Моделирование дисперсионного переноса в полупроводниках на основе уравнений с производными дробного порядка

Дисперсионный (негауссов, субдиффузионный) перенос (ДП) [1]-[3] наблюдается во многих неупорядоченных материалах, различающихся своей микроскопической структурой: в аморфном гидрированном кремнии [4, 5], аморфном селене [6, 7], аморфных халькогенидах [8, 9], в органических полупроводниках [10, 11], в пористых твёрдых телах [12, 14, 15], в наноструктур-ных материалах [16], в поликристаллических плёнках CdTe [17], жидких кристаллах [18] и др. Сопоставление результатов экспериментов свидетельствует о наличии универсальных свойств переноса [59, 60] - свойств не зависящих от детальной атомной и молекулярной структуры вещества [19]. ДП считается альтернативой гауссова переноса, впрочем существуют попытки (см. например [116]) описать дисперсионную диффузию с помощью обычного диффузионного уравнения и гауссовой формы пакета частиц.

Существует несколько различных подходов к описанию ДП. В 1975 году Шер и Монтролл [34] успешно интерпретировали экспериментальные данные время-пролётного эксперимента. Главный пункт их модели — гипотеза о степенном распределении времён пребывания носителей в локализованных состояниях. Это распределение предполагает бесконечность среднего значения времён ожидания. Последний факт обуславливает неприменимость к описанию ДП центральной предельной теоремы и модели случайного гауссовского процесса. В результате ДП не описывается стандартным кинетическим уравнением Больцмана, законом Фика и диффузионно-дрейфовом уравнением.

Математическая основа модели Шера и Монтролла — интегральные уравнения случайных блужданий. Степенное распределение времён ожидания, как отмечается в [57], может быть следствием как прыжкового переноса по распределённым в пространстве ловушкам, так и переноса, управляемого многократным захватом на распределённые по энергии локализованные состояния. Впрочем, часто модель многократного захвата рассматривается как самостоятельный подход, основанный на кинетических уравнениях захвата-эмиссии [7]. Из кинетических уравнений захвата-эмиссии Архипов и Руден-ко [23] вывели аналог диффузионно-дрейфового уравнения, который содержит зависящие от времени подвижность и коэффициент диффузии носителей. Вывод этого уравнения, впрочем, содержит предположение, о котором будет сказано ниже. Как будет показано, уравнение Архипова-Руденко и их решения не переходят в уравнение и решения для нормального переноса при устремлении дисперсионного параметра к единице, не позволяя, тем самым, описывать нормальный перенос и ДП в рамках единого формализма.

В предлагаемой работе обосновывается необходимость описания ДП носителей заряда в неупорядоченных полупроводниках с помощью устойчивых законов и уравнений с производными дробного порядка. Впервые о дробных производных в теории полупроводников упоминается в книге Бабенко [21]: автор привлекает аппарат дробного дифференциального исчисления для нахождения временной зависимости концентрации на границе р-п-перехода при нормальном переносе по заданной плотности тока. Основной приём решения в [21] заключается в разложении оператора нормальной диффузии:

1 JL) (91/2 где dll2/dtll2.

— дробная производная Римана-Лиувилля порядка ½. Но следует отметить, что ещё в 1983 году в статье Архипова, Поповой и Руден-ко [22] через интеграл Римана-Лиувилля дробного порядка была выражена связь концентраций свободных и локализованных носителей при ДП, правда сами авторы дробно-дифференциальную терминологию не используют. В их последующих работах (см. например [23]-[28]) чаще встречается другое приближённое соотношение между концентрациями локализованных и свободных носителей, которое сами авторы иногда называют «основным уравнением ДП». Это соотношение считается справедливым для любой плотности локализованных состояний, а в случае экспоненциальной плотности позволяет выразить результаты через элементарные функции. «Основное уравнение ДП» Архипова-Руденко приводит к диффузионному уравнению с переменными коэффициентом диффузии и подвижностью [24].

В терминах интегрального преобразования Лапласа из кинетических уравнений захвата-эмиссии, записанных Нуланди [7, 29], Тиджи [30] вывел уравнение переноса в пренебрежении диффузией для концентрации свободных носителей. Обратное преобразование Лапласа этого уравнения представляет собой дробно-дифференциальное уравнение [31].

Баркаи [32] применил дробно-дифференциальное уравнение Фоккера-Планка, предложенное в статье [33] Метцлера, Баркаи и Клафтера, для объяснения релаксации переходного фототока в аморфных полупроводниках. В [32] показана согласованность некоторых результатов, полученных на основе дробно-дифференциального подхода, и предсказаний модели Шера и Монтролла [34]. Для оправдания введения дробно-дифференциального уравнения автор [32] приводит следующие слова: «Перенос в упорядоченных средах часто моделируется с помощью диффузионного уравнения. Этот подход наиболее прост и является самым распространённым. ДП типа Шера и Монтролла, экспериментально наблюдаемый в различных неупорядоченных полупроводниках, может быть феноменологически описан с помощью дробного уравнения Фоккера-Планка. Это единственный пример из всех физических явлений, в котором другой тип исчисления (в данном случае интегральное и дифференциальное исчисление дробного порядка) играет центральную роль». Авторы [33] не выводили уравнение строго из каких-то начальных посылок, а обосновали его адекватность аномальному переносу выполнением следующих требований:

1. в отсутствие внешней силы, выполняется субдиффузионное соотношение для временной зависимости ширины пакета частиц;

2. при наличии внешней не зависящей от времени нелинейной силы стационарное решение уравнения является больцмановским распределением;

3. выполняется обобщённое соотношение Эйнштейна;

4. при устремлении дробного показателя к единице уравнение переходит в стандартное уравнение Фоккера-Планка.

Другое дробно-дифференциальное диффузионное уравнение, полученное в [37] простой заменой производной по времени в стандартном уравнении диффузии производной дробного порядка рассматривает Бискерт [38] в отношении к переносу путём многократного захвата. Неизвестная функция в этом уравнении с несохраняющейся нормировкой интерпретируется как концентрация делокализованных носителей. Автор [38, 39] не рассматривает решения интерпретируемого уравнения и не применяет уравнения к описанию времяпролётных экспериментов. Автор [39] использует это уравнение для объяснения степенного затухания фотопроводимости и степенной релаксации люминесценции в полупроводниках с экспоненциальной плотностью локализованных состояний.

Степенное затухание фотолюминесценции в аморфных полупроводниках описывается в [40, 41] на основе обобщённой модели случайных блужданий с рекомбинацией путём туннельных излучательных переходов. Рекомбинация ограничивается дисперсионной диффузией носителей. Авторы [41] в рамках предложенной ими модели составили дробно-дифференциальное уравнение для плотности распределения времени первого достижения. Для нахождения темпа рекомбинации в [41] используется интегральное преобразование Лапласа предложенного дробно-дифференциального уравнения.

В [35, 36] было показано, что главные асимптотические члены решений уравнений случайных блужданий модели Шера и Монтролла являются решениями дробно-дифференциальных уравнений. Функциями Грина последних являются дробно-устойчивые плотности. В [42] найдено решение уравнения, предложенного в работе Бискерта [38], в терминах устойчивых плотностей. Подход, основанный на уравнениях с производными дробного порядка.

1. позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный перенос иДП;

2. даёт возможность вероятностной интерпретации процессов аномального переноса;

3. раскрывает причины универсальных свойств ДП в различающихся по своей структуре полупроводниках.

В связи с вышесказанным разработка теории ДП на основе дробно-дифференциальных уравнений является актуальной проблемой. Существуют единицы работ, посвящённые применению дробно-дифференциального подхода к описанию переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках. В упомянутых работах не проводился подробный сравнительный анализ результатов дробно-дифференциального подхода и результатов существующих теорий ДП. Не составлены уравнения амбиполярного ДП. В дробно-дифференциальных уравнениях не учитывалась мономолекулярная рекомбинация, распределение дисперсионного параметра, усечение степенных распределений времён пребывания носителей в локализованных состояниях. Дробно-дифференциальный подход не применялся при описании переноса в структурах на основе неупорядоченных полупроводников.

В настоящей работе будет показано, что универсальность кривых переходного тока и степенная зависимость времени пролёта от толщины образца свидетельствуют о дробно-дифференциальной кинетике ДП [43]. Будет продемонстрирована связь дробно-дифференциального подхода с моделью Шера и Монтролла и моделью многократного захвата. Кроме этого, покажем, что дробно-дифференциальное уравнение Фоккера-Планка, которое применяет Баркаи [32], и уравнение для концентрации делокализованных носителей, используемое Бискертом [38], связаны соотношением, полученным Архиповым, Поповой и Руденко [22]. Уравнение, применяемое Бискертом, было обобщено на случай диффузии со сносом в нашей работе [31]. В уравнениях произведём учёт мономолекулярной рекомбинации и рекомбинации за счёт туннельных переходов локализованных носителей. Будет рассмотрен случай распределённого дисперсионного параметра для моделирования неупорядоченных сред с доменной структурой. Составим дробно-дифференциальные уравнения ам-биполярного ДП. Для полученных уравнений будет разработан аналитический метод их решения. Для проверки адекватности выводимых уравнений и их решений аналитические результаты будем сравнивать с данными время-пролётного эксперимента, опытов по релаксации фотопроводимости, а также проводимости на переменном токе. В некоторых случаях будем использовать метод моделирования Монте-Карло в рамках схемы блужданий с непрерывным временем.

Цель диссертационной работы — разработка и апробация теоретической модели ДП на основе уравнений с производными дробного порядка. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать теоретическую модель ДП на основе дробно-дифференциальных уравнений для прыжковой проводимости, для многократного захвата и для комбинированного механизма переноса с учётом мономолекулярной рекомбинации и рекомбинации за счёт туннельных переходов.

2. Провести расчёты переходного тока в неупорядоченных полупроводниках и структурах на их основе и сравнить результаты дробно-дифференциального подхода с результатами других моделей ДП (модели Шера-Монтролла, модели многократного захвата Шмидлина-Нуланди-Тиджи, подхода Архипова-Руденко1).

3. На основании полученных уравнений и методов их решения рассчитать частотные зависимости комплексной проводимости на переменном токе для неупорядоченных полупроводников и диода на их основе при малом уровне инжекции.

Научная новизна полученных автором результатов:

1. Впервые показано, что универсальность кривых переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при ДП и степенная зависимость времени пролёта носителей от толщины образца свидетельствуют о дробно-дифференциальной кинетике, т. е. о том, что распространение пакета неравновесных носителей описывается уравнением с дробной производной по времени.

2. Связь ДП с моделью случайного устойчивого процесса Леви позволила вывести количественные условия ДП для механизма многократного захвата и прыжковой проводимости.

1 V. I. Arkhipov, A. I. Rudenko. Philos. Mag. В 45 (1982) 189.

3. Впервые в рамках дробно-дифференциального подхода найдены выражения для частотных зависимостей проводимости и диффузионной ёмкости полупроводникового диода на основе неупорядоченных полупроводников при ДП, управляемом захватом на распределённые по энергии локализованные состояния.

4. Впервые обнаружено, что переход от дисперсионного типа переноса к нормальному при увеличении размеров образца или ослаблении электрического поля во время-пролётных экспериментах является следствием усечения степенных распределений времён пребывания носителей в локализованных состояниях.

Практическая значимость.

1. При описании ДП в неупорядоченных полупроводниках на основе уравнений с дробными производными требуется меньше подгоночных параметров, чем в модели Шера-Монтролла и в модели многократного захвата Шмидлина-Нуланди-Тиджи. Уравнения с дробными производными точнее описывают кривые переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице, чем уравнение неравновесного переноса Архипова-Руденко.

2. Два составленных алгоритма моделирования ДП, основанные на конечно-разностном методе и стохастическом методе Монте-Карло, позволяют численно находить пространственные распределения неравновесных носителей заряда и токи проводимости, моделировать пространственно-временные траектории носителей, а также рассчитывать темп рекомбинации, управляемой ДП.

3. Дробно-дифференциальные уравнения диффузии-дрейфа, вид которых не зависит от механизма переноса, описывают одновременно и нормальный и ДП (в рамках единого формализма). Этот факт может использоваться для предсказания эффектов, связанных с переходом от нормального типа переноса к дисперсионному, в структурах на основе неупорядоченных полупроводников.

Положения, выносимые на защиту:

1. Универсальность кривых переходного тока во время-пролётных экспериментах и степенная зависимость времени пролёта носителей от толщины образца при ДП свидетельствуют о том, что распространение пакета неравновесных носителей описывается уравнением с дробной производной по времени.

2. Диффузионно-дрейфовое уравнение с производной по времени дробного порядка точнее описывает кривые переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице, чем уравнение нестационарного переноса Архипова-Руденко. Подход, основанный на дробно-дифференциальных уравнениях, позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный и ДП.

3. Условия ДП, полученные с помощью обобщённой предельной теоремы:

— в случае многократного захвата перенос является дисперсионным, если средний квадрат флуктуаций энергии локализованных состояний сг^ превышает среднюю энергетическую глубину залегания ловушек, умноженную на больцмановскую температуру кТв случае прыжковой проводимости перенос будет дисперсионным, если квадрат флуктуаций расстояния между ловушками превышает среднюю длину прыжка, умноженную на половину радиуса локализации волновой функции.

4. В результате учёта мономолекулярной рекомбинации в диффузионно-дрейфовых уравнениях с дробной производной рассчитана частотная зависимость комплексной проводимости диода при ДП в случае малого уровня инжекции. На проводимость и диффузионную ёмкость в области высоких частот не влияют ни захват носителей на локализованные состояния в хвостах зон, ни рекомбинация носителей через глубокие центры.

5. Усечённые степенные распределения времён пребывания носителей в локализованных состояниях являются причиной перехода от дисперсионного типа переноса к нормальному во время-пролётных экспериментах при увеличении толщины образца и/или уменьшении внешнего электрического поля. Дисперсионный перенос соответствует временам пролёта tx (7 — параметр усечения), нормальный перенос — It 7−1.

Апробация работы. Результаты, полученные в работе, были доложены на.

1. IV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003),.

2. Семинаре кафедры вычислительной математики и кибернетики МГУ «Блуждание на фракталах» (Москва, 2004),.

3. Летней школе фонда «Династия» (Москва, 2005),.

4. VII Всероссийской молодёжной конференции по физике полупроводников и полупроводниковой оптои наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2005),.

5. VIII Международной конференции «Опто-, наноэлектроника, нанотех-нология и микросистемы» (Ульяновск, 2006),.

6. Международной конференции в память о А. Н. Малахове «Critical Phenomena and Diffusion in Complex Systems» (Нижний Новгород, 2006),.

7. Всероссийской конференции с международным интернет-участием «От наноструктур, наноматериалов и нанотехнологий к наноиндустрии» (Ижевск, 2007),.

8. Ежегодных научных конференциях студентов-физиков Ульяновского государственного университета (Ульяновск, в 2004 и 2005 годах научная работа автора удостаивалась 1-го места),.

Сообщения представлялись также на V, VI, VII Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, 2005; Кисловодск, 2006), VI Международной конференции «Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2005), V Международной конференции «Аморфные и микрокристаллические полупроводники» (Санкт-Петербург, 2006), IX Международной конференции «Арсенид галлия и полупроводниковые соединения группы III-V» (Томск, 2006), VI Международной научно-практической конференции (Новочеркасск, 2006), Международной конференции «Nonlinear Science and Complexity» (Пекин, 2006).

В 2005 г. научная деятельность автора удостоена студенческой стипендии Правительства Российской Федерации. В 2005;2006 г. автор получал стипендию по итогам конкурса среди студентов-физиков, проводимого фондом «Династия» .

Личный вклад автора. Исходные теоретические положения разработаны совместно с научным руководителем профессором В. В. У Чайкиным. Вывод аналитических выражений, проведение конкретных расчётов, сравнение с экспериментальными данными, численное моделирование и анализ его результатов выполнены автором самостоятельно.

Достоверность результатов. Представленные в диссертации результаты доказаны с использованием аналитических методов теории преобразования Лапласа, асимптотического анализа, теории вероятностей и случайных процессов. Достоверность некоторых результатов подтверждается согласием с экспериментальными данными. Правильность аналитических выражений.

12 в рамках конкретных моделей проверяется численным моделированием методом Монте-Карло. Кроме того, показана согласованность некоторых результатов, полученных с помощью дробно-дифференциального подхода и результатов других теорий ДП. В ходе работы постоянно проверялось выполнение принципа соответствия, согласно которому результаты, полученные для ДП, при устремлении дисперсионного параметра к единице должны переходить в результаты теории нормального (гауссова) переноса.

Публикации. В ходе выполнения исследований по теме диссертации опубликовано 22 научных работы, 8 из которых — в журналах из списка ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключениясодержит 122 страницы, включая 30 рисунков, 4 приложения и список литературы из 125 наименований.

Выводы к главе 5.

1. Дробно-дифференциальная модель описывает асимптотический (при больших временах) режим ДП. Плотность распределения времён ожидания в модели Шера и Монтролла и плотность локализованных состояний в модели многократного захвата являются результатом усреднения по некоторому макроскопическому объёму образца. Подразумевается, что этот объём должен содержать достаточно большое число локализованных состояний. Следовательно, режим переноса уже является асимптотическим на расстояниях, сравнимых с объёмом, по которому производится усреднение.

2. Дробно-дифференциальные уравнения содержат мало подгоночных параметров, что с одной стороны обуславливает возникновение сложностей при описании экспериментально наблюдаемых характеристик переноса, с другой стороны снижает степень произвола в интерпретации экспериментальных данных.

3. Перечислим преимущества дробно-дифференциального описания. Уравнения ДП с производными дробного порядка и устойчивые законы:

• позволяют в рамках единого формализма описывать нормальный и.

ДП;

• дают возможность вероятностной интерпретации процессов аномального переноса;

Глава 5. Ограничения применимости и недостатки.

• раскрывают причины универсальных свойств ДП в различающихся по своей структуре полупроводниках;

• выделяют из всех возможных асимптотически автомодельные (самоподобные) решения;

• являются одинаковыми для различных механизмов переноса: прыжковой проводимости и многократного захвата — механизм определяет только функциональную зависимость параметров уравнения от внешних условий и микроскопической структуры полупроводника.

4. Для случая усечённых степенных распределений времён ожидания дробно-дифференциальные уравнения предсказывают переход от дисперсионного типа переноса к нормальному при увеличении толщины образца и/или уменьшении внешнего электрического поля. Режим ДП соответствует временам пролёта tr (т ~ параметр усечения), нормальный перенос — tx <С 7−1.

5. Усечение степенного распределения может быть вызвано вторичным механизмом, который действует на ряду с основным. Основной механизм переноса в отсутствие вторичного приводит к степенному распределению времён ожидания. В результате наложения вторичного механизма «тяжёлый хвост» распределения усекается.

В заключение сформулируем основные выводы диссертационной работы.

1. Из экспериментально установленных фактов (свойства универсальности кривых переходного тока и степенной зависимости времени пролёта от толщины образца) с необходимостью следует, что концентрации нерав-новеных носителей при ДП выражаются через устойчивые плотности и удовлетворяют диффузионно-дрейфовым уравнениям с производными дробного порядка.

2. Система дробно-дифференциальных уравнений, включающая в себя.

— диффузионно-дрейфовые уравнения униполярного ДП для концентраций локализованных и делокализованных носителей с учётом мономолекулярной рекомбинации и рекомбинации за счёт туннельных излучательных переходов;

— дробно-дифференциальные уравнения амбиполярного ДП;

— диффузионно-дрейфовые уравнения с распределённым дисперсионным параметром, для описания переноса в неоднородно неупорядоченных средах;

— уравнение для случая усечённых степенных распределений времён ожидания, может служить феноменологической основой для описания ДП в неупорядоченных полупроводниках.

3. Дробно-дифференциальный подход согласуется с теорией Шера и Монтролла и моделью многократного захвата, но при этом дробно-дифференциальная модель позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный и ДП. Устойчивая плотность потока вероятности при дисперсионном дрейфе доказывает справедливость гипотезы Шера и Монтролла о степенном распределении времён ожидания. В отличие от решений, полученных с помощью «основного уравнения ДП» Архипова-Руденко [23, 24], решения дробно-дифференциальных уравнений удовлетворяют принципу соответствия, т. е. при устремлении дисперсионного параметра, а к единице переходят в решения для нормального переноса, при этом сами уравнения переходят в классическое уравнение Фоккера-Планка.

4. При описании ДП в неупорядоченных полупроводниках на основе уравнений с дробными производными требуется меньше подгоночных параметров, чем в модели Шера-Монтролла и в модели многократного захвата Шмидлина-Нуланди-Тиджи. Уравнения с дробными производными точнее описывают кривые переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице, чем уравнение неравновесного переноса Архипова-Руденко.

5. С применением обобщённой предельной теоремы получены условия ДП:

— в случае многократного захвата ДП будет наблюдаться, если средний квадрат флуктуаций энергии локализованных состояний erf будет превышать среднюю энергетическую глубину залегания ловушек, умноженную на больцмановскую температуру кТ;

— в случае прыжковой проводимости перенос будет дисперсионным, если квадрат флуктуаций расстояния между ловушками превышает среднюю длину прыжка, умноженную на половину радиуса локализации волновой функции.

6. Для случая усечённых степенных распределений времён ожидания дробно-дифференциальные уравнения предсказывают переход от ДП к нормальному переносу при увеличении толщины образца и/или уменьшении внешнего электрического поля. ДП соответствует временам пролёта tx 7~1 (7 — параметр усечения), нормальный перенос — txС 7″ 1. Этот эффект наблюдается в некоторых органических полупроводниках (см. например [10]).

7. Если показатель степени в распределении времени пребывания носителей в ловушке может принимать одно из значений упорядоченного набора {ai, «2,., ат} (дискретный спектр), то на начальном временном участке поведение переходного тока определяется максимальным значением атйх = ат, а на конечном — минимальным значением C^min — Oil ф OiffiЭто объясняет различие дисперсионных параметров на начальном и конечном участках кривых переходного тока в некоторых неупорядоченных полупроводниках.

8. С помощью дробно-дифференциального уравнения многократного захвата с мономолекулярной рекомбинацией получены выражения для частотных зависимостей проводимости и диффузионной ёмкости полупроводникового диода при ДП. В случае, когда, а —> 1, выражения переходят в известные соотношения для диода на основе кристаллических полупроводников. На проводимость и диффузионную ёмкость в области высоких частот не влияют ни захват носителей на локализованные состояния в хвостах зон, ни рекомбинация носителей через глубокие центры.