Краевые задачи о контакте упругих тел разных размерностей

С каждым годом наблюдается возрождение интереса к теории упругости, как в отношении физических основ, так и в отношении математической теории. Объектом исследования данной теории являются математические модели, описывающие многие реальные физические явления. С помощью таких моделей можно описать широкий класс процессов деформирования твердых тел. Моделирование процессов в виде краевых задач не только быстро находит приложение на практике, но и нередко бывает вызвано требованиями науки и техники на текущий момент. Возникающие при этом математические задачи оказываются весьма интересными и актуальными.

Среди математических задач механики деформируемого твердого тела важное место занимают контактные задачи со свободной границей. В этом случае область контакта заранее неизвестна и определяется в процессе самого решения. Задачи с неизвестной областью контакта, как правило, нелинейные. Они привлекают в настоящее время все большее внимание математиков — как специалистов по уравнениям с частными производными, так и специалистов по вычислительной математике.

В данной диссертационной работе изучаются краевые задачи в областях с негладкими границами, описывающие контакт двух упругих тел разных размерностей и проблему жестких включений. Это новый класс задач механики деформируемого твердого тела в приложении к теории упругости. Основная трудность в задачах определяется наличием ограничений типа неравенств, налагаемых на решения. Ограничения носят геометрический характер и являются условиями взаимного непроникания упругих тел. Следовательно, краевые условия на негладких компонентах границы будут иметь вид системы уравнений и неравенств. Учет включений при контакте упругих тел разных размерностей приводит к новым постановкам задач, существенно отличных от постановок классических контактных задач теории упругости. Несмотря на своеобразие указанных задач, они по своей физической природе и структуре описывающих их уравнений и краевых условий родственны классическим контактным задачам (задачам типа Синьорини).

Исследования в области контактных задач теории упругости начаты в классических работах Г. Герца. В 1882 г. Г. Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривленными поверхностями. Он располагал лишь формулами теории потенциала для одного эллипсоида, представляющими собой простейшие решения задач теории потенциала и теории интегральных уравнений. Основополагающими работами по контактным задачам считаются также работы Я. Буссинеска, С. А. Чаплыгина и др. Из-за отсутствия необходимой математической базы развитие контактных задач в последующие 40 — 50 лет заключалось, в основном, в экспериментальной проверке теории и развитии ее применений в инженерном деле (следует отметить работы А. Н. Динника, Н. М. Беляева и др.). Весьма эффективными оказались методы теории функций комплексного переменного, развитые Н.И. Мусхели-швили и его учениками начиная с 30-х годов прошлого века [47]. Эти методы решения задач теории упругости базирующиеся на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений, построены в работах [7], [8], [11], [46], [47]. Следует также отметить математический аппарат, созданный академиком A.M. Ляпуновым и используемый для решения ряда контактных задач, в частности, в работе И. Я. Штаермана [80]. Применение методов теории функций комплексного переменного в плоских контактных задачах можно найти в [10], [16], [46] и др. Теория пространственных контактных задач была развита в [10], [41], [80] и др.

С середины XX века развитие механики контактных взаимодействий шло стремительными темпами. В 1976 г. вышла обзорная монография «Развитие контактных задач в СССР» под редакцией JI.A. Галина [60]. В этой монографии! собраны сведения и решения более чем из 1000 источников. В ней указаны такие направления развития теории контактных взаимодействий как статические и динамические, плоские и пространственные. Здесь приводятся сведения, относящиеся к смешанным задачам теории функций комплексной переменной, сингулярным интегральным уравнениям. Есть разделы, посвященные методу Винера — Хопфа, парным интегральным уравнениям, методу интегральных уравнений, а также асимптотическому методу. Вышеуказанные методы решения контактных задач широко используются для исследования краевых задач в классической постановке с граничными условиями в виде равенств на зоне контакта. Однако при рассмотрении многих практических задач точность решения, полученного в рамках таких моделей, является недостаточной. В 2001 г. вышла обзорная книга «Механика контактных взаимодействий», призванная подытожить полученные за прошедшие после выхода книги [60] годы многочисленные публикации. Эта область исследований получила дальнейшее развитие, а область ее практических приложений значительно расширилась. В книге приведено множество современных методов решения контактных задач. В частности, в рамках диссертации отметим статью [30], где дается краткий обзор исследований по вариационным методам решения задач о контакте деформируемых тел. Рассматривается задача о контакте линейно упругих тел, задача о контакте системы деформируемых тел, геометрически нелинейные контактные задачи.

Довольно большой круг контактных задач образуют задачи с неизвестной областью контакта. Значительное продвижение в исследовании контактных задач с неизвестной областью контакта произошло в связи со становлением и развитием теории вариационных неравенств. Вариационный подход (см. [6], [9], [45], [61], [69]), используемый для описания контактного взаимодействия упругих тел с неизвестной областью контакта, оказался очень эффективным. Такая постановка задачи учитывает возможный отход пластины от жесткого или упругого тела и позволяет исследовать вопросы существования и единственности. Большая часть работ по контактным задачам с неизвестной областью контакта посвящена взаимодействию тел, обладающих линейноупругими, иногда нелинейно — упругими свойствами (см. [35], [69], [70], [74], [92] и др.).

Впервые задача о равновесии упругого тела с односторонними ограничениями была рассмотрена в работе А. Синьорини в 1933 году. Вторично и с большей полнотой А. Синьорини изложил свои результаты в 1959 году в работе [102]. Исследованная им задача состоит в определении напряженно — деформированного состояния линейно упругого тела ?7, контактирующего с жесткой поверхностью, когда (при использовании вариационного подхода) на кинематически возможные состояния v накладывается дополнительное ограничение в форме неравенства.

W < 0 на дП, (1) где dfl — граница тела О, и — единичная внешняя нормаль к д£1. Задача Синьорини сводится к минимизации функционала упругой энергии на выпуклом замкнутом множестве полей перемещений, удовлетворяющих геометрическому ограничению (1) в области возможного контакта. Результаты А. Синьорини были обобщены в различных направлениях в ряде работ Ж.-Л. Лионса, Ж. Дюво, Г. Фикеры, Г. Левиобзор этих работ и результатов дан в книге Г. Фикеры (1974) [69]. Отметим, что свойства решений этой задачи впервые исследованы в работе Г. Фикеры (1964), стимулировавшей исследования широкого класса контактных задач с неизвестной областью контакта. Изучение задач со свободной границей, связанных с вариационными неравенствами, было начато в работе [97]. Наиболее весомый вклад в разработку метода вариационных неравенств как некоторой новой проблемы с позиций функционального анализа и теории уравнений с частными производными был внесен Г. Стампаккьей (см. [103], [18]). Весомые результаты получены также Ж.-Л. Лионсом и его учениками (см. [15], [37] - [40]). В вышеуказанных работах в основном рассматриваются традиционные задачи типа Синьорини. В тоже время в этих работах почти не нашли отражения вопросы, связанные с изучением новых классов физических и механических задач, например, задач о контакте деформируемых тел. С другой стороны, цикл упомянутых выше работ связан с анализом идеализированных моделей.

Впоследствии развитию теории и методов решения конкретных задач были посвящены работы многих исследователей, как зарубежных, так и отечественных. Среди них работы: А. С. Кравчука, L.A. Caffarelli, Г. И. Львова, A.M. Хлуднева, И. Главачека, В. Schild, G. Dal Maso, К. Байокки, П. Пана-гиотопулоса, А. Фридмана, В. М. Садовского, J. Sokolowski, В. А. Ковтуненко и др.(см. [1], [12], [27] - [35], [42], [58], [62], [70], [71], [73], [74], [83] - [85], [92], [101]). Численные методы решения многих задач, формулируемых с помощью вариационных неравенств, предложены Р. Гловински, Ж.-Л. Лион-сом, Р. Тремольером, Н. В. Ваничуком, В. А. Ковтуненко, П. Н. Вабищевичем,.

А.С. Кравчуком и др.(см. [2], [3], [13], [19] - [22], [31], [33]).

Обобщающее изложение работ, посвященных анализу современных уточненных схем физико — математических процессов в деформируемых телах, выполнены, в основном, у нас в стране — А. С. Кравчуком, Г. Львовым, A.M. Хлудневым и др. Впервые в отечественной механике теория вариационных неравенств к теории упругости применено в работе [29], где рассматривается вариационная теория контакта жесткого штампа и нелинейно-упругого тела. Задачи о контакте линейного упругого тела с упругими и жесткими телами исследуются также в работах [42], [74], [92]. Отметим также работу [12], где рассматривается упрощенный контакт двух гладких упругих тел и изучается ее приближенное решение.

Сведение задачи к вариационной постановке обычно вызвано тем, что краевые условия являются нелинейными. Примеры вариационных задач, эквивалентных краевым, и их физическую интерпретацию можно найти, например, в [1], [15], [27], [69], [92], [100].

Вариационный подход позволяет снять ограничения гладкости искомого решения (рассматривается так называемое обобщенное или слабое решение). Поскольку решение понимается в слабом смысле, встают проблемы регулярности, т. е. исследование гладкости такого решения. Стоить отметить при этом, что эти проблемы для вариационных неравенств отличаются от аналогичных проблем в теории граничных задач. Как известно, в линейной теории эллиптических задач имеет место следующая ситуация: чем более гладкими предполагаются данные задачи, тем более гладким является решение. В вариационных неравенствах гладкость решения зависит, кроме того, от характера выпуклых ограничений. Отметим работы [59], [67], [68], [70], [73], [74], [83], [84], [86], [90], [91], [97], где основной результат состоит в доказательстве регулярности решения и исследовании качественных свойств.

В данной диссертационной работе рассматривается модель КирхгофаЛява для пластин. Отличительной особенностью общих зависимостей, относящихся к таким пластинам, является сведение уравнений трехмерной задачи теории упругости к уравнениям для двух измерений. При этом координатную систему естественно связывать со срединной поверхностью пластины. Для модели пластины Кирхгофа-Лява неизвестной функцией является вертикальное перемещение (прогиб) точек срединной поверхности пластины. Будем считать, что мы исследуем однослойные пластины из неоднородного анизотропного материала которые являются упругими и подчиняются линейному уравнению состояния. Равновесие таких пластин описывается эллиптическим уравнением четвертого порядка, и которое выполнено в области с разрезом.

Односторонние задачи о контакте упругой пластины с жестким препятствием были проанализированы в работах L.A. Caffarelli, A.M. Хлуднева, G. Dal Maso, В. Schild (см. [73], [74], [83] - [85], [92], [101]). В частности, двусторонние ограничения рассмотрены в статье L.A. Caffarelli с соавторами [84], тонкое жесткое препятствие для пластин — в работе В. Schild [101]. Теория вариационных неравенств высокого порядка впервые рассмотрена в статье [83]'. В [83], [85] рассмотрен случай препятствия, заданного во всей области.

Задачи об одностороннем контакте двух упругих тел рассмотрены в [71], [74], [92]. А именно, исследованы как двумерные и трехмерные контактные задачи (задачи о контакте пластин и оболочек). Примеры, относящиеся к задачам о контакте пластин и оболочек, приведены в [14], где имеется также обширная библиография.

Задачи о контакте двух упругих пластин расположенных под заданным углом, впервые рассмотрены в работах [76], [94], [95]. В [76] исследованы две модели. В первой модели предполагается, что нижняя пластина деформируется в своей плоскости, а в задаче для второй модели считается, что она подвергается лишь изгибу. При этом уравнение равновесия верхней пластины задается в области с разрезом. Приводятся различные формулировки задач и доказывается их эквивалентность. Найдена совокупность краевых условий на возможном множестве контакта и описан характер их выполнения. Исследованы асимптотические свойства решений при стремлении параметров жесткости контактирующих тел к бесконечности. В работе [94] рассмотрены односторонние контактные задачи для перпендикулярных пластин. В работе [79] анализируется задача о контакте однородной изотропной упругой пластины и упругой балки, где балка играет роль тонкого упругого препятствия для пластины. Найдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта и их точная формулировка. Обоснована также смешанная формулировка и проанализированы предельные случаи, соответствующие возрастанию до бесконечности коэффициентов упругости контактирующих тел. Все эти задачи относятся классу задач о контакте упругих тел разных размерностей с неизвестной областью контакта.

Систематические исследования контактных задач для упругих тел с жестким включением, особенностью которых является полный набор краевых условий виде системы равенств и неравенств, выполняющихся на множестве возможного контакта, и соотношение, описывающее воздействие внешних сил на жесткую часть пластины, не проводились. Жесткое включение исследовано в работах [72], [96], а именно, в задаче о равновесии тонкой упругой пластины, содержащей трещину. Задачи о равновесии упругих и неупругих тел, содержащих трещины, также можно отнести к классу контактных задач, если на берегах трещины заданы краевые условия взаимного непроникания берегов в виде системы равенств и неравенств.

Краевые задачи, рассматриваемые в теории трещин, характеризуются наличием негладких границ. Как правило, трещина моделируется одномерным или двумерным разрезом, на берегах которого необходимо задавать краевые условия. Традиционный подход в теории трещин предполагает задание на берегах разреза линейных краевых условий в виде равенств, что приводит к линейным краевым задачам. Известно, что получаемые при этом решения соответствующих краевых задач могут приводить к физическим противоречиям. Именно, вектор перемещений при этом таков, что, лежащие на противоположных берегах трещины точки, проникают друг в друга. С точки зрения приложений более точным является подход, при котором на берегах разреза выполняются так называемые условия непроникания. Эти условия имеют вид неравенств, pi при их выполнении решение соответствующей краевой задачи не приводит к физическим противоречиям. Получаемые при этом краевые задачи становятся нелинейными. Математическая теория трещин, связанная с условиями непроникания берегов, берет свое начало в работах A.M. Хлуднева, исследовавшего с теоретической точки зрения краевые задачи с условиями в виде системы равенств и неравенств на негладких компонентах границы области. В монографии [93] представлены самые разные задачи о равновесии упругих и неупругих тел с трещинами с краевыми условиями взаимного непроникания берегов.

Таким образом, к необходимости анализа математических моделей в негладких областях приводят физические задачи с трещинами и разрезами. В контактных задачах, несмотря на то, что решение вариационной задачи находится в гладкой области, дифференциальная постановка задачи формулируется в негладкой области с разрезом.

Задачи о контакте упругих тел разных размерностей имеют некоторую аналогию с краевыми задачами теории трещин, а именно: уравнение равновесия для одного из тел формулируется в области с разрезом, а краевые условия на берегах разреза имеют вид системы равенств и неравенств. Обе задачи в целом относятся к классу задач со свободой границей. При формулировке задач этого класса, приходится иметь дело с негладкими областями, содержащими разрезы (трещины). Однако, характер и природа краевых условий в контактных задачах и краевых условий, рассматриваемых в теории трещин, различны.

Общие методы исследования линейных эллиптических краевых задач в негладких областях исследуются в монографиях [23], [48], [88], [89]. Вопросы гладкости обобщенного решения задачи Дирихле в граничных точках области изучались для бигармонического уравнения в работах [23] - [26].

Различные прикладные аспекты задач теории трещин и контактных задач с линейными краевыми условиями можно увидеть [27]. Выявление жестких включений или отверстий в упругом теле можно найти [98], [99].

Для исследования применяются фундаментальные результаты и методы теории дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, выпуклого анализа и вариационного исчисления. С пространствам! Соболева и обобщенными функциями можно ознакомиться в книгах [1], [43], [63], [64], [88]. Теоремы о следах функций на границе имеются в [88]. По поводу вариационных задач и различных вопросов минимизации функционалов можно обратиться к монографиям [4], [5], [81]. Понятия рефлексивности функциональных пространств, слабой сходимости, слабой замкнутости подробно обсуждаются [17]. Обоснование формул Грина, используемых в теории упругости, имеются в монографиях [66], [89], [93].

Описание работы. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 86 страниц. Список цитируемой литературы включает 103 наименования. Основные результаты диссертации отражены в 9 публикациях. Общее количество иллюстраций в работе 4. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — номер пункта, третье — номер формулы в пункте.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Диссертация посвящена изучению нового класса задач о контакте упругих тел разных размерностей и проблемы жестких включений в контактных задачах.

Под контактным в узком смысле этого слова подразумеваются задачи, в которых присутствуют ограничения в виде неравенств, порождаемых зависимостью области контакта от внешних воздействий и наличием заранее неизвестной области контакта. Задачи с неизвестной областью контакта, как правило, нелинейные. В рамках данной диссертации исследованы современные нелинейные модели, описывающие процесс в деформируемых телах. Основная область применения полученных результатов — краевые задачи для уравнений математической физики. Полученные результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач механики деформируемого твердого тела в приложении теории упругости. Результаты также могут быть использованы при дальнейшем аналитическом и численном анализе контактных задач с неизвестной областью контакта для тел разных размерностей.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

— установлена разрешимость задачи о контакте упругой пластины с тонкой упругой балкойнайдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта и их точная формулировкаобоснована смешанная формулировка рассматриваемой задачи;

— исследован предельный переход от упругого включения к жесткому в задаче об одностороннем контакте двух упругих пластинпоказано, что предельные задачи в точности описывают контакт упругой пластины с жесткой балкой и задачу о равновесии упругой пластины с жестким включениемустановлена разрешимость задач, найдены краевые условия, выполненные на возможном множестве контакта, и дано полное описание характера их выполнения;

— установлена разрешимость задач об одностороннем контакте упругих пластин с жесткими включенияминайдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта, и соотношения, описывающие влияние внешних сил, действующих на жесткую часть пластиныдоказана эквивалентность двух постановокдоказано, что задачи являются предельными для семейства задач с упругими включениями при стремлении параметра жесткости к бесконечности.