Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с дробной производной и распределенным запаздыванием

Актуальность темы

.

Многие задачи трансзвуковой газовой, динамики, гидродинамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, моделирования процессов излучения лазера, теории плазмы и другие важные проблемы естествознания моделируются при помощи уравнений смешанного типа. К этому классу уравнений принадлежит впервые рассматриваемое в диссертации уравнение смешанного типа с дробной-производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обеим переменнымопережением и отражением вида ихх{х, у) — Dqvu (x, t) -IftiH (y — h) u (x — т, y — h)+ h «h.

71 J ЩЮФгУ — Oi J Щ?)и (х — т, у.

0 0: r h.

0= ' +Siy > 0- о 0 uxx{x, y) — Uyy (x, y) — (32H (x — t) u (xT, y)~ —72Я (|ж| — т) и (х — rsgiix, y) — —S2H (—y — h) u (-x, yfh), у < 0.

В уравнении (0.1) Dqyu (x, t) — оператор дробного интегродиффе-ренцирования- (в> смысле Римана-Лиувилля), 0 < т, h = const,.ji, 0i, Si = const, (г = 1,2), H (?) — функция Хевисайда, Ri (t), ■-ограниченные функции (г = 1, 2), и (х, у) — неизвестная функция;

Теория уравнений, смешанного типа берет начало от фундаментальных исследований? Ф. Трикоми: [103]. Наряду с трудами Ф. Три-коми, базу теории заложили работы С. Геллерстедта [119] и Ф. И. Франкля [104], поставившие и изучившие краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Дальнейшее развитие теории уравнений смешанного типа связано с именами К. И. Бабенко [17], И. Н. Векуа [24], А. В. Бицадзе [21]. Их работы дали основополагающие результаты при решении задач трансзвуковой газовой динамики, гидродинамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.

В работах В. Ф. Волкодавова [26], В. М. Жегалова [35]—[37], Т. Ш. Кальменова [52], Е. И. Моисеева [59]—[61], A.M. Нахушева [68], С. М. Пономарева [74]—[75] С. П. Пулькина [79]—[81], JI.C. Пулькиной [82]—[83], О. А. Репина [86]—[89], К. Б. Сабитова [90], М. М. Смирнова [96]—[98], А. П. Солдатова [99]—[100], и других математиков теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.

Самостоятельный интерес представляют процессы, будущее развитие которых зависит не только от настоящего, но и существенно определяется всей предысторией развития. Математическое описание указанных процессов. может быть осуществлено" при помощи дифференциальных уравнений смешанного типа с отклонениями различных видов, называемыми также уравнениями с отклоняющимся! аргументом или функционально-дифференциальными уравнениями, к которым относится рассматриваемое в диссертации уравнение (0.1).

Основополагающий вклад в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, внесли Н. В. Азбелев [1], Н. Н. Красовский [55], А. Д. Мышкис [65]-[66], С. Б. Норкин [71], Л. Е. Эльсгольц [106]-[107], Э. Пинни [73], R. Bellman, К. L. Cooke [20], J. К. Hale [105], [115], К. Gopalsamy [113], Y. Kuang [118], J. Wu [129] и многие другие математики.

Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных эллиптических, параболических и гиперболических уравнений исследовали А. А. Андреев [12]—[14], А. Б. Антоневич [15], И. М. Гуль [32], А. Б. Муравник [62]—[64], А. Б. Нерсесян [70], А. В. Разгулин [84], А. Л. Скубачевский [23], [94]—[95].

Теория нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа впервые рассматривалась в работах А. Н. Зарубина [38]—[48]. Так, в монографии [47] изучаются краевые задачи для уравнений имеющих некарлемановский сдвиг аргумента. В статье [44] исследуется краевая задача для уравнения с распределенным запаздыванием, описывающего вероятностные и кумулятивные эффекты в модели, которая в противном случае была бы детерминированной.

В работах А. А. Андреева [12]—[14] и его учеников [72], [92]—[93] исследовались краевые задачи для уравнений смешанного типа с ин-волютивным (карлемановским) отклонением.

В настоящее время внимание исследователей обращено к развитию методов решения краевых задач для-уравнений и систем уравнений с частными производными' дробного порядка, которые, являясь обобщением уравнений целочисленного порядка, помимо огромного теоретического значения имеют довольно широкое практическое применение [67], [122], [91].

В работах А. Н. Кочубея [56]—[57] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной.

Применение уравнений фрактальной диффузии к теории электролитов и в описании автоколебательных процессов исследовалось Я. JT. Ко-белевым [53]-[54].

В монографии A.M. Нахушева [67] были рассмотрены свойства операторов дробного интегро-дифференцирования и их применение к задачам математической биологии и физики, а также при математическом моделировании различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой. Им же в 1972 г. был впервые получен принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка, а < 1.

Теория применения преобразования Лапласа для решения уравнений с дробной производной была развита словацким математиком I. Podlubny [123]. Им же в работе [124] была дана физическая интерпретация начальных условий для уравнений с дробной производной.

В монографии А. В. Псху [78] рассмотрены краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. Получены решения краевых задач для уравнений с частными производными ниже первого порядка. Для диффузионного и волнового уравнений дробного порядка найдены функции Грина основных краевых задач. Получены условия типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка и для уравнения с частными производными ниже первого порядка.

В работах С. Х. Реккиевой [27]—[29] исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии [28]-[29] в одной из частей смешанной области, доказаны теоремы существования и единственности решений аналогов задачи Трикоми в канонических областях.

О. А. Репиным [86]—[89] рассматривались задачи для уравнений смешанного типа с дробными производными и интегралами в начальных условиях.

Полученные результаты находят приложения в моделировании процессов автоматического регулирования [125], в механике [120]', различных технологических процессах [108], теории вязкоупругости [110], [128], биологии [69], [31], [109], [129], медицине [127], химии [122], математической психологии [111], [112] и в других отраслях знаний.

Тем не менее, следует отметить, что, несмотря на достаточно большое количество работ, посвященных изучению как уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория уравнений смешанного типа с дробными производными и отклоняющимся аргументом находится в начале своего развития.

Наиболее близкими в этом направлении являются работы А. Н. Зарубина [45]—[46] и Е. А. Зарубина [49]—[51], где были впервые рассмотрены краевые задачи для /уравнений смешанного типа с дробной производной и сосредоточенным запаздыванием.

Центральным моментом настоящей работы является рассмотрение ранее не исследовавшихся уравнений смешанного типа с дробнойгпро-изводной, распределенным и сосредоточенным отклонением аргументов опережающе-запаздывающего вида.

Отсутствие исследований по начально-краевым задачам для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обоим аргументам, отклонением опережающе-запаздывающего типа и отражением, а также1 важные прикладные возможности этих уравнений при математическом моделировании процессов экономики [121], математематической биологии [31], [109], нелинейной оптики [85], подтверждает актуальность, темы диссертации.

Цель работы — исследование разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, рассматриваемых в неограниченных областях, содержащих внутри себя линию изменения типа.

Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, аппарат специальных функций, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (метод «абс»), метод Фурье разделения переменных.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных — проблеме решения нелокальных задач для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, а также впервые рассмотренного в данной работе уравнения с отражением по пространственной и опережением по временной переменным.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Решение начально-краевых задач для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в неограниченных областях. Доказательство теорем существования и единственности решения.

2. Доказательство теорем существования и единственности решения аналога задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени, с опережающе-запаздывающим отклонением пространственной переменной в неограниченной области.

3. Решение аналога задачи Геллерстедта для дробного дифференциально-разностного диффузионно-волнового уравнения с распределенным запаздыванием, опережающе-запаздывающими аргументами и отражением. Доказательство теорем существования и единственности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в областях изменения типа уравнений.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории диффузии в пористых материалах, в нелинейной оптике, в изучении колебания кристаллической решетки, в теории популяций и др.

Апробация работы,.

Основные результаты и содержание работы докладывались-и обсуждались на:

— ежегодных Всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (2006;2007гг.) СамГТУ, г. Самара.

— второй Всероссийской конференции «СамДифф» (2007г.) СГУ, г. Самара.

— научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2003;2007 гг. Орел, ОГУ. (руководитель д. ф-м. н., профессор Зарубин А. Н.).

— Третьей международной конференции «Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (2006 г.), г. Нальчик.

— Двенадцатой международной конференции «Mathematical Modelling and Analysis» (2007 г.), Литва, Тракай.

— Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (2007 г.) НГУ, г. Новосибирск.

По материалам диссертации опубликовано 10 научных статей и тезисов докладов [2]-[11].

Содержание диссертации по главам.

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка.

1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф.

Введение

в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991.

2. Алешин П. С., Зарубин А. Н. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной // Вестник науки.- Орел: ОГУ, В. 3, 2004. с.16−19.

3. Алешин П. С. О единственности решения краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием // Вестник науки.- Орел: ОГУ, В. 4, 2004. с. 15−18.

4. Алешин П. С., Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для уравнения фрактальной диффузии с распределенным запаздыванием // Материалы конференции «СамДифф». Самара. 2007. С. 5−8.

5. Алешин П. С. Краевая задача для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием // Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского: Тезисы докладов. М.:Изд-во МГУ, 2007. С. 15.

6. Alyoshin P. A TVikomi Problem for a Mixed Type Equation with Fractional Derivetive and Distributed Lag // Mathematical Modelling and Analysis. Abstracts of the 12th international Conference MMA2007. Trakai. 2007 P. 18.

7. Алешин П. С., Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения диффузии с дробной производной и рапределенным запаздыванием// Дифференциальные уравнения. Т.43, 10, 2007. С. 1363−1368.

8. Андреев А. А, Саушкин И. Н. Видоизмененная задача Гурса для телеграфного уравнения с инволютивным сдвигом. // Труды международной конференции «Математическое моделирование и информатика в современном управлении экономикой». Самара.- 2001. С. 202−204.

9. Андреев А. А, Саушкин И. Н. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области.// Вестник Самарского технического университета. Серия Физ.-мат. науки. Вып. 34. 2005. С. 10−16.

10. Антоневич А. Б. Об индексе и нормальной разрешимости общей эллиптической краевой задачи с конечной группой сдвигов на границе. // Дифференц. уравнения. 1972. — Т. 8, № 2. — С. 309 317.

11. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. — 695 с.

12. Бабенко К. И. О задаче Трикоми. // Докл. АН СССР. 1986. -Т. 291, № 1. С. 14−19.

13. Байков В. А., Жибер А. В. Уравнения математической физики. -Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 256 с.

14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969, т. 1. — 343 с.

15. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

16. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. — 448 с.

17. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической физике. Уравнения математической физики. М.: Издательство МГУ, 1998. — 350 с.

18. Вальтер Х.-О., Скубачевский A.JI. О гиперболичности решений с иррациональными периодами некоторых функционально-дифференциальных уравнений. //Докл. РАН. 2005. т.402, N.2. с.151−154. Библиогр.:9.

19. Веку, а И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ, 1959. 628 с.

20. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. — 512 с.

21. Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Автореф. дис.. д-ра физ.-мат. наук.- Казань, 1969. 10 с.

22. Геккиева С. X Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени. // Доклады АдыгскойЧеркесской) Международной академии наук. 1994. Т. 1, 1. С. 17−18.

23. Геккиева С. X Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной. // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2001. 2 (7). С. 78−80.

24. Геккиева С. X Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области. // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. 1 (8). С. 6−8.

25. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, суммм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971 — 1108 с.

26. Гурли С. А., Coy Дж. В.-Х., ВУ Дж. X. Нелокальные уравнения реакции-диффузии с запаздыванием: биологические модели и нелинейная динамика // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 1 (2003). С. 84−120.

27. Гуль И. М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами. // Успехи математических наук. 1955. — Т. 10, № 2 (64). -С. 153−156.

28. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. — 544 с.

29. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. — 672 с.

30. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках. // Уч. зап. Казанского ун-та. 1962. — Т. 122, кн. 3. — С. 3−16.

31. Жегалов В. И. Задача с несколькимим смещениями для уравнения смешанно составного типа.// Известия ВУЗов. Математика. 1982. 10. С. 15−18.

32. Жегалов В. И. Исследования краевых задач со смещениями для уравнений смешанного типа. Автореф. дис.. д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1989.

33. Зарубин А. Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения. -1996. Т. 32, № 3. — С. 350−356.

34. Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения.- 1998. Т. 34, № 1. — С. 121−127.

35. Зарубин А. Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1997. — 225 с.

36. Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения.- 1998. Т. 34, № 1. — С. 88−94.

37. Зарубин А. Н. Интегральные преобразования теории дифференциально-разностных уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1999. — Т. 35, № 8. — С. 1135−1136.

38. Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с распределенным запаздыванием. // Дифференц. уравнения. -2000. Т. 36, № 10. — С. 13 531 356.

39. Зарубин А. Н. Задача для уравнения фрактальной диффузии с запаздывающим аргументом // Вестник науки. Орел: ОГУ, В. 4, 2005. — с.73−79.

40. Зарубин А. Н., Зарубин Е. А. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной// Материалы международной конференции. Орел: ОГУ, 2006.

41. Зарубин А. Н. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с запаздывающим аргументом. Орел: ОГУ, 1999. — 225 с.

42. Зарубин Е. А. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения диффузии дробного порядка по времени // Вестник науки. Орел: ОГУ, В. 4, 2005. — с.73−79.

43. Зарубин Е. А. О единственности задачи Жевре для смешанного уравнения диффузии дробного порядка // Современные методы в теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней мат. школы «Понтрягинские чтения-XV». Воронеж, 2004. С. 93−94.

44. Калъменов Т. Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов. Автореферат дис.. доктора физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1982.

45. Кобелев Л. Я., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев В. Л. О диффузии через фрактальную поверхность // Доклады Академии наук, 1997, Т.355, 3, С.326−327.

46. Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я., Романов Е. П. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // Доклады Академии наук, 1999, Т.369, 3, С.332−333.

47. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. M.-JL: Физматгиз, 1959.

48. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, 4. С. 660−670.

49. Кочубей А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, 6. С. 1359−1368.

50. Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. Минск: Наука и техника, 1978. — 310 с.

51. Моисеев Е. И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис.. д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1979.

52. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988. 150 с.

53. Моисеев Е. И., Зарубин А. Н. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения. -2001. Т. 37, № 9. — С. 1212−1215.

54. Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений // Ма-тем. заметки, 2003, том 74, вып. 4, С. 538−548.

55. Муравник А. Б. О единственности решения задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, 10. С. 1385−1389.

56. Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами. //Докл. РАН. 2005. т.402, .3. с.308−310.

57. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Гостехиздат, 1951. 254 с.

58. Мышкис А. Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5−120.

59. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физ-матгиз, 2003. — 272 с.

60. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа, j j Дифференц. уравнения. 1969. — Т. 5, 1. — С. 44−59.

61. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995 301 с.

62. Нерсесян А. Б. О задаче Коши для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. // Материалы II Всесоюзной конференции по теории и приложениям дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1968. — с. 116−117.

63. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. 356 с.

64. Пинии Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Иностранная литература, 1961. 248 с.

65. Пономарев С. М. О задаче Трикоми для системы уравнений смешанного типа на плоскости. // Докл. АН СССР. 1978. — Т. 242, № 6. — С. 1256−1257.

66. Пономарев С. М. О единственности решения задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа на плоскости. // Дифференц. уравнения. 1979. — Т. 15, № 1. — С. 183−184.

67. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. — 752 с.

68. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. — 800 с.

69. Псху А. В. Уранения в дробных производных. М.: Наука, 2005. -199 с.

70. Пулькин С. П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе. // Докл. АН СССР. 1958. — Т. 118, № 1. С. 38−41.

71. Пулькин С. П. К вопросу о решении задачи Трикоми для уравнения типа Чаплыгина. // Изв. вузов. Математика. 1958. — № 2 (3). — С. 219−226.

72. Пулькин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта. // Изв. вузов. Математика. 1960. — № 6 (19).- С. 214−225.

73. Пулъкина Л. С. О разрешимости внелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, 2. С.279−280.

74. Пулъкина JI. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2004. Т.40, 7. С.887−892.

75. Разгулип А. В. О параболических функционально-дифференциальных уравнениях с управляемым преобразованием пространственных аргументов // Доклады РАН. 2005. Т. 403. 4 С. 448−451.

76. Разгулин А. В. Задача оптимизации' двумерного преобразования аргументов в параболическом функционально-дифференциальном уравнении нелинейной оптики // Международная конференция «Тихонов и современная математика». М.:МГУ. 2006. С.155−156.

77. Килбас А. А., Репин О. А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. 6. С. 799−805.

78. Килбас А. А., Репин О. А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. 5. С. 638−644.

79. Килбас А. А., Репин О. А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с дробной производной. // Тезисы докладов Меж. конф. «AMADE-2003». 2003. Минск. С. 88−89.

80. Репин О. А. О разрешимости одной нелокальной задачи для параболо-гиперболического уравнения с дробной производной. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды тринадцатой межвузовской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2004. — С. 161−164.

81. Сабитов К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис.. д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1991.

82. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

83. Саушкин И. Н. Об одной краевой задаче для уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области.// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара: СамГТУ, 2005. С. 199−204.

84. Скубачевский A.JI. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах. // Дифференц. уравнения. 1982. — Т. 18, № 9. — С. 1590−1599.

85. Скубачевский А. Я. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы. // Матем. сборник. 1986. — Т. 129 (171), № 2. — С. 279−302.

86. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

87. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. -296 с.

88. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. — М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

89. Солдатов А. П. О единственности решения одной задачи А.В. Би-цадзе. // Дифференц. уравнения. 1972. — Т. 8, № 1. — С. 143−146.

90. Солдатов А. П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением. // Дифференц. уравнения. 1974. — Т. 10, № 1. -С. 143−152.

91. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. М.: Наука, 1988. — 816 с.

92. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972 — 735 с.

93. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. (Пер. с итал. Ф.И. Франкля). М.-JL: Гостехиздат, 1947. 192 с.

94. Франклъ Ф. И. К теории сопел Лаваля. // Изв. АН СССР. -Сер. матем. 1945. — Т. 9, № 5. — С. 387−422.

95. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

96. Элъсголъц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

97. Элъсголъц Л. Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: ГИТТЛ, 1955. 300 с.

98. Bagley R.L. On the fractional order initial value problem and its engineering applications, in: Fractional Calculus and Its Applications (Ed. K. Nishimoto), Tokyo, College of Engineering, Nihon University, 1990, pp. 12−20.

99. Cushing J. M. Integrodifferential equations and delay models in population dynamics. Heidelberg: Springer-Verlag, 1977.

100. L. Debnath Recent Applications of Fractional Calculus to Science and Engeneering // Differential’Equations and Nonlinear Mechanics, N.Y. Hindawi Press no. 54 (2003) P. 3413−3442.

101. Glass L., Mackey M. C. Oscillations and chaos in physiological control systems// Science. 1977. -197. — P. 287−289.

102. Glass L., Mackey M. C. Pathological conditions resulting from instabilities in physiological control systems // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1979. — 316. — P. 214−235.

103. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Dordrecht: Kluwer, 1992.

104. Gorenfio R. Fractional Calculus: Some Numerical Methods // A. Carpinteri and F. Mainardi (Editors): Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Springer Verlag, Wien and New York 1997, pp. 277−290.

105. Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to functional differential equations, Springer Verlag, New York — Heidelberg — Berlin, 1993.

106. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam — Tokyo: Elsevier, 2006. — 523 p.

107. Krall A.M. The Development of General Differential Operator and General Differential Boundary Systems. // Rocky Mountain J. Math. 1975. — V. 5, № 4. — P. 493−512.

108. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics// In: Mathematics in science and engineering. New York: Academic Press, 1993. — 191 p.

109. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second order de type mixte: These, pour le doctorat. Uppsala, 1935. — 92 p.

110. Mainardi F. Applications of fractional calculus in mechanics, Transform Methods and Special Functions, Varna '96 (P. Rusev, I. Dimovski, and V. Kiryakova, eds.), Bulgarian Academy of Sciences, Sofia, 1998, pp. 309−334.

111. Mainardi F., Raberto M., Gorenflo R., Scalas E. Fractional calculus and continuous-time finance II: the waiting-time distribution // Physica A 287 (2000) 468−481.

112. Oldham К. В., Spanier J. The Fractional Calculus. N. Y.: Acad. Press, 1974. 340 p.

113. Podlubny I. Fractional Differential Equations. N. Y., London: Acad. Press, 1999. 340 p.

114. Heymans N., Podlubny I. Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives. // Rheologica Acta. Online first. 2005.

115. Podlubny I. Fractional-order systems and fractional-order controllers. Tech. Report UEF-03−94, Institute for Experimental Physics, Slovak Academy of Sciences, 1994.

116. Pucone M. Equazione integralle traducente il piu generalle probleme lineare per le equation differenziali lineari ordinarie de qualsivoglia ordine. // Accademia nazionale dei Lincei. Atti dei convegni: Roma, 1932. V. 15, № 6. — P. 942−948.

117. Robinson D. A. The use of control systems analysis in neurophysiology of eye movements, Ann. Rev. Neurosci. 4 (1981), 462−503.

118. Rogers L. Operators and fractional derivatives for viscoelastic constitutive equations, J. Rheol. 27 (1983), 351−372.

119. Wu J. H. Theory and applications of partial functional differential equations// Appl. Math. Sci. 1996. — 119 p.

120. Wyss W. The Fractional Diffusion Equation // J. Math. Phys. 1986. Vol. 27, 11. P. 2782−2785.