алгоритм решения задачи гидрофизики водоемов, в случае существенно изменяющейся плотности водной среды и получены достаточные условия его сходимости;

5) на основе разработанных алгоритмов, которые требуют меньших вычислительных затрат за счет использования экономичных (нерегулярных) сеток по сравнению с регулярными сетками, и программ, выполнено численное моделирование распределения течений и температур в Азовском море, результаты которого имеют практическую ценность и удовлетворительно согласуются с результатами моделирования на основе использования употребительных комплексов программ, таких как Магз2 В, РОМ.

Достоверность научных результатов подтверждается корректным применением математического аппарата теории разностных схем, методов решения сеточных уравнений, принципов параллельного программирования, а также выполненным численным моделированием распределения течений и температур в Азовском море, результаты которого согласуются с результатами моделирования на основе использования употребительных комплексов программ, таких как Магз20, РОМ.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в разработке алгоритмов и создании программ для построения нерегулярных треугольных расчетных сеток, которые в отличие от регулярных сеток просты в построении и легко адаптируются к сложной геометрии области, а также посвящена моделированию течений в Азовском море и Таганрогском заливе (двумерная модель).

Использование криволинейных сеток вместо прямоугольных, в том числе нерегулярных треугольных сеток, позволяет существенно сократить количество ячеек при заданной точности или значительно повысить точность моделирования при данном количестве ячеек. Треугольные сетки были получены для акватории Азовского моря и Таганрогского залива. Алгоритмы позволяют строить нерегулярные треугольные сетки с-малым числом нерегулярностей для областей сложной формы. Для построения сеток используются данные о форме береговой линии и рельефе дна. Сетки могут быть построены с любым заранее заданным числом треугольников. Имеется возможность задавать требуемую плотность узлов в различных местах сетки.

Теоретические и практические результаты диссертационной работы внедрены в Научно-образовательном центре комплексных исследований и' математического моделирования техногенных и экологических систем Технологического института Южного федерального университета в г. Таганроге.

Апробация результатов работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на XII Международной конференции «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Харьков, 2005) — XI Международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2005) — 12-ой Международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2007) — VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007) — IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008) — 55-ой научно-технической конференции ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2008 г).

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы.

Заключение

.

В данной работе для численной реализации гидродинамической модели были разработаны алгоритмы и программы для построения нерегулярных треугольных расчетных сеток, которые в отличие от регулярных сеток, гораздо более просты в построении и легко адаптируются к сложной геометрии области. Треугольные сетки были получены для акватории Азовского моря и Таганрогского залива. Разработанные алгоритмы позволяют строить нерегулярные треугольные сетки с малым числом нерегулярностей для областей сложной формы. Для построения сеток использовались данные о форме береговой линии и рельефе дна. Сетки могут быть построены с любым заранее заданным числом треугольников. Имеется возможность задавать требуемую плотность узлов в различных местах сетки.

Была получена двумерная модель гидродинамики водоемов в случае постоянной плотности водной среды из трехмерной интегрированием по вертикальной координате, в предположении, что компоненты вектора скорости зависят от глубины по квадратичному закону, а так же был учтен профиль коэффициента турбулентного обмена по вертикали, характерный для мелководных водоемов. Преимущества модели заключаются в том, что модель учитывает испарение и выпадение осадков не только в уравнении баланса массы, но и в уравнениях движения, что важно для уравнений мелкой воды в жарком климате. В модели не изменялся порядок следования операций дифференцирования по горизонтальному направлению и операций интегрирования по вертикальному направлению, что позволило избежать получения фиктивных источников энергии и импульса. Модель учитывает стоки рек, зависящий от координат уровень воды в водоёме, сложный рельеф дна, вертикальный и горизонтальный турбулентный обмен, силу Кориолиса, атмосферное давление, испарение и осадки, трение о дно и воздух (ветер).

На основе данной модели были рассчитаны течения в Азовском море и функция возвышения уровня для типичных направлений ветра. Эти данные могут быть использованы для предсказания наводнений и расчета последствий выброса загрязняющих веществ в море.

Кроме того, выполнено моделирование на сетках различной подробности. Показано, что все три метода на различных сетках дают практически одинаковые результаты. Программы, реализующие данную модель, являются универсальными и могут быть применены для любого другого мелководного водоема.

Также была построена двумерная модель гидрофизики водоемов в случае изменяющейся плотности водной среды из трехмерной интегрированием по вертикальной координате, в предположении, что компоненты вектора скорости зависят от глубины по квадратичному закону, а так же учитывается профиль коэффициента турбулентного обмена по вертикали, характерный для мелководных водоемов. На основе вычислительного эксперимента было определено распределение температуры Азовского моря на сентябрь месяц для одних суток, с временным интервалом в один час.

В работе построена и исследована двумерная модель гидрофизики водоемов в случае существенно изменяющейся плотности водной среды транспорта тепла и соли для водоема прямоугольной формы и разностный метод ее решения, который базируется на схемах расщепления и методе поправки к давлению (варианте MAC — метода). Построен итерационно-разностный алгоритм решения задачи гидрофизики водоемов, в случае существенно изменяющейся плотности водной среды и определены достаточные условия его сходимости. Система условий, полученная на основе сеточного принципа максимума и следствий из него, накладывает одновременно ограничения сверху на шаг по времени, а снизу — на величину нормы шага по пространству. Изложена параллельная реализация численного алгоритма на кластере распределенных вычислений. Проведенные численные эксперименты на реальном кластере под управлением MPI показали достаточно высокую эффективность параллельного алгоритма на умеренном числе процессоров.