Свободные и разрешимые произведения алгебр Ли

Алгебры Ли появились в математике в конце XIX века в связи с изучением групп Ли, а в неявной форме несколько раньше в механике. С течением времени роль алгебр Ли возрастала пропорционально месту, занимаемому группами Ли в математике (особенно в геометрии), а также в классической и квантовой механике. В конце прошлого и первой трети нынешнего века была развита классическая теория алгебр Ли — мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач. Основным объектом этой теории являются конечномерные алгебры Ли над полем характеристики нуль, в первую очередь — над полями комплексных чисел. Современное состояние классической теории изложено в монографиях [4-], [7 Л. Не останавливаясь на обзоре этих вопросов, отметим, что выдающийся вклад в их решение и развитие связанной с нею теории групп Ли внесли советские математики А. И. Мальцев, Л. С. Понтрягин, И. Д. Адо, Ф. Р. Гантмахер, В. В. Морозов и другие.

Изучение отдельных видов бесконечномерных алгебр Ли началось одновременно с изучением конечномерных. Такие алгебры Ли естественно возникают при классификации примитивных псевдогрупп преобразований, предпринятой в 1909 году Э. Картаном [Зб] .Важные примеры бесконечномерных алгебр Ли появились в последнее время также в теории уравнений математической физики (например, для уравнения Кортевега — де Фриса) и в формальном вариационном исчислении (см. [9]).

Таким образом, развитие различных областей математики привело к созданию абстрактной теории бесконечномерных алгебр Ли. Первые крупные результаты в этом направлении получены в конце 30-х годов нашего века Биркгофом и Виттом (теорема о вложении алгебр Ли в ассоциативные алгебры) и Магнусом (изучение связи свободных групп и свободных алгебр Ли). Большим достижением в данной теории явились работы А. И. Кострикина (см. [14]) по проблеме Энгеля для алгебр Ли, которые получили непосредственное приложение к решению ограниченной проблемы Бернсайда для групп простой экспоненты.

В 50-е годы исследования по бесконечномерным алгебрам Ли были продолжены А. И. Ширшовым: в цикле работ [27, 28, 29, .

31] получены глубокие результаты о свободных алгебрах Ли и свободных произведениях алгебр Ли. Разработанные А. И. Ширшовым методы и полученные с их помощью результаты стали основой для построения теории алгебр Ли, близких к свободным. Дальнейшее развитие они получили в работах Л. А. Бокутя [2] и Г. П. Кукина [17, 18]. Кроме того, ряд важных приложений теории алгебр Ли и ее методов в теории групп нашли А. Л. Шмелькин [33] и Ю. М. Горчаков [5, б]. А. И. Ширшов привлек внимание алгебраистов и к алгоритмическим проблемам теории алгебр Ли. В статье [30] он развил метод композиции, который позволил ему решить проблему равенства для алгебр Ли с одним соотношением и алгебр Ли с однородным множеством определяющих соотношений. В работе [32] А. И. Ширшов установил также разрешимость проблемы равенства для метабелевых алгебр Ли. В связи с этими работами возникли проблемы А. И. Ширшова о неразрешимости проблемы равенства в многообразиях всех алгебр Ли и разрешимых ступени h.^3 алгебр Ли. Первая из этих проблем решена Л. А. Бокутем '[3], втораяГ.П.Кукиным [19] .

В последние десять лет развивается теория упорядоченных алгебр Ли, начатая В. М. Кппытовым [13]. Напомним, что упорядоченная алгебра Ли L, +, *-^V над упорядоченным полем, А есть упорядоченное векторное пространство <^У, удовлетворяющее дополнительному условию: если Q. — & iT0 Q. + Q-^-S^-ь-бэс для всех эс ^ L .

Введение

этого понятия, отличного от обычного для упорядоченной алгебраической системы (см. например [II]), оправдано тем, что с его помощью удается построить содержательную теорию упорядоченных алгебр Ли. В настоящее время получен ряд основных результатов этой теории (см. [13J, [25]). Многие из них аналогичны известным теоремам о линейно упорядочиваемых группах (см. Ill]).В теории групп известна теорема Виноградова [II]: свободное произведение упорядочиваемых групп упорядочиваемо. В. М. Копытов в [8] поставил аналогичную задачу 1.76 для алгебр Ли.

Инициатором исследования групп и других алгебраических систем с точки зрения их аппроксимируемости и связи понятия финитной аппроксимируемости с алгоритмическими проблемами является академик А. И. Мальцев [24]. В его работах сформулировано общее понятие аппроксимируемости алгебраических объектов относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов. Интерес к этим работам нашел отражение в трудах как советских (А.И.Мальцев, М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, А. Ю. Ольшанский, В. П. Платонов, В. Н. Ремесленников, Ю. М. Рябухин, Д. М. Смирнов и другие), так и зарубежных (Г.Баумслаг, Н. Блэкбэрн, К. Гирш, Ф. Гроувз, Р. Маккензи, :Ф.Холл и другие) алгебраистов. А. И. Мальцев установил в [24] критерий, когда в разрешимой группе все подгруппы являются финитно отделимыми. В связи с этим М. И. Каргаполов в [15] поставил следующую задачу 2.19: являются ли финитно отделимыми конечно-порожденные подгруппы свободной разрешимой группы? Аналогичный вопрос 2.63 для алгебр Ли сформулировал в [8] Г. П. Кукин. Ю. А. Бахтурин дал положительный ответ в случае свободной метабе-левой алгебры Ли (см. [i], [35]).

В настоящей диссертации изучаются вопросы структурного характера для свободных и разрешимых произведений алгебр Ли, а также финитная отделимость в группах, ассоциативных и лиевых алгебрах.

В первой главе диссертации рассматриваются алгебры Ли с центральными системами. Актуальность изучения таких алгебр обоснована следующими обстоятельствами. Во-первых, класс групп с центральными системами — это один из хорошо известных классов Куроша — Черникова (см. [21]). Во-вторых, В. М. Копытов дал следующую характеризацию линейно упорядочиваемых алгебр Ли, аналогичную критерию А. И. Мальцева линейной упорядочиваемости групп.

КРИТЕРИЙ [13]. Алгебра Ли L над упорядоченным полем тогда и только тогда допускает линейное упорядочение, когда она обладает центральной системой, то есть линейно упорядоченной по включению системой идеалов^, содержащей нулевой идеал и всю алгебру L, замкнутой относительно объединений и пересечений элементов из? и обладающей тем свойством, что для любого скачка системы2 (то есть пары элементов из S, между которыми нет других элементов, принадлежащих) выполняется включение AtfL ^.

Совместно с А. С. Штерном нами доказана.

ТЕОРЕМА I.I. Пусть ilпроизвольное поле. Свободное которых обладает центральной системой, является алгеброй Ли с центральной системой.

В частности, это дает положительный ответ на вопрос В. М. Копытова об упорядочиваемости свободных произведений упорядочиваемых алгебр Ли.

В главе I результат, аналогичный теореме I.I. доказан такпроизведение алгебр Ли над полем &, каждая из же для свободных метабелевых произведений разрешимых ступени ^^ алгебр Ли (теорема 1.2.).

Вторая глава посвящена свободным разрешимым произведениям алгебр Ли, то есть свободным произведениям в многообразии OL разрешимых ступени ^ алгебр Ли. Изучение свободных произведений в многообразии всех алгебр Ли было начато работой А. И. Ширшова [31] .В ней построена база свободного произведения алгебр Ли по базам сомножителей ¦{ ЕоЛ и получены ре oL ' зультаты о подалгебрах свободного произведения алгебр Ли. Описание произвольных подалгебр свободного произведения алгебр Ли в терминах порождающих и определяющих соотношений получено Г. П. Кукиным [17]. Основной результат данной главы заключается в построении при любом fri>, l базы (ftM) -го коммутанта Li свободного произведения L= П*Е^ разрешимых ступени Ь (ИЛ 2,) алгебр Ли { Еоь IcLtft^ по модулю m-го коммутанта этого произведения (теорема 2.1). В частности, мы получаем базу свободного разрешимого произведения L" П n Eql алгебр Ли.

1 Is.

•{ E^J, согласованную с рядом коммутантов произведения U. Непосредственно из вида элементов построенной базы удается получить описание некоторых подалгебр свободного разрешимого произведения (следствие 2 теоремы 2.1). Например, подалгебра, порожден (WO V гная в L hi-ми коммутантами Ь^ (т^-КИ) алгебр t^, является свободным разрешимым произведением П n-m ^ этих коммутантов ступени И.-wv .Кроме того, указана база свободного разрешимого произведения L" Пи Е^ «состоящая из правильных суслов специального вида от свободных порождающих декартовой подалгебры свободного произведения в/ и базисных элемен тов алгебр Е^ cL feп, выбранных с помощью рядов коммутантов этих алгебр (см. следствие 3 теоремы 2.1).

В конце главы П доказана теорема 2.2. о том, что центр свободного разрешимого произведения ненулевых алгебр Ли тривиален, то есть состоит из одного нуля.

В третьей главе решены проблема М. И. Каргаполова из «Коуров-ской тетради» о финитной отделимости конечно-порожденных подгрупп свободной разрешимой группы и аналогичная задача Г. П. Кукина для алгебр Ли. Точнее, получены следующие результаты:

ТЕОРЕМА 3.1. Свободная разрешимая алгебра Ли ступени ПЛЪ (ранга по} 2,) над произвольным полем «ft содержит финитно неотделимые конечно-порожденные подалгебры.

ТЕОРЕМА 3.2. Свободная разрешимая группа ступени ПЛ Ъ (ранга yy>, Z) содержит финитно неотделимые конечно-порожденные подгруппы.

Заметим, что вначале нами была доказана теорема 3.1. для алгебр Ли. Затем техника, используемая при доказательстве этой теоремы, была перенесена в групповую ситуацию и получен соответствующий результат для групп.

Аналогичный результат доказан нами также для свободных ассоциативных алгебр.

ТЕОРЕМА 3.3. Свободная ассоциативная алгебра ранга Ги>/2о над произвольным полем, содержит финитно неотделимые конечно-порожденные подалгебры.

В теории групп известна теорема Н. С. Романовского [26]: свободное произведение групп, финитно аппроксимируемых относительно вхождения в конечно-порожденные подгруппы (ФАВ^г групп), является Ф ABbf группой. Г. П. Кукин показал [20], что свободная алгебра Ли над полем положительной характеристики является финитно аппроксимируемой относительно вхождения в конечно-порожденные подалгебры Ли (то есть алгеброй Ли). Для свободных алгебр Ли над полем нулевой характеристики соответствующий вопрос остается открытым (см. [8]).

В конце главы Ш приведены примеры, показывающие, что аналог теоремы Н. С. Романовского для алгебр Ли не верен над любым полем (предложение 3.1), причем над. полем нулевой характеристики соответствующее утверждение не верно даже для свободного, произведения двух конечномерных алгебр Ли (предложение 3.2).

Основным методом диссертации является разработанный А. И. Ширшовым [27, 29] комбинаторный метод для алгебр Ли, развитый в дальнейшем в работах Л. А*Бокутя~ [2] и Г. П. Кукина [17,18],.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Нумерация определений, формул, лемм и теорем ведется отдельно по главам. Несколько слов об определениях. Все они являются общепринятыми. Так, отсутствие скобок на одночлене из алгебры Ли.

1. Бахтурин Ю. А. Гомоморфизмы в некоторых классах разрешимых алгебр Ли. — Б сб.: ХУ Всесоюзная алгебраическая конференция: Тез.докл., часть 2-я, Красноярск, 1979, с. 15.

2. Бокуть Л. А. База свободных полинильпотентных алгебр Ли. Алгебра и логика, 1963, т.2, № 4, с.13−19.

3. Бокуть Л. А. Неразрешимость проблемы равенства и подалгебры конечноопределенных алгебр Ли. Изв. АН СССР, сер.матем. 1972, т.36, № 6, C. II73-I2I9.

4. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1978.-344с.

5. Горчаков Ю. М. Мультинильпотентные группы. Алгебра и логика, 1967, т.6 № 3, с.25−30.

6. Горчаков Ю. М. О центральных рядах свободных групп многообразий. Алгебра и логика, 1967, т.6, № 3, с.13−24.

7. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964. 356 с.

8. Днестровская тетрадь (нерешенные проблемы теории колец и модулей). Изд.третье. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982, -72 с.

9. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия.- М.: Наука, 1979. 760 с.

10. Епанчинцев В. И., Кукин Г. П. Проблема равенства в многообразии групп, содержащем. -Алгебра и логика, 1979, т.18, К" 3, с.259−285.

11. Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы.- М.:Наука, 1972. 200 с.

12. Кон П. Универсальная алгебра.- М.: Мир, 1968. 352 с.

13. Копытов В. М. Упорядочение алгебр Ли. Алгебра и логика, 1972, т. II, № 3, с.295−325.

14. Кострикин А. И. Кольца Ли, удовлетворяющие условиюЭнгеля. -.Изв. АН СССР, сер.матем., 1957, т.21, № 4, с.515−540.

15. Коуровская тетрадь (нерешенные проблемы теории групп). Изд. восьмое, дополненное, — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. — 118.с.

16. Кукин Т. П. О декартовой подалгебре свободной лиевой суммы алгебр Ли. Алгебра и логика, 1970, т.9, Ш 6, с. 701.

17. Кукин Г. П. О свободных произведениях ограниченных. алгебр Ли. Матем. сб., 1974, т.95, й I, с.53−83.

18. Кукин Г. П. Базы свободной алгебры Ли. Матем. заметки, 1978, т.24, № 23, с.375−382.

19. Кукин Г. П. Алгоритмические проблемы для разрешимых алгебр Ли. Алгебра и логика, 1978, т. 17, Ш 4, с.402−415.

20. Кукин Г. П. Проблема равенства и свободные произведения алгебр Ли и ассоциативных алгебр. Сиб. матем. журн., 1983, т.24, с.85−96.

21. Курош А. Г., Черников С. Н. Разрешимые и нильпотентные группы. Успехи матем. наук, 1947, т.2, № 3, с.18−59.

22. Магнус В. Даррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп.- М.: Наука, 1974. 456 с.

23. Мальцев А. И. Об одном представлении неассоциативных колец. Успехи матем. наук, 1952, т.7, № I, с.181−185.

24. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы. -Учен.зап.Ивановского пед. ин-та, 1958, т.18, IL0 5, с.49−60.

25. Медведев Н. Я. О доупорядочиваемых алгебрах Ли. Сиб. матем.журн., 1977, т. 18, № 2, с.469−471.

26. Романовский Н. С. О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения. Изв. АН СССР, сер.матем., 1969, т.33,.1й б, с.1324−1329.

27. Ширшов А. И. Подалгебры свободных лиевых алгебр, Матем. сб., 1953, т.33, № 22, с.441−452.

28. Ширшов А. И. О свободных кольцах Ли. Матем.сб., 1958, т.45, 2, с.113−122.

29. Ширшов А. И. О базах свободной алгебры Ли. Алгебра и логика, 1962, т.1, № I, с.14−19.

30. Ширшов А. И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли. Сиб.матем.журн., 1962, т. З, № 2, с.291−296.

31. Ширшов А. И. Об одной гипотезе теории алгебр Ли. Сиб. матем.журн., 1962, т. З, № 2, с.297−301.

32. Ширшов А. И. Алгоритмические вопросы для разрешимых алгебр Ли. 1У Всесоюзное совещание по общей алгебре. Успехи матем. наук, 1962, т.17, 1й 6, с. 228.

33. Шмелькин АЛ. Свободные полинильпотентные группы. -Изв. АН СССР, сер.матем., 1964, т.28, № I, с.91−122.

34. Эйделькинд Д. И. Вербальные произведения групп Магнуса. Матем.сб., 1971, т.85, № 4, с.504−526.

35. BcL0l" t LL4.C.W, 0д ^omowio^^Civvies о^or. го, Л/3 ,.

36. Ccl-cWE. is-Ъ ^ul^S sf^^a-tcovvscovt-tcviuls iwfrvicS SCm.aes.-. Scemt, Wvm.^V**-, 1909, 4r^bJ? p. ,.

37. Агалаков С.A., Штерн, А. С. Свободные произведения. линей-.но упорядочиваемых алгебр Ли. Сиб.матем.журн., 1982, т.23,№ 3,с.5−9., , .

38. Агалаков С. А. О базе свободного разрешимого произведения алгебр Ли. Сиб.матем.журн., 1982, т.23, № 5, с.5−16.

39. Агалаков С. А. О финитной отделимости групп и алгебр Ли. Алгебра и логика, 1983, т.22, !й 4, с.363−371.

40. Агалаков С. А., Штерн А. С. Свободные произведения линейно упорядочиваемых алгебр Ли. В сб.:ХУВсесоюзная алгебраическая конференция: Тез.докл., часть 2-я, Красноярск, 1979, с .3.

41. Агалаков С. А. О базе свободного разрешимого произведения алгебр Ли. В сб.: 1У Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей: Тез. сообщ., Кишинев, 1980, с.З.

42. Агалаков С. А. О финитной отделимости групп и алгебр Ли. В сб.: ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция: Тез. докл., часть 1-я, Минск, 1983, с. 4.