Разработка математических и программных средств для исследования динамических процессов в нелинейных системах

Создание и применение в народном хозяйстве все более сложных промышленных динамических систем, рост интенсивности их использования и повышение требований к их надежности усиливают значимость задачи диагностирования состояния объектов. Такие объекты являются типичными в технологических машинах, функционирующих в различных режимах их эксплуатации. При исследовании, разработке и реализации процессов диагностирования одной из важнейших является проблема описания диагностируемой системы соответствующей математической моделью /3,5,27,45,42/, для успешного решения которой требуются априорные сведения.

Особую актуальность для установления причинно-следственных зависимостей между входной и выходной информацией приобретает развитие методов идентификации /36,37,22/, базирующихся на оценивании структуры и параметров математической модели диагностируемых объектов по экспериментальным данным.

Как известно, для построения математических моделей используются два основных подхода.

Первый основывается на применении физических законов для составления соотношений, связывающих переменные задачи (в основном, это дифференциальные или разностные уравнения).

Второй подход использует экспериментальные данные для построения модели.

Каждый из подходов имеет свои достоинства и недостатки, однако, при отсутствии априорных данных о структуре моделируемого объекта предпочтительней оказывается второй подход.

Общие проблемы получения математических моделей динамических систем рассмотрены в трудах Цыпкина Я. З. /59−61/,.

Красовского A.A., Эйкхоффа П. /62,56/, Сейджа Э. П., Мелса Дж.Л. /54/, Перельмана И. И. /40/, Гроп Д. /17/, Музыкина С. Н. /33−37/, Пулкова К. А. /42−50/, Капалина В. И. /22−26/ и др.

Проблема описания функционирования объектов в условиях априорной неопределенности на основе экспериментальных данных, которая является характерной в научных и производственных исследованиях, наиболее полно рассмотрена в работах Райбмана Н. С. /51−53/, Дейча A.M. /18,19/, Волгина Л. Н. /10−12/.

При проведении научных и производственных исследований значительное место занимает проблема построения математических моделей сложных непрерывных динамических объектов с целью изучения и описания особенностей и свойств, присущих этим объектам. Получение таких моделей преследует важные с гносеологической точки зрения цели /57,52,50/: выявление причинно-следственных связей между внешними воздействиями окружающей среды и изменениями свойств исследуемого объектаустановление качественного и количественного взаимоотношений между комплексом выявленных связей путем наблюдения серии подобных (однотипных) воздействий на объект, согласование полученных реакций с многочисленными систематически повторяющимися фактамивыделение ряда возможных различий в поведении изучаемого объекта, что, в конечном счете, позволяет осуществлять комплексное формирование и многоцелевое использование накопленной информации о функционировании объекта в многочисленных задачах, относящихся к производственно — исследовательской тематике.

При исследовании динамики сложных производственных систем следует учитывать, что характер их поведения подчиняется сложным нелинейным законам, а процессы, протекающие в них, очень часто оказываются случайными или трудно предсказуемыми. Очевидно, что классические приемы построения математических моделей таких объектов оказываются трудно применимыми, поскольку большая размерность решаемой задачи, принципиально различающиеся свойства изучаемых процессов не позволяют в полной мере использовать мощный аппарат теории дифференциальных уравнений для построения математических моделей надлежащей точности, тем более что априорная информация о структуре математической модели оказывается неполной или неточной, что, в свою очередь, порождает дополнительные сложности с решением второй важной задачи изучения динамики объекта — оценивания параметров в выбранной математической модели. То есть некорректное решение первой задачивыбора структуры математической модели естественным образом предопределяет неуспех решения всей задачи в целом. С другой стороны, процессы технической диагностики предполагают целенаправленный и соответствующим образом организованный сбор экспериментальных данных о функционировании исследуемого объёкта в различных режимах эксплуатации. Поэтому целесообразным оказывается эксплуатация такой математической модели объекта, которая исключала бы решение ненужных промежуточных задач и позволяла бы применять ее для различных режимов работы исследуемого объекта и для различных объектов. При этом процесс построения математической модели должен производиться предпочтительно только по экспериментальным данным и, что очень важно, структура модели должна быть универсальной для достаточно широкого класса технических объектов.

Таким образом, при решении задачи эффективной диагностики сложных технических объектов необходимо предложить и использовать математические модели, построение которых должно выполняться по экспериментальным данным на основе применения достаточно общих подходов.

В теории систем известен математический аппарат для решения задач построения математических моделей по экспериментальным данным /9/, основанный на применении аппарата функциональных рядов Вольтерра — Винера, позволяющий при корректно организованной обработке информации формировать универсальные математические модели технических систем широкого назначения. Структура таких моделей предопределяется структурой функционального ряда, а решение задачи идентификации заключается в определении динамических характеристик, являющихся по своей сути «коэффициентами» разложения реакции технической системы на произвольное входное воздействие.

Исходя из выше изложенного, сформулируем цель и задачи работы. Цель работы.

Обеспечение достоверного прогнозирования поведения нелинейных динамических систем на этапе их проектирования и испытаний.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи: построение математических моделей нелинейных систем с задаваемой точностью при тестировании специальными процессами, применительно к промышленным трансформаторам большой мощностиразработка программного обеспечения, реализующего расчеты математических моделей промышленных трансформаторов как для систем, заданных математическим описанием, так и для реальных систем.

Научная новизна заключается в разработке метода идентификации динамических характеристик промышленных трансформаторов,. как сложных нелинейных динамических систем на основе тестирующего воздействия специального видапостроении математической модели промышленного трансформатора большой мощности, учитывающей нелинейные функциональные связи между динамическими процессами, для повышения достоверности прогнозирования режимов работы оборудования. Практическая ценность.

Практическая ценность работы заключается в разработке средств, обеспечивающих достоверное прогнозирование поведения сложных нелинейных динамических систем на этапе их проектирования и в различных режимах эксплуатации, в том числе применительно к промышленным трансформаторам. Методы исследования.

В работе использован математический аппарат теории систем, функционального анализа, численных методов, методов оптимизации дифференциальных уравнений. Реализация работы.

Результаты работы были использованы на предприятии ОАО ХК «Электрозавод» для моделирования нелинейных динамических процессов в промышленных трансформаторах.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на заседании кафедры «Информационных технологий и вычислительных систем» МГТУ «Станкин», а также на научно-технических конференциях, в том числе: ¦ научнотехническая конференция «Математическое моделирование» (Москва, 2002) Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 3 работы.

В первой главе работы рассмотрены теоретические аспекты построения математических моделей динамических систем. Показано, что в условиях отсутствия информации о структуре математической модели системы наиболее перспективным математическим аппаратом является аппарат функциональных рядов Вольтерра — Винера.

Построение математической модели, реализующей внешнее математическое описание системы, состоит из нескольких этапов.

На первом из них проводится процедура идентификации, которая включает в себя организацию эксперимента с исследуемой системой, в ходе которого регистрируются входные воздействия и реакции системы (пассивный эксперимент), или регистрируются реакции системы на тестирующие воздействия специального вида (активный эксперимент).

На втором этапе производится собственно моделирование системы с помощью рассчитанного набора ядер функционалов, выступающих в качестве динамических характеристик системы.

Показано, что модель Вольтерра допускает использование детерминированных воздействий для идентификации ядер функционалов, причем в ряде случаев схема определения ядер Вольтерра оказывается предпочтительней по сравнению со схемой определения ядер функционалов Винера, хотя бы из упрощенных требований к аппаратной реализации экспериментальных исследований.

Для определения ядер функционалов Вольтерра необходимо проводить эксперименты с предъявлением последовательностей импульсных воздействий на вход системыв этом случае реакции совпадают со значениями соответствующих ядер.

Во второй главе рассмотрены теоретические положения, позволяющие определять динамические характеристики нелинейных динамических систем, с использованием функциональных рядов Вольтерра.

Приводятся теоретические сведения, позволяющие определять динамические характеристики как однородных, так и неоднородных систем любой степени нелинейности.

Приведены соотношения, позволяющие оптимизировать процесс определения динамических характеристик и сократить количество необходимых вычислений.

В третьей главе приведены алгоритмы, позволяющие производить все необходимые вычисления для определения динамических характеристик нелинейных однородных и неоднородных систем любой степени нелинейности. Рассмотрены экспериментальные исследования, позволяющие оценить правомочность применения предлагаемых во второй главе методов, на примерах эталонных моделей с известными динамическими характеристиками.

В четвертой главе описаны программные средства, реализующие алгоритмы методов, разработанных в третьей главе. Программные средства реализованы по модульному принципу, объединены в программный комплекс, но могут быть использованы по отдельности в других программных структурах как соответствующие.

11 подпрограммы. Программный комплекс оформлен как приложение Windows.

В пятой главе рассмотрено применение предлагаемых в работе методов к решению задачи об исследовании динамических процессов в промышленных трансформаторах напряжения. Построены нелинейные математические модели, учитывающие функциональные связи между процессами, происходящими при эксплуатации трансформаторов. В заключении приводятся основные выводы и результаты работы.

Выводы пятой главы.

1. Разработанный пакет прикладных программ обеспечивает эффективное определение динамических характеристик нелинейных динамических систем при детерминированных воздействиях.

2. Построение математических моделей с использованием экспериментальных данных дает более точный результат моделирования, чем использование аналитических моделей виде дифференциальных уравнений.

3. Определяемые динамические характеристики содержат сведения о нелинейных свойствах объектов.

4. Вычисление ядер старших порядков позволяет уменьшить ошибку идентификации систем за счет учета нелинейностей старших порядков.

Заключение

.

В диссертационной работе решена задача обеспечения достоверного прогнозирования поведения сложных нелинейных динамических систем на этапе проектирования и эксплуатации (в том числе применительно к промышленным электротрансформаторам большой мощности).

Для описания систем использован математический аппарат функциональных рядов, позволяющий по экспериментальным данным конструировать математические модели нелинейных динамических систем. Изучены особенности применения таких моделей для исследования систем различной сложности.

Разработаны методы решения поставленных в работе задач, обеспечивающих достижение цели: построение математических моделей нелинейных систем с задаваемой точностью при тестировании специальными процессами, применительно к промышленным трансформаторам большой мощностиразработка программного обеспечения, реализующего расчеты математических моделей промышленных трансформаторов как для систем, заданных математическим описанием, так и для реальных систем.

В качестве реальной функционирующей нелинейной динамической системы рассмотрен промышленный трансформатор большой мощности. Для построения динамических характеристик этого устройства были проведены серии экспериментов, позволяющие построить модель трансформатора по экспериментальным данным. Разработанное математическое и программное обеспечение позволяет исследовать математические модели нелинейных динамических систем и достоверно прогнозировать их работу в различных режимах на этапе проектирования и испытаний.

По результатам работы формулируются следующие выводы и рекомендации:

1. В результате выполнения работы решена задача обеспечения достоверного прогнозирования поведения промышленных трансформаторов большой мощности, как нелинейных динамических систем на основе построения их нелинейных динамических моделей в виде функциональных рядов Вольтерра, которые не требуют априорной информации о моделируемой системе.

2. Определяемые динамические характеристики содержат сведения о нелинейных свойствах объектов.

3. Разработанный пакет прикладных программ обеспечивает построение динамических моделей нелинейных систем в режиме реального времени.

4. Использование математического и программного обеспечения, предлагаемого в работе, в полной мере обеспечивает эффективные процедуры идентификации и моделирования только при наличии современного аппаратного обеспечения, обеспечивающего передачу, фиксирование и обработку информации.

5. Математическое и программное обеспечение целесообразно использовать на этапе проектирования и испытаний новых образцов дорогостоящего промышленного оборудования, с целью эффективного исследования их поведения в различных режимах работы.