Выпуклые множества в пространстве интегрируемых операторов, замкнутые в топологии локальной сходимости по мере

Основа одной из важнейших частей теории операторных алгебр, так называемой теории некоммутативного интегрирования, была заложена в начале 50-х годов в работах И. Сигала [56] и Ж. Диксмье [31]. В работе [56] была построена теория интегрирования относительно унитарно-инвариантной меры на проекторах на полуконечной алгебре фон Неймана, то есть, фактически, относительно точного нормального полуконечного следа на алгебре фон Неймана. Кроме того, И. Сигал осуществил вложение классической теории интегрирования на абстрактном пространстве с мерой в построенную им схему.

Теория, построенная И. Сигалом, получила дальнейшее развитие в работах разных авторов (см. например, [49], [61], [10]). Распространяя сигаловскую теорию на веса, А. Н. Шерстнев [21]-[25] создал теорию интегрирования относительно нормального полуконечного веса. Используя теорию интегрирования относительно веса, Н. В. Трунов [15]-[19] определил шкалу пространств Lp, ассоциированных с точным состоянием на полуконечной алгебре фон Неймана. О. Е. Тихонов [11], [14] изучал пространства Lp, ассоциированные с функционалами на алгебре фон Неймана.

Введение

Сигалом понятий измеримого оператора и сходимости почти всюду на пространстве измеримых операторов стимулировало изучение новых пространств неограниченных операторов и топологий, связанных со следом на алгебре фон Неймана. В частности, С. Сан-каран [55] определяет алгебру локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана со счетно разложимым центром, Ф. Иедон [60] распространяет это определение на более широкий класс алгебр и вводит на алгебре локально измеримых операторов топологии сходимости локально по мере и локально почти всюду. В 1959 году В. Ф. Стаинспрингом [10] была предложена топология сходимости по мере на пространстве измеримых операторов. А. П. Падманабханом в [51] доказывается некоммутативный аналог теоремы Лебега, связанный данной топологией. Свойства этой топологии изучали также Т. Фак, X. Косаки [32]. Непрерывность операторных функций в топологии сходимости по мере была исследована О. Е. Тихоновым [13]. В связи с тем что топология сходимости по мере на пространстве измеримых операторов обладает некоторыми неприятными свойствами (например, отсутствие непрерывности операции перемножения операторов, неполнота пространства), целесообразнее рассматривать топологию сходимости по мере на пространстве вполне измеримых операторов, введенном Ф. Иедоном в работе [61]. В этой же работе Ф. Иедон доказывает некоммутативный аналог теоремы Фату. JI. Циах в [29] и М. А. Муратов в [9] изучают ряд топологий в пространстве вполне измеримых операторов, которые в случае конечного следа совпадают с топологией сходимости по мере.

Таким образом, в работах указанных авторов строится ряд пространств и топологий на них, являющихся обобщением классических пространств измеримых функций и топологий, связанных с мерой. Кроме того, в пространствах измеримых операторов и пространстве интегрируемых по Сигалу операторов естественным образом вводится порядок, который так или иначе согласуется с соответствующими топологиями. Порядковые свойства пространств, построенных И. Сигалом, и их подпространств изучались самим И. Сигалом [56], а также С. Стайнс-прингом [10], Ф. Иедоном [61] и другими авторами.

В работе [58] М. Такесаки доказывает изометрическую изоморф-ность пространства интегрируемых по Сигалу операторов и пространства ультраслабо непрерывных функционалов на алгебре фон Неймана. Условное ожидание на алгебре фон Неймана с полуконечным следом, а также на пространстве интегрируемых по Сигалу операторов, изучалось, например, Такесаки в [57] (см. также [59]). А. Н. Шерстнев и Н. В. Трунов [16] определили условное ожидание на классе наблюдаемых, обладающих ожиданием относительно веса.

В те же годы продолжала развиваться другая область функционального анализа — теория векторных решеток (или теория линейных полуупорядоченных пространств). В 1973 году А. В. Бухвалов и Г. Я. Лозановский показали [2], [3] что изучение ограниченных по норме выпуклых множеств, замкнутых в топологии локальной сходимости по мере в некоторых банаховых решетках измеримых функций, может быть в определенном смысле сведено к изучению выпуклых компактных множеств в подходящих топологических векторных пространствах измеримых функций. Эти результаты применимы ив I1 — классическом пространстве интегрируемых функций на пространстве с конечной мерой. В качестве одного из нетривиальных и неожиданных приложений результатов [2], [3] А. В. Бухвалов отмечает (см. [28]) исследования Г. Годефруа [34], [35] слабой секвенциальной полноты фактор-пространств L1 и, в частности, его доказательство известной теоремы Муни-Хавина [20], [48] о том, что Ь1/Щ слабо секвенциально полно (где Hq — пространство Харди аналитических функций на круге [4], [5], [8]). В работе Г. Годефруа и М. Талагранда [36] изучается широкий класс банаховых пространств, являющихся единственными предсопря-женными своего сопряженного. В этот класс входят, например, слабо секвенциально полные банаховы решетки и L^/Hq.

Теория некоммутативных пространств Харди возникла в результате синтеза сигаловской некоммутативной теории интегрирования и теории несамосопряженных операторных алгебр. Теория несамосопряженных операторных алгебр (или субдиагональных алгебр) была представлена в 1967 году В. Б. Арвесоном в [26], как некоммутативное обобщение теории функциональных алгебр Дирихле. Работе В. Б. Арвесо-на предшествовали исследования X. Хельсона и Д. Ловденслагера [37], [38] о матрично-значных аналитических функциях, Р. В. Кадисона и И. М. Сингера [39] об алгебрах трехугольных операторов. Субдиагональные алгебры изучали С. Кавамура и Я. Томияма [41], Р. И. Лоебл и П. С. Мюли [42]- случай аналитического скрещенного произведения изучали в работах [46], [47] М. МакАсей, П. С. Мюли и К.-С. Саи-то. Инвариантные (относительно действия субдиагональной алгебры) подпространства пространства интегрируемых по Сигалу операторов исследовали Н. Камеи [40], К.-С. Саито [52]. Понятие некоммутативного пространства Харди, как подпространства пространства интегрируемых по Сигалу операторов, видимо, складывалось в работах многих авторов — В. Арвесона [27], К.-С. Саито [53], [54], Р. И. Лоебла и П. С. Мюли [42]. В настояшее время продолжается интенсивное исследование свойств некоммутативных пространств Харди, например, в работах М. Марсали [43], М. Марсали и Г. Веста [44], [45], Т. Накаши и Я. Вататани [50].

Все вышесказанное делает актуальным.

1) доказательство некоммутативного аналога теоремы Бухвалова-Ло-зановского о том, что выпуклые, ограниченные по норме, замкнутые в топологии локальной сходимости по мере подмножества банахова пространства Li (г) интегрируемых по Сигалу относительно точного нормального полуконечного следа т операторов обладают рядом свойств компактных множеств;

2) доказательство некоммутативного аналога теоремы Годфруа о слабой секвенциальной полноте факторпространств пространства L{t).

3) исследование слабой секвенциальной полноты факторпространства Li®/J?i, где Hi — некоммутативное пространство Харди, а также слабой секвенциальной полноты других факторпространств L (t).

В данной дисертации иследуются свойства топологии локальной сходимости по мере на пространстве вполне измеримых операторов, являющейся обощением классической топологии локальной сходимости по мере на пространстве вполне измеримых функций. Кроме того, на пространстве Li® вводится ряд локально-выпуклых топологий, которые в некотором смысле являются промежуточными между топологией локальной сходимости по мере и слабой топологией на L{r). С помощью техники разложения непрерывного функционала на алгебре фон Неймана на нормальную и сингулярную части из указанных топологий выделяется некоторая слабая топология на Li®, связанная со *-слабой топологией на пространстве, сопряженном к исходной алгебре фон Неймана. Используя свойства этой топологии доказывается некоммутативный аналог теоремы Бухвалова-Лозановского. Согласно доказанной теореме изучение выпуклых, ограниченных подмножеств пространства L{t), замкнутых в топологии локальной сходимости по мере, может быть в определенном смысле сведено к изучению выпуклых компактных множеств в сопряженном к алгебре фон Неймана пространстве. Используя полученный некоммутативный аналог теоремы Бухвалова-Лозановского, доказывается теорема о том, что факторпространство Ь (т)/Х слабо секвенциально полно, если единичный шар банахова подпространства X пространства Ь{т) замкнут в топологии локальной сходимости по мере. В качестве приложения доказанной теоремы показывается слабая секвенциальная полнота факторпространства Li{t)/Hi, где Н — некоммутативное пространство Харди, построенное по группе внутренних *-автоморфизмов при условии существования точного нормального условного ожидания на исходной алгебре фон Неймана в алгебру фон Неймана операторов, неподвижных при действии этой группы. Также доказана слабая секвенциальная полнота факторпространства Li®/Li (rjv), где пространство ассоциированно с подалгеброй фон Неймана N исходной алгебры фон Неймана и следом тдг, являющимся полуконечным ограничением следа г на N. При исследовании замкнутости единичных шаров в обоих приложениях существенно используются свойства условного ожидания на исходной алгебре фон Неймана.

Перейдем к более подробному изложению содержания дисертации. Дисертация состоит из введения, трех глав, разбитых на одинадцать параграфов и списка литературы.

В первой главе (§§ 1−3) вводится топология локальной сходимости по мере в пространстве вполне измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М с выделенным на ней точным нормальным полуконечным следом т, и изучаются свойства этой топологии.

В § 1 приводятся основные определения и некоторые результаты теории топологических векторных пространств и локально-выпуклых пространств, общей теории алгебр фон Неймана, теории некоммутативного интегрирования (в частности, теории измеримых операторов). Так, пусть х — замкнутый плотно определенный оператор в гильбертовом пространстве Н, присоединенный к М, |х| — его модуль, ед' — спектральный проектор оператора |ж|, соответствующий отрезку [О, Л]. Оператор х называется вполне измеримым, если т (1 — ejf') < +оо для некоторого Л > 0. Через 1С обозначим множество вполне измеримых операторов. Символом || • || оо обозначим норму ограниченного оператора.

В § 2 с помощью базиса окрестностей нуля.

К (е, 6, р) = {х <Е /С | Зд 6 < р, WqxqW^ < с и т (р — q) < 5)} где е, 5 > О, р Е М, т (р) < +оо, вводится топология локальной сходимости по мере, относительно которой пространство вполне измеримых операторов становится топологическим векторным пространством. Кроме того, предлагается еще два эквивалентных определения топологии локальной сходимости по мере и доказывается, что данная топология совпадает с одной из топологий, введенных в [29].

В § 3 исследуются свойства топологии локальной сходимости по мере. Доказывается непрерывность операции умножения на вполне измеримый оператор, доказывается аналог теоремы Фату, связанный с данной топологией. Показано также, что пространство вполне измеримых операторов отделимо относительно топологии локальной сходимости по мере. Приводится описание данной топологии в случае алгебры всех ограниченных операторов с каноническим следом на ней и в случае коммутативной алгебры операторов умножения на измеримую функцию с интегралом Лебега в качестве следа. А именно, показывается, что если исходная алгебра фон Неймана совпадает с алгеброй всех ограниченных операторов, на которой рассматривается канонический след, то топология локальной сходимости по мере совпадает с топологией слабой операторной сходимости. Если исходная алгебра фон Неймана совпадает с коммутативной алгеброй операторов умножения на измеримую функцию с интегралом Лебега в качестве следа, то топология локальной сходимости по мере есть классическая топология сходимости по мере на всех множествах конечной меры в пространстве вполне измеримых функций.

Во второй главе дисертации после исследования свойств вспомогательных топологий доказывается некоммутативный аналог теоремы Бухвалова-Лозановского о выпуклых, ограниченных подммножествах пространства L{r), замкнутых в топологии локальной сходимости по мере.

В § 4 в произвольном упорядоченном вещественном линейном пространстве X, порождающимся конусом своих положительных элементов, задается семейство полунорм по формуле: rf (x) = mi{f (xi) + f (x2) | X, X2 S X+, x = xx — x2} (x G X), где / пробегает множество положительных функционалов на X. Заметим, что такой способ задания полунорм был предложен А. Н. Шерст-невым в [21]. В этом параграфе исследуются свойства полунорм вида г/(-), а также доказывается, что, если в качестве X рассматривать вещественное линейное пространство эрмитовых ультраслабо непрерывных функционалов на алгебре фон Неймана М, а в качестве положительных функционалов на X — положительные операторы из алгебры М, то для (р? Mj? и, а € М+ имеем: ra (ip) = Ц^а½-^½)!). Доказывается, что продолжение полунормы га (-) с пространства М^ на пространство М* всех ультраслабо непрерывных функционалов на М, полученное с использованием указаного равенства, есть полунорма на М*. Для непустого подмножества Y С М через |<�т|(М*, У) обозначена топология на М*, порожденная семейством полунорм {ra | а? Y+}. Исследованы некоторые простые свойства этой топологии.

В § 5 доказывается, что |сг|(М*, У)-топология согласуется с двойственностью дуальной пары (М*, У), при условии, что У+ есть наследственный конус в М+, а подпространство У тотально на М*. Также вводится определение фундамента, как подпространства У, натянутого на наследственный конус своих положительных элементов и такого, что для всех b € М+{0} найдется, а 6 У+ такой, что 0 ф, а < Ь. Доказывается, что последнее условие имеет другие эквивалентные формулировки. В этом же параграфе исследуются свойства фундаментов и a (M*, Y)-топологии в случае, если подмножество У — фундамент.

В § б устанавливается связь между топологией сходимости локально по мере, |<�т|(М*, У)-топологией и сг (М*, У)-топологией при условии, что подмножество У С М является фундаментом.

В § 7 параграфе доказывается основная теорема данной дисертации:

Теорема 7.1. Пусть V — непустое выпуклое подмножество Ь{г), W — а (М*, М)-замыкание множества k (V). Тогда а) если V замкнуто в топологии локальной сходимости по мере в L{t), то б) если V ограничено и удовлетворяет (*), то V замкнуто в топологии локальной сходимости по мере в L{r).

Здесь через к обозначено каноническое вложение пространства L (г) в пространство М* непрерывных по норме функционалов на М, через Рг обозначен проектор Такесаки, фигурирующий в его теореме о разложении непрерывного по норме функционала на алгебре фон Неймана в виде суммы нормального и сингулярного функционалов (см. [58], [59]).

В этом параграфе также приведены некоторые следствия из этой теоремы.

Третья глава дисертации посвящена приложениям основной теоремы, связанным со слабой секвенциальной полнотой факторпространств пространства Ь (т).

В § 8 доказывается некоммутативный аналог теоремы Годфруа [35]: Теорема 8.1. Пусть X — некоторое банахово подпространство пространства L®. Если единичный шар X замкнут в топологии локальной сходимости по мере, то факторпространств о L (t)/X слабо секвенциально полно.

В § 9 рассматривается класс подпространств пространства Li®, удовлетворяющих условиям теоремы, приведенной выше. Это пространства, построенные по некоторому подмножеству Р С Мw и имеющие вид Г (Р) = {ж Е Li (t) | р±хр = 0 для всех р Е Р}. Доказывается.

Следствие 9.1. Факторпространство Li®/T (P) слабо секвенциально полно.

§ 10 посвящен изучению некоторых свойств некоммутативного пространства Харди Н. Так доказывается:

Следствие 10.4. Пусть М = В (Н), tr — канонический след и {o^beR — произвольная ультраслабо непрерывная группа *-автоморфизмо В (Н). Тогда L (tr)/Н слабо секвенциально полно.

Основым результатом § 10 является описание структуры некоммутативных пространств Харди, ассоциированных с группой внутренних «-автоморфизмов. А именно, доказывается, что в случае существования точного нормального условного ожидания, действующего из исходной алгебры в алгебру неподвижных (относительно заданной группы внутренних *-автоморфизмов) операторов, некоммутативное пространство Харди есть пространство, построенное по некоторому семейству проекторов. Как следствие этого факта, при указанных условиях имеем:

Следствие 10.6. Факторпространств о Li{r)/H слабо секвенциально полно.

В § 11 доказывается слабая секвенциальная полнота факторпростран-ства Li®/Li (rjv), где пространство L{tn) ассоциировано с подалгеброй фон Неймана N исходной алгебры фон Неймана и следом т/v, являющимся полуконечным ограничением следа т на N.

Таким образом, на защиту выносятся следующие основные положения:

I. Доказано, что изучение выпуклых ограниченных по норме подмножеств пространства L (t), замкнутых в топологии локальной сходимости по мере, может быть сведено к изучению выпуклых компактных множеств в сопряженном к алгебре фон Неймана пространстве.

II. Доказано, что если X — некоторое банахово подпространство пространства L (t) и единичный шар X замкнут в топологии локальной сходимости по мере, то факторпространство L{r)/X слабо секвенциально полно.

III. Изучена структура некоммутативного пространства Харди Hi, построенного по условному ожиданию в полуконечной алгебре фон Неймана и связанной с ним группе внутренних *-автоморфизмов.

IV. Доказана слабая секвенциальная полнота факторпространства L (t)/L{tn), где N — такая подалгебра фон Неймана алгебры М, что ограничение тдг следа т на N является полуконечным следом.

Результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора [62]-[65] и двух работах, выполненных совместно с О. Е. Тихоновым [66], [67]. Результаты работы [66] для случая конечного следа получены О. Е. Тихоновым (см. [12]), автором диссертации произведено распространение этих результатов на случай полуконечного следа. Задача, решенная в [67] автором дисертации, была сформулирована О. Е. Тихоновым, с которым также обсуждались полученные результаты.

Результаты диссертации докладывались на семинаре «Алгебры операторов и их приложения» при кафедре математического анализа Казанского государственного университета, на итоговых научных конференциях КГУ (1996, 2001 гг.), на XVIII Московской конференции молодых ученых мехмата МГУ (1996 г.), на II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (Казань, 1996 г.), на школе-конференции посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова. (Казань, 1999 г.), на V Казанской международной школе-конференции (2001 г.).

Автор благодарна своему научному руководителю Анатолию Николаевичу Шерстневу за постоянное внимание и помощь в работе над ди-сертацией. Автор также выражает глубокую признательность своему научному консультанту Олегу Евгеньевичу Тихонову за всестороннюю поддержку.

1. Братели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика// М.: «Мир», 1982. — 511 с.

2. Бухвалов А. В., Лозановский Г. Я. О замкнутых по мере множествах в пространствах измеримых функций // ДАН СССР 1973. -Т. 212. — N. 6. — С. 1273−1275.

3. Бухвалов А. В., Лозановский Г. Я. О замкнутых по мере множествах в пространствах измеримых функций // Труды Московского матем. об-ва. 1977. — Т. 34. — С. 128−149.

4. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функкции // М.: Мир, 1984. 470 с.

5. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций // М.: Издательство иностр. литературы, 1963. С. 311.

6. Данфорд Н., Шварц Д. Линейные операторы. Обшая теория // М.: Издательство иностр. литературы, 1962. 895 с.

7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1984. — 752 с.

8. Кусис П.

Введение

в теорию пространств Нр // М.: Мир, 1984. 364 с.

9. Муратов М. А. Сходимости в кольце измеримых операторов // Сб. научных трудов Ташкентского ун-та. 1978. — Т. 573. — С. 51−58.

10. Стайнспринг В. Ф. Теоремы об интегрировании относительно меры на проекторах и двойственность для унимодулярных групп.// Математика (сб. переводов) 1974. — Т. 6:2. — С. 107−149.

11. Тихонов О. Б. Интегрируемые билинейные формы и интеграл по операторнозначной мере // Известия ВУЗов. Математика 1982. -N. 3. — С. 76−80.

12. Тихонов О. Е. Замкнутые по мере выпуклые множества в некоммутативных L1 -пространствах / / XXVI Воронежская зимняя математическая школа: Сб. науч. тр. Воронеж: Изд-во ВГУ. — 1994. -С. 90.

13. Тихонов О. Е. Непрерывность операторных функций в топологиях, связанных со следом на алгебрах Неймана// Известия ВУЗов. Математика. 1987. — N. 1. — С. 77−79.

14. Тихонов О. Е. Пространства типа Lp относительно веса на алгебре Неймана // Известия ВУЗов. Математика.- 1982. N. 8. — С. 76−78.

15. Трунов Н. В. О некоммутативном аналоге пространства LP// Изв. вузов. Математика. 1979. — N. 11. — С. 77−82.

16. Трунов Н. В., Шерстнев А. Н. Условное ожидание в одной схеме некоммутативной теории вероятностей // Trans. 8th Prague Conf. Inform. Theory, Statis. Decis. Funct., Random Processes, Prague, 1978. -V. B. Prague C. 287−299.

17. Трунов H. В., Шерстнев A. H. К обшей теории интегрирования в алгебрах операторов относительно веса. I// Изв. вузов. Математика. 1978. — N. 7. — С. 79−88.

18. Трунов Н. В., Шерстнев А. Н. К обшей теории интегрирования в алгебрах операторов относительно веса. II/ / Изв. вузов. Математика.- 1978. N. 12. — С. 88−98.

19. Трунов Н. В., Шерстнев А. Н.

Введение

в теорию некоммутативного интегрирования// В кн. «Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 27. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР.» М. 1985. — С. 167−190.

20. Хавин В. П. Слабая полнота V-/Н// Вестник ЛГУ, сер. матем.-1973. N. 13. — С. 77−81.

21. Шерстнев А. Н. К общей теории состояний на алгебрах фон Неймана// Функц. анализ и его прилож. 1974. — Т. 8 — N. 3. — С. 88−90.

22. Шерстнев А. Н. К теории состояний на алгебрах фон Неймана// В сб. Теория функций и функц. анализ. Казань: Изд. Казанского ун-та. 1976. — С. 82−97.

23. Шерстнев А. Н. О некоммутативном аналоге пространства Li// УМН. 1978. — Т. 33. — N.1 — С. 231−231.

24. Шерстнев А. Н. Об одном некоммутативном аналоге пространства Ь// В сб. Теория функций и функц. анализ. Казань: Изд. Казанского ун-та. 1978. — С. 112−123.

25. Шерстнев А. Н. К общей теории меры и интеграла в алгебрах Неймана// Изв. вузов. Математика. 1982. — N. 8. — С. 20−35.

26. Arveson W. В. Analyticity in operator algebras // Amer. J. Math. -1967. V. 89. — N. 3. — P. 578−642.

27. Arveson W. B. On group of automorphisms of operator algebras // J. Func. Anal. 1973. — V. 15. — P. 217−243.

28. Bukhvalov A. V. Optimization without compactness, and its applications // Operator Theory: Advances and Applications. 1995. — Vol. 75. -P. 95−112.

29. Ciach L. J. Some remarks on convergence in measure and on dominated sequence of operators measurable with respect to a semifinite von Neumann algebra // Col. Math. 1988. — V. LV. — f. 1. — P. 109−121.

30. Dodds P. G., Dodds Th. K.-Y., de Pagter B. Noncommutative Kot-he duality //Trans. Amer. Math. Soc. 1993. — Vol. 339. — No. 2. — P. 717 750.

31. Diximier 3. Formes linearies sur un anneau ddperateurs// Bull. Soc. Math. France.- 1953. T. 81. — N. 1. P. 9−39.

32. Fack Т., Kosaki H. Generalized s-numbers of т-measurable operators // Pasific J. Math. 1986. — V. 123. — N. 2. — P. 269−300.

33. Fall Т., Arveson W., Muhli P., Perturbations of nest algebras// J. Operator Theory. 1979. — V. 1. — P. 137−150.

34. Godefroy G. Nicely placed subspaces of Вanach lattices // Semester-dericht Funktionalanalysis, Sommersemester 1984. — P. 205−218.

35. Godefroy G. Sous-espaces bien disposes de Ll-applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. — V. 286. — N. 1. — P. 227−249.

36. Godefroy G., Talagrand M. Classes d’espaces de Banach a predual unique // C. R. Acad. Sc. Paris. 1981. — T. 292. — Ser. I. — N. 5−2. — P. 323−325.

37. Helson H., Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. I. // Acta Math. 1958. — V. 99. — P. 165−202.

38. Helson H., Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series inseveral variables. II / / Acta Math. 1961. — V. 106. — P. 175−213.

39. Kadison R., Singer I. Triangular operator algebras // Amer. J. Math.- 1960. V. 82. — P. 227−259.

40. Kamei N. Simply invariant subspace therms for antisimmetric finite subdiagonal algebras // Tohoku Math. J. 1969. — V. 21. — P. 467−473.

41. Kawamyra S., Tomiyama J. On subdiagonal algebras associated with flows in von Neumann algebras //J. Math. Soc. Japan 1977. — V. 29. -P. 73−90.

42. Loebl R. I., Muhli P. S. Analyticity and flows in von Neumann algebras //J. Func. Anal. 1978. — V. 29. — N. 2. — P. 214−252.

43. Marsally M. Noncommutative H2 spaces // Proc. Amer. Math. Soc.- 1997. V. 125. — N. 3. — P. 779−784.

44. Marsally M., West G. Noncommutative Hp spaces //J. Operator Theory. 1998. — V. 40. — P. 339−355.

45. Marsally M., West G. The dual of noncommutative H1 // Indiana Univ. Maht. J. 1998. — V. 47. — N. 2. — P. 489−500.

46. McAsey M., Muhly P. S., Saito K.-S. Non-selfadjoint crossed products. (Invariant subspaces and maximality) // Trans. Amer. Math. Soc. 1978. V. 248. P. 381−409.

47. McAsey M., Muhly P. S., Saito K.-S. Non-selfadjoint crossed products. (Invariant subspaces and maximality). II //J. Math. Soc. Japan. 1981. -V. 33. — P. 485−495.

48. Mooney M. C. A theorem on bounded analytic functions // Pasific J. Math. 1973. — V. 43. — P. 457−463.

49. Nelson E. Notes on поп-commutative integration //J. Funct. Anal. 1974. — V. 15 — P. 103−116.

50. Nakazi Т., Watatani Y. Invariant subspace theorems for subdiagonal algebras //J. Operator Theory 1997. — V. 37. — P. 379−395.

51. Padmanabhan A. R. Convergence in measure and related results in finite rings of operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. — Vol. 128. -P. 359−378.

52. Saito K.-S. A note on invariant subspaces for finite maximal sub-diagonal algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. — V. 77. — N. 3 — P. 348−352.

53. Saito K.-S. On поп-commutative Hardy spaces associated with flows of finite von Neumann algebras // Tohoku Math. J. 1977. — V. 29. — P. 585−595.

54. Saito K.-S. The Hardy spaces associated with periodic flows on von Neumann algebras // Tohoku Math. J. 1977. — V. 29. — P. 69−75.

55. Sankaran. S Stochastic convergence for operators// Quart. J. Math. Oxford Ser. 2 1964. — V. 15. — P. 97−102.

56. Segal I. E. A non-commutative extension of abstract integranion // Ann. Math. 1953. — Vol. 57. — P. 401−457.

57. Takesaki M. Conditional expectation in von Neumann algebras //J. Func. Anal. 1972. — V. 9. — N. 3. — P. 306−321.

58. Takesaki M. On the conjugate space of an operator algebra // Tohoku Math. J. 1958. — V. 10. — N. 2. — P. 194−203.

59. Takesaki M. Theory of Operator Algebras. I. Springer — Verlag:1979. 415 p.

60. Yeadon F. J. Convergence of measurable operators // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1973. — V. 74. — N. 2. — P. 258−268.

61. Yeadon F. J. Non-commutative LP-spaces // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1975. — V. 77. — N. 1. — P. 91−102.Работы автора по теме дисертации.

62. Скворцова Г. Ш. Некоммутативный аналог теоремы Бухвалова-Лозановского о выпуклых подмножествах Li //Казанский университет. Казань, 2000. 12 С. — Деп. в ВИНИТИ. — 24.05.00. — N 1489-В00.

63. Скворцова Г. Ш. О слабой секвенциальной полноте факторпро-странств пространства интегрируемых операторов. // Известия ВУЗов. Математика. 2002. — N. 9. — С. 71−74.

64. Скворцова Г. Ш., Тихонов О. Е. Выпуклые множества в некомРОСОШ-СХЛЯ ГОСУДА^-'Т^-НА^ БЕБ.!Ш01?ЯЛ.