Приближение функций двух переменных и задачи восстановления значений линейных операторов и функционалов

К настоящему времени в теории приближения глубоко и тщательно исследованы задачи, связанные с аппроксимацией функций одной переменной. По этой проблематике, берущей свое начало от основополагающих. работ Вейерштрасса и Чебышева, написаны десятки монографий (см., например, И. П. Натансон [743,В. Л. Гончаров [ЗЭЗ, Н. И. Ахиезер [43, А. Ф. Тиман [943,О. М. Никольский [771, Н. П. Корнейчук [50,53,541, В. К. Дзядык [431,В. М. Тихомиров [953, P.J.Davis И003, G.G.IiOrentz [1073 и другие).

Особую роль сыграли пионерские работы А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского, связанные с.решением.экстремальных задач, когда надо найти точную верхнюю грань погрешности приближения на заданном классе функций и указать для этого класса наилучший аппарат приближе-. ния фиксированной размерности. Усилиями многих математиков и, в первую очередь, учеников и последователей Колмогорова и Никольского, такие задачи решены. в одномерном случае для наиболее употребляемых классов функций. Однако оказалось, что разработанные методы. иногда существенно используют одномерную специфику и не срабатывают при. исследовании экстремальных задач на классах. функций двух и большего числа переменных.

Поэтому, естественно, что в. последнее время внимание многих специалистов, работающих в области теории аппроксимации, обращено на экстремальные задачи приближения в многомерном случае. Другое направление, которое сейчас интенсивно разрабатывается, возникло на стыке теории приближения и численного анализа. Оно связано, во-первых, с оптимизацией приближенного интегрирования, а вовторых, с восстановлением значений у=Аг оператора А, когда известна неполная информация об элементе х. Оказалось, что разработанные в последнее время методы и полученные результаты в теории приближения позволяют и в этих задачах находить в ряде случаев точное в том или ином смысле решение. В диссертации, состоящей из четырёх глав, решается ряд конкретных экстремальных задач, связанных с: а) приближением функций двух переменных (главы I и II) — б) восстановлением значений линейных операторов (глава III) — в) оптимизацией приближённого. интегрирования, то есть с оптимальным восстановлением линейного функционала (глава IV).

При решении указанных задач в качестве аппарата приближения используются интерполяционные сплайн-функции, тригонометрические полиномы и блендинговые конструкции (обобщённые полиномы и смешанные сплайны).

Среди актуальных задач теории приближения особое место занимают экстремальные задачи, связанные с приближением функций сплайнами (кусочно-полиномиальными функциями). К настоящему времени ап-проксимационные и экстремальные свойства сплайнов достаточно хорошо изучены. Этим вопросам посвящён ряд работ, наиболее важными из которых являются следующие монографии: Дк. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолт [6], С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин [873, Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко 1473, Н. П. Корнейчук [53,543, Н. П. Корнейчук, А. А. Лигун, В. Г. Доронин [513, Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун [563. В перечисленных монографиях в основном рассматриваются решения экстремальных задач теории сплайнов для функций одной переменной, а экстремальным задачам, связанным с многомерными сплайнами, уделяется значительно меньшее внимание. По сравнению с одномерным случаем, исследование экстремальных свойств многомерных сплайнов и приближение функций многих переменных значительно усложняется ввиду появления принципиально новых обстоятельств, связанных с многомерностью. В частности, область, на которой осуществляется приближение, может иметь весьма сложную структуру, в результате чего возникают трудности при описании дифференциально-разностных свойств функций многих переменных. При этом усложняется и приближающий аппарат. Поэтому точные результаты в задачах многомерных сплайн-аппроксимаций известны в редких случаях.

Отметим, что некоторые результаты окончательного характера, связанные с приближением функций двух переменных локальными сплайнами, получены в работах В. Ф. Сторчая [88,893, В. Ф. Бабенко и А.А.Ли-гуна [93,В. Ф. Бабенко И23, О. В. Переверзева [81,823,А. М. Авакяна [13, С. Б. Вакарчука [303, G. Birktoff, M. Sclmlts, R. Varga [973, R. Carlson, C. Hall J983, C. de Boor И013. Изложим основные результаты диссертации по главам. .

В первой главе рассматриваются задачи одновременного приближения функций двух переменных и их частных производных билинейными интерполяционными сплайнами и их соответствующими производными. Указанные задачи рассмотрены на классах функций, задаваемых модулями непрерывности.

Пусть ftC (G), где G = [0,13х[0,13. Через C (r's)(G), где r, sцелые неотрицательные числа, обозначим класс функций f (x, y), обладающих непрерывными частными производными где г и q К s. Далее, при r=s=о полагаем G (a, aJ (G)=G (G) с обычной нормой f (hq3(xry) = dl+clf/dxldycl.

Специфика двумерного случая позволяет функции ftC (G) сопоставить как полный модуль непрерывности: us (f-t, i) «sup у* e-|: t, т}> где (хч, y*)f (x* y44) eG, так и частные модули непрерывности: Mf-t, о) = амр^f (a:1,y)-f (xf, ty): о s у.

— = sup [if (x, y')-f (x, yr): |о л х характеризующие изменение fix, у) вдоль каждой переменной.

Модулем непрерывности функции /€ 0(G) также называют функцию sup |jf (xyl)-f (x*, у*)-f (x'y')+f (х\, у") :

При определении приведенных ниже классов функций f (x, y) предполагается, что feG (r~1tS~1)(G) (r, s 2 1 }.

Через ff (ris)rf* fr, s=o, iобозначим класс функций, у которых производная f (r, s)(х, у) всюду в G существует, кусочно-непрерывна, допускает перемену порядка дифференцирования и для любых двух точек (ху*),(хщ, у")eG удовлетворяет неравенству fSr>s)(x', y') — f (r's)(x\y")| < где' (lift, т) — заданный полный модуль непрерывности., tflj.

Будем говорить, что функция f е If1 >'Н ', если она имеет кусочно-непрерывную производную f (r, s) (х, у), удовлетворяющую для любых двух точек (х*, у'(х* ч, уч •)zG условию гдe b3j (t) и uz (t) — заданные модули непрерывности.

Через обозначим класс функций, у которых существует кусочно-непрерывная на G производная fCr’a)(x, y) f удовлетворяющая для любых двух точек М*fx*, у*Jf* * (х'*, у• *)еС? условию l/^-VjfV — f (r'a)(M' ^ w[p (M4)], где р (М'-М') = / (х*-х")2 + (у*-у")2 — расстояние между точками и ?**, a o) ft- - заданный на отрезке Со, ч^З модуль непрерывности.

Через V (r>a)lt** обозначим класс функций, у которых существует кусочно-непрерывная на G производная f (r'a) (хгу), удовлетворяющая для любых двух точек (х, у*}, (х'', у* *)eG условию f (r>B)(x', y')~ f (r'a3(xy") — f'^WWH f.

Вместо W (o>o)H W*0'0¹^2, W (0>0)lF>sr будем соответственно писать ffw, Я '' 2, Я*0'2″ Я^*.

Зададим в области G сетку Дтп — Д®х Д^, где.

Af — х, = i/m (t=o7m) — А*: у = J/n (J=o7n),.

Ш X 71 J которой задаётся разбиение квадрата G на ячейки.

Guj = [xi-i*xi3 х [yj-i>yj]> (.

Поставим в соответствие каздой ftC (G) функцию S. Jf-x, y) € G (G)r i • 7 однозначно определённую условиями:

1). на каадой ячейке G. (i=l, тJ=1, п) функция S, Jf-x, y) является алгебраическим многочленом первой степени по л: и по у;

2). Su1(J-xvyj) = f (xt, yj) (i=o7m-J=o7n).

Если 5Hr'afr, s=o, l —один из определённых выше классов функций, то требуется найти точное значение величины.etWcnVPj.Wsup {e (b(f)ic: /em7*'5} (0.1) для I < r, q? s- 1 < r + s? 2, r, s=o, i, где еп><*>(?-х, у} = f (l>q)(x, у) — S'^W, у), (l, q=o7T) — погрешность интерполяции билинейными сплайнами. Порядковые оценки величины, аналогичной (0.1)1 но для иных, классов функций, имеются в монографиях: Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. • Уолш [61, С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин Е87], Ю. О. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко [47]. Оценки, связанные с наилучшим выбором точек интерполяции функции f (xrу) многогранными линейными функциями, содержатся в работе В. Ф. Бабенко и А. А. Лигуна ЕЭЗ. Интерполяцию непрерывных отображений кусочно-линейными рассматривал В. Ф. Бабенко t123..

В одномерном случае задача (0.1) для класса 1ГгЛо, 1 J (г=о, 1) исследовалась В. Н. Малозёмовым [67,681,А. С. Логиновым [66] и другими..

В случае приближения функций двух переменных билинейными сплайнами первые точные результаты решения задачи (0.1) принадлежат В. Ф. Сторчаю [88,891. Он доказал, что для произвольных выпуклых модулей непрерывности wft, s-, ufe-, w, ft-, u2W имеют место равенства.

Эти результаты относятся к случаю l=g=r=s=0. В случае l=q=r~s=- О. Б. Вакарчуком [30] найдено решение задачи (0.1) для класса lf (1f1 № с произвольным полным модулем непрерывности wft, t) z ,.

1/т 1/п.

1'1)(W (1>nl?) = roi. J J w (t, i) dt йт, о о В. двух крайних случаях, задача (0.1) для класса W (1>1 V была решена. Оставалось найти точное решение указанной задачи в случаях 1=г=1, q=s=о z l=r=o, q=s=l для класса irfr’s и при Кг, g < s- 1 r+s < 2, r=s=o, t для остальных введенных выше классов функций..

В ходе получения точной оценки погрешности интерполяции e (f-x, y) в кавдой точке (xry)^.Gtj (1=ТЩJ=i, nj на классах функций важную роль играет Лежа 1.2.2. Пусть fzC (1>0)(G)n G (0>1)(G) и S, t (f-t, t)-билинеОжт сплайн, ттврполирущий функцию /(t, i) б узлах (tt, ij) произвольного разбиения G^ = tti1, tilx[ij1 fij] (i=t, ni-J=i, n) квадрата G. Тогда в каждой точке {x, y) zG,. выполняется неравенство.

•-.- —¦ f (x, y) — Su1(J-x9y) $ (t.-x)'(x-t УТ*Г*1 -1 ft,-t. v-2 J — 4.

— * i l-f. о «неулучшаелое на всел множестве Gn'0)(G)n C (°>1)(G)..

Если же feGV^liG), то в каждой точке {x, y) tG.. справедливо. w ¦ неравенство. (tx)'(x-t) (l,-y)*(y-t. J , — s с. Л • 4lV • '^Z1 ж.

1: («г*^2 r.

X J J О — о неулучшаелое на всел множестве С (1>1 *(G)..

Из леммы 1.2.2 при равномерном разбиении квадрата G следует.

Теореш I.3.I I 1.3.2. Пусть (t), шг (1) и г произвольные выпуклые лодули непрерывности. Тогда для любых т и п справедливы равенства:.. п 1/т 1/п efgWe^п — l. j ^(tpt, J. J i-О '. «V О —.

1/т 1/п г^Ра^] = ¦¦¦-—*., { ^(t.vatto..

— «^ о «о.

Если же (Dr (t) и w?(t) — произвольные лодули непрерывности, то.

— ?(|ГГ'^ЯШ" Иг п «<�о-')я (Й» Шг] =.

9 J/1* е о ' о.

Цри получении точных значений величины (0.1) для 1 $ $ 2, r=s=o, i на перечисленных классах функций широко используются свойства разделённых разностей функций двух переменных. Эта техника даёт весьма удобное интегральное представление погрешности интерполяции частных производных функций соответствующими производными билинейного сплайна. В результате получаем следующее утверждение:.

Теорема 1.4.1. Пусть o)(tfT)-выпуклый модуль непрерывности по переленной л. Тогда имеет место равенство.

1/т о.

Если же a (t, i) является выпуклым модулем непрерывности по переменной t, то ..

1/п.

Одной из центральных в данной главе является.

Теорема 1.4.2. Пусть ш (0) — произвольный лодульнепрерывности. Тогда для любых т и п илеет лесто равенство t/ж 1/п tf^jfffb'^'2), | o)(/t2 + V jdtdT. о о.

Если же — выпуклый лодуль непрерывности, то для любых т и п справедливы равенства л/м * m. J o)(/t2 + ¼пг jdt, о.

1/п.

J>flW, 23 — n’l w (VWz + Т2')dT. ', ¦ i о.

Во второй главе, на основе Олендинговых методов приближения (blendlug-approxlmatlon method), вычислены точные значения квазипоперечников некоторых, классов функций. Интенсивное развитие смешанных (blending) методов приближения функций многих переменных в работах А. И. Вайндинера [27,28], Н. П. Корнейчука и С. В. Переверзева С52], О. Н. Литвина ?653, С. Б. Вакарчука [29,311, W. Gordon [1023, W. Haupmaim, K. Jetter, B. Steinhaua [1093, J. Лезрегзз, E. Cheney [1103, и других, позволило расширить рамки применения названных методов и эффективно использовать их при решении задач оптимизационного: содержания. Определение понятий различных квазипоперечников компактов на основе блендинг-методов дало возможность перейти к изучению тех экстремальных задач, теории приближения, круг которых для обычных n-поперечников очертил А. Н. Колмогоров [1043. *.

Напомним определение, квазипоперечников для функций двух переменных..

Пусть (X, |"lx) и (Yr |"| - - некоторые линейные нормированные пространства функций одной переменной, а v.= Cv (х))ш U = (и (у))п их конечномерные подпространства, то есть У^ с х, и с у. Выражение вида.

ТВ п где f (p и Гф (у))т — наборы цроизвольных функций, принадлежапщх соответственно пространствам X и Г, назовём обобщённым полиномом, порождённым подпространствами Vm и Un..

Известно [23,110 ], что обобщённые полиномы указанного вида образуют подпространство G (V, U) ^ У ФУ + хт * яг п' .т п* где операции «Ф» и обозначают соответственно операции декартова «произведения и прямой суммы ^множеств..

Обозначим i< • ¦ •• f>G№n))z^ {i/-^/-!^: ^^,^-}, (0.2) ,.

Q’W^nVi' sup: /€*}. <�о.З).

Величина (0.2) характеризует наилучшее приближение фиксированного элемента / е Ш множеством G (4^tUn)t, а величина (0.3) — отклонение множества Ж от G (Vm, Un) в нормированном пространстве (Zr"z) i Для центрально-симметричного множества Же Z величину — сУ} . называют квазипоперечником множества Ж по Колмогорову [104]. — Величины, аналогичные (0.4) изучались в работах В.Н.Темлякова.

93] и М.-Б.А.Бабаева Е83. Точные значедая квазипоперечников некоторых функциональных классов найдены С. Б. Вакарчуком [31,323..

Пусть wмножество натуральных чисел, А=[о, 2х], Аг=АхА, Ъг (й.г) — множество 2тс-периодических по каждой переменной функций f (xry), для которых.

И*- ^:f{Я lf (x'y)l<т' ' А* 4.

Через. (г, sew) обозначим множество функций feC (hz),.y которас-//.^(хф)€ 0(6*-)~ (v=o, r-i, производные l p.=o, s-i) vl f (v>s) fv=o, r-i) всюду на А2 существуют, кусочно-непрерывны, допускают перемену порядка дифференцирования, a f (r*s}(х, у).

Для произвольной функции f (х, у) € ligfA2) определим смешанный модуль гладкости где ъ р ,.

1>sO |l"0 '.

Пусть Qj (x) (XX)-J=1,2) — положительные неубывающие функции, удовлетворящие условию ., lim Ф.(х) = Ф.(о) ® О. х+ а ^ - .J.

Через Сг, 5 €"нобозначим множество функций / € для которых. }(Х, у) при. О < и, V? 21С удовлетворяют условию I ,'Го о «» *' '" «' ¦.

Обозначим.

1-созШ)ш, nt «%-.

1-coarit J™ nt > %. f Имеет место следупцее утверждение..

Теорема 2.2.1. Пусть функции, <7=1, 2) удовлетворяют условиям.

• jPft-coat• slnrt/li^dt < 2х^(х) о при любыхи цхэ. Тогда при всех т, п&н справедливы равенства.

Пусть Wj (x) (x>o-J=1,2- - произвольные, выпуклые возрастающие функции, для которых lim f Jx) — - О. ж* о J J.

Через fr, s€wобозначим класс функций /eLgV5/А2-, удовлетворяющих при. о < и, v $ 2% условию и V о о.

Теорема 2.2.2. Пусть для любого заданного де (0,1Ьи для всех Л. Х), Х€{о,%Ъ~функири Vj (x) (J=1,2- удовлетворяют условиям J Г1 -cost < ГЛлг-«J (1 -coat -*dt. о ~ о.

Гогба Одя любых m, new uieem лесто равенство ^J*^ '[ J ft-cp3mt-kdtj. J Г1-созпт-ь (1т| ..

Отметим, что условиям теорем 2.2.1 и 2.2.2 удовлетворяют, например, функции [913 2.

Фш (х) = & /169 Фш (х) х где а.

Множество мажорантных’функций этим вовсе не ограничивается. Используя определение и некоторые свойства правильно меняющихся функций Ъ (х)Л (х) из [833, можно построить широкое множество мажорант вида.

Ф^ = Фш (Х)гЪ (Х)9 Щх) «Ъ,(х)'1(х)г для которых выполняются условия указанных теорем..

4epe3 Jf^'s (A2^ (г, sew обозначим множество функций ftCr~1>s~1 у которых частные производные (х, у) (ь=Щё) и f (v*s)(xrif) v=Qfr) всюду на А2 существуют, кусочно-непрерывны, причём аир {T (r>s)(x, y): (х, у№г} < U.

Через 1Г>в (Ьг) обозначим класс функций, тригонометрически сопряжённых по обеим переменным с функциями f (x, y) из класса.

Сформулируем основной результат из параграфа 2.3..

Теореш 2.3.1 к 2.3.2. При. любых m, n9r9s е м справедливы равенства где |bj — целая часть числа ЬКрГ Кр — каштхнш Фавора (сл., например, С543-..

В параграфе 2.4 второй главы рассмотрена задача построения ку-батурных формул для приближённого вычисления многомерных сингулярных интегралов с ядрами Гильберта. Предложен метод оптимизации ку-батурных формул, основанный на теории квазипоперечников и аналогичных идеях конструктивной теории функций. Отметим, что изложенный оптимизационный подход к приближённому &bdquo-вычислению сингулярных интегралов ранее нигде не рассматривался. Все известные автору результаты (см., например, [35,363) касались лишь построения конкретных кубатурных формул на определённых классах функций..

Пусть — некоторое банахово пространство вещественных функций s переменных f (x) = f (x1fxz,.m, xs) ая-периодических по каздой переменнойЛ (J=T7s). Xе/> -банахово пространство функций f (x1,., xJ^9xJ+1,.^, xs) — е zf imj&H).

— подпространство размерности т^ с базисом {ф^*^^^ J (J=THs)..

Положим.

• si я4 ж I S—7 Rt. S—I — ш т, ¦ I S где операции и «ч» есть соответственно декартово произведение и прямая сумма множеств. Элементы множества?? s можно представить в виде обобщённых полиномов порядка = {m1tm2,*., 9ms} ранга s-1, линейно зависящих от функции s-1 переменных [283: т. s-1) V2, g (х) = ^^. фЛ (хх3).ф (Xjh (J) (j)m.

Пусть — = - множество непрерывных операторов, переводящих Xs в Gg то есть Хв -*¦ G fu¹ * f. Л. -.

S 1 S.

Рассмотрим многомерный сингулярный интеграл с ядром типа Гильберта.

V — = [ /го-. Д ctg da, Q где QS «х = о= do = daT*do2* -. «dos. Интеграл понимается в смысле главного — значения по Коши £35], и будем рассматривать его как оператор, действующий в пространстве X. Аппроксимируем его плотность / различными выражениями, вида }(f). Тогда принимая за кубатурную форS мулу для = Is (f, x) выражение.

V/ = ^ (т**х-.

— S~' S • s ^ di ® и, полагая" = I / - обозначим.

— -s.

5 s~ xs /€* 1 s «V X шfs-П fs-JJ I «m, mfi — JXe s в «j ..

Эти величины характеризуют качество кубатурной формулы / для.

— S: сингулярного интеграла If на множестве Ш с X. Если U (J) с х. s mj 7 экстремальные или фиксированные подпространства размерности т. и оущвотвув! чшвраюр для когорт ШПО^СЯ ОЖО.

8 — S из условий- ~.

• • • Х- * чм*.

В S s s S.

S, А I4 'I.

• ¦ • • s S то кубатурную формулу Is (f, x) * }(f), x^ будем называть соответственно оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку на классе Ж среди всевозможных кубатурных формул вида i f (s-1).

S S •".-•..

Рассмотрим далее важный в практическом отношении^{частный} случай, когда — - множество линейных непрерывных one-: раторов, переводящих Хв в Gs с Пусть Л^ - (J^T^l ~ произвольные набор! линейных непрерывных функционалов, определённых на Хр и линейно независимых при каздом фиксированном «/. При этом каждай функционал действует-на /(х-= f (xirx2,. ., xs) как на функцию, зависящую только от одаой переменной Xj при фиксированных xf,.mm, xjj, xj+jp.rxs. Под Aj понимаем непрерывный линейный оператор, переводящий Xf в конечномерное подпространство, span я првдставимый в виде h=1.

Тогда каждый линейный оператор выражается формулой.

В в s-t) Ли (.

J— • •1″ j k * * Л X.

V^ Vv ft, — fk. j —- XT V **->> (0.5) где Jединичный оператор, (Д*В)/ - произведение операторов 4 и Б, V s flcp J fbj.

7 ¦ n ih «j.¦»,' * n, *t' <**>> f 2* ' J J Y=1 V V jfk.- flt, Jr OL), (k.) v. ..

Используя выражение (0.5), запишем кубатурную формулу.

-*- ' в.

•) > О X j (ъ) (к).

V.) п л v fx J (/), (о.б) — vet v j где kVliXj) = I1(^xJ) (к=л J=i, s)..

Полагая для остаточного члена формулы (0.6) s. s представим её погрешность на классе It в. виде.

As /cm «*¦ s.

При помощ и соотношения определяем оптимальную оценку погрешности кубатурных формул (0.6) на функциональном классе Я. Если существуют множества функционалов fX. i® и непрерывных функций таких, что имеет место одно из условий ..

— ¦ —¦ - , —. g то кубатурную формулу (0.6), в которой вместо л,-я Л, использованы fW.. г*.

R «назовём соответственно оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку на классе Я. Если фигурирующие в формуле (0.5линейные операторы (J-Л, s) — проекционные, то.

Л⁵ 1- можно рассматривать как линейный проектор, действущий из.

X вТ (?. В этом. случае оптимизационные характеристики (0.7)-(0.8) П. ресс^н," ряда, зада,.

S. S ¦ оптимизационного содержания, связанных с методами смешанной аппро-. кешцт многомерных сингулярных интегралов, нам понадобятся сле-дущие определения ЛЗЧ, 32]..

Пусть 31 <- Xs — центрально-симметричное множество. Тогда вели-..

6L. (*, XJ^int аир ~ toil. ,.

•-¦. -. I В.*..

Inf.

-w. mm •' * j*-««-^.

ШХ аирЦ b^ A^-^l % к (в-1)яГ ^ m (n n (в)*? ' «X^.

-" ё i — л rx*4? (IP ,". 'a /€ 51 s s.

И- «¦ s V.

— ^ .даейннйоператор, переводдий Xfi в Gs, называют coot.

• I’M."' «-si ветственно колмогоровским и линейным квазипоперечниками множества Я. Ранее величины, аналогичные сЗ^, изучались в работах [8,931. V.

V V • В.

1фоекционным квазипоперечником назовём вв! (ft, XL в ла inf — sup ..

— v.-•. -5 — - • где^-Ц^" ^?—- непрерывный линейный проектор, переводящий X • в G. Пусть Jt. c Xs — класс функций, тригонометрически сопряжённых к элементам класса 5lc Xs, aftc Хв — класс функций, тригонометрически сопряжённые к которым входят в 31. Символом ЬрШ5)" обозначим множество таких гтс-периодических по каждой переменной функций /(х-, для которых i.

PJp|jj/w|PdLcjP < со, Кр"х>, = Yraisup {f (x):xeQsl<<*>..

Под G ([)s) понимаем множество непрерывных в Qs гтс-периодиче ских.

— Г «» по каждой переменной функций f (x). Положим rs = где df. ,+r r1— г jTfre- — в-' V/Лс,. г.

Введём множество Л *fQ .) заданных в s-кубе П 2х-периодических то каждой переменной функций f (x)= /(х]гхг,.гхв), у которыхчас—тные производные 5 (х19хг1., х9) ftfc=0,rfc-l, непрерывны в, а производные 7 Н-'- ' t / всюду в О существуют, существенно ограничены, кусочно-непрерывны и.

— 5 —• «• допускают перемену порядка дифференцирования. • г: • -. Г I.

Шд If *(й ^{ч&Кт, г €ZSпонимаем класс функций /сЛ 5fO Л JP" S S + —————- S.

I) I rJP для которых I/ L «1» а под Пр №в) — множество 2тс-периодических по каждой переменной функций f (x) тригонометрически сопряжёнг ные к которым Т’ФЛ принадлежат классу 1Град полагаем р S.

Справедлива следующая.

Теорема 2.4.1. Пусть X — одно из пространств L (Q), К р < <л.

S S или 0(Qs), класс 51 с Xs и соответствующие елу класса 91 и Й являются кситашншсига оператор I действует в пространстве X. Тогда.

VM ¦ В | «ьтл,)..

В*- J I'-^fi'V' S> ' s — ъ с*"1.''- Чн («Д5) = «» «Д.* Sv J5 ' «• s. гОе и € z®, S — +.

Из теорем 2.3.1 и 2.4.1 вытекает.

Следствие 2.4.1. При всех ms с z* справедливы, равенствагОе — целая часть числа, а Kr , — констант Фавора. ¦.

Одням из основных результатов § 2.4 являетсяЗтврвт 2.4.4. Пусть Mfi е и 1 <р<". Тогда vfev-w1) л*.

• Я • 1 s J — 1 J M’p^-vM R и & ["доар*".' s s «(?.

•— • г0е б качествеЦ,. выступает любая из величин 7 т ., Ум и Ти, о б.

— - ¦ в'" —¦¦. — в в’т" ' - S качестве Ц, — любой из квазшитеречншюв ик^ s s. S. В третьей главе диссертации, состоящей из восьми параграфов, рассмотрен вопрос оптимального кодирования и восстановления решения краевых задач математической физики по информации о граничной функции. Краевая задача Дирихле .для — бигармонического уравнения формулируется следущим образом: требуется найти бигармоническую в единичном круге V = {(х, у):х?+у2=рг <11 функцию u (p, t) (О < р.< 1, О х t С 2*), удовлетворяющую уравнению gp’Je^Vu = ° (0−9) для которой «fp.tJI^- g (t), —— р=1 = о (0.10).

Решение задачи (О.Э)-(О.Ю) существует и задаётся формулой (см., например, [96,с.3983).

2с u (Pft) u (gip, t) l. J Kp (t-u)g (u№r о где ядро Xpft) определяется равенством l-fFf'Ci-P'Goat) 1-pz ' 2"| 1−2*p"coat+pfy.

Краевая задача Неймана для уравнения Лапласа ставится следующим образом: найти гармоническую в единичном круге D функцию иj (p, t) (0<р<1, удовлетворяющую уравнению — ^¦'Je —Ч. «(0.11, и двум граничным условиям ..

Ои { f* = V (t>> ' J Ф^^ 85 О. (0.12).

Решение^задачи (0.11)-(О-12) определяется с точностью до постоянной и задается формулой: г% p-p, t- = G1 + С, = const, о где ядро epfiJL имеет вид р*.

Г = X I" 4 cosftt" 0 < Р ¦< 1.

Отметим, что для выяснения дифференциальных свойств бигармо-нических и гармонических в единичном круге функций, с целью приложения к теоремам вложения краевые задачи (О.Э)-(О.Ю). и (0.11) -(0.12) были исследованы Я. С. Бугровым ?24]. Здесь рассмотрен вопрос нахождения точных значений наилучших приближений ядра и решения краевых задач Дирихле и Неймана триго-неметрическими полиномами. По заданной информации о граничных функциях находится наилучший линейный метод восстановления решения указанных задач в метрике Lp при р=1 и р=а"..

Пусть множество тригонометрических полиномов вида, а п~1.

Tn1(t)? (a^coakt + p^slnfctj порядка п-1. Тогда величина жп (*)р tat lp-' V."?-.}" есть наилучшее приближение функции cpftмножеством K^n— в метрике В > ходе изучения вопроса о восстановлении решений указанных краевых задач тригонометрическими полиномами важную роль играет: Теорема 3.3.1. Для всех пдо и p€f0,lj справедливы равенства^ в-с&р), = 4. arctgpn + 2.(1-рг)*тц>п'(1+ргпГ1г ш n (2v+1)n Р.

W. — й- - '-J**у®о * а Из этой теоремы и общих теорем двойственности вытекает Теорема 3.3.2. ~Для всех пен и реСопри р=1и:р=ю илект лесто соотношения.

Р л mil «.

•"V1 р — О.

Аналогичные утверждения в параграфе 3.4 доказаны для наилучших односторонних приближений ядер и решений сформулированных выше краевых задач..

В § 3.5 рассмотрены вопросы восстановления решения задач (0.9)-(0.10) и (0.11)-(0.12) тригонометрическими полиномами вида, а .X ^.

ТyMWP, 0*wt)-= -22~s +) ЯьГаьсоз^ f p^aiiikt). (0.13) Ьг i в метрику когда известны значения первых 2п-1 коэффициентов Фурье граничной функции.

<�р) fft=o, n-i):.

2г=1, гс-1). Приведём, например результаты, подученные для задачи.

Нэймана. Теорема 3.5.3. Для погрешности, восстановления решения uff (p-p, tj задачи Нейлона (0.11)-(0.12) трагонолетрическил полхшолол (0.13) в летршю Lp справедлива оценка аир int |и, Гф,-р, — гп .(и, ГФ-Р,*-Д-| = г «Ifl-<1 — «р р.

If. р fn P f.

0.14) о гдевектор l° =. J определен равенствами, t9*" «' ш п2вп * ^ Х^МтЭЙЯГ &diams-таят] = ш 'Zsn+hZsn-k.

2sn+k Р.

Or,.

Неравенство (0.14) неулучшаемо при р= 1 и p=m. i.

Из неравенства (0.14) сразу вытекает, что для щЪ (1 $р&->)..

Использование тригонометриче ского полинома (0.13) позволяет получить также следующее утверждение.

Теорема 3.5.4. Справедлива более тонкая оценка.

Существует функция < 1, для которой в (0.15) при р=1 и р=со имеет место-знак равенства..

В параграфе 3.6 рассматривается. вопрос восстановления решения задач Дирихле и Неймана по усреднённым значениям граничных функций..

В параграфе 3.7 рассмотрена задача оптимального кодирования восстановления значений операторов, общая постановка которой принадлежит Н. П. Корнейчуку [58,105]. В другой постановке, задачи опР о тимального восстановления линейных операторов и функционалов рассматривались в работах О. Б. Стечкина [86], Н. О. Бахвалова ?161, Ю. Н. Субботина [903, В. В. Арестова [7], А. Г. Марчука, К. Ю. Осипенко [69], В.Л.Beликина [34], А. А. Лигуна [106], А. А. Хенсыкбаева [46], А. И. Гребенникова, В. А. Морозова [40] и других. Задача оптимального кодирования в общей постановке сформулирована в монографии В. М. Тихомирова [95]..

Пусть li Y — линейные нормированные пространства,^ - линейный непрерывный оператора X в Y, Жянабор заданных на X* линейных непрерывных функционалов ц, гдэX* -пространство, сопряжённое к X. Каждому зхХ сопоставим вектор информации т (х, мя) ¦•"¦ (ijCx), ^fx-,.,^^—, (0.16> который можно рассматривать как кодирование элемента х точкой из R*. Если 51 — некоторое ограниченное множество в X, то положим *.

0Ш, А, Мя)г «sup — AylY: х, у&- Т (х, Мя) = .Т (у9Мя)^ *W, A, Y) = lnf {GCSt, A, MN)Y: V**}..

Если 3t — некоторое выпуклое центрально-стме тричное множество в X, то согласно результатам работы [1053:.

G№, A, Ms)y *: 2.3up ЦАХГ: хеЯ, Т (х^^О), (0.17).

— Пусть, А = Акоператор свёртки^ с 2х-периодическим ядром K (t)..

Полагаем f «Ак<�р = Ж*ф, если: г% Ajtft) = (0.18).

Как правило, априорная информация о функции.

< fJ, где К, — некоторое другое ядро. Очевидно, что .}. — выпуклое центрально-симметричное множество. Пусть вектор информации (0.16) имеет вид шТ a Hgnf — множество тригонометрических полиномов шрядка не выше п-1. Тогда согласно (0.17).

Если Kj (t) Brftмногочлен Бернулли, то как известно [543.

Ap (Kj) = Лр (Вг) = ИГ (г**л, 2,., f < р < а,-. В случае К=Яр и Я=Фр справедлива следующая Теорема 3.7.1. Для всех 1,2,.- p€fo, iгфц ри .и р=а" справедливы неравенства ipшfZv+JJn e ZsTT-Y (-VP.

В: этом же параграфе рассматривается интерполяционный метод *?.

2п восстановления в метрике Ър О^рз") свёртки (0.18), где K (t) есть любое из ядер Kpftили.

В соответствии «с-равенством (0.10) будем иметь..

G&^'^p — «Ф {^J W^'^Hp» ' ^ ГГФ,!^- = о}. о.

Одной из центральных теорем данного параграфа является ..

Теорема 3.7.2. Для всех, 2,., pefo, i), и 'справедливы неравенства ¦.

-Щъ^^У'* v «У* *.

При r=1 u справедливы более точные результат:.

V^OC'Jk,' < сКv «Уо о v"o.

В последнем параграфе 3.8 глаш 3 результаты о приближении функций билинейными сплайнами из главы 1 использужггсяпри восстановлении решения краевой задачи Дирихле для шара. При этом доказывается, что погрешность восстановления решения указанной задачи совпадает с погрешностью приближения билинейными сплайнами..

Четвёртая глава диссертации посвящена экстремальным задачам теории квадратур. Кратко изложим содержание этой главы..

Пусть Ж — некоторый класс функций f (t), определённых на отрезке fa, b Jq (t) — положительная суммируемая на ЕагЫ функция, удовлетворяпцая условиям:) q (t) непрерывна на интервале (а, Ъ) — 2) q (t) монотонна-в некоторых окрестностях точек, а и Ь, если она там неограничена. Набор узлов 21 := {Ч}^- •• ««*, < — < *п и коэффициентов Р = {р^^ определяет квадратурную формулу ь п q (t)'f (t)at »? PfcVfV * Rn (fwT>p)> (0.19) a Jt=J.

Величина.

Rn (%-q-T, P) = sup /е*} (0.20) определяет наибольшую погрешность квадратурной формулы (0.19) иа. функциях класса Я. Требуется найти величину.

JJM-q) = lnl Rn (M-q-T, P) (0.21)N, а также указать векторы узлов и коэффициентов.

Г* - f = для которых в (0.&1) достигается точная нижняя грань, то есть nm-q) = Rn (W-q-T*, P*)..

Постановка этой задачи и первые основополагапцие результаты принадлежат О. М. Никольскому £75,78]. Задача (0.21) в случае q (t)-J для различных классов функций исследовалась многими авторами. Наиболее существенные результаты принадлежат Н. П. Корейчуку и Н.Е.Луш-паю [49], Н. П. Корнейчуку [ 48 ], В. П. Моторному [71−73], А.А.Женсык-баеву [45,463, А. А. Лигуну [63,64], Б. Д. Боянову [19], В. Ф. Бабенко [10,11,13,14], К. И. Осколкову [80] и многим другим. Результаты этих и ДРУ™, исследований^приведены Н. П. Корнейчуком в дополнении к книге О. М. Шпсольского [78]. Тем не менее, существует ещё много классов функций и определённых интегралов, для которых задача (0.21) не решена. JC, их числу относится, например, задача о нахождении оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью следующего вида [601 1.

JJltidt, f 0< р.

Для интеграла (0.22) желая указать зависимость квадратурной формулы (0.19) и погрешность (0.21) от параметра s запишем их в вида j п ^ J^^dt =? Pk*f™ + (0.19)* о * ". k® J ?.

Пусть E1 (UO, 1} - класс функций, удовлетворяющих на отрезке [0,11 условию j/WТ (*'-) * -*'e,|7″ t’pfcfOjJ..

Ясно, что-If^ В следующей теореме для интеграла (0.22) при на классе И1 найдена оптимальная квадратурная формула с фиксированными узлами на концах отрезка интегрирования (квадратурная формула типа Маркова)..

Теорема 4.2.1. Пусть s=1. Тогда среди квадратурных формул типа Маркова, оптимальной, для класса Появляется формула о ' ¦ ' Ъ=1 погрешность которой равна.

Для произвольной положительной весовой функции q (t) и М = If*1* =:W (1 *L (1 -0,1) доказано следующее общее утверждение. (.

Теорема 4.3.1. Среди всех квадратурных формул вида (0,19) наилучшей для класса W (1 }L (1 -0,1) является формула 1 п q (t)f (t)at — f (th) ±. RJf w)>.

О Ъж1 где узлы th определятся из система 1 тм) = .вуWO), ffc=lTn) — F (t) — fqWdu.: J.

При этол, о.

Из этой теоремы, в частности, следует.

Теорема 4.3.2. Среди квадратурных формул вида 0.19)9 при. (Xs<1, .наилучшей на классе W (1 является квадратурная формула.

О К, Ъ=1 погрешность которой равна п Г Ч ~ ЙС1 -8)П' Отметим, что аналогичные утверждения доказываются и для весофункций q (t) ш [t (1-t)rs, О $ s < 1, и результатывсех одномерных теорем соответствующим образом обобщаются на двумерный случай. Приведём один из таких результатов..

Цусть If (tt1)L = W (unL (1,G) — класс заданных на квадрате G =?0,1 ]х[0,1 ] функций /(t, i) у которых существуют кусочно-непрерывные частные производные f (0t1 ^tft), f (1t1)(t, тудо-: влетворяжщие условиям:.

U1,(-'->U «I J < 1,.

-(G) 1.

0)l я lfCU3)(t, 0)*t $ 1, 0 1 о.

Рассмотрим сингулярный интеграл вида.

S (f)>* J J ^'^iltdT, О < s, k $ 1, (0.23) fGгде G = .fO, f Jx f 0, t J. Для вычисления интеграла (0.23) рассмотрим кубатурную формулу n m.

I I VV + Cw <0.24) гаfc^t^f определяемую векторами узлов.

—JF, о < t, < t2 < < tn% и: и вектором числовых коэффициентов Р = Требуется найти величину /я1 inf ei та где It — некоторый класс функций f (t, i) y определённых в квадрате G..

Теорема 4.4.3. При О 3 2,7 < 1 среОи кубатурнаг формул виПа (4.4.1) истюлъзцщих п"т значений подынтегральной функции, оптимальной Оля класса W (1,1}L (1 -G) является формула ins"*" * «.

G) Щ Ъ=1 1=1 погрешность каторсй равна.

В параграфе 4.5 рассматривается вопрос оптимизации квадратурных формул для регулярных интегралов на классах функций, задаваемых модулями гладкости..

Пусть — заданная положительная функция, удовлетворяющая условиям: ыг (0) = О, О? «О < вS — (0.25).

-о «: WgfO^- - v>g (Ot) *.

— ) | «)• (0.27).

Будем говорить, что функция f (t) € Я [а, Ъ], если её модуль гладкости sup- |/ftfh- - 2-Яt- + /Ct-^L^bj удовлетворяет условию v*z (Q, J) 3 где шг (Ъ) — заданный модуль гладкости, удовлетворящий условиям (0.25)-(0.27). Соответствущий класс 2и:-периодических функций обозначим Я. Заметим, что, а если t? z (Q) = 0 «О < а с 1, то класс Я совпадает с классом Зигмунда f' 0< a ф.

В квадратурной формуле (0.19) полагаем q (t)s1 и при вычислении величины (0.21) в качестве It берём Я * и Я ..

Теорема 4.5.1. При q (t)=1cpedu всех квадратурных формул вида (0.19), для которых выполнены условия к «п.

-tj:^ а + ]Г Pt — Ръ/2> СМТп),? «Ь — а. t-J Ъ=1 наилучшей для класса Я является формула прямоугольника.

•• Ь п.

Ш<�и — ^.^/[а^Ггай-г-] * «nW. а !""J ш fb-a-/2n fb-oV2 fn (ff *] = n. J cDgft^dt = Г ыга/п)йи о о.

Теорема 4.5.2. При q (t)sl среди всех квадратурных форлул вида (0.19), дляксторых выполнены условия к п i t, «о, V-2*, tk»?P|- ph/2, (teun)rPl «Рп, ' t"f k*r '¦¦rr: fUi) наилучшей для класса Я 2 является формула трапеций ..

П-1 о к=г.

При этом.

Из теорем 4.5.1, 4.5.2 в качестве следствия при u2(t)=ta по-т лучаем результаты работы ?31 для класса 2й..

Таково основное содержание диссертации, ч — По материалам работы были сделаны доклады:.

— на семинаре «Оптимизация методов приближения», руководимом членом-корреспондентом НАН Украины Н. П. Корнейчуком (Институт математики НАН Украины, ежегодно с 1990 г. по 1996 г.).

— на семинаре по теории приближения функций^ Днепропетровского госуниверситета, руководимом профессорами В. П. Моторным и В.Ф.Бабе-нко (Днепропетровск, май 1996).

— на семинаре по теории функций Днепродзержинского индустриального института, руководимом профессором А. А. Лигуном (Днепродзержинск, апрель 1990).

— на Республиканской конференции по экстремальным задачам теории приближения и их приложениям (Киев, 1990).

— на четвёртой Международной научной конференции им. академика М. Ф. Кравчука (Киев,'май 1995).

— на-Международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» (Москва, 1995) По теме диссертации опубликовано 17 работ..

1. Авакян A.M. О приближении функий двух переменных линейными методами// Укр.мат.журнал.- 1983. 35, J64. с.409−414..

2. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ъ2// ДАН Тадж.СОР.-1984.-27, Jf6.-c.415−418..

3. Аксень М. Б. Об оценках приближений квадратурными формулами для некоторых классов функций// ЖВМ и МФ.- 1963.-3, JIQ.-с.553−559..

4. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. -М.: Наука, 1965. 408 с..

5. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций// ДАН СССР.- 1937. 15. с.107−112..

6. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения.- М.:Мир, 1972. 320 с..

7. Арестов В. В. Приближение линейных операторов и родственные экстремальные задачи// Труды МИАН СССР.- 1975. 138. с.29−42..

8. Бабаев М.-Б.А. Приближение соболевских классов функций суммами произведений функций меньшего числа переменых// Труды МИАН СССР.- 1987. 180. с.30−32..

9. Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Об интерполяции многогранными функциями// Мат.заметки.- 1975. 18, Л6. с.803−814..

10. Бабенко В. Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул// Мат.заметки.- 1976. 19, *3. с.313−322..

11. Бабенко В. Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул// Мат.заметки. -1976. 20, J64. с.589−595..

12. Бабенко В. Ф. Интерполяция непрерывных отображений кусочно-линейными// Мат.заметки.- 1978. 24, Jfc1с.43−51..

13. Бабенко В. Ф. Приближения, поперечники и наилучшие квадратурные формулы для классов периодических с перестановочно инвариантными множествами производных// Anal. Math.- 1987, — 13, М.с.15−28..

14. Бабенко В. Ф. Об оптимизации Бесовых кубатурных формул// Укр. мат.журнал.- 1995. 47, Л8. с.1011−1021..

15. Бари Н. К. Тригонометрические ряды.-М. :Физматгиз.-1961. 936 с..

16. Бахвалов Н. О. Об оптимальных линейных методах приближений операторов на выпуклых классах функций// ЖВМ и МФ.- 1971 .-11, J&4. с.1014−1018..

17. Бахвалов Н. О. Численные методы.- М.:Наука.- 1975. 631 с..

18. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближённого вычисления сингулярных интегралов.- Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1983. 210 с..

19. Боянов Б. Д. Единственность оптимальных квадратурных формул// ДАН СССР.- 1979. 248, JS2. с.272−274..

20. Боянов Б. Д. Наилучшие метода интерполирования для некоторых классов дифференцируемых функций// Мат.заметки.- 1975. 17, Мс.511−524..

21. Боянов Б. Д. Наилучшее восстановление дифференцируемых периодических функций по их коэффициентам Фурье// Сердика. Българско математикеско списание.- 1976. 2. с.300−304..

22. Боянов Б. Д. Существование оптимальных квадратурных формул с заданными кратностями узлов// Матем.сборник.- 1978. 105(147), «0. с.342−370..

23. Ерудный Ю. А. Приближение функций и переменных квазимногочленами // Изв. АН СССР, сер.матем.- 1970. 34, JfG.- с.564−584..

24. Бугров Я. С. Свойства полигармонических функций// Изв. АН СССР, серия Матем.- 1958. 22. с.491−514..

25. Вайндинер А. И. Об одной новой форме рядов Фурье и выбора наилучших полиномов Фурье// ЖВМ и МФ.- 1967. 7, ЛИ.- с.177−185..

26. Вайндинер А. И. К оценке остатка обобщённого ряда Фурье дифференцируемых функций двух переменных// ДАН ССОР, — 1969. 184, ЯЗ.- с.511−513..

27. Вайндинер А. И. Приближение непрерывных и дифференцируемых функций многих переменных обобщёнными полиномами (конечной линейной суперпозицией функций меньшего числа переменных)// ДАН СССР- 1970. 192, ЖЗ.- с.483−486..

28. Вайндинер А. И. Некоторые вопросы приближения функций многих переменных и эффективные прямые методы решения задач теории упругости// Упругость и неупругость, йзд-ео Московского ун-та.- 1973. вып.З.- с.16−46..

29. Вакарчук О. Б. О точных значениях квазипоперечников некоторых периодических функций двух переменных// Теория приближений и смежные вопросы анализа и топологии.- Киев: Ин-т математики АН УСОР.- 1987. с.15−20..

30. Вакарчук О. Б. К интерполяции билинейными сплайнами// Мат.заметки.- 1990. 47, вып.5. с.26−29..

31. Вакарчук О. Б. О приближении дифференцируемых функций многих переменных// Мат.заметки.- 1990. 48, ЖЗ, — с.37−44..

32. Вакарчук О. Б. Квазипоперечники функциональных классов в некоторых банаховых пространствах аналитических функций многих комплексных переменных// ДАН Украины, серия А.- 1992. ЖЗ.— с.26−31..

33. Вакарчук О. Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций// Матем.заметки.- 1995. 57, *1. с.30−39..

34. Beликин В. А. Оптимальная интерполяция периодических дифференцируемых функций с ограниченной старшей производной// Мат.заметки.- 1977. 22, Лб.- с.663−670..

35. Габдулхаев Б. Г. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов.I.// Изв. на матем. инст. при Бълг.АН.- 1970. J611. с.181−196..

36. Габдулхаев Б. Г. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов.II.// Изв. вузов, математика.- 1975, — М.- с.3−13..

37. ГаОдулхаэв Б. Г. Оптимальные аппроксимации линейных задач.- Казань: Казан. ун-т.- 1980. 232 с..

38. Гиршович Ю. М. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале// Изв. АН Эстонской СОР.- 1975. 24, J61. с.121−123..

39. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций.-М.: Гостехиздат.- 1954. 452 с..

40. Гребенникова А. И., Морозов В. А. Об оптимальном приближении операторов// ЖВМ и МФ.- 1977. 17, т.- с.3−14..

41. Григорян Ю. И. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах// Успехи мат.наук.- 1975. 30, JfG.- с. 161 -162..

42. Гоголадзе Л. Д. О существовании сопряжённых функций многих переменных// Матем.сборник.- 1984. 225, JIG.- с.481−488..

43. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами.- М.:Наука.- 1977. 510 с..

44. Ефимов А. В. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена.11.// Изв. АН СССР, серия матем.- 1960. 24, ЯЗ.- с. 431−468..

45. Женсыкбаев А. А. Наилучшая квадратурная формула для некоторых классов периодических дифференцируемых функцций// Изв. АН СССР, серия Матем.- 1977. 41, Ш, — с.1110−1124..

46. Женсыкбаев А. А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы// Успехи мат.наук.- 1981.-36, Л4.-с.107−159..

47. Завьялов Ю. С., Квасов В. И., Мирошниченко В. Л. Метода сплайн-функций.- М.:Наука, — 1980. 352 с..

48. Корнейчук Н. П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных// Мат. заме тки.- 1968. 3, $ 5.-с.565−576..

49. Корнейчук Н. П., Лушпай Н. Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно-полиномиальное приближение// Изв. АН СССР, серия Матем.- 1969. 33, Л6. с. 14 161 437..

50. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения.- М.: Наука.- 1976. 320 с..

51. Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями.- Киев: Наукова думка.- 1982. 320 с..

52. Корнейчук Н. П., Перевврзвв О. В. К вопросу о приближении функций двух переменных операторами, построенными на базе одномерных операторов// Теория функций и топология. Киев: Ин-т математики АН УССР, — 1983. с.43−49..

53. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения.- М.: Наука.-1984. 352 с..

54. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения.- М.: Наука.- 1987. 424 с..

55. Корнейчук Н. П. О приближении свёрток периодических функций// Вопросы анализа и приближения.- Киев: Мн-т математики АН УССР.- 1989. с.76−80..

56. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов.- Киев: Наукова думка.- 1992. 304 с..

57. Корнейчук Н. П. Оптимизации адаптивных алгоритмов восстановления монотонных функций класса Ей// Укр.мат.журнал.- 1993. 45, #12. с.1627−1634..

58. Корнейчук Н. П. Об оптимальном восстановлении значений операторов// Укр.мат.журнал.- 1994. 46, № 10. с.1375−1381..

59. Крупник Н. Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы.- Кишинёв: Штиинца.- 1984. 140 с..

60. Лебедев В. И., Бабурин О. В. О вычислении интегралов в смысле главного значения, весов и узлов квадратурных формул Гаусса// ЖВМ и МФ.- 1965. 5, ЯЗ.- с.454−462..

61. Лебедь Г. К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах классах функций// Мат.заметки.- 1968. 3, Лб.- с.577−586..

62. Левин М. И., Гиршович Ю. М. Экстремальные задачи для кубатурных формул// ДАН СССР.- 1977. 236, #6. с.1315−1318..

63. Лигун А. А. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций// Мат.заметки.- 1976. 19, Я6. с.913−926..

64. Лигун А. А. О наилучших квадратурных формулах для некоторых классов периодических функций// Мат.заметки.- 1978, — 24, Л6.-с.661−669..

65. Литвин О. М. 1нтерлшац1Я функцз: й.- XapKiB: Основа.-1992.-234 с..

66. Логинов А. О. Приближение непрерывных функций ломаными// Мат. заметки.- 1969. 6, Ш.- с.149−160..

67. Малозёмов В. Н. Об отклонении ломаных// Вестник ЛГУ.-1966. W, вып.2- с.150−153..

68. Малозёмов В. Н. К полигональной интерполяции// Мат. заме тки. -1967. 1, Лб.- с.537−540..

69. Марчук А. Г., Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек// Мат.заметки.-1975. 17, Л0. с.359−368..

70. Микеладзе Ш. Е. Численные метода математического анализа.- М.: Гостехиздат.- 1953. 528 с. тг.

71. Моторный В. П. О наилучшей квадратурной формуле видадля некоторых классов периодических дифференцируемых функций// Изв. АН ССОР, серия Матем.- 1974. 38, JK3. с.583−614..

72. Моторный В. П. Исследования днепропетровских математиков по. оптимизации квадратурных формул// Укр.мат.журнал.- 1990. 42, #1. с.18−33..

73. Моторный В. П. О квадратурных формулах с равными коэффициентами // Укр.мат.журнал.- 1995, — 47, ЯВ.- с.1217−1223..

74. Натансон й.П. Конструктивная теория функций.- М.:Гостехиздат.-1949. 790с..

75. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем// Изв. АН СССР, серия Матем.- 1946. .10, JB.-с.207−256..

76. Никольский G.M. К Еопросу об оценках приближений квадратурными формулами// Успехи мат.наук.- 1950. 4, вып.2(36).- с.165−177..

77. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М.: Наук а.- 1977. 474 с..

78. Никольский С. М. Квадратурные формулы.- М.:Наука.-1988. 256 с..

79. Онегов Л. А. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью// Изв.вузов.Матем.- 1981. № 9. с.76−79..

80. Осколков К. И. Об оптимальности квадратурной формулы с равноотстоящими узлами на классах периодических функций// ДАН СССР.-1979. 249, *1, — с.49−52..

81. Переверзев О. В. Точные значения приближения эрмитовыми сплайнами на одном классе функций двух переменных// Укр.мат.журнал.- 1979. 31, Ш.- с.510−516..

82. Переверзев О. В. Точная оценка приближения эрмитовыми сплайнами на одном классе дифференцируемых функций двух переменных//Изв. вузов.Матем.- 1981. #12. с.58−66..

83. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции.-М.:Наука.-1985.-142 с..

84. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Диссертацияканд.физ.-мат.наук.-М.-1965.-152 с..

85. Степанец А. И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы.- Киев: Наукова думка.- 340 с..

86. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов// Мат. заметки.- 1967. 1, Л2. с.137−148..

87. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математикеМ.:Наука.- 1976. 248 с..

88. Сторчай В. Ф. Приближение функций двух переменных многогранными функциями в равномерной метрике.- Изв.вузов.Матем.- 1973. HQ.- с.84−88..

89. Субботин Ю. Н. Экстремальные задачи теории приближения функций при неполной информации// Труды Мат. ин-та АН СССР.-1980. 145. с.152−168..

90. Сухарев А. Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа.- М.:Наука.- 1989. 304 с..

91. Тайков Л. В. Структурные и конструктивные характеристики функций из Ъ2// Мат.заметки.- 1979. 25, Лй.- с.217−223..

92. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной// Труды МИАН СССР.- 1986. 178. с.3−112..

93. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного.- М. :Физматгиз.- 1960. 624 с..

94. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений.- М.: Изд-во МГУ.- 1976. 324 с..

95. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука.- 1966. 724 с..

96. Birkhoff G., Schnlts М., Varga R. Piecewise Hermite interpolation on one and two variables with, applications to partial differential equations// Numer. Math.- 1968. 11, JK3. p.232−256..

97. Carlson R., Hall C. Error bounds for bicubic spline interpolation// Jour.Approx.Theory.- 1973. 7, J61p.41−47..

98. Cheney E.W. Best approximation in tensor product spaces// beet. Notes Math.- 1980. 73. p.25−32.

99. Davis P.I. Interpolation and approximation.- New York.- 1963.101 .De Boor C. Bicubic spline interpolation// Jour.Math.Phys.-1962. 41. p.212−218..

100. Kolmogoroff A.H. Tiber die beste Annaherung von Bmktionen einer gegebenen Punfctionklassen// Ann.Math. 1936. — 37. — p. 107−110..

101. Шабозов М. Ш. Об оценках погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций// Укр.мат.журнал.- 1991. 43, ЛИ 2.-с.1712−1716..

102. Шабозов М. Ш. Оценки погрешности кубатурных формул с весом для одного класса функций двух переменных// ДАН Тадж.ССР.- 1991.-J64. с.221−225..

103. Шабозов М. Ш. О точности оценки погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций// ДАН Респ.Тадж.- 1994. Jf2.с.10−13..

104. Шабозов М. Ш. К вопросу о приближении функций билинейными сплайнами// ДАН Респ.Тадж.- 1994. *4. с.216−220..

105. Шабозов М. Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами // Укр.мат.журнал.- 1994. 46, J611. с.1554−1560..

106. Шабозов М. Ш. К вопросу интерполяции билинейными сплайнами// Допов1д1 НАН Украпш, сер.мат.тех.науки.- 1995. J66. с.30−39..

107. Шабозов М. Ш. Интерполяция билинейными сплайнами.-Функциональные пространства, теория приближений. Нелинейный анализ: Тезисы докладов. Международная конференция посвященная 90-летию О. М. Никольского.- Москва, 27 апреля-3 мая 1995 г. с.70−71..

108. Шабозов М. Ш. О наилучшем приближении в среднем ядра бигармо-нического уравнения и некоторых классах периодических функций.- Тези допо ввдей. Четверта м! жнародна наукова конферен-ц!я 1мен±академгаа М. П. Кравчука.- Ки1 В, 11−13 травня 1995, с. 251..

109. Шабозов М. Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных фор мул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью// Укр.мат.журнал.- 1995. 47, #9. с.1300−1305..

110. Шабозов М. Ш. Наилучшее и наилучшее одностороннее приближения ядра бигармонического уравнения и оптимальное восстановление• значений операторов// Укр.мат.журнал.- 1995.-47, *11 .-с.1540—1557..

111. Шабозов М. Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами// Мат. заметки.- 1996. 59, вып.1. с.142−152..

112. Шабозов М. Ш., Вакарчук О. Б. О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов// Укр.мат.журнал, — 1996. -48, JK3. с.301−308..

113. Шабозов М. Ш., Вакарчук О. Б. Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта// Укр.мат.журнал.- 1996. 48, *6. с.753−770..

114. Шабозов М. Ш. Асимптотическая оценка остатка при приближении дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщёнными сушами Фурье// ДоповЗд! НАН Украпш, сер. мат. тех. науки.- 1996. Лб.- с.28−31.Oil.

115. Шабозов М. Ш. Об оптимальном восстановлении и кодировании не-4 которых конкретных линейных опраторов решений краевых задач//Допов1д1 НАН Украпш, сер. мат. тех. науки.-1996.-J89.-с.22−27. ..

116. Shabosov M.Sh. On recovery solution of «boundary problem ofNeyman// East Journal on Approximations. -1?96. Vol.2, JK3.p.415−425..

117. Shabozov M.Sh. On the best approximation of convolutions of periodic functions. Abstract International Conference «Approximation theory and numerical methods» dedicated to the 100th Remes birthday anniversary (Ukraine, Rivne, June, 19−21, 1996).m p.103..