О росте порядков заданных подмножеств централизаторов инволюций конечных простых групп

По известной теореме Фейта — Томпсона, конечная простая неа-белева группа всегда содержит инволюцию. Около полувека назад Р. Брауэр доказал следующую теорему:

Существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [1].

Эта теорема послужила в 50-е — 70-е годы XX века фундаментом программы классификации конечных простых групп по заданному централизатору инволюции. Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем т в группе G обозначаем через rG, а централизатор т в G — через Сс (т). В различных исследованиях последних десятилетий вызывала интерес зависимость порядка конечной простой группы от определенных заданных подмножеств централизаторов ее инволюций. Именно на этом пути возникла (см., например, [36]), исследуемая в диссертации.

Гипотеза 1. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп G, имеющих инволюцию г с условием Cq (t) flrg| < М.

Инволюцию г в группе G называют конечно вложенной, если пересечение дСд{т) П (tgtg) конечно при всех д G G, и называют конечной инволюцией, если она порождает конечную подгруппу с каждой сопряженной инволюцией. Важным явилось следующее понятие.

Определение 1 [12]. Параметром вложения инволюции т в группе G, называется число t (G, r) = maxgCG{r)n{rgtg).

Это понятие лежит в основе следующего обобщения теоремы Брауэра на периодические группы, которое В. П. Шунков разрабатывает с 2001;го года (анонс см. [17], [18]):

Существует только конечное число периодических простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции, причем все они конечны.

Доказательство обобщения редуцируется к конечным группам с помощью характеризации групп с конечной и конечно вложенной инволюцией [15], [18]. Обобщение основывается на следующем предположении.

Гипотеза 2. Число конечных простых групп с заданным конечным параметром вложения инволюции —• конечно.

Очевидно, из справедливости гипотезы 1 следует справедливость и гипотезы 2, поскольку выполняется неравенство.

1(С, т)>Сс (т)Пт%.

По модулю классификации конечных простых групп обе гипотезы достаточно подтвердить для бесконечных семейств знакопеременных групп и групп лиева типа.

В диссертационной работе гипотезы 1 и 2 исследуются по модулю классификации конечных простых групп. Получены следующие основные результаты: доказана конечность числа простых конечных групп G с одним классом сопряженных инволюций с инволюцией г такой, что сс (т) П tg < м для любого наперед заданного мдоказано аналогичное свойство для групп PSLn (q) с четным q, знакопеременных и симметрических групп.

Тем самым, в классах указанных групп подтверждаются гипотезы 1 и 2. Частичное подтверждение эти гипотезы находят для других классов групп. А именно, для наперед заданного М неравенство Cg (t)Otg > М доказано для групп G = PSLn (q) достаточно больших порядков с любой диагонализируемой инволюцией т из G и нечетным qдля групп G лиева типа достаточно больших порядков над полем четного порядка и специальных инволюций г из G.

Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Брауэр Р. О строении групп конечного порядка // Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. Москва: Физматгиз. — 1961. — С. 23 — 35.

2. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. / М.: «Мир». — 1972.

3. Бусаркип В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы / М.: изд-во «Наука». — 1968.

4. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: «Наука». 1982.

5. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук. 1986. — Т. 41, № 1. — С. 57 — 96.

6. Кондратьев А. С., Махнев А. А., Старостин А. И. Конечные группы // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ. 1986. — № 24. — С. 3 — 120.

7. Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых АВА-групп // Математические заметки. — 1982. — Т. 31, № 4. — С. 509 525.

8. Левчук В. М., Нужип Я. Н. О строении групп Ри // Алгебра и логика. 1985. — Т. 24, № 1. — С. 26 — 41.

9. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотеитных подгрупп групп лиева типа малых рангов // Алгебра и логика. — 1990. — Т. 29, № 2. С. 141 — 161.

10. Рябинипа Н. А., Сучков Н. М., Шунков В. П. Об особых подгруппах конечных групп с инволюциями // Алгебраические системысборник научных трудов). Красноярск: Препринт ВЦ СО РАН. — 1995. — № 10. — С. 3 11.

11. Супруненко Д. А. Группы матриц. — М: Наука. — 1972. — 351 с.

12. Тимофеенко А. В. О порождающих тройках инволюций в спорадических группах // Ред. Сибир. мат. журн. Сиб. отд. РАН. Новосибирск. Деп. в ВИНИТИ 19.03.01 N693-B2001. 2001. -18 с.

13. Шунков В. П. Группы с конечно вложенной инволюцией // Алгебра и логика. 1990. — Т. 29, № 1. — С. 102 — 123.

14. Шунков В. П. Мр-группы. М: Наука. — 1990.

15. Шунков В. П. Группы с инволюциями // В сб. тезисов докл. международ, сем. по теории групп. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2001. — С. 245 — 246.

16. Шунков В. П. Теория групп и космос // Препринт N 1. — Красноярск: ИВМ СО РАН. 2005. — 16 с.

17. Холл М. Теория групп. Под ред. J1.A. Калужнина. — М.: издательство иностранной литературы. — 1962.

18. Aschbacher М. and Seitz G.M. Involutions in chevalley groups over fields of even order // Nagoya Math. J. 1976. — V. 63. — P. 1 -91.

19. Carter R. W. Simple groups of Lie type. / New York: Wiley and Sons. 1972.

20. Curtis R. T. Geometric interpretations of the «natural» generators of the Mathieu groups // Math. Proc. Phil. Soc. 1990. — V. 107, Part 1. — P. 19 — 26.

21. Dickson L.E. Linear groups with an exposition of the Galois Field theory. Dover, New York. 1958.

22. Gibbs J.A. Automorphisms of certain unipotent groups // J. Algebra. 1970. — V. 14, № 2. — P. 203 — 228.

23. Kolesnikov S.G., Nuzin J A.N. On Strong Reality of Finite Simple Groups. Acta Applicandae Mathematicae. 2005. — № 85. — P. 195- 203.

24. Suzuki M., On class of doubly transitive groups, I, II / Ann. Math.- 1962. N 75. — P. 105−145- 1964. — № 79. — P. 514 — 589.27. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/gap.

25. Wilson R. http://www.mat.bham.ac.Uk/atlas/v2.0/.

26. Тимофееико А. В. http://icm.krasn.ru/seminar/contrus.html (22 августа 2000 г.).РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

27. Голованова (JIucmoea) О.В. О группе Матье Ми // В сб. тезисов докл. международ, сем. по теории групп. Екатеринбурга ИММ УрО РАН. 2001. — С. 135.

28. JIucmoea О. В. Параметры вложения инволюций в некоторых спорадических и знакопеременных группах // В сб. тезисов докл. международ, конф. «Алгебра и ее приложения». Красноярск: КрасГУ. 2002. — С. 79 — 80.

29. JIucmoea О. В. Об инволюциях групп Матье // Сборник научных трудов «Ученые — юбилею вуза». Красноярск: КрасГАСА. 2002. — С. 79 — 85.

30. JIucmoea О. В. Параметры вложения инволюций некоторых групп // Материалы конф. молодых ученых. Красноярск: ИВМ СО РАН. 2003. — С. 30 — 35.

31. JIucmoea О. В. Параметры вложения инволюций знакопеременных групп // Algebra and Model Theory. Новосибирск: НГТУ. — 2003. № 4. — С. 62 — 68.

32. Голованова О. В. Параметры вложения инволюций конечных простых групп лиева типа ранга 1 // Вестник КрасГУ. Красноярск: КрасГУ. 2006. — № 4. С. 49 — 54.

33. Голованова О. В, Левчук В. М. Зависимость порядков конечной простой группы и пересечения централизатора и класса сопряженных элементов инволюции // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины. — 2006. — Т. 3, № 36. С. 124 — 130.