Моделирование динамики пространственно-распределенных систем типа «реакция-диффузия» с внешними флуктуациями

Целью работы является разработка методов исследования пространственно-временной динамики нелинейных распределенных систем типа «реакция-диффузия» во внешних флуктуирующих полях.

В? соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Построение математических моделей, учитывающих влияние внешней флуктуирующей среды на системы типа «реакция-диффузия» и их исследование аналитическими и численными методами.

2. Разработка новых или модификация существующих приближенных аналитических методов исследования стохастических систем типа «реакция-диффузия».

3. Аналитическое и численное изучение закономерностей поведения' систем типа «реакция-диффузия» во внешних флуктуирующих полях в. окрестности точек бифуркации.

4. Изучение закономерностей образования пространственных и пространственно-временных диссипативных структур в поле, аддитивных и мультипликативных флуктуаций.

5. Разработка методов определения характеристик процессов формирования пространственных диссипативных структур в случайном поле.

6. Разработка алгоритмов численного исследования конкретных систем «реакция-диффузия» и создание комплексов программ для проведения численных экспериментов, обработки и визуализации их результатов.

Научная новизна полученных результатов.

1. Разработана обобщенная математическая модель систем типа «реакция^ диффузия», учитывающая влияние флуктуирующей среды, которая моделируется как однородное изотропное гауссово поле с экспоненциальной функцией корреляции.

2. Установлен и описан новый шумоиндуцированный кинетический переход в трехуровневой стохастической’модели конкуренции.

3. Разработан метод получения обобщенных уравнений Гинзбурга-Ландау для нелинейных систем типа «реакция-диффузия», находящихся во внешней флуктуирующей среде.

4. Предложены методы определения характеристик процессов образования пространственных диссипативных структур в случайном поле.

5. Разработан метод получения дисперсионных уравнений для усредненных по ансамблю реализаций амплитуд неустойчивых мод стохастических систем типа «реакция-диффузия». Аналитически найдены зависимости инкрементов усредненных по ансамблю реализаций амплитуд неустойчивых мод от волновых чисел, интенсивности^ и радиуса корреляции внешнего случайного поля:

6. Установлены-правила отбора взаимодействующих мод, определяющие вид возникающих структур в поле мультипликативных флуктуаций.

7. Установлено и теоретически обосновано явление шумоиндуцированного параметрического возбуждения^ солитоноподобных пространственных структур в докритической области в системах «реакция-диффузия».

8. Найдена последовательность бифуркаций диссипативных структур

Тьюринга в, системах типа «реакция-диффузия» в поле внешних флуктуаций в зависимости от интенсивности мультипликативных флуктуаций параметров, входящих в нелинейную компоненту системы. Показано, что в системе возможен переход к сильно нерегулярному поведению.

9. Исследован дрейф точки обрыва волнового фронта спиральных волн в детерминированной системе типа «реакция-диффузия». Определены изменениявносимые внешними шумами в дрейф точки обрыва волнового фронта.

10. Показано, что спиральные волны устойчивы в слабом флуктуационном фоне, слабый шум разрушает симметрию сложных автоволн. Внешние случайные поля большой интенсивности разрушают диссипативные структуры.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Обобщенная математическая' модель системы «реакция-диффузия» в поле аддитивных и мультипликативных флуктуаций.

2. Результаты' исследования трехуровневой стохастической модели конкуренции, включающие новый шумоиндуцированный кинетический переход.

3. Метод получения обобщенных уравнений Гинзбурга-Ландау для нелинейных систем типа «реакция-диффузия», находящихся во внешней флуктуирующей среде.

4. Метод получения дисперсионных уравнений для усредненных по ансамблю реализаций амплитуд неустойчивых мод стохастических систем типа «реакция-диффузия».

5. Алгоритмы и программные комплексыдля анализа, моделирования эволюции и визуализации решенийнелинейных многомерных систем типа «реакция-диффузия» в поле аддитивных и мультипликативных флуктуаций.

6. Результаты аналитического и численного исследования процесса формирования диссипативных структур Тьюринга в системах «реакция-диффузия» в поле внешних флуктуаций.

7. Результаты численного моделирования эволюции спиральных волн и сложных автоволн в поле внешних флуктуаций в модели «реакция-диффузия».

Связь с государственными программами.

Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами фундаментальных научно-исследовательских работ по программам: аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы (2009;2010 годы)», проекты 1.2.08, 2.1.1/309, грант Российского фонда фундаментальных исследований 07−01−96 608р-поволжьеа. Работа поддержана Губернским грантом в области науки и техники 2010 г.

Теоретическая и практическая ценность проведенных исследований заключается в том, что их результаты являются, важным вкладом в теорию самоорганизации нелинейных неравновесных диссипативных системнаходящихся во внешней флуктуирующей среде, и могут найти практическое применение в соответствующих разделах науки.

Достоверность, результатов диссертационной работы определяется их верификацией прш разнообразном тестировании, включающем сравнение: с точными решениями- (при их наличии), сравнением с известными-теоретическими результатами и расчетами по другим алгоритмам, адекватностью полученных результатов и согласованностью с современными представлениями о предмете исследования. Апробация результатов диссертации.

Основные результатыдиссертации докладывались и обсуждались на семинарах Московского государственного университетам им. М. В. Ломоносова, Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, Самарского государственного аэрокосмического университета им. С. Н. Королева, Саратовского государственногоуниверситетаим. Н. Г. Чернышевского. и были представлены на следующих Всероссийских и Международных конференциях:

• Всероссийской межвузовскойнаучно-практической конференции «Компьютерные технологии^ в науке, практике и образовании» (Самара, 2005),.

II." малом университетском форуме «Россия — великая держава» (Москва- 2005),.

• II — VI Международных междисциплинарных научных конференциях «Курдюмовские чтения:. Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь, 2006;2010),.

• VIII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур» ХАОС-2007 (Саратов, 2007),.

• Международных: конференциях по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС) (Алушта, 2007;2009),.

• 50−52 научных конференциях МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва- 2007;2009),.

• XV Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2008),.

• Г Международной конференции по математической физике и ее приложениям: (Самара, 2008),.

• IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2008),.

• VII Всероссийской научной конференции с международным участием. «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара- 2010),.

• XVII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна- 2010),.

• 11 Международной конференции по математической физике и ее приложениям^ (Самара, 2010),.

• IX международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур» ХАОС-2010 (Саратов, 2010),.

• > VII Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010):. Основные публикации.

По материалам диссертации: опубликовано 45 печатных работ, в том числе 15' - в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией, и- 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ;

Личный вклад соискателя.

Все аналитические результаты, изложенные в диссертации, получены? автором: лично, остальные результаты — при его определяющем личном<�участии.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, пяти главзаключениясписка литературы. (208 наименований), изложена на 190 страницах^ содержит 67 рисунков.