Асимптотические свойства рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости

0.1 Исторические сведения С конца 19 века, а именно после выхода в свет известных работ Ж. Адамара стало развиваться новое направление в теории функций: изучение асимптотических свойств целых или аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж Валирон, Д. Пойа и другие. Еще в 1892 году Ж. Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была решена М. Фудзивара [2], Н. В. Говоровым [3] и другими (см., например, в [4]). Непосредственным обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями. Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями R порядка и R типа. Эти понятия были введены Ж. Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле [5]. Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [6], В. Бойчук [7], К. Нандан [8], [9], Ю. Шиа-Юн [10]. В конце 60-х годов для изучения роста целых или аналитических в единичном круге функций М. Н. Шеремета ввел понятия так называемых обобщенных порядков. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была расмотрена в [11]. Позже в терминах R порядка я R типа рост таких рядов в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [12] [16], а также в работах О. Б. Скаскива и В. М. Сорокивского [17], [18]. В начале 20 века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения, а также поведения функции и ее производных в окрестности точки максимума модуля А. Виман и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана Валирона. При помощи метода Вимана Валирона решались также следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т. д. В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [19], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, были подхваченны многими математиками. Однако классический метод Вимана Валирона и разработанные рядом авторов его модификации (см., например, в [20]) не дали возможности решить все актуальные задачи, поставленные в [19]. Но, как и в любой теории, в теории лакунарных рядов, а также рядов Дирихле, остаются нерешенными многие важные проблемы, при решении которых возникают все новые и новые задачи. Это объясняется также тем, что в связи с исследованиями А. Ф. Леонтьева, подытоженными в его монографиях [21] [23] с 80-х годов прошлого века сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходяш, имся в произвольных выпуклых областях. Стали усиленно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеюш, их заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, [22] [24]). В этой связи и в настояш, ее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех или иных подмножествах области, примыкаюш-их к границе. В этой ситуации метод Вимана Валирона (или его модификации) не всегда приводит к желаемой цели. A.M. Гайсиным была разработана методика, которая нашла широкое применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используется интерполирующая функция и формулы для коэффициентов А. Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля Неванлинны из [25], а также уточненный им вариант оценок Н. В. Говорова ограниченной аналитической в единичном круге функции снизу из [26], [27]. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие и в данной диссертации. В диссертации рассматриваются ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие произвольный рост вблизи прямой сходимости, в тех или иных терминах, учитывающих глобальное поведение ряда Дирихле, установлены оценки для суммы ряда на всевозможных кривых, оканчивающихся на прямой сходимости. Соответствующие оценки получены и для лакунарных степенных рядов, сходящихся лишь в единичном круге. В случае, когда областью сходимости ряда Дирихле является вся плоскость, аналогичные оценки ранее были установлены A.M. Гайсиным.2 Предварительные результаты и постановка задач Сделаем краткий обзор результатов, приводящих к задачам, обсуждаемым в данной диссертации. Пусть {рп} возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая условию оо. n—i (0.1) в этом случае говорят, что последовательность {р} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция со п=0 имеет лакуны Фейера, если последовательность S{f) {п 1 Сп 0} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (0.2) есть лакунарный степенной ряд вида оо п=1 Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [28]. Этот замечательный факт и другие соображ-ения наводят на мысль о наличии у целых функций f{z), заданных рядами (0.3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см., н-р, [28] [53]). В большинстве этих работ в основном указаны достаточные условия, при выполнении которых справедливо утверждение: для любой кривой 7, уходяш, ей в бесконечность, суш-ествует последовательность {п}, п 7) такая, что при оо 1пМ (|е"|-/) (1 о (1))1п|/(Ы|. Впервые эта задача была сформулирована в работе [30] и решена для одного класса целых функций f{z) вида (0.3), имеюш, их конечный порядок. В случае, когда функция f{z) имеет конечный порядок или конечный нижний порядок, в последние годы получены окончательные результаты [44] [46] в [45],[46] соответствуюш-ие результаты установлены для более обш-их рядов рядов Дирихле Когда же целая функция /(z) (даже имеющая лакуны Фейера) имеет произвольный рост, возникают суш-ественные трудности, связанные с нерегулярным распределением точек последовательности {рп}, и поэтому эта ситуация особенно актуальна. Сделаем краткий обзор результатов, имеюш-их непосредственное отношение к обсуждаемым в диссертации задачам. Прежде всего отметим следуюш-ий факт, установленный в работе [29]: для того, чтобы любая целая функция вида (0.3) не была ограниченной на луче М+ [О, оо), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (0.1). Аналогичное утверждение имеет место и для рядов Дирихле [53]. В работе [37] показано, что если со о) У2 ооtlPТО Ь) i, Рzey, zoonM{z-j) где /(z) целая функция, заданная рядом (0.3), а 7 любая кривая, уходящая в бесконечность. Отметим, что в этой теореме равенство (0.4) получено без каких-либо ограничений на рост функции f{z). Ранее равенство (0.4) было установлено Т. Ковари для последовательностей {рп}, таких, что [33] Рп n{lnnY {п по,&euro- 0). В статье [42] аналог равенства (0.4) доказывается для более общих рядов рядов Дирихле схэ F (s) J2ne n=l {s a it), (0.5) сходящихся во всей плоскости. При выполнении условия оо 5]з<�оо. п=1 (0.6) ряды (0.5) будем называть рядами Дирихле с лакунами Фейера. Пусть О Лп t 00, (An) In Q\n)V где n=l 71=1 Справедлива следующая теорема [52]. Теорема 0.1. Пусть выполнено условие (0.6), и a{t) maxofArx). Если Xn.

1. Hadamard J. Essai sur l’etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor //J. Math, pures et appl. 1892. T.8. P. 154 — 186.

2. Fujiwara M. On the relation between M® and coefficients of a power series // Proc. Imp. Acad. Japan. 1932. V.8, JVQ6. P. 220 223.

3. Говоров H. В. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами ее степенного разложения // Труды Новочеркасск, политехи, ин-та. 1959. Т.100. С. 101 115.

4. Мак-Лейн Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М.:Мир, 1966. 104 С.

5. Ritt J. F. On certain points in the theory of Dirichlet series // Amer. Math. J. 1928. V.50. P.73 83.

6. Дагене E. Я. О центральном показателе ряда Дирихле // Литовский мат. сб. 1968. Т.8, № 3. С.504 521.

7. Бойчук В. С. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле // Мат. сб. К.: Наукова думка, 1976. С.238 240.

8. Nandan К. On the maximum terms a maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series // Ann. Polon. Math. 1973. V.28. P.213 222.

9. Nandan K. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series // Rev. roum. math, pures et appl. 1976. V.21, № 10. P.1361 1368.

10. Yu-Chia-Yung. Sur la croissance et la repartition de Dirichlet qui ne convergent que dans un demi-plan // Comptus rendus Acad. Sci. 1979. AB288, № 19. A891 A893.

11. Галь Ю. М., Шеремета M.H. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле // ДАН УССР. Сер. А, 1978. № 12. С.1065 1067.

12. Гайсин A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Матем. сб. 1982. Т.117(159), т. С.412 424.

13. Гайсин A.M. О типе функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа.: БФАН СССР. 1982. С. З -14.

14. Гайсин A.M. Разложение функций, аналитических в полуплоскости и имеющих конечный R тип, в ряды экспонент // Вопросы аппроксимации функций вещественного и комплексного переменных. Уфа.: БФАН СССР. 1983. С. 30 -42.

15. Гайсин A.M. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче // Исследования по теории аппроксимации функций Уфа.: БФАН СССР. 1984. С. 20 29.

16. Гайсин A.M. Поведение суммы ряда Дирихле в полуполосах // Матем. заметки. 1987. Т.42, № 5. С. 660 669.

17. Скаскив О. В., Сорокивский В. М. О росте на горизонтальных лучах аналитических функций, представленных рядами Дирихле // Укр. мат. ж. 1990. Т.42, № 3. С. 363 371.

18. Сорокивский В. М. О росте аналитических функций, представленных рядами Дирихле // Укр. мат. ж. 1984. Т.36, т. С. 524 528.

19. Polya G. Untersuchungen iiber Lticken und Singularitaten von Potenzreihen 11 Math. Z. 1929.V.29. P.549 640.

20. Шеремета M.H. Метод Вимана Валирона для рядов Дирихле // Укр. мат. ж. 1978. Т. ЗО, № 4. С. 488 — 497.

21. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536С.

22. Леонтьев А. Ф. Представление целых функций рядами экспонент// Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1991. Т.157. С. 68 89.

23. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент для функций с определенным ростом вблизи границы // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1980. Т.44, т. С. 1308 1328.

24. Напалков В. В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР. 1987. Т.51, т. С.287 305.

25. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 С.

26. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: Наука, 1986. 240 С.

27. Говоров Н. В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып.6. Харьков: Изд-во ХГУ, 1968, С. 130 -150.

28. Fejer L. Uber die Wurzel vom kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung// Math. Annalen. 1908. P. 413.

29. Macintyre A.J. Asymptotic paths of integral functions with gap power series // Proc. London Math. Soc. 1952. V.2. m. P. 286 296.

30. Polya G. Untersuchungen liber Liicken und Singularitaten von Potenzeihen // Math.Z. 1929. V.29. P. 549 640.

31. Fuchs W.H.J. Proof of a conjecture of G. Polya conserning gap series // Illinois J. Math. 1963. V.7. P. 661 667.

32. Kovari T. A gap theorem for entire functions of infinite order //Michigan Math. J. 1965. V.12. № 2. P. 133 — 140.

33. Kovari T. On the asymptotic paths of entire functions with gap power series// J. Analyse Math. 1965. V.15. P. 281 -286.

34. Sons L.R. On the Macintyre conjecture // Illinois J.Math. 1970. V.14. P.613 629.

35. Sons L.R. An analogue of a theorem of W.H.J. Fuchs on gap series // Proc. of the London Math. Soc. 1970. III. V. 21, m. P. 525 539.

36. Hayman W.K. Angular value distribution of power series with gaps// Proc. London Math.Soc. 1972. V.24. P. 590 624.

37. Павлов A.M. О росте по кривым целых функций, заданных лакунарными степенными рядами // Сиб.мат.журнал. 1972. Т.13,№ 5. С. 1169 1181.

38. Павлов А. И. О росте на положительном луче целых функций с вещественными коэффициентами Тейлора // Ма-тем. заметки.1973. Т.14, № 4. С. 577 588.

39. Korevaar J., Dixon М. Interpolation, strongly nonspanningpowers and Macintyre exponents // Indag. Math. (N.S.) 1978. V.40, m. P. 243 258.

40. Berndtsson B. A note on Pavlov Korevaar — Dixon interpolation // Indag. Math.(N.S.) 1978. V.81. P. 400 — 414.

41. Murai T. The deficiency of entire functions with Fejer gaps // Ann. Inst. Fourier. 1983. V.33, № 3. P. 39 58.

42. Гайсин A.M. Асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле на кривых // Исследования по теории приближений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1989. С. 3 15.

43. Гайсин A.M. Усиленная неполнота системы экспонент и проблема Макинтайра // Матем.сб. 1991. Т.182, № 7. С. 931- 945.

44. Skaskiv О.В. On the Polya conjecture conserning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series// Anal.Math. 1990. V.16, №. P. 143 157.

45. Гайсин A.M. Об одной гипотезе Полиа // Изв. РАН Сер.матем. 1994. Т.58, № 2. С. 73 92.

46. Гайсин A.M. Асимптотические свойства функций, заданных рядами экспонент // Диссертация. доктора физмат. наук. Уфа: 1994.

47. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука. 1980. 384 С.

48. Гайсин A.M. Об одной теореме Хеймана // Сиб.матем. журн. 1998. Т.39, № 3. С. 501 516.

49. Гайсин A.M. Асимптотическая оценка суммы ряда Дирихле на кривых // Матем. заметки. 1997. Т.61, № 6. С. 810.

50. Шеремета М. Н. Об одном свойстве целых функций с вещественными тейлоровскими коэффициентами // Матем. заметки. 1975. Т.18, № 3. С. 315 402.

51. Gaisin A.M. Behavior of logarithm of modulus of the sum of Dirichlet series on curves // The Journal of Analysis. Madras, India. 1995. V.3. P. 205 211.

52. Гайсин A.M. Оценка ряда Дирихле с лакунами Фейера на кривых // Доклады РАН. 2000. Т. 370, № 6. С. 735 737.

53. Ефграфов М. А. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле // Усп. матем. наук. 1962. Т. 17, № 3. С. 169 -175.

54. Sheremeta М.М. Five open problems in the theory of entire functions // Математичш студи. 1996. V.6. P. 157 159.

55. Гайсин A.M. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Мат. сб. 2003. Т. 194, № 8. С. 55 82.

56. Beurling A. Some theorems on boundedness of analytic functions // Duke Math.J. 1949. V.16. P. 355 359.

57. Hayman W.K. How guickly can an entire function tend to zero along curve? // Euseign math. 1978. V.24, № 3 4. P. 215 — 223.

58. Гайсин A.M. Поведение логарифма модуля суммы ряда Дирихле, сходящегося в полуплоскости // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 53, № 4. С. 173 185.

59. Скаскив О. Б. К теореме Вимана о минимуме модуля аналитических в единичном круге функций // Изв. АНСССР. Сер. матем. 1989. Т. 53, № 4. С. 833 850.

60. Шеремета М. Н. О росте на действительной оси целой функции, заданной рядом Дирихле //Матем.заметки. 1983. Т. ЗЗ, № 2. С. 235 245.

61. Шеремета М. Н. Об одной теореме Пойа. //Укр. мат. ж. 1983. Т.35, № 1. С. 119 124.

62. Шеремета М. Н. О целых функциях с вещественными тейлоровскими коэффициентами //Укр. мат. ж. 1985. Т.37, № 6. С. 786 787.

63. Цегелик Г. Г. Свойства мажоранты и диаграммы Ньютона функции, аналитической в круге //Укр. мат. ж. 1997. Т.29, № 4. С. 560 562.

64. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука. 1979.

65. Гайсин A.M. Поведение суммы ряда Дирихле заданного роста // Матем.заметки. 1991. Т.50, № 4. С. 47 56.

66. Белоус Т. И. Максимальный член адамаровской композиции двух рядов Дирихле // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Тезисы докладов. Казань, 1999. С. 36 38.

67. Белоус Т. И. Лемма типа Бореля-Неванлинны // Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания. Межвуз. науч. сб. УГАТУ. Уфа, 1999. С. 38 42.

68. Белоус Т. И. Асимптотика максимального члена измененного ряда Дирихле // Комплексный анализ, дифференциальные и смежные вопросы: Труды международной конф. Уфа, 2000. С. 14 20.

69. Белоус Т. И. Оценка суммы ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости, на луче // Матем. сб. «Вестник. «Нижний Новгород, 2001. С. 1 10.

70. Белоус Т. И. Об условиях регулярности роста суммы ряда Дирихле на луче // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. 4.1. Математика / Издание Башкирского госуниверситета. Уфа, 2001. С. 28 32.

71. Белоус Т. И. Оценка на луче функций, представленных в полуплоскости рядами Дирихле с вещественными коэффициентами // Труды Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Геометрическая теория функций и краевые задачи. Казань, 2002. С. 29 32.

72. Гайсин А. М., Белоус Т. И. Асимптотические свойства рядов Дирихле с лакунами Фейера // Научн. журн. Уфимского гос. авиационного технического унивеситета «Вестник УГАТУ.» 2002. Т. З, № 1. С. 65 72.

73. Гайсин А. М., Белоус Т. И. В устойчивость максимального члена адамаровской композиции двух рядов Дирихле // Сиб. матем. журн. 2002. Т.43, № 6. С. 1271 — 1282.

74. Гайсин А. М., Белоус Т. И. Оценка на кривых функций, представленных в полуплоскости рядами Дирихле // Сиб. матем. журн. 2003. Т.44, т. С. 27 43.