Задачи с пограничными и внутренними слоями для сингулярно возмущенных уравнений в частных производных первого порядка

В последние десятилетия ведется активное исследование сингулярно возмущенных задач асимптотическими методами. Это вызвано потребностями физики, химии, биологии и других наук, с одной стороны, и с внутренними потребностями развития нелинейной теории дифференциальных уравнений с другой. После основополагающих работ академика А. Н. Тихонова ([41],[42],[43]) и последовавших за ними работ A.B. Васильевой ([14]) сингулярно возмущенные задачи интенсивно изучаются. В разное время асимптотическими и численными методами, позволяющими строить приближенное решение в тех или иных сингулярно возмущенных задачах занимались Бабич В. М., Булдырев B.C. [1], Бахвалов Н. С. [2], [3], Панасенко Г. П. [3], Боглаев Ю. П. [4], Боголюбов H.H. [5], [26], Митропольский Ю. А. [5], [31], Ван-Дайк М. [13], Васильева А. Б. [15]-[17], Бутузов В. Ф. [6]-[12], [15]-[17], Люстерник JI.A., Вишик М. И. [19], Волосов В. М., Моргунов Б. И. [20], Дулан О., Миллер Дж., Милдерс У. [22], Ильин A.M. [23], [24], Коул Дж. [25], Крылов Н. М. [26], Ломов С. А. [29] Мас-лов В.П. [30], Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. [32], Моисеев H.H. [33], Найфе А. Х. [35], Нефедов H.H. [9]-[11], [36], Федорюк М. В. [46], Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. [47], Lebovitz N.R., Schaar R.J. [27], [28], O’Malley R.E. [38], Scheider K.R. [9]-[ll], [36], Smith D.R. [40], Чанг К., Хауэс Ф. [48] и другие.

В рамках научного направления, основанного академиком А. Н. Тихоновым, в последние годы ставится и решается ряд задач, связанных с построением асимптотик решений методом пограничных функций, и в частности, рассматриваются задачи, где нарушаются условия теоремы А. Н. Тихонова об изолированности корня вырож-деного уравнения.

В качестве примера первого типа задач можно указать, например, систему двух уравнений из статьи [8], в одном из которых малый параметр г входит множителем при производной по времени, а в другом по пространственной переменной. При некоторых условиях в указаной работе была простроена асимптотика произвольного порядка, содержащая наряду с регулярной частью, два типа пограничных функций. Другим примером может служить задача из статьи [50], асимптотика решения которой обладает рядом особенностей, в частности, главный член регулярной части асимптотики описывается уравнением, отличным от вырожденного.

Проблема, связанная с задачами второго типа, состоит в том, что не выполнено одно из требований теоремы А. Н. Тихонова. Поясним это на примере начальной задачи в скалярном случае: du = F (u, t, e), 0.

Пусть корни вырожденного уравнения.

F (u, t, 0) = 0 (0.2) неизолированы, например, корней два (u — (pi (t) и и = ^{р))-, и графики их пересекаются в во внутренней точке рассматриваемого отрезка [0, Т]. Кроме того, пусть по прохождении точки пересечения корней они меняются ролями в отношении устойчивости (происходит смена знака производной Fu, взятой на каждом из корней, или, как говорят, происходит смена устойчивости). Возникает вопрос: как будет вести себя решение нашей задачи при е —> 0? В работах [27], [28] а затем в работе [36] для тихоновской системы доказана при определенных условиях теорема о предельном переходе при е —> 0 от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи, которое строится с использованием устойчивого составного (вообще говоря, негладкого) корня вырожденного уравнения. Для доказательства существования решения и предельного перехода в работе [36] был применен метод дифференциальных неравенств. В последующие годы этот метод использовался для целого ряда других сингулярно возмущеннных задач, в том числе задач со сменой устойчивости.

В последнее время возник еще один подход к исследованию уравнений с малым параметром при производной в случае пересечения корней вырожденного уравнения. Суть его состоит в том, что вместо негладкого составного корня берется гладкий корень так называемого регуляризованного вырожденного уравнения, имеющего для задачи (0.1) вид.

Г (и, 0) + 0) = 0 (0.3).

Если функция Р£ такова, что уравнение (0.3) имеет решение (гладкое, в отличие от составного устойчивого корня уравнения (0.2)), то его можно использовать в качестве нулевого приближения решения задачи. Такой подход был предложен в статьях [6], [7].

Целью работы является исследование асимптотического поведения решений ряда сингулярно возмущенных задач для уравнений в частных производных первого порядка, в том числе задач с разномасштабными пограничными слоями и задач с внутренними слоями, обусловленными пересечением корней вырожденного уравнения.

Уравнения, изучаемые нами, относятся к классу гиперболических. Примером гиперболических уравнений, встречающихся в физике, могут служить телеграфные уравнения.

Ы &bdquo-дУ &bdquo-лг дУ Тд1 С— + С? У, -— = Ь- + Ш, (0.4) дх дЬ дх дЬ которые описывают распространение электрических импульсов в проводах [45], [16]. Здесь I и V — ток и напряжение между проводом и землей, С, Ь, 6?, Я — физические параметры: емкость, индуктивность, утечка и сопротивление. Заменой переменных I = у/С (и+у), V = /Х (—и + у) система (0.4) сводится к линейной однородной системе [16] ди 1 ди СЬ + ЛС вЬ-КС.

— - — ==—П! | -01 дЬ у/ЬСдх 2 ЬС 2 ЬС ' ((лкЛ ду 1 ду вЬ-ЯС ОЬ + ДС.

— (———П! — -Ц ы у/ЬСдх 2 ЬС 2 ЬС.

Как показано в [16], система (0.5) будет содержать малый параметр е при производных функций и и у по? и ж, когда е > 0 войдет определенным образом в вид коэффициентов правых частей, наприт д мер, так: К = - и й =? ?

В диссертации к рассматриваемым задачам применяется метод пограничных функций теории сингулярных возмущенийиспользуются методы и результаты теории уравнений с частными производными, теории интегральных уравненийдля доказательства теорем существования применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств.

В работе получены новые результаты об асимптотическом поведении решений ряда задач для сингулярно возмущенных уравнений и систем в частных производных первого порядка, в частности, некоторых задач в случае смены устойчивости. Среди них следует выделить начальную задачу из § 3 гл. 2, где рассмотрен случай (не имеющий аналога для ОДУ), когда линия пересечения корней вырожденного уравнения выходит на начальный отрезок.

Диссертация посвящена изучению сингулярно возмущенных уравнений и систем уравнений в частных производных первого порядка, решения которых обладают пограничными и внутренними слоями.

В первой главе построена асимптотика решения системы двух уравнений в частных производных первого порядка, содержащих различные степени малого параметра е > 0 при производных:

9ди. .ди ч гГ— + ?Ь1(х) — == ац (®,*)и + а12(а?,*)г7 + /1(я-1^е), ду п7. .ду. е— +? = агцж, ¿-)гг + а22(ж, + /2(ж, е).

Система решается в области С = (0 < ж < Х) х (0 < t < Т) с начально-краевыми условиями и.

-= и = V = у г=о х~0 ?=0 0. х=0.

Особенностями асимптотики решения этой задачи являются четыре типа обыкновенных и три типа угловых пограничных функций с разными масштабами растянутых переменных. Установлено, что стандартный процесс построения асимптотики прерывается на пятом шаге. Для получения оценки остаточного члена порядка 0(е5) вводится модифицированная угловая пограничная функция. В целом задача решается путем применения известных погранслойных методов, а при доказательстве оценки остаточного члена используется принцип максимума.

Первый параграф начинается с постановки задачи и формулировки условий, достаточных для существования классического решения и построения асимптотики до четвертого порядка включительно.

Во втором параграфе приводится вид асимптотики решения задачи, включающей регулярную и погранслойные части, и строятся ее главные члены.

В третьем параграфе построение асимптотики завершается. Здесь наряду с постановками задач для пограничных функций и получением решений этих задач мы приводим доказательство некоторых соотношений (Лемма 1.1), связывающих пограничные функции, с тем, чтобы использовать их при проверке условий согласования краевых данных. Для утверждения об экспоненциальных оценках угловых пограничных функций также потребовалось особое доказательство (Лемма 1.2).

В четвертом параграфе доказана теорема об остаточном члене, дающая обоснование построенного разложения.

Вторая глава посвящена рассмотрению трех задач Коши в случае смены устойчивости.

В первом параграфе дается определение нижнего и верхнего решений скалярной начальной задачи, формулируется и доказывается теорема о дифференциальных неравенствах для уравнений в частных производных первого порядка. Пусть рассматривается уравнение =/(«,*, *,<0, (0.6) с начальным условием и (х, 0, е) = 0 < х < 1, (0.7) е > 0, г > 0. Решение ищется в области.

В = {(ж, Ь): х0(Ь) < ж < Ж1СО, 0 (0−8) где х = жо (£) и х = - характеристики, выходящие соответствен.

Их, но из точек (0,0) и (1,0) и определяемые уравнением — = Л (ж,?).

И>Ь считаем, что Л (ж, ?) — гладкая функция и все характеристики, выходящие из точек начального отрезка {? = 0, 0 < х < 1} существуют при 0 <Т).

Определение 2.1. Функции Щж, е) и е) называются нижним и верхним решениями задачи (0.6), (0.7), если выполнены неравенства.

1°. Ьеи = ег 0= + - /(?/>,*, е) < 0 < Ье (Ц), (я,*) е Я;

2°. Щж, 0, е) < и°(ж) <�Щх, 0, е), 0 < х < 1. Нижнее и верхнее решения называются упорядоченными, если и (х, е) < и (х, е), (ж, €.

Доказывается следующее утверждение:

Теорема 2.1. Если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения Ц и и задачи (0.6), (0.7), то эта задача имеет решение и (х^, е), удовлетворяющее неравенствам е) < и (х^, е) < 6.

Во втором параграфе изучается задача ди.. ч ди, ^йИ) =/(«>*>*,?), (0.9) и (х, 0, е) = 0 < ж < 1. (0.10).

Решение задачи (0.9), (0.10) ищется в области вида (0.8). Основное условие, накладываемое на входные данные задачи, таково:

Условие ??2- Пусть уравнение и, х, г, 0) = 0 (0.11) имеет относительно и два корня и = </?х (ж,?), и = </?2(ж,£), удовлетворяющих соотношениям.

Р1(х,{) = <�р2{х^) при Ь = 'ф{х)1 где ф{х) — гладкая функция, 0 < ф (х) < Т;

Р1 (&,-?) > 1р2(х^) при 0 < ^ С (рг (х, ?) < <�Р2(Х1 ПРИ, ф{х)<1<�Т.

И пусть и (<�Р1(ж, ж, 0) < 0 /и{(р2{х, ?), х, 0) > 0 при 0 < Ь < ф (х), /и ((Р1(х, г), х, г, о)>о ?и (ср2(х, г):х^, о) < о при ф (х)<�г<�т.

С использованием корней и определяется составной устойчивый корень вырожденного уравнения (0.11):

Вблизи начального отрезка разложение ищется в виде: и (х^е) = +П0(ж, т) + 0(е), (0.12) где й (х,€) — функция регулярной части асимптотики, По (ж, т) — пограничная функция, т = — погранслойная переменная. При Усло вии В2, а также при некоторых дополнительных условиях, в малой окрестности кривой t = ф (х) строятся нижнее и верхнее решения: и = й (х^)-Ле, V = й (х,?) + Ау/е, (0.13) постоянная, А выбирается достаточно большой.

В результате доказана следующая Теорема 2.2. Существует единственное решение и (х^, е) задачи (0.9), (0.10), удовлетворяющее предельному равенству й (хЛ) е->о 4 ' 4 ' для всех (х,£) Е И, кроме начального отрезка {? = 0, 0 < х < 1}.

Это утверждение основывается на теореме, которую можно доказать, исходя из представлений (0.12), (0.13): Теорема 2.3. При достаточно малых е задача (0.9), (0.10) имеет единственное решение и (х^, е), и для него справедливо асимптотическое представление и (х^, е) = й (ж,?) + По (ж^/е) + е), где остаточный член ги (х^,?) = 0(у/е) в 5 — окрестности кривой Ь = ф (х), и и)(х^, е) = 0(е) в остальной части области И. В третьем параграфе рассматривается уравнение с начальным условием (0.10), где р = 1 + д, (? > 0. Решение ищется в области В вида (0.8) при следующих требованиях.

Условие ?>1- Функция /(п, е) имеет вид и, х, г, е) = -к (х,?) (и — ^ОМ)) (и — (а,) + е/х (гг, ят, *, е),.

Условие Б2- Корни ц> и 2 уравнения (0.11) удовлетворяют соотношениям ^гОМ) при ж = ¦*/>(?), 0 < ^ < Т, где ф{Ь) — гладкая функция, ж0(£) < Ф{Ь) < ®1(?) при 0 <? < ТУ2ОМ) при Хо (Ь) <х <ф ({), 0 <? < Т;

ОМ) < у^ОМ) при < ® < 0 <? < Т.

Это условие означает, что графики корней вырожденного уравнения (0.11) пересекаются, но, в отличие от случая, рассмотренного в предыдущем параграфе, где проекция линии пересечения корней на плоскость (ж, ?) лежала целиком выше начального отрезка, в данном случае проекция Г линии пересечения корней выходит на начальный отрезок. Это приводит к тому, что классическая теория здесь не применима даже в малой окрестности начального отрезка. Вместо уравнения (0.11) рассматриваем регуляризованное вырожденное уравнение и, X, ?, 0) + Ж, ?, 0) = 0, которое в данном случае имеет вид.

0М) (и — </?х (#,-£)) (и — ОМ)) + е/1(и>^М, 0) = 0, (0.15) Условие £>з. х (й (ж, ?), х, ?, 0) > 0 при ОМ) е Г, где.

I ЫМ), ®-о (*) < ® < 0 <£<Ти (х о) —.

1 «ргОМ), < х < х^), о <£<т.

При этом условии уравнение (0.15) имеет два гладких корня <р и ср*, причем р*(х, е) = й (х, ?) — у/д (й (х^), х, г) • л/е + О (е), (ж, €) е г, где д (и, х,?) = /г" 1 (ж, г)/г (и, х, 0) — р (гМ, е) = + = г) + 0(у/ё), (х, е Г*, р (х^, е) =й (х,$ +0(е),<�р*(х^, е) = + О (е), (ж,£ где Г<$ - сколь угодно малая, но не зависящая от е, ¿-'-окрестность кривой Г,.

Условие и°(х) > й (ж, 0) при 0 < х < 1. Доказана.

Теорема 2.4. Если выполнены условия Их — то для достаточно малых е существует единственное решение и (х, е) задачи (0.14), (0.10) и для него имеет место асимптотическое представв котором остаточный член имеет следующие асимптотические оценки при? —> 0: е) = 0{ег7) в 8-окрестности кривой х — ф{£), где в качестве 7 можно взять любое число из интервала — < 7 < - + 0 — сколь угодно малое, но фиксированное при е —> 0 числои}(х^, е) = О (б) в остальной части области Бр (х,^е) = й (ж,?) + у/д (й (х,€), х, г) • у/ё+0(е), (ж,£) 6 Г х0&-) <�х<�ф (1), 0 < t < Т- (рг (х^), ф (1) < х < хг (&euro-), 0 <*<Т. ление.

1) если р = 1 + д < §, то.

2) если р > то 0(е) равномерно в области О. Фигурирующая в (0.16) пограничная функция По (ж, т, е) имеет оценки:

По (ж, -г, £г)| < Сехр (—ту/ет), х — жо| < т > 0, |По (ж, т, е)| < Сехр (—зет), — г > 0, где жо = «0(0), С, га, аэ — положительные числа.

В четвертом параграфе снова рассматривается случай, когда проекция линии пересечения корней уравнения (0.11) (корни обозначим <�р (х,{) и х (ж>^)) лежит выше начального отрезка, но поведение решения отличается от описанного в § 2. Установлены условия, при которых решение задачи (0.9), (0.10) притягивается к устойчивому корню и остается вблизи него не только в области ниже кривой Г, но и после прохождения этой кривой, где корень становится неустойчивым, и лишь спустя некоторый (конечный при е —> 0) промежуток времени (? — ф (х) > 8 > 0) происходит быстрый переход решения в окрестность корня устойчивого при? > ф (х). Доказана теорема о существовании и асимптотике этого решения.

В третьей главе мы переходим к исследованию сингулярно возмущенных систем уравнений в случае смены устойчивости.

В первом параграфе дается теорема о нижнем и верхнем решениях применительно к системе двух уравнений в частных производных первого порядка.

Во втором параграфе рассматривается система быстрого и медленного уравнений: + Л2(ж, ?) — = /(и, V, х, г, е) дЬ.

Эх с начальными условиями u (x, 0, e) = u°(x), v (x, 0, s) = v°(x) при 0 < х < 1. (0.18).

Пусть Ai > Л2. Область D имеет вид (0.8), где х = xq (t) и х = x (t) — характеристики, выходящие соответственно из точек.

0,0) и (1,0) и определяемые соответственно уравнениями dx Ai (x, t), г — 1, 2. Корни вырожденного уравнения.

Jul/ g (u, v, x, t, 0) = 0 (0.19) u — cpi (v, x, t) и u = if>2{v, x, t) пересекаются по некоторой поверхности, проекция которой в пространство (г>, ж,2) описывается уравнением v = S (x, t). Знак производной gu, взятой на каждом из корней, изменяется на противоположный при переходе через поверхность v = S (x, t). В связи с этим условием вводится составной устойчивый корень уравнения (0.19) 4 f v < S (x, t) p{v, x, t) = < (p2(v:x, t), v > S (x, t).

Этот корень подставляем во второе уравнение системы (0.17) при е = 0: dv dv + Л2(ж, t) — = f (ip (v, х, t), v, x, t, 0) (0.20).

Уравнение (0.20) решается с начальным условием v |i=o = которое подчиняем следующему требованию: г-0 (ж) < ?>(?, 0). Пусть решение v (x, t) этой задачи пересекает поверхность v = S (x, t) по кривой, проекция которой на плоскость (rr, i) представляет собой гладкую кривую t = ф (х), лежащую выше начального отрезка = о, 0 < х < 1}. Таким образом, мы получили решение вырожденной задачи: (u (x, t), v (x, t)), где u (x, t) = ip (v (x, t), x, t).

В результате доказывается следующая Теорема 3.2. При достаточно малых е задача (0.17), (0.18) имеет решение, и для него справедливо асимптотическое представление: где V > 0 — достаточно малое, не зависящее от е число.

Третий параграф посвящен анализу поведения решения системы двух быстрых уравнений: с начальными условиями (0.18), где р — какое-то число, удовлетворяющее неравенствам 1 < р < 2. Область Б определяется, как в.

Предполагаем, что уравнение д (и, у, х^, 0) = 0 имеет изолированный корень и = (¿-?(г>, ж, ?), который устойчив (ди (уэ (у:с,?), г>:Е,?, 0) < 0). После подстановки его во второе вырожденное уравнение системы получаем уравнение г (г>, ж, ?) = V, х, 0) = 0.

Корни последнего V = У{х^) и V = У2(х^) удовлетворяют условию.

У (х, Ь) > У2(х^) при 0 <? < ф (х): У (х, ?) < У2(х, €) при ф (х) < г < т, у (х, ?) = г?2(ж, ?) при t = ф (х), где t = ф{х) — гладкая кривая, не пересекающая начальный отрезок {* = 0,0 < х < 1}.

Составное устойчивое решение вырожденной системы имеет вид: й (х^) + По (ж,*/е) + 0{е), 0< г < Т. г)(ж, t, е) + О (е), 0 <? < ф (х) — и, у (х,^е) + 0(у/ё), ф{х) — V <Т,.

§ 2. й{х, ?) = ?), ж, ?).

Доказана.

Теорема 3.3. При достаточно малых е существует и единственно решение задачи (0.21), (0.18), и для него справедливо следующее асимптотическое представление: и (х, г, е) = й (х, + Р0и (х, 0) + ПоЦж, г) +? [р^Ця, 0)+ г=1 Ь.

2-р)г<1.

П^и (х, т) + Р2и{х, 0) + П2и (ж, г)] Wl (x, t,?), у{х, г, е) = у (х, *) + Р0у{х, в) +? И’Ч®, О) + г) 1 + г=1 I.

2-р)"<1 г7г (:Е, ?) + Р2п (х, в) + Щи (ж, т)] + и)2(х, е). t t.

Р? оценки, а где 0 — —, т = пограничные функции имеют экспоненциальные о (е) при 0 < t < ф (х) — S, Wi (x, t, e)=< 0(у/е) при ф{х) — S < t < ф (х) + 6, ^ 0(e) при ф{х) + 6 0 — сколь угодно малое, не зависящее от? число.

Основные результаты докладывались и обсуждались на пятнадцатых математических чтениях РГСУ (Руза, 2006 г.), на международной конференции «Тихонов и современная математика», посвященной 100-летию со дня рождения академика А. Н. Тихонова (Москва, 2006 г.), на 60-й юбилейной конференции ЮУрГУ (Челябинск, 2008 г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета (руководитель академик A.M. Ильин), на семинаре по асимптотическим методам кафедры математики физического факультета МГУ.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. Ф. Бутузову за постановку задач и помощь в работе.

1. Бабич В. М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. — М.: Наука, 1972.

2. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя//Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. 9. № 4. С. 841 859.

3. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

4. Боглаев Ю. П. О численных методах сингулярно возмущенных задач// Дифф. уравнения. 1985. 21. № 10 С. 1804 1806.

5. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

6. Бутузов В. Ф. Существование и асимптотическая устойчивость решения сингулярно возмущенной системы параболических уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравне-ния//Дифф. уравнения. 2006. 42. № 2. С. 221−232.

7. Бутузов В. Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения//Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2006. 46. № 3. С. 433−444.

8. Бутузов В. Ф., Каращук А. Ф. Об одной сингулярно возмущенной системе уравнений в частных производных первого поряд-ка//Матем. заметки. 1995. 57. № 3. С. 338−349.

9. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider? Т.Д. (1998) Singularly perturbed boundary value problems for systems of Tikhonov’s type in case of exchange of stabilities //WeierstrafiInstitut fiir Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, Preprint No. 408.

10. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R.{2000) Singularly perturbed partly dissipative reaction-diffusion systems in case of exchange of stabilities //WeierstrafiInstitut fiir Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, Preprint No. 572.

11. Бутузов В. Ф., Нефедов H.H., Шнайдер К.P. Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости//Итоги науки и техники. Сер. Соврем, матем. и ее прилож. Тематические обзоры. 109. Дифференц. уравнения. Сингулярные возмущения. М.: ВИНИТИ. 2002.

12. Бутузов В. Ф., Терентьев М. А. О системах сингулярно возмущенных уравнений в случае пересечения корней вырожденного системы//Вычисл. матем. и матем. физ. 2002. 42. № 11. С. 16 861 699.

13. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.

14. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной//УМН. 1963. 18. № 3. С. 15−86.

15. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. — 272 с.

16. Васильева A.B., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. 208 с.

17. Васильева A.B., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978. -106 с.

18. Васильева А. Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 160 с.

19. Вышик М. И., Люстерник JI.A. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром// УМН. 1957. 12. № 5. С. 3 122. '.

20. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Методы осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971.

21. Гудков В. В., Клоков Ю. А., Ленин А. Я., Пономарев В. Д. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне, 1973. — 135 с.

22. Дулан Э.- Миллер Дж., Милдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

23. Ильин А. М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной//Матем. заметки. 1969. 6. № 2. С. 237 248.

24. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

25. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.

26. Крылов Н. М., Боголюбов H.H.

Введение

в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

27. Lebovitz N.R., Schaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous system// Stud. Appl. Math. 54(3), 229−260(1975).

28. Lebovitz N.R., Schaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous system II. Vertical bifurcation// Stud. Appl. Math. 56, 1−50(1977).

29. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений М.: Наука, 1981.

30. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

31. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971.

32. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

33. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1981.

34. Найфэ А. Х. Методы возмущений. М. Мир, 1976.

35. Найфэ А. Х.

Введение

в методы возмущений. М. Мир, 1984.

36. Nefedov N.N., Schneider K.R.(1995) Singularly perturbed systems: Case of exchange of stability//'WeierstrafiInstitut fur Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, Preprint No. 158.

37. Олейиик O.A. Лекции об уравениях с частными производными. Часть 1.-М.: Изд-во МГУ, 1976. 112 с.

38. O’Malley R.E. Introduction to Singular Perturbation. Academic Press, N.J., 1983.

39. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. — 400 с.

40. Smith D. R. Singular-Perturbation Theory. An Introduction with Applications уравнений. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985.

41. Тихонов A.H. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра//Матем. сб. 1948. 22(64), № 2. С. 193−204.

42. Тихонов А.Н.О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры//Матем. сб. 1950. 27(69). № 1. С. 147−156.

43. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры//Матем. сб. 1952. 31(73). № 3. С. 575 586.

44. Тихонов A.B., Васильева A.B., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998. — 232 с.

45. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. — 736 с.

46. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

47. Фещенко С. Ф., Шкиль H.H., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. -Киев: Наукова думка, 1966.

48. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. М.: Мир, 1988.

49. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостеориздат, 1950.

50. Бутузов В. Ф., Деркунова Е. А. Асимптотика решения уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепла в тонком стержне //Журнал вычислит, математики и мат. физики, 1996. 36. № 6. С. 68−85.

51. Деркунова Е. А. Об одной системе уравнений с частными производными в неограниченнойобласти//Известия Челяб. науч. центра, 2004. 4(26). С. 10−14.

52. Бутузов В. Ф., Деркунова Е. А. О сингулярно возмущенной системе в частных производных первого порядка с разными степенями малого параметра//Дифф. уравнения. 2006. 42. № 6. С. 775−790.

53. Деркунова Е. А. Сингулярно возмущенная система уравнений в частных производных первого порядка в случае смены устойчивости //Математические методы и приложения: Труды пятнадцатых математических чтений РГСУ, М: Изд-во РГСУ, 2006. С. 51−56.

54. Деркунова Е. А. Об одной сингулярно возмущенной системе уравнений в частных производных первого порядка в случае смены устойчивости// Известия Челяб. науч. центра, 2007. 1(35). С. 12−17.

55. Деркунова Е. А. Сингулярно возмущенные задачи для уравнений в частных производных первого порядка// Наука ЮУр-ГУ: материалы 60-й юбилейной научной конференции. Секции естественно-научных и гуманитарных наук, Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. 1. С. 107−110.

56. Бутузов В. Ф., Деркунова Е. А. О сингулярно возмущенном уравнении в частных производных первого порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения//Дифф. уравнения. 2009. 45. № 2. С. 180−190.